numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo” Leopold Kroneker (1823-1891)

Numeri Naturali

Il numero è la base della matematica. Ma che cos'è il numero? I numeri sono stati creati dalla mente umana per contare gli oggetti dei vari insiemi e non hanno alcun riferimento alle caratteristiche individuali degli oggetti contati: la matematica era un aspetto della vita quotidiana dell'uomo, legata strettamente a necessità di sopravvivenza e socializzazione: la pastorizia, l'agricoltura, implicavano appunto la necessità del saper contare e specie il commercio faceva del calcolo un punto essenziale. Puoi quindi comprendere l'importanza del poter scrivere e usare i numeri indipendentemente dalla realtà fisica che indicavano. Per es. il numero SEI è una astrazione di tutti gli effettivi insiemi contenenti SEI oggetti. E’ evidente che tali insiemi, pur essendo definiti da caratteristiche diverse e contenendo quindi elementi anche molto diversi ,evidenziano però una medesima proprietà (in questo caso SEI), alla quale diamo il nome di NUMERO NATURALE.

6

A questo punto sorge il problema di ordinare i numeri naturali (che indichiamo con N). Consideriamo una retta sulla quale collocare i numeri naturali in questo modo:

2 5

E’ importante il fatto che, una volta fissate le posizioni dei numeri 2 e 5 abbiamo stabilito un ORDINE sulla retta; in questo caso l’ordine è crescente, se questo è l’orientamento stabilito (cioè da sinistra verso destra), lo zero rappresenta il primo numero naturale, cioè l’origine della nostra sequenza di numeri. Ora nasce spontanea una domanda: quanti sono i numeri naturali?. Consideriamo una macchina generatrice di numeri, come quella in figura:

n n + 1 numero successivo

Essa, partendo da un qualsiasi numero n di N, ci consente di ottenere il suo successivo: n + 1. Puoi facilmente intuire che questa macchina può continuare il suo lavoro senza interruzioni, cioè che i numeri naturali non finiscono mai: SONO INFINITI. Quindi, ricapitolando, possiamo immaginare l’insieme N disposto su una retta orientata, in cui c’è un inizio, ma non una fine e in cui ogni numero precede il suo successivo.

0 1 2 3 4

Le Operazioni In N

L’addizione, la moltiplicazione…prendono tutte il nome di operazione: grazie a quest’unico nome comune, si riconosce che tutte rientrano in un solo concetto. Cerchiamo ora di definire cosa intendiamo per operazione in generale. Abbiamo questa situazione: a due oggetti (detti a volte “addendi”, a volte “fattori”,…) si fa corrispondere un unico oggetto (detto risultato). Lo schema è quindi “da due otteniamo uno”, da una coppia ordinata ricaviamo un elemento (è bene dire “coppia ordinata” perché ci sono dei casi in cui l’ordine con il quale si prendono gli operandi è essenziale).

Ogni operazione (addizione, moltiplicazione,…) si indica con un certo segno speciale che si scrive, di regola, tra i due operandi x + y; w y;...

Addizione

Proviamo ad introdurre l’addizione a partire dalla macchina generatrice di numeri. Come si può eseguire 3+5? La macchina passa 5 volte al successivo a partire da 3, pervenendo al numero8.Quindi l’addizione associa a due numeri naturali (che chiamiamo addendi) un terzo numero naturale (che chiamiamo somma).

+1entrata uscita

Rappresentazione dell’addizione: b

a,b addendi

c somma

1. a c

2. (a,b) addiz. c +

3. a + b = c4. Sulla retta orientata attribuiamo i seguenti significati ai simboli della scrittura a + b = c

a = p.to di partenza + = spostamento nel senso indicato dalla frecciab = di quante unità ci spostiamo c = p.to di arrivo

+b

0 a c

Es.:

2 + 3 = 5 6 + 1 = 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dato che la macchina non interrompe mai il suo lavoro, ne segue che l’addizione è sempre possibile in N. Questo significa che, data una qualunque coppia di numeri naturali (a, b) è sempre possibile trovare un numero naturale c che ne rappresenti la somma.Questa proprietà si può esprimere in altro modo, dicendo che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.

PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE:

L’addizione gode di alcune importanti proprietà:

Proprietà commutativa Scambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia

5 + 7 = 12 = 7 + 5

I addendo +

addizione uscita

II addendo

In generale si ha per ogni a, b N a + b = b + a

Questa proprietà non è così banale come sembra; la maggior parte delle “operazioni” che compiamo non è commutativa, pensa se tu infilassi prima le scarpe e poi le calze! Oppure se affiancassi le lettere “a” e “l” in modo diverso : ‘al’ è una preposizione articolata ; ‘la’ è un articolo .

Proprietà associativa La definizione di addizione è stata data solo tra due elementi, ma, come sai, è facilmente calcolabile la somma di 3, 4 , 5…addendi.Se ti chiedo: Quanto fa 3 + 5 + 2? Sicuramente nell’eseguire questo calcolo procederai in uno dei seguenti modi:

1. Prima trovi la somma di 3 e 5 (8) e poi aggiungi 2:

3 (3 + 5) + 2= 8 + 2 = 105

2

2. A 3 si aggiunge la somma di 5 e 2 ( che è 7)

3 3 + (5 + 2) = 3 + 7 = 10

5

2

Comunque si siano “associati” gli addendi si perviene alla stessa somma.

In generale : per ogni a, b,c N (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Quindi ci rendiamo conto che le parentesi, nell’addizione tra più numeri, sono superflue.

ELEMENTO NEUTRO: 0

Nell'addizione c'è un numero “neutrale” nel senso che addizionato ad un qualunque altro numero dà come somma quel numero. Tale elemento è lo 0.

5 + 0 = 5 0 + 3 = 3 ...........

In generale : per ogni a N a + 0 = 0 + a = a

ESEMPIO:

8 10

710

Per verificare la validità della proprietà associativa e commutativa, utilizziamo i seguenti diagrammi , per la somma di: 7 + 3 + 5

(7+3)+5

7

+ 10 + 15 3 5

7+(3+5)

3

+ 8 + 15 5 7

Le parole

Il termine proprietà ha nel linguaggio naturale il significato di qualità particolare,che distingue; in matematica rappresenta la caratteristica associata ad un’operazione.

ESERCIZI:

1. Esegui le seguenti addizioni applicando la proprietà associativa e commutativa nel modo più conveniente.

1) 13 + 2 + 182) 25 + 5 + 123) 21 37 + 94) 14 + 52 +65) 18 + 27 + 3

2. Traduci il seguente diagramma in espressioni aritmetiche, facendo attenzione alle parentesi:

3 + 4 + 61 2 + 11 5

3. Costruisci il diagramma delle seguenti espressioni e verifica che il risultato è lo stesso:

1) (3 + 2) + 8 + (12 + 5)2) 3 + (2 +8) + (5 + 12)

Quali proprietà vengono soddisfatte?.

Il Prodotto

Hai già visto la somma di numeri naturali. Adesso si pone il problema di acquistare quattro sedie per ognuno degli otto tavoli presenti nel tuo bar. Con l’operazione di somma faresti:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32

Questo è un po’ ripetitivo ed anche faticoso, ma osservando la lunga scrittura ci si accorge di avere sommato il 4 otto (8) volte e dunque possiamo definire una nuova operazione che sottintenda questo e semplifichi la scrittura precedente: l’operazione di moltiplicazione ( x ).

4 x 8= 32

intendendo : somma il 4 otto volte.

Rappresentazione del prodotto : b=8

a, b fattori

c prodotto

1. a=4 c=32

I fattore

x prodotto

uscita

II fattore

A questo proposito ricorderai le tavole Pitagoriche. Anzi se non le ricordi gioca a completare la seguente tabella

X 2

6

12 60

50

6 42

99 110

8 56

Attenzione, le tabelline sono uno strumento indispensabile per l’apprendimento di questa materia; trova una strategia ma cerca di ricordarle !!!E adesso andiamo a scoprire le caratteristiche di questa nuova operazione.

1. Il prodotto di numeri naturali è un numero naturale.Abbiamo definito il prodotto tramite l’operazione di somma. Quindi se la somma di due qualunque numeri naturali produce un numero naturale, anche la moltiplicazione avrà la stessa caratteristica.Ricorda :quando un ‘operazione ha la caratteristica detta sopra si dice chiusa in quell’insieme di numeri.Vediamo se questa operazione presenta delle proprietà importanti che aiutino il calcolo così come si è già osservato per l’addizione.Cerchiamo di scoprirlo insieme usando la passeggiata sulla retta.

0 2 4 6 2x(3)

0 3 6 3x(2)

Arrivo sempre nel punto SEI.Dunque 2 x 3 = 3 x 2.Quindi vale la proprietà commutativa .In generale : per ogni a , b in N axb=bxa.

Vediamo un’altra caratteristica

12 24 2x(3x4) 3 6 8

0 3 6 9 12 18 24 (2x3)x4

Anche in questo caso, così come per la somma, possiamo affermare che vale la proprietà associativa, cioè in generale:per ogni a , b , c in N :

(a x b) x c = a x (b x c) Quindi, anche per il prodotto tra più fattori, le parentesi sono superflue.Adesso occupiamoci di un’altra importante proprietà che coinvolge sia la somma sia il prodotto : la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)

0_______3___4___5___6___7_______________14 2x(3+4)

0_______3_________6_____8____10___12___14 (2x3)+(2x4)

In generale : per ogni a , b , c in N :

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) e per la proprietà commutativa, anche:

(b + c) x a = (b x a) + (c x a) .

Osserva : questa proprietà riguarda due operazioni somma e prodotto.Ci chiediamo: vale la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto ? o in altre parole

2 + (3 x 4) = (2 + 3) x (2 + 4) ?

Provalo aiutandoti con la retta.

Ma perché dare tanta importanza alle proprietà?. Storicamente quando non si faceva uso delle calcolatrici l’utilizzo delle proprietà facilitava il calcolo. Vedi esempi:

Es. 1: 31 + 55 + 24 + 7 = 31 + 24 + 55 + 7 = (31 + 24) + (55 + 5) +2Ora è più facile calcolare.

Es. 2: 12 x 8 = (10 + 2) x 8 = (10 x 8) + (2 x 8)...Anche in questo caso è più facile calcolare.

Es. 3: 327 x 8 = (300 + 20 + 7) x 8 = (300 x 8)+ (20 x 8) + (7 x 8) =...

Per concludere è opportuno ancora una volta ricordare che quando un’operazione in un certo insieme di oggetti gode di una proprietà, ha una qualità in più, una marcia in più che ci consente di operare agevolmente.Vediamo ora come si comportano 1 e 0 rispetto all’operazione di moltiplicazione. Se osservi la retta ti accorgi che:

3 x 1 = 1 x 3 = 3

____________________________________________________________0 3 3x1

_____________________________________________________________0 1 2 3 1x3

Il numero 1 non altera il numero con cui è moltiplicato, cioè 1 è elemento neutro.Vediamo ora cosa succede con lo zero

0 ripetuto 3 volte dà 0, .poiché per definizione di prodotto è: 0+0+0=0.Quindi,

0 x 3 = 0 ,ma per la proprietà commutativa si ha: 3 x 0=0 x 3 =0 quindi anche

3 ripetuto 0 volte dà 0 .

Osserviamo:

Se uno dei fattori è 0 il prodotto è 0. Se il prodotto è uguale a 0 almeno uno dei fattori è 0.

Ciò che è scritto sopra si chiama legge di annullamento del prodotto.

La Sottrazione

Ho fatto 6 passi sulla retta, ma decido di tornare indietro di 3. In che posizione mi trovo?

0 3 6

Il tornare indietro corrisponde ad una nuova operazione la sottrazione -.

Rappresentazione della sottrazione: b=3

a, b minuendo, sottraendo

c differenza

1. a=6 c=3

Cosa succede se dal punto 6 voglio tornare indietro di 8 passi cioè

6 - 8 = ?

? 0 1 2 3 4 5 6

Cosa c’è oltre lo 0? Sulla sinistra dello 0 non ci sono numeri naturali. Dunque in questo caso si va fuori dai numeri che stiamo trattando.Per a maggiore di b è possibile definire una nuova operazione in N la sottrazione a - b = c con c in N.

Rifletti utilizzando la retta. Vale la commutativa? 3 - 5 = 5 - 3?Vale l’associativa? (3 - 2) - 1 = 3 - (2 - 1)?

Per questa operazione vale una proprietà importante: la proprietà invariantiva.La differenza di due numeri non cambia se si aggiunge o se si toglie ad entrambi gli operandi uno stesso numero.

15 -7 = (15 + 5) - (7 + 5) = 20 - 12 = 837 - 24 = (37 - 7) - (24 -7) = 30 - 17 = 1337 - 19 = (37 + 1) - (19 + 1) = 38 - 20 = 18

Osserva come è più semplice svolgere i calcoli.

ESERCIZI:

Minuendo

- sottrazione

Differenza

Sottraendo

1. Vale la distributiva del prodotto rispetto alla differenza? Cioè, sono corrette le seguenti uguaglianze?

5 x (23 -12) = 5 x 23 - 5 x 12 (23 - 12) x 5 = 23 x 5 - 12 x 5 5 x (3 - 2) = 5 x 3 - 5 x 2

Prova sulla retta.

2. Costruisci la tabella della sottrazione

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789

Hai potuto riempire tutta le caselle? Perché?Osserva la colonna in corrispondenza dello 0, che cosa vedi? Motiva la risposta.Osserva la diagonale cosa vedi? Motiva la risposta.Analizza la tabella per diagonali, che cosa vedi? Motiva la risposta.Analizza per righe e per colonne, che cosa noti? Motiva.

La Divisione

Infine la divisione, un operazione abbastanza complessa! Riflettiamo insieme.

“ Di quanti tavoli hai bisogno per accogliere 20 commensali , sapendo che ogni tavolo dispone di 4 posti?”Accomoda 4 persone al primo tavolo; rimangono 20 – 4 = 16 commensaliaccomoda 4 persone al secondo tavolo; rimangono 16 – 4 = 12 commensali……………………………………………………………………………………Dopo 5 di questi passi hai accomodato tutte le persone , occupando 5 tavoli.

E’ possibile quindi definire una nuova operazione , la divisione , eseguendo sottrazioni successive.La divisione associa a due numeri naturali il loro quoziente .

Rappresentazione della divisione.

a: dividendo b = 4 b: divisore c: quoziente

a = 20 c = 5 Osserva che solo nel caso in cui il divisore sia contenuto un numero esatto di volte nel dividendo l’operazione è possibile all’interno dell’insieme!

Le seguenti divisioni, ad esempio:

3 : 2 11 : 3 (caramelle - bimbi)non hanno un quoziente intero.

Esiste una “relazione” tra moltiplicazione e divisione, come ben sai.Se 20 : 4 = 5 allora 20 = 5 x 4

e in forma più astratta

Se a : b = c allora a = b x c con a, b, c numeri interi e positivi

E’ allora evidente che il divisore deve essere diverso da 0.

Infatti volendo calcolare 13 : 0 sarebbe impossibile individuare un numero ( ? ) tale che

( ? ) x 0 = 13

Rifletti con calma quando ti si presenta questa eventualità: spesso infatti lo studente scrive

13 : 0 = 0

Se vuoi, puoi anche pensare che è proprio impossibile dividere 13 caramelle se non ci sono bambini (0 bambini) a cui distribuirle!

La divisione gode della proprietà invariantiva

Moltiplicando o dividendo (qualora sia possibile) per uno stesso numero diverso da 0, dividendo e divisore, il quoziente non cambia.

a : b = (a x c) : (b x c) b ≠ 0 , c 0 a, b, c naturalia : b = (a : c) : (b : c) devono essere possibili a : c e b : c

divisore

DIVISIONEquozientedividendo

Questa proprietà può agevolare il calcolo mentale: è più rapido calcolare

1600 : 200 o 16 : 2 ?

Senz’altro 16 : 2! (è bastato dividere sia 1600 che 200 per 100 ).

La divisione gode anche della proprietà distributiva destra rispetto a somma e sottrazione, che possiamo esprimere formalmente nel modo seguente:

(a + b) : c = (a : c) + (b : c)(a - b) : c = (a : c) - (b : c) c ≠ 0 a , b , c naturali

Naturalmente devono essere possibili tutte le divisioni indicate.

ESEMPIO:

(20 +12) :2 = ( 20 : 2 ) + ( 12 : 2 ) = 10 + 6 = 16

Guarda infatti questa rappresentazione grafica

( 2 0 + 1 2 ) : 2

Prova, utilizzando la proprietà distributiva a calcolare in modo “alternativo”

1235 : 5 = 9369 : 9 =

E LO ZERO ?

: 2

Se il dividendo è 0, es. 0 : 13, il risultato è 0

0 : 13 = 0 0 : a = 0 se a 0

dividendo

Infatti 13 x 0 = 0 quoziente

Se il divisore è 0 (es. 5 : 0) si è già visto che l’operazione è impossibile

a : 0 = impossibile a 0

Se dividendo e divisore sono nulli, cioè se devo calcolare 0:0, osservo che ogni numero naturale può essere il quoziente. Infatti qualunque numero moltiplicato per 0 da come prodotto 0.

a x 0 = 0

Diciamo in tal caso che l’operazione è indeterminata.

ESERCIZI:

1. Ad un agente segreto viene assegnato il seguente numero di codice

723612621

e gli viene chiesto di memorizzarlo. Poiché il numero è composto da più cifre l’agente cerca e trova una legge che“ lega“ le cifre. Pensaci anche tu ( basterà raggruppare le cifre).

2. Una ninfea cresce nel lago Aleikon. Ogni giorno raddoppia la sua estensione e in 100 giorni ricopre per intero il lago. Quanti giorni ha impiegato a coprire metà lago? (una semplice divisione ti aiuterà!)

3. Completa la seguente tabella

: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5

6

7

8

9

Osserva: tutte le caselle sono occupate? La tabella è simmetrica rispetto alla diagonale? Casa puoi dedurne? Esiste un elemento neutro?

4. Mario ha il triplo dell’età di suo figlio Luca e questi il doppio dell’età del fratello Marco. Sapendo che Mario ha 48 anni , trova l’età dei componenti della famiglia.

5. Musica e matematica...La scienza dei numeri e l’arte dei suoni sono strettamente collegate. Pitagora fu il primo ad intuirlo: scoprì la scala musicale delle sette note e trovò che le frequenze di due note distanti tra loro 1/8 sono l’una il doppio dell’altra.Per esempio, il “la centrale” nel pianoforte ha frequenza 440 Hz, il “la” 1/8 sopra ha frequenza 880 Hz. E il “la” 1/8 sotto?

6. Vale la proprietà associativa per la divisione?

Ancora Divisioni.....

Come si può eseguire la seguente divisione?

21 : 4 =

Sappiamo che non esiste nessun numero naturale che moltiplicato per 4 dia come prodotto 21.Sappiamo però che

….. , 4 x 4 = 16 , 4 x 5 = 20 < 21 , 4 x 6 = 24 > 21 , ……

Quindi il numero naturale maggiore che, moltiplicato per 4 , dà come prodotto un numero minore di 21 è 5.

Affermiamo allora che 5 è il quoziente approssimato della divisione 21 : 4

Poiché 5 x 4 = 20 < 21 possiamo calcolare la differenza

21 – 20 = 21 – 4 x 5 = 1

Che si chiama resto della divisione.

Quindi:

dividendo = divisore x quoziente + resto

O anche

Resto = dividendo - divisore x quoziente

ESERCIZI:

1. Scrivi una divisione non esatta che abbia come quoziente 7 e resto 5.Quante divisioni puoi scrivere di questo tipo?

2. Determina il resto di

3885 : 44 8271 : 192 9274 : 251

Leggi l’esempio e poi esegui i calcoli con la calcolatrice

Esempio: con la calcolatrice non riesci a vedere subito il resto di una divisione non esatta.Se fai 993 : 24 la calcolatrice ti dà 41,375.41 è dunque il quoziente e poiché resto = dividendo - quoziente x divisore allora r = 993 - (41 x 24) = 9

3. Sapendo che

79 : 8 = 9 con resto 7

qual è il resto di (79 x 5) : (8 x 5)?

e di (79 x3) : (8 x 3)?

4. Sapendo che 388 : 72 = 5 con resto 2

qual è il resto di (388 : 4) : (72 : 4)?

e di (388 : 2) : (72 : 2)?

Cosa puoi dedurre?

5. Se tu dividi un numero per 4 quali possono essere i resti della divisione?

Fai dieci prove su numeri interi consecutivi a partire da 12.

Cosa dici di quei numeri che divisi per 4 danno resto zero?

Fai la stessa cosa prendendo come divisori prima 3 e poi 5.

PAROLE

In linguaggio naturale, dividendo è un gerundio ed ha il significato di quantità da dividere , mentre divisore è colui che divide . Nota quindi l’analogia con il significato matematico dei due termini.

Numeri Primi

Osserviamo che fra i numeri naturali , ce ne sono alcuni quali 2, 3, 5, 7… che sono divisibili solo per se stessi e per 1.Sono numeri “particolari” che definiamo primi.

Un numero maggiore di 1 che ha per divisori solo 1 e se stesso si dice numero primo.

Gli altri si chiameranno numeri composti.

Da circa un secolo il numero 1 non viene più considerato come primo: tale convenzione è stata adottata, principalmente per non contraddire un fondamentale teorema (che esamineremo in seguito) che riguarda l’unicità della scomposizione di un numero in fattori primi.

Come individuare i numeri primi?

Usiamo un metodo detto crivello di Eratostene dal nome di un matematico greco, vissuto intorno al 200 a.C., che lo ideò.Tale metodo consiste nello scrivere tutti i numeri naturali maggiori di 1 e minore nel numero fissato e nel cancellare successivamente i multipli di 2, escluso 2,

i multipli di 3, escluso 3, i multipli di 5, escluso 5, i multipli di 7, escluso 7, e così via.

In questo modo risultano setacciati in N tutti i numeri che non sono primi.Individuiamo i numeri primi compresi fra 2 e 100

I numeri primi sono però infiniti (lo asseriva Euclide già nel 300 a.C.) e benché siano stati oggetto fin dall’antichità, di grande attenzione nessun matematico è riuscito ad interpretare l’intricata logica con cui si succedono. Fino ad oggi…

E’ recente infatti la notizia che tre matematici indiani abbiano individuato un veloce algoritmo informatico in grado di determinare con sicurezza se un numero è primo o no . Da un punto di vista pratico, se confermata, la notizia sarebbe tutt’altro che irrilevante perché (strano ma vero!) i numeri primi sono strettamente collegati alle tecniche di crittografia per la protezione di dati riservati.Nell’attesa,… gioca con noi!

ESERCIZI:

1. Sai individuare una proprietà che accomuna i seguenti numeri primi?

3, 67, 523, 673

2. Calcola 1² + 1 + 41 = 2² + 2 + 41 = 3³ + 3 + 41 =…

Che numeri ottieni? La formula di Eulero

n² + n + 41 n numero intero positivo

ti consente di “costruire” numeri primi. Scrivine dieci usando la formula.

3. La somma e il prodotto di numeri primi sono anch’essi primi? Fai diversi esempi prima di rispondere.

4. Scegli un numero pari (maggiore di 2) e fai vedere che è la somma di due numeri primi.

Es: 48 = 31 + 17 , 34 = 29 + 5.

5. Scegli un numero (maggiore di uno) e raddoppialo. Fra il numero e il suo doppio esiste un numero primo: trovalo!

Es.

Se il numero è 222 e il doppio 444 il numero primo fra essi compreso è 307 Fra 5 e il suo doppio 10, il numero primo è 7.

6. Scegli un numero dispari (maggiore di 5) e fai vedere che è la somma di tre numeri primi.

Es.

9 = 1 + 3 + 5 55 = 5 + 19 + 31

7. Due numeri primi che differiscono per due unità si dicono numeri primi gemelli es. 3 e 5, 11 e 13. Sono infiniti: trovane alcuni.

(Le affermazioni contenute negli esercizi 6 e 7 sono a tutt’oggi in attesa di dimostrazione in ambito matematico)

I criteri di divisibilità

Esistono, come senz’altro ricorderai dalla SCUOLA MEDIA, semplici criteri (o regole) che consentono di stabilire in alcuni casi, se la divisione tra due numeri naturali sia o no possibile in N senza doverla eseguire.Rivediamoli insieme.

Partiamo dall’osservazione che ogni numero pari è divisibile per 2.Infatti:2 = 2 x 14 = 2 x 26 = 2 x 38 = 2 x 4...Questo significa che:

Ogni numero è divisibile x 2 se è pari CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 2

O anche:Ogni numero pari ha 2 come divisore.

“Divisibile” indica la proprietà di un certo numero di essere diviso esattamente per un altro, “divisore” indica la proprietà di un certo numero di dividere esattamente un altro.

Osserva ora questa tabella a cui, volendo, si possono aggiungere altre righe.

Noti certamente che a colonne di numeri dispari si alternano colonne di numeri pari.

Prova a dividere per 5 i numeri indicati: osserverai che solo quelli evidenziati nelle colonne colorate consentono la divisione in N. Quindi solo

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

hanno 5 come divisore.

Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra e 0 o 5 CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 5

Soffermiamoci ancora un po’.

I numeri 10, 20, 30, 40, 50

sono pari (e quindi divisibili anche per 2, oltre che per 5). Sono pertanto divisibili anche per 10=2 x 5.Possiamo allora enunciare quanto segue:

Un numero è divisibile per 10 se l’ultima cifra è 0 CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 10.

Osserva infine la seguente tabella:

Tutti i numeri divisibili per 3 e compresi fra 1 e 100 sono stati evidenziati.Considera in particolari quelli nelle caselle gialle. Sommando le cifre osserviamo che il risultato è sempre 3.La somma delle cifre dei numeri nelle caselle rosse è sempre sei.La somma delle cifre dei numeri nelle caselle verdi è sempre .....La somma delle cifre dei numeri nelle caselle arancione è sempre .....La somma delle cifre dei numeri nelle caselle azzurre è sempre .....e così via.Il lavoro precedente consente di stabilire che

Un numero è divisibile per 3 se lo è la somma delle sue cifre CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 3.

ESERCIZI:

1. Trova tutte le possibili cifre che si possono sostituire alla lettera a perché il numero che si ottiene sia divisibile per 3: 5a7a

2. Sei invitato a trovare il numero delle mele di un cesto sapendo che è compreso fra 50 e 60 e che:se conti le mele a 2 a 2 ne avanza 1;se conti le mele a 3 a 3 ne avanzano 2;se conti le mele a 5 a 5 ne avanzano 3.

3. Ad una signora viene chiesta l’età. Risponde: la mia età è compresa fra i 20 e i 30 anni e se dividete il numero dei miei anni per 4 e per 5 avanza sempre 3.Sai trovare l’età di quella signora?

4. Pierino ha riempito un sacchetto di noci e agli amici curiosi dice: qui ci sono più di 100 noci e meno di 150.Se voi ne fate mucchietti di 2, di 3, di 5 avanza sempre un noce.Se ne volete mangiare trovate quante sono.

5. Ad un pastore viene chiesto quante pecore possiede. Risponde che il loro numero è compreso tra 450 e 500 e che se le conta a 4 a 4, a 5 a 5, o a 6 a 6 ne avanza sempre 3.Chi sa trovare il numero delle pecore di quel pastore?

6. Verifica che i seguenti numeri sono divisibili per 4:

128 144 516 532 900

Considera le ultime due cifre di ogni numero; esse sono o due zeri o un multiplo di 4.Quindi un numero è divisibile per 4 se....

7. Lo zio Taccagni ha ritirato le monete in una cassaforte il cui codice è un numero di sei cifre. Taccagni è oggi molto nervoso perchè ha dimenticato il codice. Per fortuna si ricorda che questo numero comprende tutte le sei cifre da 1 a 6, che il numero formato dalle prime due cifre è divisibile per 2 quello formato dalle prime tre e divisibile per 3, fino al numero formato dalle sei che è divisibile per 6. Qual’è il numero?

Divisori

Ma quanti divisori ha un numero naturale?Proviamo con il 36.36 è pari quindi divisibile per 2.La somma delle cifre è 9, quindi è anche divisibile per 3.Allora anche 2 x 3 è un divisore.

Abbiamo trovato che 2, 3, 6 sono divisori. Saranno tutti? 4 è un divisore di 36 (36 : 4= 9) così come lo è 4 x 3 = 12.

9 è un divisore di 36 (36 : 9 = 4) così come lo è 9 x 2 =18.

Infine 36 e 1 sono divisori. Riassumendo

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36sono tutti i divisori di 36.

Nella tabella sono elencati: divisori dei primi 13 numeri naturali.

Ogni elemento esaminato ha un numero limitato di divisori.Questo avviene per ogni naturale: spiega perchè.

ESERCIZI:

1. Un numero n viene chiamato perfetto quando è uguale alla somma dei suoi divisori, minori di n.Verifica che 6, 28, 496 soddisfano la condizione di numeri perfetti.

2. Secondo Pitagora i numeri 220 e 284 dovevano essere considerati “numeri amici” perchè la somma di tutti i divisori di 220 (escluso 220) è uguale a 284 e la somma di tutti i divisori di 284 (escluso 284) è uguale 220. Verificato.

3. Considera tutti i numeri naturali compresi fra 1 e 20.Con questi elementi completa la seguente tabella.

4. Spiega perchè il numero 324 è divisibile per 2, 3, 4, 6, 9, 12 e 18. Scrivi i numeri che ottieni da 324 scambiando di posto le sue cifre in tutti i modi possibili.Quali dei numeri ottenuti hanno gli stessi divisori di 324?(Ricorri ai diagrammi)

è multiplodi 3

non è multiplo di 3

è numero pari

è numero dispari

Potenze

Eccoci ad un’altra operazione definita sui numeri interi e positivi.Supponi di dover moltiplicare due o più fattori uguali fra di loro, ad esempio

3 x 3 x 3 x 3 x 3

è più comodo ricorrere ad una scrittura più sintetica: nel caso specifico

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

Possiamo definire l’elevamento a potenza come l’operazione che associa a due numeri

a (base) e n (esponente)

un terzo numero an

che è il prodotto di n fattori tutti uguali ad a.

an = a x a x a x a x a x a x ….x a n volte n > 0.

5

3

Osserva che l’operazione è chiusa, cioè a due numeri interi e positivi associa un numero intero e positivo.

Le potenze offrono l’opportunità non indifferente di esprimere in modo agevole “grandi numeri”.Rifletti su questa strana richiesta.

L’attendente di Napoleone reclutava soldati per l’esercito: ad ogni cittadino che si presentava chiedeva quanto pretendesse come stipendio mensile e, se la cifra era ragionevole, lo arruolava,

base

esponente

potenza uscita 35

altrimenti lo scartava. Quando toccò a Jean Paul, questi dichiarò di accontentarsi di 2 centesimi per il primo giorno e, ogni giorno, del doppio del giorno precedente, fino alla fine del mese.Facciamo un po’ di conti:

2 il primo giorno2 x 2 = 22 il secondo 2° giorno2 x 2 x 2 = 23 il terzo 3° giorno....230 il trentesimo 30° giorno

230 = 1.073.700.000

Osserva che la cifra richiesta più sinteticamente sotto la forma di potenza.Hai l’impressione che Jean Paul sia stato arruolato?

Spesso in ambito scientifico, si utilizza una notazione esponenziale che coinvolge le potenze del 10. Osserviamo che:

101 = 10102 = 100103 = 1000....Quando pensiamo ad esempio alla velocità maggiore finora conosciuta, quella della luce nel vuoto pari a

300.000.000 m/s (trecento milioni di metri al secondo)

ti renderai conto che scriverla così

300.000.000 = 3 x 100.000.000 = 3 x 108

rappresenta una facilitazione.

In ambito astronomico, per esempio, possiamo trovare questi dati:

Saturno: distanza massima dal Sole: 1.507 x 106

Urano: distanza massima dal Sole: 3.004 x 106

Nettuno: distanza massima dal Sole: 4.537 x 106

Plutone: distanza massima dal Sole: 7.375 x 106

Venere: distanza massima dal Sole: 109 x 106

Sai stabilire quale è il pianeta più vicino al Sole?

Torniamo un attimo con i piedi per “Terra” per osservare che l’operazione di elevamento a potenza

non gode della proprietà commutativa.

Pensaci un po’:

sei più soddisfatto se il voto del tuo compito di matematica è 32 (=9), anziché 23 (=8)!

E la proprietà associativa? Proviamo:

( 23 )2 = ( 8 )2 = 64

ma

( 2 )( 9) = 512

Quindi l’elevamento a potenza non gode della proprietà associativa.

Le Proprietà

Quali sono allora le proprietà di cui gode questa operazione?Ritornando alla definizione, osserviamo che se dovessimo eseguire il prodotto

35 x 32

basterebbe ricordare che

35 x 32= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 37

Si può trovare una relazione fra il nuovo esponente ed il precedente? 7 = 5+2

Il prodotto di due potenze di base uguale è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.an x am = a n+m a,n,m numeri interi positivi

Se occorre determinare il quoziente

35/33

si osserva che

35/33 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3) : (3 x 3 x 3) = (3 : 3) x (3 : 3) x (3 : 3)x 3 x 3 = 1 x 1 x 1 x 3 x 3 = 32

Il quoziente di due potenze di base uguale è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza tra l’esponente del dividendo e quello del divisore.

an/am = a n-m a,n,m numeri interi positivi n>m a≠0

Esempio: Se la tua classe, di 27 allievi, decide di realizzare 13 al totocalcio, quante colonne dovrebbe giocare ognuno di voi?Puoi senz’altro provare a calcolare 1.594.323/27 ( per determinare questo valore, vedi es. 5 ) ma forse è più agevole osservare che 27 = 33 e quindi 313/33 = 310 = 59.049Ancora costoso vero?

Proviamo ora a calcolare 5

( 3 4 )

Osserviamo che equivale a calcolare 3 4 x 3 4 x 3 4 x 3 4 x 3 4 =( 3x3x3x3 ) x ( 3x3x3x3 ) x ( 3x3x3x3 ) x ( 3x3x3x3 ) x ( 3x3x3x3 ) = 3 20

La potenza di una potenza è una potenza di uguale base avente come esponente il prodotto degli esponenti. m ( a n ) = a ( nxm) a,n,m numeri naturali positivi

Ora consideriamo il prodotto23 x 53 == 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) = (2 x 5) 3 = 103

Il prodotto di due potenze di uguale esponente è potenza di uguale esponente avente per base il prodotto delle basi.

an x bn = (a x b) n a,b,n numeri interi positivi

Osserva la seguente figura:

Vuoi provare a confrontare l’area del quadrato maggiore con quella del triangolo minore (in bianco)?

Rifletti :Q1 = 2 x Q2 = 2 x 2 x Q3 = 2 x 2 x 2 x Q4Q1 = 23 x QQ1 = 23 x 4 x T1 = 23 x 4 x 4 x T2 =23 x 4 x4 x 4 x T3Q1 = 23 x 43 x T3 = 83 x T3

Infine consideriamo il quoziente

154/54 = (15 x 15 x 15 x 15)/85 x 5 x 5 x 5) = (15/5) x (15/5) x (15/5) x (15/5) = 34

Il quoziente di due potenze aventi uguale esponente è una potenza di uguale esponente avente per base il quoziente delle basi.

an/bn = (a/b)n a, b, n numeri naturali b≠0

E lo zero?

Se la base è 0, e l’esponente positivo, es:

02 = 0 x 0 = 0

puoi facilmente vedere che il risultato è 0.

E se l’esponente è 0, e la base positiva? Riflettiamo:50

La definizione ci aiuta davvero poco!! Osserviamo però che possiamo scrivere

50 = 5 (3-3) = 53/53 =1

Quindi attribuiamo valore 1 alle potenze di esponente 0 e base diversa a 0

E 00?

Per il momento ci limitiamo a dire che non diamo significato a questa potenza.

Esercizi

1. Un re di Persia del VI secolo d.c. era così appassionato agli scacchi che chiese all’inventore del gioco, Sessa, quale dono avrebbe gradito.Sessa rispose che voleva del grano e precisamente1 chicco per la prima casella 2 chicchi per la seconda4 chicchi per la terza

. . . Le caselle sono 64. Quanto grano servirà mai?

2. Ci sono sette case, in ciascuna di esse ci sono sette gatti, ciascuno dei quali mangia sette topi, ciascuno dei quali ha mangiato sette spighe di grano, ciascuna delle quali avrebbe prodotto sette misure di grano.Quante sarebbero state in tutto le misure di grano che si potevano produrre dalle spighe mangiate dai topi? ( Quesito posto nel papiro di Rhind datato tra il 2000 e il 1800 a.c. )

3. Per una strada che andava a Camogli, incontrai un uomo con sette mogli, ciascuna moglie aveva sette sacchi, ciascuna sacca aveva sette gatti,ciascun gatto aveva sette gattini. Tra persone e felini in quanti andavano a Camogli?

4. Il paramecio è un protozoo che si moltiplica per scissione diretta, cioè da ogni individuo se ne formano due. Se si considera un paramecio nelle condizioni ambientali favorevoli, quanti parameci ci saranno dopo la sesta suddivisione?

5. Parliamo un po’ di totocalcio.I risultati che si possono verificare per ogni partita sono tre :1,X,2. Se vuoi indovinare un risultato sicuro dovrai quindi giocare 3 colonne, se ne vuoi indovinare due, dovrai giocare 3 x 3 = 32 colonne, se ne vuoi indovinare tre dovrai giocare 3 x 3 x 3 = 33 colonne.

Quante colonne dovrai giocare per essere sicuro di totalizzare un tredici?

6. Gli extraterrestri? Esistono anche se noi non li incontreremo mai, In un intervento a Bologna il prof. Macchetto, astronomo di fama internazionale, ha sostenuto che, statisticamente parlando, gli extraterrestri esistono davvero. Premesso infatti che una galassia media contiene miliardi di stelle e che nell’universo ci sono, a dir poco, 100 miliardi di galassie, sarebbe strano, per non dire impossibile che il nostro pianeta fosse l’unico ad essere abitato.

La speranza di trovare un extraterrestre in buona salute è legata alla possibilità di trovare un pianeta che ruoti ad una distanza tale dalla sua stella da consentire la nascita di una quale forma di vita. Si conoscono 9 pianeti al di là del sistema solare: il più vicino ruota intorno alla stella Epsilon Eridani posta a circa 10 anni luce da noi. Un po’ distante vero? Sai calcolare quanto vale un anno luce, cioè lo spazio percorso dalla luce in un anno?

V = 3 x 108 m/sIn un ora ci sono 3600 secondiIn un giorno 3600 x 24 = 86400In un anno 86400 x 365 = 31536000 = 31536 x 103

Perciò, utilizzando la formula s = v x t s: spazio, v: velocità , t : temposi avrà:

s = v x t = 3 x 108 m/s x 31536 x 103 s = 94608 x 1011 m

cioè un valore superiore a 9460 miliardi di chilometri!!!

Scomposizione in fattori M.C.D, m.c.m

Consideriamo il seguente problema: si deve recintare con rete metallica un campo rettangolare di dimensione 30m per 24m. A quale distanza si devono mettere i paletti se si vuole che siano a distanza costante e che ci sia un paletto ad ogni angolo ? Attenzione, i paletti hanno un costo elevato e noi vogliamo risparmiare.La risposta più immediata forse sarà: un paletto ogni metro, che soddisfa la richiesta della distanza ma il costo risulta molto elevato.Questa risposta scaturisce dal fatto che sicuramente 1 è divisore di 30 e 24. Ci chiediamo: ci sarà un divisore più grande, comune ad entrambi?Per rispondere a questa domanda non ci resta che cercare i divisori di 30 e 24

30 divisori 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 3024 divisori 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Da una analisi comparativa dei valori vediamo che 6 è il più grande divisore comune e quindi se mettiamo un paletto ogni 6m otteniamo quanto richiesto.Ma attenzione, cosa hai fatto per ottenere i divisori? Forse sei andato per tentativi con il timore di averne dimenticato qualcuno. Ecco allora una metodologia che sarà utile per trovare i divisori anche in altre occasioni.

Scomponiamo il numero in fattori per cui:

30 = 2 x 15 o 30 = 3 x 10 o 30= 5 x 6 ecc....

Come puoi osservare non c’è un unico modo di scomporre 30.Ma attenzione, se consideriamo i fattori primi, allora:

In questo caso esiste un unico modo che puoi ottenere agevolmente usando uno dei due schemi qui sotto riportati:

30 = 2 x 3 x 5

Quello che abbiamo determinato per risolvere il nostro problema è il M.C.D. (massimo comune divisore) tra 30, 24. cioè il più grande dei divisori comuni.La strada percorsa per risolvere il problema è stata un pò lunga.Formuliamo adesso una regola pratica per determinare il M.C.D. di due o più numeri.

1. Si scompongono i numeri in fattori primi.2. Si costruisce il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta, con il minimo esponente

Consideriamo un nuovo problema in cui la scomposizione in fattori primi è fondamentale.Dei tre fornitori di un ristorante il primo passa ogni 2 giorni, il secondo passa ogni 3, il terzo passa ogni 4 giorni.Se si incontrano il 3 di Marzo quando si incontreranno di nuovo?Per rispondere a questa domanda non ci resta che determinare i multipli rispettivamente di 2, 3, 4

multipli di 2 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,... multipli di 3 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,.........................

M.C.D. (30 , 24) = 2 x 3 = 6

multipli di 4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,.............................

Quanti sono i multipli di un numero?Da un’analisi comparativa si può assumere che il primo multiplo comune è 12. Cosa vuol dire rispetto al nostro problema? Se costruiamo un grafico, riportando la frequenza di ciascun fornitore, otteniamo:

Il 15 Marzo si incontreranno di nuovo.

3 + 12 = 15

Anche per questo problema esaminiamo il procedimento generale.Abbiamo innanzitutto determinato i multipli di 2, 3, 4, poi abbiamo considerato il più piccolo tra i multipli comuni; quello che in matematica prende il nome di m.c.m. (minino comune multiplo).Anche in questo caso vediamo adesso la regola grafica per determinare il m.c.m.

1. Si scompongono in fattori primi

2 3 4

2 2

2=2 3=3 4=22

2. Si costruisce il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente

Allenati nella scomposizione in fattori primi e sul M.C.D. e m.c.m., poichè saranno strumenti importanti anche quando tratteremo il calcolo con le frazioni.

m.c.m. (2, 3, 4) = 2² x 3 = 12

Espressioni

Precedentemente abbiamo esaminato le operazioni in N e le loro proprietà. Ora possiamo vedere che,eseguendo una o più operazioni ,possiamo risolvere dei semplici problemi, come ad esempio il seguente:Mario, Enzo e Paolo collezionano francobolli sia dei paesi europei che extra-europei.

1. Mario ha 105 francobolli, di cui 31 sono di paesi extra-europei2. Enzo ha 74 francobolli, con 5 extra-europei in meno rispetto a quelli (extra-europei) di

Mario.3. Paolo ha il doppio dei francobolli di Mario; di questi 56 sono extra-europei.

Quanti sono in tutto i francobolli europei delle tre collezioni?

Risolviamo il problema per passi:

1. i francobolli europei di Mario sono 105 – 312. i francobolli europei di Enzo sono 74 – (31 – 5)

Fai attenzione, prima devi togliere 5 a 31 (ottenendo così il numero dei francobolli extra-europei) poi togliere a 74 il risultato della prima sottrazione.

3. i francobolli europei di Paolo sono: (2 x 105) – 56

Fai attenzione, prima devi moltiplicare 105 x 2 (ottenendo così il numero totale dei francobolli), poi togliere 56 al risultato della moltiplicazione.

A questo punto, il numero totale di francobolli europei sarà quindi:

(105 – 31) + [74 – (31 – 5)] + [(2 x 105) – 56]

Quello che si ottiene è un’espressione aritmetica. Ora risolviamo:

(105 – 31) + [74 – (31 – 5)] + [(2 x 105) – 56]=74 + [74 – 26] + [210 – 56]=74 + 48 + 154= 276 che è il numero dei francobolli europei presenti nelle collezioni.

Ti sei reso conto che:un’espressione aritmetica consiste in una serie di operazioni da eseguire non a caso ma in un ordine, determinato da alcune regole.L’ordine di esecuzione è condizionato dalle parentesi e dalla gerarchia delle operazioni , infatti alcune operazioni vanno eseguite prima di altre.

Le parentesi sono di tre tipi:

parentesi tonde ( )parentesi quadre [ ]parentesi graffe { }

Esaminiamo ora le regole per risolvere un’espressione:

1. se non ci sono parentesi, si eseguono prima potenze e poi moltiplicazioni e divisioni nell’ordine da sinistra a destra, poi addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine da sinistra a destra (è semplice da ricordare perchè è il modo in cui scrivi, cioè proprio da sinistra a destra.)

2. se ci sono parentesi , si eseguono prima le operazioni indicate tra parentesi tonde, poi quelle tra parentesi quadre e infine quelle tra parentesi graffe. Una volta calcolato il valore all’interno di una coppia di parentesi, le parentesi stesse vanno eliminate.

3. fai attenzione ai seguenti esempi:

12+7-10+14-9= Addizione e sottrazione si 19-10+14-9= eseguono nell’ordine in cui sono scritte

9+14-9=23-9=14

48:6x3:4=8x3:4=24:4=6

2 x 3 : 6= 2x9 :6 =18:6= 3

8+4x3-15:3=8+12-5= 20-5=15

8-(15-12)+(6+16:4)=8-3+(6+4)=8-3+10=5+10=15

Moltiplicazioni e divisioni si eseguono nell’ordine in cui sono scritte.

Prima moltiplicazioni e divisioni. Poi addizione e sottrazione nell’ordine in cui sono scritte.

Si opera nelle parentesi tonde. Una volta calcolato il valore tra le parentesi, queste si eliminano.

Prima esegui la potenza, poi moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui sono scritte.

15-(6-3+5x2)x6:(12:4)=15-(6-3+10)x6:3=15-13x6:3=2x6:3=12:3=4

ESERCIZI: (Risolvi con un’espressione)

1. La mamma di Mario acquista 3 camicie da 20 € ciascuna, 5 paia di calze da 3 € al paio e 2 maglioni. Complessivamente spende 157 €. Quanto è costato ogni maglione?

2. Metti al posto giusto le parentesi in modo che l’espressione:

1750 x 40 – 40000 + 425 x 40 + 1500 diventi la soluzione del seguente problema : Il padre di Antonio ha comprato un appartamento di 40 m² per 40000 euro. Spende poi 425 euro al metro quadro per ristrutturarlo e 1500 euro per tinteggiarlo. Lo rivende infine a 1750 euro al metro quadro. Quanto ha guadagnato?

NUMERI INTERI RELATIVI

“ Il relitto è stato trovato a 40 metri sotto il livello del mare ““ La temperatura è scesa a 5 gradi sotto lo zero ““ Il mio conto in banca è andato in rosso ““ 65 milioni di anni fa eravamo nell’era cenozoica “…………Si possono fare numerosi altri esempi in cui puoi notare che risulta necessario introdurre nuovi numeri per studiare situazioni del tipo “ sotto/sopra “, “ debito/credito “ , “ prima/dopo “.

Considera le seguenti situazioni :

a)In un estratto conto bancario , nei movimenti contabili compaiono 4 colonne : Data,Valuta , Importo euro , Descrizione dell’operazione :

Data Valuta Importo Euro Operazione130,00- Assegno1360,00+ Stipendio69,00- Prelev.Bancomat882,00- Assegno463,00+ Bonifico

Prima si opera nelle parentesi tonde, poi nelle quadre, infine nelle graffe.

Se osservi la terza colonna vedi che alcuni numeri sono seguiti dal segno + , altri dal segno - .Se leggi la descrizione dell’operazione relativa ad un numero con il segno + puoi notare che questa è stipendio oppure bonifico ; il numero riportato è un accredito che viene fatto sul conto , cioè una quantità da aggiungere al conto . Se invece leggi la descrizione dell’operazione relativa ad un numero con il segno - , puoi notare che abbiamo un assegno o un prelevamento bancomat , cioè il numero riportato è un addebito che viene fatto sul conto , cioè una quantità da sottrarre al conto. Può accadere che “il conto va in rosso “ , cioè è stato prelevato più denaro di quello disponibile . Come determinare di quanto siamo andati “in rosso “?

b)Un termometro segna una temperatura di 4 gradi sopra lo zero : 4°C. Poi la temperatura scende di 6°C . Quale sarà la nuova temperatura indicata dal termometro?Osserva la figura:

La situazione in essa rappresentata si può tradurre con l’operazione 4-6 e il problema diventa quello di associare a tale operazione un risultato.Nell’insieme N dei numeri naturali questa operazione non è possibile, come puoi vedere nella figura:

?0 1 2 3 4 5

Ti ricorderai che , in generale, ai termini dell’operazione a-b=c assegnamo sulla retta numerica il seguente significato: a indica il punto di partenza il segno – indica uno spostamento in senso opposto all’orientamento della retta (quindi verso

sinistra) b indica le unità di tale spostamento c rappresenta il punto di arrivo (risultato).

Quindi puoi facilmente capire che per poter risolvere le operazioni date occorre assegnare un valore anche ai punti della retta che si trovano a sinistra dello zero. Torniamo quindi alla retta orientata:

fissata l’unità di misura , l’origine e il verso , si può osservare che ad ogni numero naturale , diverso da zero ,si possono associare due punti rispettivamente uno a destra e uno a sinistra dell’origine, raggiungibili con lo stesso numero di passi ciascuno di ampiezza uguale all’unità di misura . Per poterli distinguere stabiliamo la seguente regola (del tutto arbitraria ): si associa il segno + (positivo) ai numeri corrispondenti a punti che si trovano a destra dell’origine e il segno – (negativo) a quelli corrispondenti a punti che si trovano a sinistra dell’origine.

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

01 . .4

In questo modo abbiamo ottenuto un nuovo insieme numerico , che indicheremo con Z (dall’iniziale della parola tedesca “Zahl” che significa numero ) e che chiameremo insieme dei numeri interi relativi. E’ la stessa situazione che avresti se tu ponessi uno specchio in corrispondenza dell’origine:l’immagine dei numeri naturali verrebbe riflessa dall’altra parte dell’origine.Se ora riprendiamo il 2° problema posto siamo in grado di trovare la temperatura cercata facendo sei passi verso sinistra a partire da +4

+4

0 0 ? -2 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Come puoi vedere la temperatura cercata è dunque –2.Ogni elemento di Z , cioè ogni numero intero relativo si compone così di due parti: il segno (+ oppure -) il modulo o valore assoluto; osserva il seguente schema e la tabella successiva:

-2 -1 +1 +2 I numeri al centro sono i moduli dei rispettivi numeri a 1 destra e a sinistra dello zero. 2 N° int.relat. segno modulo

+2 + 2

-1 - 1

+5 + 5

-7 - 7

-5 - 5

Lo zero non è né positivo né negativo : è l’elemento separatore tra i numeri positivi e quelli negativi.

Per convenzione il segno + dei numeri positivi può venire sottinteso , cioè +2 = 2 , +5 = 5 , quindi i numeri positivi coincidono col loro modulo, al contrario il segno – non può mai essere sottinteso. ESERCIZI

1)Individua i seguenti numeri su una retta orientata:

-2 , +1 , -5 , +2 , +3 , -6 , +7 .

2)In quale tra le seguenti situazioni può essere necessario ricorrere ai numeri interi relativi ?

a)Per misurare la temperatura b)Per esprimere il numero dei tuoi compagni di classe c)Per confrontare attivo e passivo di un conto bancario e)Per esprimere l’anno di nascita del Faraone Ramses f)Per misurare la profondità del mare g)Per misurare l’altezza di una montagna h)Per misurare i fusi orari rispetto al meridiano di Greenwich

3) Rappresenta sulla linea orientata il risultato delle seguenti operazioni :

2-5 : 0 5-4 : 0

Due numeri interi relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno (per es. +3 e+5 , -2 e –8 ) , discordi se hanno segno diverso (-2 e+3 , +8 e –1 ) e opposti quando sono discordi e hanno lo stesso

modulo .

L’opposto del numero intero a si scrive –a. L’opposto di –a si scrive –(-a) e come vedi dall’esempio risulta essere uguale ad a . –2 -1 0 +1 +2

Come puoi confrontare due o più numeri interi relativi cioè stabilire se sono uguali o , se no ,quale è più grande ? Anche in questo caso , come per i numeri naturali , vale la stessa semplice regola :

Tra due numeri disposti sulla retta orientata il maggiore è quello che si trova più a destra.

Da quanto detto si possono dedurre altre semplici regole :

Ogni numero positivo è maggiore di qualsiasi numero negativo.

Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo.

Confronta due numeri positivi per es. +7<+10 . Che cosa puoi dire dei loro moduli ?Confronta ora due numeri negativi :-4<-2.Cosa puoi dire questa volta dei loro moduli ?

ESERCIZI

1)Individua i seguenti numeri su una retta orientata:

-2 , +1 , -5 , +2 , +3 , -6 , +7 .

2)In quale tra le seguenti situazioni può essere necessario ricorrere ai numeri interi relativi ?

a)Per misurare la temperatura b)Per esprimere il numero dei tuoi compagni di classe c)Per confrontare attivo e passivo di un conto bancario e)Per esprimere l’anno di nascita del Faraone Ramses f)Per misurare la profondità del mare g)Per misurare l’altezza di una montagna h)Per misurare i fusi orari rispetto al meridiano di Greenwich

4) Rappresenta sulla linea orientata il risultato delle seguenti operazioni :

2-5 : 0 5-4 : 0

Due numeri interi relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno (per es. +3 e+5 , -2 e –8 ) , discordi se hanno segno diverso (-2 e+3 , +8 e –1 ) e opposti quando sono discordi e hanno lo stesso

modulo .

L’opposto del numero intero a si scrive –a. L’opposto di –a si scrive –(-a) e come vedi dall’esempio risulta essere uguale ad a . –2 -1 0 +1 +2

Come puoi confrontare due o più numeri interi relativi cioè stabilire se sono uguali o , se no ,quale è più grande ? Anche in questo caso , come per i numeri naturali , vale la stessa semplice regola :

Tra due numeri disposti sulla retta orientata il maggiore è quello che si trova più a destra.

Da quanto detto si possono dedurre altre semplici regole :

Ogni numero positivo è maggiore di qualsiasi numero negativo.

Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo.

Confronta due numeri positivi per es. +7<+10 . Che cosa puoi dire dei loro moduli ?Confronta ora due numeri negativi :-4<-2.Cosa puoi dire questa volta dei loro moduli ?

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Come puoi vedere dai numeri riportati sulla retta orientata :+2>-5 , 0<+1 , 0>-3 , +4>+1 , -3>-5 (osserva che il modulo di –3 è minore del modulo di –5 ).

ESERCIZI

1) Poni tra le seguenti coppie di numeri il segno < o >

-2 -50 +1+3 -3-2 -1-4 0

2)Una pianta muore se la temperatura scende al di sotto di –3°C .A quali di queste temperature la pianta sopravvive ?

+5°C -2°C -4°C +2°C -1°C -6°C

Le parole

Il termine relativo ha , nel linguaggio naturale , il significato di qualcosa che è in relazione con altra cosa , di qualcosa che può assumere un valore diverso a seconda del punto di vista di chi la consideri ; in matematica ,si dice numero relativo un qualsiasi numero positivo o negativo; il segno è in relazione alla posizione del numero rispetto allo zero sulla retta orientata.

Il termine concorde , nel linguaggio naturale , significa che concorda , che è in accordo ; in matematica che ha lo stesso segno.

Il termine discorde , nel linguaggio naturale , significa che non è in accordo , diverso ; in matematica numeri discordi sono numeri di segno opposto.

ADDIZIONE IN Z

Analizziamo la seguente situazione:due amici (A e B) stanno facendo un gioco che si svolge in più partite e alla fine di ciascuna aggiungono i punti guadagnati (+) e/o i punti di penalità (-) al punteggio precedentemente raggiunto.Dopo la 1° partita la situazione è:

Concorrente A Concorrente B

3 punti guadagnati:+3 2 punti di penalità: -2

0 +3 -2 0

1°partita 1°partita

Nella 2° partita: A guadagna altri 4 punti B ottiene altre 3 penalità (-3)Quindi dopo la 2° partita la situazione è:

Concorrente A Concorrente B

(+3)+(+4)=+7 (-2)+(-3)=-5

0 +3 +7 -5 -2 0 1° part. 2° partita 2° part. 1° part.

Nella 3°: A ottiene 2 punti di penalità(-2) mentre B guadagna 4 punti (+4)Quindi dopo la 3° partita:

Concorrente A Concorrente B

(+7)+(-2)=+5 (-5)+(+4)=-1

0 +3 +5 +7 -5 -2 -1 0 2° part. 1° part. 1° part. 2° part. 3° part. 3° partita

Questo esempio ci permette di osservare che :*La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo concorde con gli addendi e con modulo la somma dei moduli degli addendi stessi :

(+5)+(+2)=+(5+2)=+7

(-3)+(-1)=-(3+1)=-4

Osserva che in entrambi i casi ci siamo spostati sulla retta a passi successivi, senza cambiare verso di percorrenza.

*La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente come segno il segno dell’addendo di modulo maggiore e come modulo la differenza tra i moduli degli addendi :

(-3)+(+7)=+(7-3)=+4

(-5)+(+3)=-(5-3)=-2

Osserva che per effettuare la somma, in questi casi si è cambiato verso di percorrenza.Sapresti dire a cosa è uguale la somma di due numeri opposti ?

Proprietà dell’addizione

Da quello che abbiamo appena osservato, si può dedurre che l’operazione di somma gode delle seguenti proprietà , che peraltro , sono le stesse di cui gode l’addizione tra numeri naturali,dove a, b, e c sono numeri interi relativi qualsiasi.Dato che la retta è illimitata nei due versi, abbiamo che:

*L’addizione è un’operazione interna a Z , cioè sempre possibile:per ogni a , b Z anche a+b Z.

*Proprietà commutativa:la somma di due (o più) numeri non cambia , se si cambia l’ordine degli addendi:a+b=b+a per ogni a, b Z

(+3)+(-4) =-1 -1 0 +1+2+3

(-4)+(+3) = -1-4 -3 -2 -1 0

*Proprietà associativa : se ti chiedo di fare la seguente somma : (+3)+(-8)+(+2) , vediamo come potresti procedere:a)sommi prima +3 e –8 e al risultato aggiungi +2 -8

-5 -3 0 +3 -2

il risultato finale , come puoi vedere , è –3.

b)Ora invece sommi +3 al risultato della somma (-8)+(+2) +2

-8 -6 -3 0 +3

come puoi vedere il risultato è ancora –3 , cioè :

comunque si siano “associati” gli addendi si ottiene lo stesso risultato. In generale :a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c) per ogni a , b, c Z

*Elemento neutro:il numero 0 . Sommando lo 0 ad un qualunque numero intero relativo (sia esso positivo o negativo ) , ottengo il numero stesso.

(+5)+0 = +5 0+(-3) = -3 +5 -3 0

In generale : per ogni a Z : a+0 = 0+a = a.

Le precedenti proprietà permettono notevoli semplificazioni di calcolo , cambiando l’ordine degli addendi e associandoli a piacimento , così come per i numeri naturali . Quindi per esempio , se una somma contiene addendi opposti , questi si possono eliminare perché la loro somma è 0. Se poi devo sommare più numeri discordi ,posso addizionare separatamente gli addendi positivi e quelli negativi e quindi addizionare le somme parziali di segno contrario così ottenute.

ESEMPIO :

(+5)+(+2)+(-3)+(+1)+(-5)+(-7)+(+4) = (+2)+(+1)+(+4)+(-3)+(-7) = (+7)+(-10) =-3

ESERCIZI

1) L’ascensore di un grattacielo di 18 piani sopra e 5 piani sotto il livello stradale è fermo al 4° piano sotto . Poi sale di 5 piani poi scende di 3 piani quindi sale di nuovo di 16 e infine scende di 9 piani. A quale piano è ora fermo l’ascensore ?

2) Un passeggero cammina su di un treno in movimento nello stesso verso del treno.Se la velocità del treno è 45km/h e la velocità del passeggero è 4km/h ,sai dire qual è la velocità rispetto al terreno?

3) In un pomeriggio invernale la temperatura è di 4°C. Durante la notte scende di 8°C. Di quanti gradi deve aumentare di nuovo per raggiungere lo zero ?

4) Una persona apre un conto in banca con un primo versamento di 3100 euro ; poi ne fa un altro di 970 euro . In seguito preleva 2830 euro e, dopo un altro deposito di 1430 euro preleva ancora 1980 euro. Indica con una somma di numeri interi relativi il capitale che resta depositato in banca alla fine delle operazioni descritte e calcolalo.

5) A b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +1

Esegui le seguenti somme assegnando poi al risultato di ciascuna la lettera corrispondente secondo la precedente tabella . Se le soluzioni sono esatte otterrai il nome di una cantante.

(-2)+(+3)+(-7)=

(+5)+(-9)+(-5)+(-2)+(+10)=

(+2)+(+1)+(-9)+(+4)=

(+2)+(-4)+(+8)=

(-8)+(+2)+(+6)+(-3)+(-7)=

La sottrazione La temperatura massima registrata il 10 Gennaio è stata di 3°C sopra lo zero.Nella notte è scesa di 7°C.L’operazione che traduce tale situazione è ovviamente la sottrazione quindi 3-7Ricorderete che nel modulo dei numeri naturali l’operazione di sottrazione non sempre era possibile e questo era sicuramente uno di quei casi.

Sulla retta dei numeri, a sinistra dello zero non avevamo nessun simbolo.Adesso che tale retta risulta arricchita di nuovi elementi potremmo, “fatti 3 passi nel verso fissato, tornare indietro di 7 passi ed arrivare così al punto –4”. -4 0 +3 Questo risultato, è esprimibile anche come somma e cioè:

3-7= (+3) - (+7) = (+3) + (-7)=-4

Per convenzione

Per definizione di opposto

Leggiamo ora l’ultima scrittura:“fatti tre passi nel verso fissato sulla retta, cioè il primo operando (+3), aggiungi sette passi, ma in verso contrario, cioè il secondo operando (-7)”.

Consideriamo gli altri casi:

(-3)-(+7)=(-3)+(-7)=-10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

(-3)-(-7)=(-3)+(+7)=+4

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

(+3)-(-7)=(+3)+(+7)=+10

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

In Z la differenza tra due numeri interi relativi è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo ed il risultato esiste sempre.Quindi l’operazione in questo nuovo insieme risulta chiusa.

Rappresentazione della sottrazione in Z: b=7

Sottraendo

Oppostoa=+3 c=-4

Definire la sottrazione in termini di somma, così come possiamo vedere anche dallo schema sopra riportato, è stato di grande aiuto anche nell’ambito dei sistemi di

elaborazione. Infatti, il mezzo di calcolo che realizza la differenza non viene progettato e costruito interamente, ma viene utilizzato, insiemi ad altri semplici accorgimenti, quello che svolge la somma. Questo ha consentito di semplificare il lavoro di progettazione e quindi di ottimizzare il costo complessivo del computer.

Convenzioni circa le parentesiQuando si eseguono espressioni in Z, la sottrazione si trasforma in somma, ed applicando la definizione; si ha:

(+5) - (-3) + (+7) - (+4) - (+8) =(+5) + (+3) + (+7) + (-4) + (-8) =

Inoltre per convenzione la scrittura di addizione viene semplificata tralasciando il segno + e le parentesi, quindi l’ultima scrittura diventa:

5+3+7-4-8=15-12=+3

Ancora un esempio

- (7-5) + (- (-7+4) + (8-5-12) - (-8-5+3) -8) = per la definizione di sottrazione si ha:+ (-7+5) + (+ (7-4) + (8-5-12) + (8+5-3) -8) = per la convenzione scriviamo(-7+5)+ (+7-4+8-5-12+8+5-3-8) per la legge degli opposti e per le proprietà commutativa ed associativa dell’addizione, si ha-7+5-12+8= per somma dei termini concordi si ha-19+13=-6

Si osserva che, quando non si mettono le parentesi, non potremmo dire se, per esempio, +7-3 sta ad indicare +7+ (-3) oppure +7- (+3)Ma questo non ha importanza perché il risultato delle due operazioni è lo stesso.Fai molta attenzione :Nell’ambito dei numeri relativi i simboli – e + hanno due significati il – o il + che precede un numero indica in quale verso muoversi sulla retta

Somma +

a+b=(+3)+(-7)

Differenza Minuendo

il – o il + che è tra due numeri indica l’operazione di sottrazione o di somma;il significato è ovviamente diverso.

Il Prodotto

Per 3 sere consecutive la temperatura è diminuita di 2 gradi.In questo caso si tratta di ripetere per 3 volte la sottrazione ,cioè:

-2-2-2= (-2) + (-2) + (-2)

rispettando la convenzione già introdotta per la moltiplicazione in N si ha:

3x(-2)Sulla retta dei numeri si avrà:

-6 0 Ci siamo spostati 3 volte di due passi verso sinistra siamo arrivati al punto –6.Il risultato ottenuto esprime la variazione totale di temperatura

La scrittura 3x (-2) = (+3) x (-2) = -6

Per convenzione

Un contadino ha prelevato dalla botte di cantina per 7 giorni 2 litri di vino ogni volta.Anche in questo caso per trovare la variazione totale si userà la moltiplicazione:

7x(-2)=-14

Definiamo il prodotto di due numeri interi in modo che:1-La moltiplicazione di due numeri di Z(+), corrispondenti ai due numeri naturali, dia lo stesso risultato che si aveva in N; per questo (3) x (2) = (+3) x (+2) =+62-Chiediamo che la moltiplicazione in Z conservi le proprietà della moltiplicazione in N

P. Commutativa axb=bxa con a e b in ZP. Associativa (axb)xc=ax(bxc) con a, b, c in ZP. Distributiva del prodotto rispetto alla somma ax(b+c)=(axb)+(axc) con a, b, c in ZEsiste l’elemento neutro 1 ax1=1xa=a con a in ZEsiste l’elemento annullatore ax0=0xa=0 con a in Z

Allora se (+3)x(-2)=-6 anche (-2)x(+3)=(+3)x(-2)=-6 per la P.Commutativa.

Vediamo adesso cosa dire di: (-3)x(-2)=?

Se attribuiamo a –3, il significato di 3 giorni fa (cioè il passato corrisponde a – ed il futuro corrisponde a +), l’operazione scritta ha questo significato ”Qual era la temperatura 3 giorni fa se è calata di 2 gradi ogni sera ?”La risposta ovvia a questa domanda è “la temperatura era di 6 gradi in più (cioè +6) rispetto ad oggi”.Come visualizzare questo risultato sulla retta dei numeri?Inizialmente ci limitiamo a pensare di avere fatto 3 volte due passi verso sinistra e cioè 3x(-2), in questo modo arriviamo a –6, ma questa volta l’indicazione 3 volte è preceduta dal segno –, che avrà sicuramente un suo significato.Ricorda che il segno – fornisce come ulteriore informazione quella di prendere l’immagine simmetrica di –6 rispetto allo 0 sulla retta dei numeri, cioè esattamente l’opposto di –6 che è +6.Per cui anche con la retta dei numeri otteniamo (-3)x(-2)=+6Vediamo ancora una situazione reale per convincersi di questo risultato, che per molti anni è stato considerato assurdo. Se per 4 mesi consecutivi perdo 3 Kg il mese, alla fine della dieta avrò una variazione di peso di –12 Kg.Infatti (+4)x(-3)=-12.Sempre considerando il passato con il segno – e la perdita con segno –, 4 mesi fa il mio peso era (-4)x(-3)=+12 Kg. cioè 12Kg. in più di oggi.Di questo risultato, che tutti conoscono come la regola dei segni, (meno)x(meno)=più, esiste anche una motivazione algebrica. Ricordati che abbiamo chiesto che valga in Z la proprietà distributiva, già valida in N!Adesso, vediamo cosa succede nelle due ipotesi possibili :1- (meno)x(meno)=più2- (meno)x(meno)=meno

Quando consideriamo (+5-3)x(-7)=(+2)x(-7)=-14

Se applichiamo la proprietà distributiva abbiamo: (+5)x(-7)+(-3)x(-7)=(-35)+(+21)=-14 per l’ipotesi 1

(+5)x(-7)+(-3)x(-7)=(-35)+(-21)=-56 per l’ipotesi 2In questo secondo caso il risultato ottenuto è diverso da quello atteso, per cui l’ipotesi 2 invalida la proprietà distributiva, quindi è non accettabile.Per concludere riportiamo una semplice tabella per ricordare la regola dei segni del prodotto

x + -+ + -- - +

Questa tabella ricorda anche altre tabelle che presentano lo stesso comportamento P=pari D=dispari

+ P DP P DD D P

Verifica per esercizio.

Questa regola è anche comune al linguaggio di tutti i giorni e riguarda la legge di composizione di proposizioni affermative e negative della lingua italiana.

° Si NoSi Si NoNo No Si

Consideriamo queste frasi:Lucia dice ad Andrea “Ho capito, non è vero che non vai al mare!” Cosa farà Andrea?Lucia dice ad Andrea “Ho capito, non è vero che vai al mare!” Cosa farà Andrea? Lucia dice ad Andrea “Ho capito, è vero che non vai al mare!” Cosa farà Andrea?Lucia dice ad Andrea “Ho capito, è vero che vai al mare!” Cosa farà Andrea?

Esercizi

1)Un passeggero cammina su di un treno in movimento alla velocità di 45 Km/h. La velocità del passeggero è di 4 Km/h. Qual è la velocità del passeggero rispetto al terreno, se si muove in verso contrario?

2)Al supermercato ho comprato del pesce congelato che presenta una temperatura di –17°C.In auto subisce durante il trasporto un aumento di temperatura pari a 20°C. Giunta a casa, lo inserisco in frigo e qui la temperatura diminuisce di 4°C. Qual è la temperatura finale del pesce?

3) Parto da un certo punto della scala e procedo come segue:scendo 7 gradiniscendo 5 gradinisalgo 3 gradiniscendo 10 gradiniin che punto della scala mi trovo rispetto a quello di partenza?

4)Un automobilista parte con il serbatoio contenente 40l di benzina, percorre un primo tratto consumandone 15l, in un secondo tratto ne consuma 11l.Quindi si ferma a un distributore e fa rifornimento di 32l.Quanta benzina ha nel serbatoio?

5) Costruisci la seguente tabella della sottrazione

- -3 -4 +6 +3 +7 0 -2 -7 +8 -1-3-4+6+3+70-2-7+8-1

Hai potuto riempire tutta la tabella? Perché?Osserva la colonna in corrispondenza dello 0, che cosa vedi? Motiva la risposta.Osserva la diagonale cosa vedi? Motiva la risposta.Analizza le linee della tabella parallele alla diagonale, che cosa vedi? Motiva la risposta.

Analizza la tabella costruita per righe e per colonne, che cosa noti? Motiva.

6). Costruisci la tabella della moltiplicazione

- -3 -4 +6 +3 +7 0 -2 -7 +8 -1-3-4+6+3+70-2-7+8-1

Hai potuto riempire tutta la tabella? Perché?Osserva la colonna in corrispondenza dello 0, che cosa vedi? Motiva la risposta.Osserva la diagonale cosa vedi? Motiva la risposta.Analizza le linee della tabella parallele alla diagonale, che cosa vedi? Motiva la risposta.Analizza la tabella costruita per righe e per colonne, che cosa noti? Motiva.

7)Su di un pullman ci sono 27 passeggeri. Per 3 fermate consecutive ne scendono due ogni volta. Alla quarta fermata ne sono saliti 5 e scesi 7. Alla quinta fermata sono scesi 3 gruppi di 3 passeggeri. Quanti passeggeri sono scesi al capolinea?

8)a b c d e f g H i l m n o p q r s t u v z

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Completa la tabella assegnando i numeri nell’ordine che conosci.Quindi risolvi le seguenti espressioni.

(-3-2)x(3-1)= 7+(-4+2)-5x(-4+5)+8= (4-6)x(5-9)-(-3+4)x(7-6)= (-3+2)x(-2+3)-(7-10)= Se le soluzioni sono esatte otterrai il nome di un oggetto molto in uso oggi.

9) Sempre utilizzando la tabella di corrispondenza dell’esercizio precedente inventa delle espressioni con le quali si ottenga la parola “mela”.

LA DIVISIONE

Proviamo ad affrontare il seguente problema.Se , nel corso di un’immersione , 4 sommozzatori scendono rispettivamente a

-12 m. ( cioè 12 m. sotto il livello del mare )-25 m.-15 m.- 28m.

qual è la profondità media raggiunta?

In ambito statistico, la media aritmetica è un valore che puoi calcolare sommando i dati forniti e dividendo il risultato per il numero dei dati. Cioè

( -12 ) + ( -25 ) + ( -15 ) + ( -28 ) -80 =

4 4

Per determinare il quoziente ragioniamo così: analogamente a quanto già acquisito nell’ambito dei numeri naturali,poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, il risultato (quoziente ) sarà quel numero che moltiplicato per il divisore ( + 4 ) permette di ottenere il dividendo ( - 80 ) . Cioè

( - 80 ) = - 20 poiché ( - 20 ) x ( + 4 ) = ( - 80 ) + 4

In forma più astratta :

Se a : b = c con a , b , c numeri interi , b non nullo allora c x b = a

Poiché la divisione è riconducibile ad una moltiplicazione, varrà la “ regola dei segni “ che hai già visto per il prodotto.

Cioè:

+ : + = + + : - = -

- : - = +

- : + = -

Ovviamente anche per le divisioni si possono operare semplificazioni nella scrittura.Es. ( +6 ) : ( - 3 ) si scriverà più agevolmente 6 : ( - 3 ) = - 2 ( - 9 ) : ( + 3 ) si scriverà più agevolmente -9 : 3 = - 3Attenzione ! Alcune parentesi sono indispensabili!Ad esempio , scrivere + 35 : - 5 è un modo errato di indicare + 35 : ( - 5 ) !

Se a , b sono numeri interi ( con b0 ) non è detto però che c sia un numero intero. Infatti la divisione in Z non è un’ operazione interna : se devi eseguire ( - 13 ) : ( - 4 )è impossibile individuare un numero intero che moltiplicato per ( - 4 ) dia come prodotto il dividendo ( - 13 ) !Osserva quindi che l’aver ampliato l’ambiente numerico da N a Z ci permette di individuare il risultato di ogni sottrazione fra numeri interi, mentre non è ancora possibile scrivere il risultato di tutte le divisioni fra numeri interi.

Esaminiamo alcuni casi particolari:

( + 13 ) : ( + 1 ) = + 13 ( - 2 ) : ( + 1 ) = - 2Se il divisore è 1 il quoziente coincide con il dividendo. ( + 3 ) : (- 1 ) = - 3 ( - 7 ) : ( - 1 ) = - 7Se il divisore è -1 il quoziente è uguale all’opposto del dividendo. ( + 7 ) : ( + 7 ) = + 1 (- 6 ) : ( + 6 ) = - 1 ( -10 ) : ( -10 ) = + 1 ( +9 ) : (- 9 ) = - 1Se dividendo e divisore sono uguali, il loro quoziente è +1.Se dividendo e divisore sono opposti , il loro quoziente vale -1. Per lo zero valgono considerazioni analoghe a quelle esposte in N , cioè

0 : a = 0 con a intero non nullo

a : 0 divisione impossibile

0 : 0 divisione indeterminata

Rifletti sempre sul significato della divisione per evitare quegli errori così frequenti in presenza dello zero!

Ricordiamo infine rapidamente che anche in Z la divisione gode della proprietà invariantiva

es. ( - 180 ) : ( + 30 ) = ( - 18 ) : ( + 3 ) = - 6 abbiamo diviso per 10 sia dividendo che divisore.

e della proprietà distributiva destra rispetto alla somma algebrica

es. ( - 12 + 9 – 21 + 33 ) : ( - 3 ) = = ( - 12 ) : ( - 3 ) + 9 : ( - 3 ) - 21 : ( -3 ) + 33 : ( - 3 ) = = + 4 – 3 + 7 – 11 = - 3

Osserva che , in entrambi i casi , aver applicato le proprietà comporta una “ semplificazione “ dei calcoli, come abbiamo già avuto modo di sottolineare in N.Per esempio , per eseguire rapidamente la divisione ( - 2718 ) : ( + 9 ) si può pensare di procedere nel modo seguente ( - 2718 ) : ( + 9 ) = ( - 2700 ) + ( - 18 ) : ( + 9 ) = - 300 – 2 = -302

Applicare le proprietà dunque , ha spesso lo scopo di individuare una modalità più agevole di pervenire al risultato.

Proviamo infine a calcolare

40 : ( 4 + 4 ) = 40 : 8 = 5

Se provassimo così 40 : 4 + 40 : 4 = 10 + 10 = 20 non otterremmo il medesimo risultato: puoi pertanto concludere che non vale la proprietà distributiva sinistra.

ESERCIZI

1) Completa la tabella:

: - 1 + 2 - 4

+ 8

- 12

+ 4

0

Moltiplica per 10 tutti i dividendi e i divisori e compila nuovamente la tabella .Cambiano i risultati riportati nelle singole caselle? Scambia tra loro le due scritte “ dividendo “ e “ divisore “ e compila la tabella . Cambiano i risultati riportati nelle singole caselle? Cosa puoi dedurre dalle osservazioni fatte?

2) Traduci in linguaggio matematico quanto segue :

“ Dal prodotto dei due numeri ( - 3 ) e + 12 sottrai il quoziente della divisione fra - 50 e -5 “.

“ Al quoziente tra - 8 e - 2 aggiungi - 16 e quindi dividi il risultato ottenuto per la somma tra - 7 e - 5 “.

dividendo

divisore

3) Supponiamo di compilare un codice segreto di questo tipo: su una retta orientata riportiamo l’insieme dei numeri interi ( almeno parzialmente !) e poi sistemiamo le 21 lettere dell’alfabeto italiano ,ognuna in corrispondenza di uno di questi numeri, facendo in modo che la lettera O venga a coincidere con il numero 0 .Utilizzando questo codice interpreta il messaggio formato dalle lettere corrispondenti ai risultati delle espressioni nella tabella seguente:

Espressione RisultatoLettera

corrispondente

( -23 + 3 ) : ( + 2 )

( - 17 + 3 ) : ( - 7 ) - 6

( - 23 – 1 ) : ( - 12 ) - 14

( - 18 ) : ( - 18 ) - 1

4) Sai usare la calcolatrice tascabile per eseguire la divisione di numeri interi?Per calcolare il risultato dia) ( - 35 ) : ( + 5 ) e di b) ( - 35 ) : ( - 5 )prova a impartire i seguenti comandi: a) + 5 M+ C - 35 RM =b) - 5 M+ C - 35 RM =

Prova ora ad eseguire le divisioni: ( - 81 ): ( - 9 ) ( - 625 ) : ( + 25 ) ( + 49 ) : ( - 7 )

5) Individua , fra le seguenti , le divisioni impossibili e quelle indeterminate:

( + 35 ) : 0 0 : ( + 6 – 6 ) 0 : 0 0 : 7 - 71 : 0 7 : 0

6) Completa le seguenti sequenza numeriche:

+32 -16 +8 - 4 ………

100000 -10000 1000 -100 ………

-256 -64 -16 -4 ………

-32 +16 -8 +4 ………

-243 +81 -27 +9 ………

-2500 -500 -100 -20 ………

Colora solo i settori indicati dai numeri che hai trovato. Sarai sicuro di aver fatto bene solo se “ comparirà “ la lettera che indica l’insieme di numeri che stai studiando…..

7) Cruciverba

1 2 3

4

5

Orizzontali 1. Il quoziente fra - 18 e - 3 4. Il quoziente fra + 8 e + 4 5. Il quoziente fra - 15 e - 5

Verticali1. Il quoziente fra - 14 e - 22. Spesso serve per risolvere un problema matematico3. Il quoziente fra - 100 e - 5

8) Se Schumacher rallenta nel corso di un gran premio , si può dire che sta “ decelerando “ . In effetti l’ accelerazione è una grandezza fisica che assume valore positivo o negativo a seconda che sia associata ad un aumento o ad una diminuzione di velocità. Per intervalli di tempo brevi, puoi calcolare l’accelerazione media nel modo seguente:

v f - v i v f velocità finale a = v i velocità iniziale t t intervallo di tempo

supponendo che il percorso sia rettilineo .Se Schumacher in 2 sec. diminuisce la sua velocità da 64 m / s (circa 230 km/ h) a 58 m /s ( circa 208 km / h) , sai determinare il valore dell’accelerazione media?

LA POTENZA

Ecco un “ modellino “ di tela di ragno : una costruzione davvero affascinante!Guardiamola con “ occhio matematico “ provando ad osservare la figura gialla ( O A B ) e la verde ( O A’ B’ ).Quest’ultima è un ingrandimento della prima , O A’ è il doppio del lato O A , ma “ ribaltato “nel senso che OA e OA’ , pur appartenendo alla stessa linea non sono sovrapposti , e altresì dicasi per OB e OB’. Le due figure sono infatti da parti opposte rispetto alla linea tratteggiata.

Riassumendo le condizioni evidenziate diciamo che il rapporto che lega le due figure è - 2

( il segno - indica la diversa posizione delle figure rispetto alla linea, il valore assoluto 2 indica che i lati indicati sono l’uno il doppio dell’altro ).Per le stesse ragioni , anche il rapporto che lega O C D ( figura rossa ) a O A’ B’ ( figura verde) è - 2 : le due figure sono posizionate da parti opposte e O C è il doppio del lato O B , mentre il rapporto fra O C D e O A B è + 4 ( = ( - 2 ) x ( - 2 ) ).Se procedi analogamente nell’individuare ancora 3 figure , ognuna delle quali ha rapporto - 2 con la precedente , da quale parte della linea si troverà l’ultima?E che rapporto avrà con O A B ?Facciamo qualche calcolo

( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) = - 32

La figura risultante sarà quindi da parte opposta rispetto ad O A B e il suo lato sarà 32 volte il lato O A.Come scrivere più agevolmente il prodotto ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) x (- 2 ) x ( - 2 ) ?

5 fattori

Per evidente analogia con la definizione di potenza di un numero naturale , si scriverà ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) = ( - 2 ) 5

e si intenderà per

PP

Il numero a è detto base , il numero n esponente.Calcolare la potenza di un numero intero è un po’ più impegnativo perché dovrai tener conto del valore assoluto e del segno.Facciamo qualche esempio:

( + 2 )3 = ( + 2 ) x ( + 2 ) x ( + 2 ) = + 8 ( + 3 )4 = ( + 3 ) x ( + 3 ) x ( + 3 ) x ( + 3 ) = + 81Se la base è positiva, allora la potenza è un numero positivo. ( - 2 )3 = ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) = -8 ( - 3 )4 = ( - 3 ) x ( - 3 ) x ( - 3 ) x ( - 3 ) = + 81Se la base è negativa e l’esponente dispari , allora la potenza è un numero negativo.Se la base è negativa e l’esponente pari , allora la potenza è un numero positivo.

Osserva quindi che alle due potenze ( + 5 )2 e ( - 5 )2 aventi entrambe come esponenti il numero 2 ( pari ) e come basi due numeri opposti , corrisponde lo stesso valore + 25.

( + 5 )2 ( - 5 )2

+ 2 5

E’ possibile affermare cheI quadrati di numeri interi non sono mai negativi.

Alle due potenze ( + 5 ) 3 e ( - 5 ) 3 aventi lo stesso esponente ( dispari ) 3 e come basi due numeri opposti , corrispondono due valori opposti.

Potenza n- esima di un numero intero a ( a n ) il prodotto di n fattori uguali ad a . n numero naturale non nullo a numero intero

( + 5 )3 ( - 5 )3

+ 125 - 125

E’ possibile affermare cheI cubi di numeri interi positivi sono positivi.I cubi di numeri interi negativi sono negativi.

Come per i numeri naturali, anche per i numeri interi si pone convenzionalmente

a0 = 1 con a intero non nullo

Casi particolariPuò essere utile sapere che

Se la base è ( + 1 ) , la potenza è uguale a + 1 qualunque sia l’esponente.Es. ( + 1 )3 = + 1 ( + 1 )4 = + 1

Se la base è ( - 1 ) , la potenza è uguale a ( - 1 ) se l’esponente è dispari e a ( + 1 ) se l’esponente è pari.Es. ( - 1 )3 = - 1 ( - 1 )4 = + 1

Se la base è 0 e l’esponente diverso da 0 , la potenza è uguale a 0.Es. 04 = 0

Proprietà delle potenzeAnche per i numeri interi valgono le proprietà esaminate per i numeri naturali.

Es. ( - 7 )3 x ( - 7 )2 = ( - 7 )5 = - 16807

Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. a n x a m = a n+m n , m numeri interi positivi a numero intero

Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza fra l’esponente del dividendo e quello del divisore. a n x a m = a n-m n , m numeri interi positivi n m a numero intero non nullo

Es. ( - 13 )4 : ( - 13 )2 = ( - 13 )2 = + 169

Es. ( - 2 )3 2 = ( - 2 )6 = + 64

Es. ( - 5 )2 x ( - 2 )2 = ( + 10 )2 = + 100

Es. ( - 26 ) 2 : ( + 13 ) 2 = ( - 26 ) : ( + 13 ) 2 = ( - 2 )2 = + 4

Attenzione !

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. ( a n ) m = a n x m n , m numeri interi positivi a numero intero

Il prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi . a n x bn = ( a x b )n n numero intero positivo a , b numeri interi

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. a n : b n = ( a : b ) n a , b numeri interi b non nullo n numero intero positivo

Non confondere le due scritture

( - 4 ) 2 e - 4 2

La prima calcola il quadrato del numero – 4 ( - 4 ) 2 = + 16La seconda calcola l’opposto del quadrato del numero 4 - 4 2 = - 16Rifletti sempre con calma!

E se l’esponente è un numero negativo? Es. ( + 5 ) (-2) ?

Beh…… Per dare un significato a questa inusuale potenza dovremo aspettare ancora un po’……

ESERCIZI

1) Il salto del ranocchio

Un ranocchietto partendo da una pietra dello stagno fa alternativamente un salto indietro e uno avanti , ogni volta lungo il doppio del salto precedente. Se il primo salto è di 2 cm. indietro , in che posizione si troverà , rispetto alla pietra , dopo 6 salti?

2) La macchina del tempo

Eta Beta , l’amico di Topolino , possiede una macchina del tempo che gli consente di fare alternativamente un viaggio nel passato e uno nel futuro. La prima tappa lo porta nel 2000 ; i successivi viaggi coprono un intervallo di tempo triplo rispetto al precedente. In che anno sarà catapultato Eta Beta dal 5° viaggio?

3) Il tragitto corretto

Segui l’itinerario corretto in relazione alle domande : a quale lettera pervieni?

4) Quatrix

Si gioca in due ( o a squadre ) con pedine di colore diverso.

Ogni volta che si trovano due numeri – una base e un esponente - , tra quelli a disposizione , tale che il valore della potenza è un numero presente in tabella , si può occupare la posizione mettendo la pedina del proprio colore.Vince chi per primo riesce ad avere 4 pedine del proprio colore in fila ( orizzontale , verticale o diagonale ).

Numeri a disposizione

-243 + 64 + 16 + 256 - 32

-3 1024 + 8 + 25 - 64

+ 32 + 1 + 9 - 27 + 125

- 4 + 2 + 625 + 4 - 1

- 125 - 8 + 81 - 2 -3225

5) Trova il risultato delle seg. espressioni:

a) ( - 3 )4 x ( - 3 )2 b ) ( - 3 )3 x ( - 3 )2

applicando le proprietà delle potenze. Utilizzando poi la calcolatrice esegui:

a) - 3 x = = = M+ C - 3 x = x MR =b) - 3 x = = M+ C - 3 x = x MR =

I risultati ottenuti coincidono con i precedenti?

1,2,3,4,5-1,-2,-3,-4,-5

6) Procedi analogamente all’esercizio 5 relativamente all’espressione ( - 3 )6 : ( - 3 )3

osservando le seg. istruzioni:

- 3 x = = M+ C - 3 x = = = = = MR =

I Razionali

Riflettiamo su alcune situazioni reali su cui ci siamo sicuramente imbattuti

Ad un compleanno una cioccolata è stata divisa in parti uguali tra quattro bambini

Su di una rivista di cucina trovo una ricetta per preparare l’aperitivo “Cardinale”e leggo gli ingredienti: di gin

di vermouth dry

di bitter campari

Il mercoledì andando al supermercato leggo sulla lavagnetta posta al’ingresso:

Sconto del 10% ai possessori di tessera

Una agenzia immobiliare espone in vetrina le offerte ed indica le misure della camera da letto : 4,57 m. x 4,20 m.

L’acquisto della borsa è costato : 75,30 €

I dati relativi alle situazioni indicate non sono rappresentabili con i numeri studiati fin ora. La nostra barretta di cioccolata divisa tra i quattro bambini prevede di spezzare opportunamente l’unità per rendere equa la ripartizioneI simboli , , cosa rappresentano in termini di quantità ?Analogamente se fissiamo come unità di misura lineare il metro, attribuendo a questo valore 1, ci accorgiamo che il problema del misurare si riduce al problema del contare. Difficilmente però, riusciremo ad esprimere con i numeri fin qui studiati la misura di un tavolo o di una stanza.. Sarà necessario come già hai imparato a suddividere l’unità fissata in altre parti, ad esempio il decimetro, e se non basta dividere questo in altre parti il centimetro e così via, per riuscire alla fine a contare quante di queste parti sono contenute nell’oggetto della misurazione.Lo stesso accade per tutte le unità di misura da te incontrate: il chilo, il litro e così via.Con l’introduzione dell’euro, è stato necessario familiarizzare con valori numerici del tipo 3,50€ 5,75€ ecc.…, che non rientrano nei numeri fin qui studiati.E infine che significato ha lo sconto del 10% ?Per dare risposta a questi problemi i numeri interi non sono più sufficienti.E’ stato quindi necessario ampliare il campo numerico in modo da poter operare liberamente con le nuove quantità.I numeri che rispondono alle nuove esigenze e che già hai incontrato nel corso dei tuoi studi si chiamano numeri razionali, si indicano con il simbolo Q e costituiscono un ampliamento di Z, l’insieme dei numeri relativi.

Scopriremo più avanti che esistono modi diversi per rappresentare i numeri razionali rispetto al contesto in cui operi , ma fai attenzione la quantità che esprimono è sempre la stessa e dunque dello stesso numero si tratta.

Si sta parlando, come ormai avrai capito di frazioni e di numeri decimali.

Consideriamo un segmento e dividiamolo in numeri diversi di parti uguali.Se associamo al segmento dato il numero 1, a ciascuna delle sue parti potremo associare il risultato delle seguenti operazioni di divisione che decideremo di rappresentare con i simboli accanto indicati.

1:2=0 1

1:4=0 1

1:3=0 1

1:6=0 1

1:12=0 1

Osserviamo che: è metà di

è metà di

è metà di

Le frazioni del tipo di quelle costruite si chiamano unità frazionarie.

Dividiamo una torta di compleanno in 8 parti uguali.Se prendo due di queste parti, posso dire di avere preso di torta

Se mangio i di torta ho mangiato una quantità >, =, < di ? Osserva la figura

Dunque e pur essendo come scrittura diversi esprimono la stessa quantità.

Adesso utilizzando la calcolatrice calcola 2:8 e 1:4 ti accorgerai che il valore ottenuto

è lo stesso, ed è indicato con un simbolo, diverso da e cioè da 0,25.

I numeri decimali sono giovani sono nati solo cinquecento anni fa.Prima del 1400 gli uomini continuavano a fare i calcoli con le frazioni. E non era certo facile comprare con lire, soldi e denari, perché il soldo era della lira, e il

denaro era del soldo.Simon Stevin,un matematico belga scrisse un volumetto dal titolo “La Disme”, pubblicato nel 1585, che significa rappresentazione con i numeri decimali. Nel sottotitolo, scritto in francese si legge:< si insegna ad eseguire facilmente tutti i conti che si incontrano negli affari degli uomini, usando numeri interi e non “rompuz”>, cioè senza l’uso delle frazioni; si fanno le operazioni con le regole che valgono per i numeri interi.

Ed ora torniamo alle frazioni.I due numeri che compaiono nella frazione si chiamano denominatore, che sta sotto ed indica in quante parti uguali è stata divisa l’unità, e numeratore, che sta sopra ed indica quante di queste parti si devono prendereDunque 2 esprime il numeratore e 8 il denominatore della frazione .

Domandiamoci che significato può avere la scrittura dove il numeratore è maggiore del denominatore.

Pensiamo sempre alla torta come unità, il denominatore ci dice che è stata divisa in 4 parti uguali, il numeratore che di queste ne sono state distribuite 9.

+ + =

In questo caso come puoi osservare dalla figura sono state necessarie 2 torte intere e un di una nuova torta.

E adesso pensiamo al significato della frazione Sempre considerando la nostra torta come unità e ricordando il significato del numeratore e del denominatore, ci si accorge che sono state necessarie 3 torte per soddisfare i nostri commensali.Ed ora un po’ di terminologia utile per capirci.Le frazioni si distinguono in: frazioni proprie con a<b e a, b numeri interi con b0Questa scrittura indica che la frazione è compresa tra –1 e +1, cioè:

-1 +1

frazioni improprie con a>b e a, b numeri interi con b0 Questa scrittura indica che la frazione può risultare minore di –1 o maggiore di +1, cioè:

- -1 +1 +

frazioni apparenti con a=kb e b0, cioè a è multiplo di b e quindi

=k, numero intero.

Per esempio è una frazione di questo tipo poiché 12=3x4 per cui:Questa scrittura significa che la frazione coincide sulla retta con un numero intero.

Consideriamo ancora il nostro segmento, diviso ora in 18 parti

1:180 1Individua su di esso i segmenti corrispondenti alle frazioni , ,

Usa la calcolatrice per ottenere i numeri decimali corrispondenti.Anche questa volta le tre frazioni indicano una stessa quantità e per questo si dicono equivalenti.A questo punto basta ripensare alla proprietà invariantiva della divisione per accorgersi che il concetto di frazione equivalente discende proprio da questa proprietà.

Quindi: quante frazioni equivalenti a puoi ottenere?

sicuramente infinite!Dunque ho infiniti modi di rappresentare la quantità .Quella che sceglieremo ogni volta è la frazione in cui il denominatore e il numeratore sono primi tra loro, ed è detta rappresentazione canonica di quella quantità che prende il nome di numero razionale.La frazione con le caratteristiche dette si dice anche frazione ridotta ai minimi termini.

Data la frazione , se p e q non sono primi tra loro si determina il loro MCD e si semplifica per tale numero il numeratore e il denominatore ottenendo così la frazione in forma canonica.Vediamo un esempio:Dato il numero razionale

, poichè il MCD (32,40) =8, la sua rappresentazione canonica è

, ottenuta dividendo per 8 sia il numeratore che il denominatore.

Rappresentiamo ora i nuovi numeri sulla retta

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

Ci possiamo chiedere: i numeri razionali a quale distanza si trovano l’uno dall’altro?

Osserviamo la retta: se ci limitiamo a considerare due numeri per esempio 0 ,1 le frazioni , , , sono comprese tra i due numeri.

E tra e 1 c’è sicuramente (basta considerare = e 1= )

tra e 1 c’è (basta considerare = ed 1= )

tra e 1 c’è sicuramente (basta considerare = ed 1= ) e così via…….Questa modalità di costruire i numeri ora considerata, non vale solo per 0 e 1 ,ma per una qualunque coppia di numeri razionali.Basterà di questi calcolare il punto di mezzo.Quindi ad esempio tra –2 e –3 c’è sicuramente - .Tra due numeri c’è sempre un altro numero come tra due punti c’è sempre un altro punto per esempio il punto di mezzo.Questo procedimento è infinito e anche se con la penna non si riesce più a fissare il punto, il calcolo ci consente di costruire questi punti sempre più fitti, sempre più densi.L’impressione che ne ricaviamo è che, con i nuovi numeri, si possa veramente coprire la nostra retta. In realtà questa massa così densa di numeri razionali non esaurisce la retta; vedremo che esistono delle quantità che non sono rappresentabili tramite alcun

numero razionale. Quindi con i soli numeri razionali restano dei vuoti e per tappare questi vuoti sarà necessario introdurre un nuovo insieme di numeri.

Dobbiamo ora riuscire a confrontare due numeri razionali ; facciamo questo osservando le figure:

11/18 7/18

4/6 5/6

E’ chiaro che 11/18 > di 7/18 e che 4/6 < 5/6.

Quindi si può ricavare che:

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore , è maggiore quella con numeratore maggiore ed è minore quella con numeratore minore.

Se però dobbiamo confrontare tra loro frazioni con denominatori diversi, non è così semplice, cioè non si può stabilire in modo immediato quale delle due è maggiore.

Intero Intero

5/6 3/4

Se dobbiamo confrontare queste due frazioni, possiamo applicare la proprietà invariantiva della divisione, ottenendo: 5= 10 e 3 = 9 6 12 4 12 Ora facilmente si vede che 10 > 9

12 12

Quindi 5 > 3 6 4 10/12 9/12

Dunque, per confrontare tra loro due o più frazioni, basta riportarle allo stesso denominatore e poi confrontare tra loro i numeratori.

ADDIZIONE DI FRAZIONI

E se dobbiamo sommare tra loro due o più frazioni?

1/8 3/8 + 2/8 = 5/8 E’ evidente dalla figura che sommare due frazioni con

lostesso denominatore equivale a sommare i numeratori lasciando

invariato il denominatore.

1/8

Se dobbiamo invece sommare più frazioni qualunque, basta, con la proprietà invariantiva, arrivare a sommare frazioni con lo stesso denominatore.

1/3

2/3 + 1/8

Con la proprietà invariantiva, riduco le frazioni allo stesso denominatore:

16 + 3 = 16 + 3 = 1924 24 24 24 proprietà invariantive

Questa tecnica verrà ovviamente usata anche per l’operazione di sottrazione, sostituendo il segno + con il segno -.L’insieme dei numeri razionali ammette tutte le proprietà dell’addizione e della sottrazione che valgono per l’insieme Z dei numeri interi relativi .

Esempi:

Se vuoi eseguire la somma 5 +3 +1 devi prima ridurre le frazioni allo stesso denominatore, che 4 2 3è il m.c.m. tra 4 ,2 e 3 e poi sommare : 15 + 18 + 4 = 15+18+4 = 37 12 12 12 12 12 Ora esegui la seguente differenza tra due frazioni : 5 - 4 = 5-8 = - 3 6 3 6 6

Come puoi vedere la somma e la differenza tra frazioni ,una volta trovato il minimo comune denominatore , si riducono alle operazioni di somma e differenza tra numeri relativi , che già conosci.

MOLTIPLICAZIONE DI FRAZIONIVediamo come puoi risolvere questo problema: “ABCD è la pianta di un giardino a forma rettangolare. Nella zona colorata AEFG sono coltivate piantine di violette. A quale parte di ABCD corrisponde la coltivazione?”

D CIl problema è molto semplice: GL’area di AEFG è data da: 3/45 36 4A E B

5/6

F

Somma di frazioni qualunque

Soma di frazioni con lo stesso denominatore

Dalla figura, però,puoi osservare che l’area è data dai 15/24 dell’area totale.Quindi è evidente che 5 3 = 15 = 5 3 , per cui il prodotto tra frazioni sarà:

6 4 24 6 4

a c = a c b d b d

Il prodotto in Q gode delle stesse proprietà viste in Z. L’elemento neutro sarà il numero razionale 1/1 = 1.Consideriamo ora una proprietà che non vale per la moltiplicazione in Z:l’esistenza dell’elemento reciproco :

Dato un numero q, razionale diverso da 0, esiste un solo elemento r, per cui qr = 1; tale elemento è 1 ed è detto reciproco di q.q

Tenuto conto della definizione di moltiplicazione si ha che il reciproco di un numero razionale dato si ottiene in modo molto semplice scambiando il numeratore con il denominatore della frazione (Ricorda: anche un numero appartenente a può essere pensato come una frazione con denominatore 1).Si può quindi concludere che nell’insieme dei numeri razionali, con la sola eccezione dello 0, ogni frazione ammette il proprio reciproco. Questo significa che, contrariamente a quanto accade in , nell’insieme Q, escludendo lo zero, la divisione sarà sempre possibile.

DIVISIONE

Se tu dovessi dividere una frazione per un’altra, come procederesti?

Ti ricorderai che in Z:

il quoziente di due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo.

Supponi di dover eseguire questa divisione tra frazioni:

2 : 4

5 15

Se vogliamo mantenere in Q la definizione di divisione data in Z il quoziente dovrà essere quel numero q tale che : q 4 2 15 5

Se moltiplichiamo entrambi i membri per il reciproco di 4 si ottiene : 15q 4 15 = 2 15 = 30 = 3 da cui q 1 = 3 ovvero q = 3 15 4 5 4 20 2 2 2

Se 3 è proprio il quoziente che cercavi, moltiplicandolo per il divisore, devi ottenere il dividendo. 2Abbiamo quindi visto che :

2 : 4 = q = 2 15 5 15 5 4

In generale vale la seguente regola:

Per dividere due frazioni, la seconda delle quali non sia nulla , si moltiplica la prima per il reciproco della seconda

ovvero: a : c a d ad (b, c, d, 0) b d b c bc

NUMERI DECIMALI

Proviamo a riprodurre l’immagine per creare un manifesto di presentazione delle nostre attività di Matematica.Se per comodità scegliamo di limitare le dimensioni del quadrato esterno a 1 m x 1 m , il primo compito sarà di disegnare i due corridoi colorati in giallo .Le frazioni indicate in questo caso non ci aiutano, dal momento che è difficile misurare i 5/6 di un lato avendo un metro a disposizione!Osserviamo infatti, eventualmente utilizzando una calcolatrice ,che:

1 / 3 = 1 : 3 = 0 , 333333333……

2 / 5 = 2 : 5 = 0, 4

5 / 6 = 5 : 6 = 0, 8333333…

Questi tre numeri decimali hanno caratteristiche decisamente diverse :

* 0, 4 è costituito da un numero finito di cifre decimali ( cioè dopo la virgola )

* 0, 3333….. ha la parte decimale formata da una cifra ( 3 ) che si ripete infinitamente

* 0,833333….contiene una cifra decimale ( 8 ) che precede quella ( 3 ) che si ripete infinitamente

Ma anche così il nostro compito non è terminato perché degli ultimi due valori avremo bisogno di una valutazione approssimata per una corretta misurazione. Come procedere?Stabiliamo di limitarci solo a 3 cifre decimali e atteniamoci alla seguente regola pratica:

se la cifra successiva ( per noi la 4ª ) è maggiore o uguale a 5 , l’arrotondamento della cifra scelta ( per noi la 3ª ) viene fatta per eccesso , cioè aumentandola di una unità

se la cifra successiva è minore di 5 , l’arrotondamento è fatto per difetto , lasciando cioè la cifra scelta inalterata.

Quindi avremo 0 , 3333….. valore approssimato 0,333

4ª cifra 3ª cifra

0 , 8333….. valore approssimato 0, 833

4ª cifra 3ª cifra

Esprimendo infine questi valori in cm anziché in metri, sarà

0,333 m = 33,3 cm 0,833 m = 83,3 cm

Ora è davvero tutto pronto per riprodurre il nostro manifesto!

A volte dunque è più conveniente scrivere un numero nella sua forma decimale , specialmente se si tratta di effettuare misure. Inoltre abbiamo osservato che dividendo due numeri interi , nel caso in cui il dividendo non sia multiplo del divisore , possiamo ottenere

un numero decimale limitato , cioè con un numero finito di cifre decimali

es. 4,7 0,003 3,21

un numero decimale periodico semplice , nel quale la parte decimale è formata solo da cifre che si ripetono ( periodo)

un numero decimale periodico composto , così chiamato perché nella parte decimale vi è un gruppo di cifre ( antiperiodo ) che precede il periodo.

In modo sintetico, un numero periodico si rappresenta scrivendo una sola volta le cifre che si ripetono , sormontate da una barretta orizzontale. _ __ ___ Es. Periodici semplici 4,5 - 0,31 0,001 _ __ _ Periodici composti -3,05 1,237 -0,001

Per confrontare e rappresentare due numeri decimali, spesso si ricorre ad approssimazioni.Detto parte intera del numero decimale,il numero che compare a sinistra della virgola

o se i numeri hanno parti intere diverse , il confronto avviene su queste Es 4,31 < 5,375 0,76 < 1,35

o se i numeri hanno parti intere uguali , si troncano i numeri dopo la prima cifra decimale diversa e si confronta l’ultima cifra scritta dopo il troncamento.

Es confrontiamo ___ ______ 0,231 0,2309375 0,231707

4ª cifra

0,2309775 ___0,231 = 0,231231……. ______0,231707 = 0,231707231707…….

Tronchiamo i valori dopo la quarta cifra decimale : è evidente che

___ ______ 0, 231 < 0, 231707

Il numero 0,2309775 è palesemente minore degli altri due.Se vogliamo rappresentarli sulla retta , in maniera indicativa , abbiamo:

La forma decimale ci consente ancora una volta di osservare , forse in modo più semplice , che scelti comunque 2 razionali ne esistono infiniti tra essi compresi ( Q denso ).Pensa ad esempio a due valori apparentemente vicinissimi come 5,7 e 5,8

Fra i due numeri ci sono 5,71 5,72 …….e fra 5,71 e 5,72 sono compresi 5,711 5,712 ……

Mettiti alla prova, generalizzando il procedimento : sai trovare 10 numeri razionali compresi fra –7,312 e –7,311 ? e fra - 3 / 29 e - 2 / 29 ?

Le parole

Il termine denso ha in lingua italiana anche il significato di fitto, spesso: è in questa accezione che viene utilizzato in Matematica. I numeri in Q sono “fitti “.

Periodo : nella lingua italiana si usa per indicare un intervallo di tempo. In matematica rappresenta una cifra o un gruppo di cifre che si ripete infinitamente.

Antiperiodo : il prefisso anti indica che l’antiperiodo precede il periodo ( così come l’antipasto precede il pasto vero e proprio)

ESERCIZI

FRAZIONI o DECIMALI ?

1. E’ più facile confrontare 7 / 11 e 127 / 200 o confrontare i corrispondenti valori __ 0,63 e 0, 635 ?

2. E’ più facile determinare un numero compreso fra 3 / 5 e 4 / 5 o fra i

corrispondenti valori 0,6 e 0,8 ?

3. In quali delle seguenti situazioni ti sembra più opportuna la forma frazionaria e in quali la forma decimale?

o si deve indicare una parte di tortao si deve indicare la lunghezza di una stradao si deve indicare il contenuto di una lattina di coca-colao si deve indicare il peso di una confezione di prosciuttoo si deve indicare il costo totale in euro della spesa al supermercato.

_ __ 4. Confronta 0,24 0,24 0,24

__ _ 8,81 8,81 8,82

Proviamo ora ad eseguire le seguenti moltiplicazioni

_ 0,666 x 3 0,6 x 3 2 x 3 3

La prima moltiplicazione darà come risultato

0, 666 x3 =

1,998

La moltiplicazione 2 x 3 dà come risultato 6 = 2 3 3

Ma come eseguire i calcoli con i numeri periodici? Le cifre decimali sono infinite e questo complica le cose! Al momento abbiamo solo una possibilità e cioè approssimare il numero periodico , limitandoci , ad esempio , a due cifre decimali. _ 0,6 ~ 0,67

(Il simbolo ~ indica per l’appunto che i due valori , pur essendo “ molto vicini “ non sono uguali ).

Ma così otteniamo solo un valore approssimato del prodotto! _Per calcolare un valore esatto non ci resta che scrivere 0,6 sotto forma di frazione , cercando cioè la sua frazione generatrice. Applichiamo la seguente regola pratica:

Per determinare la frazione generatrice di un numero periodico si scriverà al numeratore il numero privo della virgola , e da esso si sottrarrà il numero formato dalle cifre che precedono il periodo , e al denominatore tanti nove quante sono le cifra del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Es. 6 - 0

_ 0 , 6

periodo con 1 cifra → 1 nove

o anche

328-32 _ 3 , 2 8

Generare è un verbo molto usato nel linguaggio comune: significa far nascere , produrreGeneratrice ( frazione ) è quindi colei che genera ( un numero decimale )

ESERCIZI

6 9

296 90

1. La regola esposta per individuare la frazione generatrice sembra davvero complicata ; potremmo in alternativa e per gioco procedere cosi:

_o Scegliamo un numero periodico , es. 0,6 _ o Moltiplichiamo 0, 6 per 10 0,6666666…… x 10 = 6,66666666…..

o Sottraiamo il numero ottenuto e il numero dato 6,6666…… - 0,6666….. = 6

e osserviamo che , per la proprietà distributiva , le operazioni eseguite si possono esprimere anche così _ _ _ _ 6 = 0 , 6 x 10 - 1 x 0 , 6 = 0 , 6 x ( 10 – 1 ) = 0 , 6 x 9

o Allora confrontando i due risultati _ 0 , 6 x 9 = 6e cioè _ 0 , 6 = 6 = 2 9 3

_2. Troviamo la frazione generatrice di 0 , 9

_ 0 , 9 = 9 = 1 !!

9 Sei disposto a credere che 0,99999…….cioè questo “ serpente di nove dietro lo zero, se continua a crescere e crescere è uguale a 1 ? “( da “ Il mago dei numeri “)

“Il mago dei numeri alzò il suo bastone, lo agitò in aria, e tutto il cielo all’istante si riempì di un lunghissimo serpente di nove che si inerpicava sempre più in alto”

Sai trovare esempi analoghi?

3. Quali dei seguenti numeri sono periodici?

0,3213213213……..

5,432109876543……

1,020220222022220….

3,27010101……..

0,024681357997531864200246813…….

2,565566555666……

1,1020304050……

2,43223443223443……

2,432023443200234432000234……

4. Considera il numero 9 , 7.

Scambia la parte intera con quella decimale e ottieni 7 , 9 e calcola la differenza fra il più grande dei due numeri e il più piccolo

9 , 7 - 7 , 9

Scrivi il risultato e ricomincia come descritto ( cioè scambia la parte intera con quella decimale ecc…….)Se applichi il procedimento 97 volte , quale sarà l’ultimo numero scritto , cioè il 98° ?

Vediamo infine come esprimere un numero decimale finito sotto forma di frazione.

Al numeratore si scriverà il numero privo di virgola , al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.

Es.

7 , 3 9 1 73911000

0 , 0 7

Osserva infatti che:

7 , 391 = 7 x 1 + 3 x 0,1 + 9 x 0,01 + 0,001 cioè

7 , 391 = 7 x 1 + 3 x 1/10 + 9 x 1/100 + 1 x 1/1000

Eseguendo i calcoli

700 + 300 + 90 + 1

1000

Sai riproporre lo stesso procedimento per il numero decimale 0 , 0 7 ?

Dopo aver osservato che in alcune circostanze è più conveniente scrivere i numeri decimali sotto forma di frazione, prova ad eseguire gli esercizi elencati , nei quali , invece , è più significativa la forma decimale.Se vuoi utilizza anche la calcolatrice e approssima , se necessario, i risultati limitandoti a due cifre decimali.

1) Un uomo sente il tuono 8,5 sec. dopo aver visto il lampo.Sapendo che la velocità del suono nell’aria è v = 344 m/s e che vale la legge

s = v x t ( s : spazio v : velocità t : tempo ) ,

sai dire a che distanza è il temporale? Esprimi la distanza in km.

7100

7391= 1000

2) Un delfino in acqua emette ultrasuoni che gli consentono di percepire la presenza di ostacoli . Sapendo che la velocità del suono nell’acqua è v = 1500 m/s e che vale la legge

t = s / v ( t : tempo s : spazio v : velocità ) ,

dopo quanto tempo un delfino “sente” un ostacolo posto a 5 m ?

PROPORZIONI E PERCENTUALI

100 g di patate arrosto forniscono 570 mg di potassio.Quanti grammi di banane sono in grado di offrire la stessa quantità di minerale sapendo che ne contengono 350 mg / etto?

Uhm…… Frequentare la scuola alberghiera ti porta a “ fare i conti “ anche con questo tipo di problemi……. Come affrontarli senza far rizzare i capelli in testa all’insegnante di Alimentazione ?Riflettiamo con calma.

A

B

Se un etto di banane contiene 350 mg di potassio , è facile affermare che 200 g di banane ne contengono il doppio, cioè 700 mg , e 300 g ne contengono il triplo ( 1050 mg ).

La tabella , ovviamente , può essere ulteriormente completata.

Quantità di potassio in g

350 700 1050

Peso delle bananein g

100 200 300

RapportoA/B

3,5 3,5 3,5

E’ evidente che il rapporto fra i due valori indicati (potassio e peso ) rimane costante.

350 = 700 = 1050 = ……… 100 200 300 e puoi anche osservare che

350 = 700 = 1050 100 200 300

350x200 =700x100 = 700x300=200x1050= =70000 =210000

( Il valore di alcuni prodotti rimane dunque costante).

Il dato fornito dal problema 570 mg di potassio , non è però presente nella nostra tabella : potremo solo dire che il peso delle banane sarà compreso fra 100 g e 200 g ( giacché il valore 570 mg è compreso fra 350 mg e 700 mg ).Chiamiamo allora X la quantità cercata. Per l’uguaglianza dei rapporti sarà

350 = 570 100 X

e ancora

350 x X = 570 x 100

350 x X = 57000

Ricordando quanto sai sulla divisione, potrai scrivere

X = 57000 = 162, 857…. ~ 162,86 350

Saranno quindi 162,86 g di banane a fornire la stessa quantità di potassio di 100 g di patate arrosto.

Il problema proposto ci ha condotto a riprendere un argomento che hai senz’altro già studiato alla Scuola media : le proporzioni.

Una uguaglianza qualsiasi fra due rapporti è chiamata proporzione.

Nel nostro caso

350 = 570

100 X

è dunque una proporzione che , di solito , si scrive in questa forma:

350 : 100 = 570 : X

I termini in arancione sono definiti antecedenti, i termini in azzurro conseguenti.

I termini centrali si chiamano medi, gli altri due estremi.

medi

350 : 100 = 570 : X

estremi

Puoi facilmente verificare la “ proprietà fondamentale delle proporzioni “

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

e osservare che siamo riusciti a individuare il valore richiesto dal problema ,applicando la proprietà indicata.

Affrontiamo insieme un altro esercizio.

1 litro di olio di oliva pesa 917 g. Sai indicare qual è il contenuto di olio espresso in grammi relativo ad una bottiglia di 750 ml ?

Capienza in ml 1000 750Peso in g 917 X

Se impostiamo la proporzione , dove è X il termine incognito,

1000 : 917 = 750 : X

e applichiamo la proprietà fondamentale, si avrà

917 x 750 = 1000 x X

687750 = 1000 x X

Perciò

X = 687750 = 687,75 1000

Il peso richiesto è 687,75 g. di olio di oliva

Esaminiamo un’altra proprietà delle proporzioni.Considera la seguente proporzione

2 : 3 = 4 : 6

Ossia 2/3 = 4/6 . Se provi a cambiare ogni antecedente con il proprio conseguente otterrai

3 : 2 = 6 : 4

Ma poiché 3/2 = 6/4 anche questa è una proporzione !Questa proprietà è detta proprietà dell’invertire.

Ricorriamo alle proporzioni anche per il calcolo delle percentuali.Se devi affrontare questo esercizio di Alimentazione:

“ Calcola la quantità di protidi e di lipidi presenti in 60 g di formaggio sapendo che , in percentuale , i protidi sono il 20% e i lipidi il 25%”

come puoi risolverlo?

Il simbolo % significa “ diviso per 100 “ , perciò 20% indica la frazione 20/100 e 25% indica la frazione 25/100.Ricorriamo al solito schema.

Quantità di lipidi 25 ?

Quantità di formaggio 100 60

in grammiQuantità di protidi 20 ?

Quantità di formaggioin grammi

100 60

Impostiamo le proporzioni , indicando con X e Y i valore incogniti. Si avrà

25 : 100 = X : 60 20 : 100 = Y : 60

100 x X = 25 x 60 100 x Y = 20 x 60

100 x X = 1500 100 x Y = 1200

X = 1500 = 15 Y = 1200 = 12 100 100

X = 15 g di lipidi Y = 12 g di protidi.

ESERCIZI

A. In una ricetta di cucina è scritto che occorrono 250 g di farina per fare un dolce per 4 persone. Quanta ne occorrerà se il dolce è per 6 persone?

B. Un negozio pratica lo sconto del 12% su ogni articolo. Quanto pagherai se vuoi acquistare

o una sciarpa da 7,50 euroo un paio di guanti da 13,50 euroo una felpa da 21 euroo una camicia da 25 euro?

Sei al mare, al sole, con un bel gelato…… a goderti una splendida giornata senza nubi……….quando il vicino d’ombrellone (ce n’è sempre uno così!) ti fa:

Pensa un numero. Raddoppialo. Aggiungi 10. Dividi per 2. Sottrai il numero che hai pensato…… (pausa ad effetto)…….Ottieni 5, vero? ( risatina……)

Beh, in effetti funziona: tutte le prove che farai te lo confermeranno!Se vuoi scoprire il trucco, seguici……

Pensa un numero Lo indichiamo con un simbolo, per es. ?

Raddoppialo Ottieni 2* ?

Aggiungi 10 Ottieni 2 * ? + 10

Dividilo per 2 Se ricordi la proprietà distributiva, ottieni ( 2 * ? + 10 )/ 2 = 2 * ? /2 + 10/2= = ? + 5

Sottrai in numero che hai pensato Ottieni ? + 5 - ? = 5

Qualunque sia il numero scelto, come vedi il risultato è sempre 5. Non era difficile.

Prova tu ora a proporre qualcosa con finale a sorpresa. Dirai

Pensa un numero

Raddoppialo

Aggiungi 2

Dividi per 2

Aggiungi 3

Sottrai il numero pensato

Considera la lettera dell’alfabeto italiano corrispondente al numero ottenuto

Pensa ad una nazione europea la cui lettera iniziale è quella ottenuta

Infine moltiplica il numero per 4

Trova la lettera corrispondente dell’alfabeto

E pensa ad un animale africano la cui lettera iniziale sia quella trovata

Beh, che ci fa un rinoceronte in Danimarca?

Stavolta indichiamolo con la lettera x

Ottieni 2 * x

Ottieni 2 * x + 2

Ottieni x + 1

Ottieni x + 4

Ottieni 4

Ottieni 4 D

C’ è solo DANIMARCA

Ottieni 4 * 4 = 16

16 R

RINOCERONTE

?

Benvenuto nel mondo dell’algebra! E’ un universo popolato da numeri e lettere ( che rappresentano numeri ). Potrai sommare e moltiplicare le lettere così come fai con i numeri.

La matematica non è l’unico ambiente nel quale le lettere fanno la loro comparsa.

FISICA

Hai già avuto a che fare con la formula s = v * t

dove le lettere s v t ( iniziali di spazio , velocità e tempo ) rappresentano valori numerici in un determinato contesto, quello del moto rettilineo uniforme.

Conosci altri ambienti nei quali si utilizzano le lettere?

99

Vuoi metterti alla prova con le formule?

Ricorda allora che in ogni formula compaiono lettere che rappresentano grandezze, cioè valori da determinare tramite calcoli e valori noti , e legati ai casi particolari, che dovrai sostituire.

Per esempio, vuoi calcolare il tuo BMI ( indice di massa corporea) ?

BMI = M / h2

dove M è la massa espressa in Kg. e h è l’altezza espressa in metri.

Osserva allora che BMI è la grandezza sconosciuta, M e h sono valori noti, ma differenti da caso a caso ( da persona a persona ).Ora fai il calcolo e spera che il tuo valore sia compreso fra 18,5 e 25 altrimenti….. ti converrà consultare il tuo insegnante di alimentazione.

Esiste una formula per determinare “ l’età consigliata di lettura” di un testo per bambini.

E = 0,4 * ( p : f + 100 * pl : p )

dove E = età di lettura è il valore da determinare mentre

p = numero di parole f = numero di frasi pl = numero di parole con più di tre sillabe

sono valori che determinerai dal testo.Scegli un brano da uno dei libri di Harry Potter e prova.

10

CONOSCIAMO I MONOMI

Un prodotto di numeri e lettere si indica con il termine di monomio.

v t

3 x y z y w

½ a t2

Un monomio si compone di una parte numerica ( coefficiente numerico ) e una parte letterale.

In genere si preferisce scrivere i monomi in modo che nella parte letterale ogni lettera compaia solo una volta ( si dice che il

monomio è in forma normale ).

Per esempio se il tuo monomio è

2/3 a b2 a3 ( - ½ )b3 a5

applicando la proprietà commutativa e quella associativa, la proprietà del prodotto di potenze con base uguale e ricordando che ogni lettera rappresenta un numero,potrai scrivere più agevolmente il monomio così

- 1/3 a9 b5

Infine due monomi si diranno simili se hanno la stessa parte letterale.

5 a3 b2 - 6 a3 b2

- 2 x y - ½ x y

ma non sono simili

¾ c d2 - 1/7 c d2

Una somma di monomi è un polinomio.

so + vo t + ½ a t2 OPERAZIONI TRA MONOMI

L’addizionePer arredare le tre sale di un ristorante il proprietario dovrà acquistare per

la prima sala 8 tavoli32 sedie

seconda sala 16 tavoli64 sedie

10

terza sala 5 tavoli20 sedie

Indicando con t il tavolo e con s la sedia si ottiene come modello matematico

8t+32s+16t+64s+5t+20s

Abbiamo ottenuto una espressione che chiameremo letterale, poiché in essa figurano lettere utili per distinguere oggetti diversi.

Il numero trattato finora è un ente astratto che non fornisce informazioni qualitative.Il numero 8, come ricorderai, esprime solo una quantità, ma non sappiamo di che cosa si tratta.Si dice anche che 8 è un dato, mentre 8t rappresenta un’informazione, poiché indica come convenuto la quantità di tavoli necessari per arredare la prima sala.

Prendendo in esame l’espressione precedente, puoi riconoscere in essa 6 monomi di cui alcuni simili:

8t, 16t, 5t32s, 64s, 20s

Volendo ora effettuare l’ordine per l’acquisto degli oggetti sopra indicati, dovrai mantenere distinti i tavoli dalle sedie per cui avrai:

8t+16t+5t=(8+16+5)t=29t

32s+64s+20s=(32+64+20)s=116s

ottenendo 29t+116s.Attenzione avrebbe veramente poco senso eseguire l’ultima somma indicata. Il numero ottenuto sarebbe privo d’informazione.

29s+116t=(29+116)???????????di che cosa????????Come puoi osservare la somma di monomi non è detto che sia un monomio.Ancora un esempio:

a

l b

Per determinare il perimetro del quadrato e del rettangolo avremo:

p(quadrato)=l+l+l+l=(1+1+1+1)l=4lp(rettangolo)=a+b+a+b=(1+1)a+(1+1)b=2a+2b

10

Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

In questo caso l, a, b, rappresentano essi stessi dei numeri.In conclusione la somma algebrica di più monomi simili è ancora un monomio simile ai dati che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

I coefficienti possono appartenere a qualunque degli insiemi di numeri già trattati N, Z, Q.

Per chiarirci le idee vediamo qualche esempio:Esempio 1:

3ab2+ab2=si considerano i coefficienti ottenendo

(3+1)ab2=4ab2

Esempio 2:

si considerano i coefficienti ottenendo

Esempio 3:

-3a+5b-7a+2a-10b monomi con parte letterale amonomi con parte letterale b

(-3-7+2)a+(5-10)b=-8a-5b

Nell’ultima espressione non abbiamo ottenuto un monomio ma un’espressione letterale che chiameremo POLINOMIO e che tratteremo più avanti.

Riflettiamo attentamente su l’espressione

a+a2

I due monomi contengono la stessa lettera ma attenzione non sono simili e dunque tale espressione non si può ridurre ulteriormente essa rappresenta di nuovo un polinomio.

Questo non deve stupire, infatti, ricorderai sicuramente il significato diverso che ha in geometria i simboli a ed a2.

a indica ad esempio la lunghezza di un segmento

a2 indica l’area del quadrato di lato a

e non ha senso addizionare una lunghezza con un’area

MOLTIPLICAZIONE E DIVSIONE TRA MONOMI

10

Ricorda quando davanti alla parte letterale di un monomio non è presente esplicitamente un numero, questo vale 1

Se a è la lunghezza di un segmento a2=a a è come già detto l’area del quadrato di lato a

a3=a a a è il volume del cubo di lato a

Inoltre ricordando le proprietà delle potenze si ha:

a2 a3=a2+3=a5

Vediamo adesso il prodotto di due monomi

2a2b2 3a3b2=(2X3)a2+3b2+2=6a5b4

Per eseguire il prodotto di due o più monomi si considerano i coefficienti di ciascuno e si moltiplicano applicando le stesse regole viste sugli insiemi numerici già trattati quindi la parte letterale segue le proprietà delle potenze d’uguale base.

Esempio:

(-2ax2)(3a3)(-x3)=(-2)(3)(-1)a1+3x2+3=+6a4x5

1 passo si sistema il segno (-)(+)(-)=+2 passo si considera i numeri senza il segno (2)(3)(1)=63 passo si considera la parte letterale a a3=a1+3=a4

x2x3=x2+3 =x5

Le regole delle potenze d’uguale base si applicano anche nel caso della divisione tra monomi.A questo proposito ricorda che

a5:a2=a5-2=a3.

Esempio:

(-8a5b2) : (2a3b)=-4a2b1 passo il segno (-) : (+)=-2 passo i numeri senza il segno (8) : (2)=43 passo le lettere a5:a3=a5-3=a2

b2:b=b2-1=b

ESERCIZI

1) Con della tela, devi costruire un sacco a forma di cilindro. La tela necessaria per la superficie laterale è un rettangolo di dimensioni a e b.

a

10

bVuoi costruire un sacco che contenga il massimo quantitativo di farina. Come costruisci il sacco?

Così

O così?

Questo è il problema dei sacchi di Galileo.

2) Completa il seguente “rettangolo magico” in modo che righe, colonne e diagonali abbiano la stessa somma pari a 9x-3y+6z

8x-6y+5z3x-y+2z

2x+2y+6z -2x+4y-z

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA POLINOMI

L’addizione tra polinomi è facilmente riconducibile alla somma tra monomiSe P1=5a+3b è il primo polinomio

P2=6a-2b è il secondo polinomioLa somma sarà

P1+P2=(5a+3b)+(6a-2b)=5a+3b+6a-2b tolgo le parentesi=(5+6)a+(3-2)b coefficienti monomi simili=11a+b calcolo e quindi riduco il polinomio a forma normale

Prima di parlare di sottrazione tra polinomi, introduciamo il concetto di polinomio opposto.

10

Si dice opposto di un polinomio P e si indica con –P il polinomio ottenuto considerando gli opposti di tutti i monomi che lo compongono.

P=-3a+2b -P=-(-3a+2b)=3a-2b

Quindi la differenza di due polinomi P1 e P2 si ottiene sommando al primo l’opposto del secondo per cui:

P1-P2=P1+(-P2)(Questa modalità non è nuova ricorda è già stata introdotta con i numeri relativi).

Esempio:P1=5a+3b P2=6a-2b -P2=-6a+2b

P1-P2=P1+(-P2)=(5a+3b)+(-6a+2b)=5a+3b-6a+2b=(5-6)a+(3+2)b=-a+5b

Definizione di sottrazioneSostituzione dei polinomi

Si toglie le parentesiSi raggruppano i monomi simili

Si effettua il calcolo numerico

Ancora alcuni esempi:

P1= P2=

-P2=

P1-P2=P1+(-P2)= =

( - )x2y2+( )xy+(1-3)=0 x2y2 +( )xy-2=-xy-2

MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO.

La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si svolge moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio rispettando così la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Ti puoi convincere di questo pensando anche a ciò che succede in geometria Se consideri il rettangolo di dimensioni a, e b+c così fatto:

a a

b c

10

S1 S2

Volendo calcolarne l’area si ha:S=a(b+c) maS=S1+S2=ab+ac

Esempi:3ab(2a2+5b)=6a3b+15ab2

DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO

La divisione di un polinomio per un monomio si svolge dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio dato.

Esempio:

(2a3b-5a4) : (a2)=2ab-5a2

y)=

Verificare il risultato ottenuto significa effettuare l’operazione inversa, cioè la moltiplicazione Prova da solo

(2ab-5a2) (a2)=????????

( ) (-7x3y)=??????

ESERCIZI

Esprimi l’area delle figure piane indicate con un monomio

1)

sono quadrati di lato x

2)

x x

x

10

3)Esprime con una formula il numero di ore presenti complessivamente in un intervallo di tempo costituito da s settimane e g giorni

4)Esprimi con una formula il numero di minuti preseti complessivamente in un intervallo di tempo costituito da g giorni e h ore

5)Un padre ha due figlie Luisa e Carla. L’età del padre è doppia de quella di Luisa. Carla ha Y anni e l’età di Luisa supera di 5 anni la metà di quella di Carla. Esprimi con una formula l’età di Luisa e l’età del padre.

6)Anna ha 12 anni. Quanti anni aveva x anni fa? Quanti anni avrà tra y anni?

7)Esprimi il numero di posti in una sala sapendo che il numero delle file è il doppio meno 3 del numero di posti per fila.

PRODOTTO FRA POLINOMI

Proviamo ora ad eseguire un prodotto fra due polinomi, per esempio

( 3 a b – 2 b2 ) ( a2 + 5 b )

Ricordando quanto studiato in precedenza, prova ad applicare la proprietà distributiva del prodotto una prima volta per ottenere

( 3 a b – 2 b2 ) ( a2 + 5 b ) = 3 a b ( a2 + 5 b ) – 2 b2 ( a2 + 5 b )

e una seconda volta per concludere

3 a b a2 + 3 a b 5 b – 2 b2 a2 – 2 b2 5 b = 3 a3 b + 15 a b2 – 2 a2 b2 –10 b3

Anche il metodo grafico , se vuoi , può servire allo scopo.

3 a b a2 5 b - 2 b2 S1 = S2 = 3 a b a2 3ab*

10

a2 3 a b 5 b

5 b

S3 = S4 = - 2 b2 a2 -2b2* - 2 b2 5b

Stavolta

S = S1 + S2 + S3 + S4 = 3 a b a2 + 3 a b 5 b + ( - 2 b2 ) a2 + ( - 2 b2 ) 5b

Per moltiplicare due polinomi occorrerà moltiplicare tutti i termini del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio.Non è un procedimento difficile , ma attenzione ai calcoli!

Prodotti notevoli

Facciamo ora la conoscenza con i prodotti notevoli!Niente paura, si definiscono così alcuni prodotti fra polinomi per i quali potrai , per essere più veloce, applicare un metodo più semplice di calcolo, in alternativa al precedente.In questo paragrafo tratteremo prevalentemente di binomi, cioè di polinomi formati da due termini.

Prodotto della somma per la differenzaSe un polinomio è la somma di due monomi e l’altro la differenza degli stessi, esempio

( - 10 a b + 5 b ) e ( - 10 a b – 5 b )

applicando il consueto procedimento per moltiplicare, si avrà

( - 10 a b + 5 b ) ( - 10 a b – 5 b ) = 100 a2 + 50 a b – 50 a b – 25 b2 = 100 a2 – 25 b2

Semplice! Basterà moltiplicare solo I monomi simili fra di loro e sommare i risultati.

Vuoi calcolare mentalmente 39 * 41 e stupire tutti?Ragiona così

39 = ( 40 – 1 )41 = ( 40 + 1 )

10

39 * 41 = ( 40 – 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 – 1 = 1599

Sfida i compagni con giochi analoghi!

Quadrato di un binomio

Per moltiplicare rapidamente due binomi uguali , e pertanto calcolare il quadrato di un binomio, osserva il seguente esercizio

( 2 x – 3 y ) ( 2 x – 3 y ) = ( 2 x – 3 y )2 = 2 x 2 x + 2 x ( - 3 y ) – 3 y ( 2 x ) – 3 y (- 3 y )=

= 4 x2 - 6 x y - 6 x y + 9 y2 =

= 4 x2 – 12 x y + 9 y2

2 ( 2 x ) ( - 3 y )

Basterà perciò calcolare il quadrato del 1° termine il prodotto dei due termini per il fattore fisso 2 ( doppio prodotto) il quadrato del 2° termine. Ancora

( - x3 + 2 y )2 = x6 + 2 ( - x3 ) ( + 2 y ) + 4 y2 = x6 - 4 x3 y + 4 y2

quadrato del doppio quadrato del 1° termine prodotto 2° termine

1° termine

2° termine

Molti studenti non pensano che , in questo caso , la regola indicata rappresenti una semplificazione rispetto al procedimento ordinario : può essere vero, ma attenzione , il risparmio di tempo è innegabile se la applichi correttamente.

Giochiamo ancora.

Come calcolare 912 ?

( 91 )2 = ( 90 + 1 )2 = 8100 + 2 * 90 * 1 +1 = 8100 + 180 + 1 = 8281

11

E come calcolare 292 ?

( 29 ) 2 = ( 30 – 1 ) = 900- 60 + 1 = 841

Facile, vero? Prova tu.

Equazioni

Sequenza di “entità algebriche” sviluppate finora:

espressioni espressioni monomi polinominumeriche letterali

Passando da un’entità all’altra, ci siamo progressivamente svincolati dal valore numerico; infatti lavorando con monomi e polinomi, operiamo direttamente su lettere, indipendentemente dal loro valore numerico.Per esempio scrivendo non ci preoccupiamo del valore di a o di b, e l’uguaglianza è vera qualsiasi valore venga attribuito ad a o a b.Consideriamo ora una nuova entità matematica: l’uguaglianza tra due espressioni letterali.Consideriamo la scrittura:

Essa è un’uguaglianza tra due espressioni letterali contenenti entrambe a e b. Assegnando un qualsiasi valore alle lettere a e b, possiamo verificare che tale uguaglianza risulta sempre vera. Vediamo alcuni esempi:

1) a=5 b=2

(5-2)(5+2)=3·7=2152-22=25-4=21

2)

11

Consideriamo ora un’altra uguaglianza:

2a2-5a=a(2a-5)

Questa esprime un’uguaglianza tra due espressioni letterali con un’unica lettera a, ed è vera qualunque sia il valore che le si attribuisce. Verifichiamolo con alcuni esempi:

1) a=-2 2·(-2)2-5·(-2)=2·4+10=8+10=18-2·(2·(-2)-5)=-2·(-4-5)=-2·(-9)=18

2)

Si possono costruire infinite altre uguaglianze di questo tipo, a cui diamo il nome di identitàL’identità è un’uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata qualsiasi valore si attribuisce alle lettereAltri esempi di identità:

x+x=2x2b·3b=6b2

(a+b)2=a2+b2+2ab۰۰۰

Ora vediamo un altro tipo di uguaglianza tra due espressioni letterali. Ad esempio consideriamo la seguente:

3x-2=x+2

Questa è un’uguaglianza tra due espressioni che contengono un’unica lettera x, però è diversa da quelle che abbiamo visto precedentemente.Infatti non è sempre vera, indipendentemente dal valore che si attribuisce alla xVediamo:

Se x=1 3·1-2=3-2=11+2=3

l’uguaglianza non è vera.

Se x=-2 3·(-2)-2=-6·2=8-2+2=0

l’uguaglianza, anche in questo caso, non è vera.

11

Se, invece, x=2 3·2-2=6-2=42+2=4

L’uguaglianza è vera e si dice che x=2 rappresenta l’unica soluzione, cioè l’unico valore che soddisfa l’uguaglianza.Un’uguaglianza di questo tipo viene chiamata equazione.Si definisce equazione un’uguaglianza tra due espressioni letterali verificata solo per alcuni particolari valori attribuiti alle lettere che verranno chiamate incognite.Lo studio delle equazioni rappresenta uno dei capitoli fondamentali della matematica, perché le equazioni rappresentano un importante mezzo per la risoluzione dei problemi. A questo punto il nostro obiettivo è quello della loro risoluzione, cioè quello di determinare i valori che rendono vere tali uguaglianze.Si definisce grado dell’equazione il massimo esponente con cui compare l’incognita nell’equazione stessa.Chiamiamo 1° membro dell’equazione quella parte che si trova a sinistra del segno “=” e 2° membro tutto ciò che si trova a destra.Inoltre si definiscono equivalenti due o più equazioni che ammettono tutte le stesse soluzioni:

Es.: 3x-5=2x-1 e 4x-5=6x-13 sono equivalenti perché ammettono la stessa soluzione x=4

Come si risolve un’equazione di 1° grado?

Supponiamo di avere questa situazione iniziale:

Se aggiungo quantità uguali in entrambi i piatti, oppure se tolgo quantità uguali da entrambi i piatti, la bilancia rimane in equilibrio:

11

Si possono paragonare i due membri dell’equazione ai due piatti di una bilancia in equilibrio e le 3 situazioni di equilibrio al fatto che aggiungendo o sottraendo quantità uguali ai due membri dell’equazione, l’uguaglianza è inalterata.Siamo arrivati così a quello che si chiama:1° principio di equivalenza:Addizionando o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione uno stesso numero (o una stessa espressione algebrica) si ottiene un’equazione equivalente alla data.Questo principio ci permette di effettuare alcuni passaggi per trasformare un’equazione in altre equivalenti.Vediamo un esempio:

5x-6=4x+5

Sommando ad ambo i membri 6, otteniamo:

5x-6+6=4x+5+6

Il –6 e il +6 al 1° membro si annullano:5x=4x+6 e ritroviamo così 6 al 2° membro con il segno cambiato.

Ora possiamo sottrarre ad ambo i membri 4x ottenendo:

5x-4x=4x+11-4x

4x e –4x del 2° membro si annullano:5x-4x=11 e ritroviamo 4x al 1° membro cambiato di segno.

L’utilità di questi passaggi sta nel fatto che siamo riusciti a trasformare l’equazione iniziale in un’altra equivalente di facile soluzione, quale x=11.Con questo esempio abbiamo illustrato la:Regola del trasporto: si può sempre “trasportare” un termine di un’equazione da un membro all’altro, cambiandogli il segno.Ora osserviamo le seguenti figure:

11

Nel 1° caso abbiamo moltiplicato per 2 il contenuto di entrambi i piatti, mentre nel 2° abbiamo diviso per due i due contenuti.

Si può vedere che in entrambi i casi la bilancia rimane in equilibrio

Queste espressioni ci permettono di formulare il 2°principio di equivalenza:Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero (diverso da zero) i due termini di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.E’ importante sottolineare che il fattore per il quale si moltiplica o si divide deve essere diverso da zero, perché la moltiplicazione per 0 darebbe la forma 0=0 e la divisione sarebbe, ovviamente, priva di significato.

Ad esempio sull’equazione: si possono eseguire le trasformazioni:

1) Si moltiplicano ambo i membri per 2:

4x+5=2x-24x-2x=-2-53x=-7

2) Si dividono ambo i membri per 2:

e si ottiene la soluzione

DETERMINAZIONE DELL’INSIEME DELLE SOLUZIONI

Ogni equazione di 1° grado in un’incognita può essere ricondotta, attraverso vari passaggi, alla forma:

ax=b

che viene detta forma normale.- a è detto coefficiente dell’incognita- x è detto incognita- b è detto termine noto

11

Quando l’equazione è in forma normale, il secondo principio di equivalenza delle equazioni, permette di determinare la soluzione. Basta infatti dividere ambedue i membri per a, con a0 ed otteniamo così:

Che cosa succede, però nel caso in cui a=0?Si possono verificare due possibilità:1) b0 In questo caso l’equazione non ammette soluzioni e viene detta impossibile.

Infatti non esiste alcun numero x che moltiplicato per 0 dia un valore b diverso da 0

Es. 0·x=48 La legge di annullamento del prodotto garantisce che il prodotto 0·x vale 0 per qualsiasi valore di x e quindi non può valere 48. Per cui, nessun valore di x può rendere vera 0·x=48.

2) anche b=0 In questo caso l’equazione ammette infinite soluzioni e viene detta indeterminata.Infatti qualsiasi numero x moltiplicato per 0 dà come risultato 0.

Es. 3x+2=2·(x+1)+xSvolgendo i calcoli e “trasportando“ variabili e costanti, si ottiene:

3x+2=2x+2+x3x-2x-x=2-20x=0

La legge di annullamento del prodotto garantisce che 0·x=0 per qualsiasi valore di x. Quindi tutti i valori di x rendono vera 0·x=0.

Per risolvere un’equazione di 1° grado in un’incognita si deve:1. Eseguire i calcoli presenti ai due membri dell’equazione2. Ridurre tutti i termini ad un eventuale minimo comun denominatore3. Eliminare il denominatore comune applicando il 2° principio di equivalenza (moltiplicando

entrambi i membri per il m.c.d.)4. Trasformare l’equazione mediante il 1° principio5. Ridurre i termini simili portando l’equazione nella forma:

ax=b6. Se a0 applicare il 2° principio per ottenere la soluzione:

Se si vuole verificare la soluzione dell’equazione è sufficiente sostituire la soluzione all’incognita nell’equazione assegnata per controllare che la renda un’uguaglianza vera.

Es.:1) 2(x+1)-5x=x-6(x+1)

1. 2x+2-5x=x-6x-64. 2x-5x-x+6x=-6-25. 2x=-8

6.

11

2)

1.

2.

3.

4. 4x-3x-2x=12-25. -1x=10

6.

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI

1. 10 bicchieri sono su due vassoi, in uno c’è un numero doppio di bicchieri che nell’altro. Quanti bicchieri ci sono su ciascun vassoio?

2. Per risolvere l’equazione -x+2(5-3x)-3(4x+1)=6-20x eseguiamo le operazioni indicate: -x+…-6x-….-3=…

poi, per il … principio di … , si può trasportare, cambiando di … , i termini con la x al … membro e i termini …. al … membro:

-x…=…A questo punto riduciamo i … : …x=…

Quindi dividiamo per … entrambi i … , applicando il … principio … e otteniamo:

x=…3. Riconosci tra le seguenti eguaglianze quali sono equazioni e quali identità:

5= 3x-2 2y+1 = -(-1-2y) 9k-4k+1 = 3k+1+2k 0 = 5x-1 (x-3)(x+3) = x²-9 k+1 = 2k+3

4. Dati i valori : -2, 0, 1, 3/4, 2 stabilisci di quali di queste equazioni sono soluzione: 3(x+1) = 2x+1 2x-1/2+3 = x+1+3/2 b(b-2)+4(b-1) = 3b-2 2y+y(y-1)+4 = 9y+y²

5. Stabilisci quale o quali equazioni sono equivalenti a quella data. Motiva la risposta. 3x = 5 5 = 3xx = 3/53x-5 = 0 5 = -3x3x+5 = 0-3x = -5

6. Traduci queste equazioni in linguaggio naturale, seguendo l’esempio:

11

3x-2 = 0 <=> trarre il numero il cui triplo, diminuito di 2 , da 0. 2-x = 3 x+(x-1) = -3 3x+10 = 1 x+ (x+1) = 7

7. Aggiungi alle seguenti equazioni il o i termini mancanti in modo che:a) abbiano soluzione 0 b) abbiano soluzione 3c) siano impossibilid) siano un’identità

3(x+1) = 2x+2+… 5(x-2) = 3x+… (2-x)-(1-3x) = 3+…

8. Trasforma i seguenti problemi, espressi in linguaggio naturale, in un’ equazione di I grado, nei casi in cui è possibile e rispondi alla domanda finale; dopo aver individuato i dati significativi, quelli non significativi e la richiesta:

Francesca, alla festa di Luca avvenuta 10 giorni fa, ha chiacchierato con 12 persone che erano i 3/5 di tutti gli invitati presenti. Quanti erano gli invitati alla festa di Luca?

Un aereo, che può portare 500 persone, viaggia a 1200 Km/h e per 8400 Km. Per quante ore ha viaggiato?

9. Associa a ciascuno dei seguenti problemi la frase aperta corrispondente:

11

Il rapporto tra due numeri è ¾ e la loro somma è 28, quali sono i due numeri?

I ¾ di un numero sono uguali al n° stesso aumentato di 28. Trova il numero.

La somma di 2 numeri è 28 e uno è i ¾ dell’altro. Trova i numeri.

I ¾ di un numero sono uguali a 28. Trova il numero.Un numero aumentato dei suoi ¾ è uguale a 28. Qual’ è il n°?

¾ di x è uguale a x aumentato di 28.

¾ di x è uguale a 28.

¾ di x aumentato di x è uguale a 28.

10. “16 è la somma fra una cosa e la sua metà.” Quanto vale la cosa?[Il testo è tratto dal papiro Rhind, ed è il problema 25. il papiro Rhind, dal nome del suo primo acquirente, risale al 1800 a. C. ed è conservato al British Museum di Londra.]

11. “Passante, in questa tomba riposa Diofanto. Oh, meraviglia, la matematica ti darà la misura della sua vita. Ascolta, Dio gli concesse di passare 1/6 della sua vita in fanciullezza, 1/12 in più e gli fece crescere la prima barba. Poi, dopo 1/7, egli si sposò e 5 anni dopo gli nacque un figlio. Ah, povero ragazzo: egli morì dopo aver vissuto solamente la metà di quanto visse il padre il quale morì dopo 4 anni trovando così consolazione al suo dolore:” Quanto durò la vita di Diofanto?[Diofanto è stato un grande matematico del II-III secolo a. C.; famose sono le equazioni diofantee, equazioni del tipo ax+by = k di cui si ricercano soluzioni intere. Il testo originale del problema si ritrova in un epigramma dell’antologia Palatina ed attribuito a Metrodoro di Bisanzio (VI secolo d. C.). ]12. Un problema di Choquet (1445-1500). “Un’eredità è divisa fra fratelli: il primo prende 100 franchi più il 10% del resto, il secondo 200 franchi più il 10% del resto, il terzo 300 franchi più il 10% del resto…e così via. Alla fine tutti hanno la stessa cifra. Quanti sono i fratelli e a quanto ammontava l’eredità?”

12)La coda di un pesce pesa 4hg il tronco pesa quanto la testa e la coda insieme, la testa pesa quanto la coda e metà del tronco. Quanto pesa il pesce?

13)In un cortile recintato vivono 224 animali: il numero dei gatti è 6 volte quello dei cani. Trova quanti sono i gatti e quanti i cani.

14)Da un foglio di carta quadrettato si vuole ricavare una cornice di forma rettangolare e dello stesso spessore di un quadratino. Si vuole che i quadratini della cornice siano tanti quanti i quadratini interni.

APPENDICE

11

ESERCIZI RIGUARDANTI L’INSIEME N

1) Sostituisci al posto del simbolo l’operazione eseguita5∆3+2=4(2◘3)x1=5

2) Applicando la proprietà commutativa e la proprietà associativa calcola nel modo più rapido le seguenti espressioni:

23+55+17=13+36+27+14=2340+175+60+15=

3) Determinare la somma dei numeri di tre cifre che iniziano per 1 e la cui seconda cifra è il doppio della terza (dai giochi di informatica)

4) Giochiamo con i quadrati magici. Si chiama quadrato magico il quadrato numerico nel quale la somma dei numeri di ogni riga è uguale alla somma dei numeri di ogni colonna ed è uguale alla somma dei numeri di ogni diagonale.

Qualche esempio:

1 7 11 3 56 0 5

Ora prova a completare

5 37

9

5) Quali delle seguenti operazioni hanno un risultato in N con a=4, b=19, c=1

a-b=(a+b)-c=b-(a-c)=b-(a+c)=c-b=(a+b)-b=(a-b)-c=(b-a)-a=

12

4 9 23 5 78 1 6

5 39 1

51

0 11 6 3

6) Unj ladro riesce ad aprire una cassaforte di una banca dove si trovano 100 sacchetti pieni di oro, ma ha la possibilità di rubarne uno solo. 99 sacchetti hanno il medesimo contenuto mentre uno è più pesante in quanto contiene più oro. Chiaramente il ladro vuole portare con se il sacchetto più pesante. Ha a disposizione una bilancia a due piatti. Quante pesate dovrà fare per avere la certezza di scegliere il sacchetto giusto.

7) Costruisci il diagramma ad albero delle seguenti espressioni:(((24:2):3):2=((5+25):5)-6=

8) Quali delle seguenti disuguaglianzea>7 a<7 a≥7 a≤7 traduce l’affermazione “il numero a non è maggiore di 7”

9) Completaa>3 a è ………………..di 3 indica almeno due numerib<2 b è…………………di 2 indica almeno due numeri c>5 c è …………………di 5 indica almeno due numerid≤7 d è…………………di 7 indica almeno due numeri

10) Al numero k aggiungo 3, poi aggiungo 2 e moltiplico il tutto per 3 ottengo così il numero 60.. Qual’è la somma delle cifre del numero k.

11) Se 1+4n+n2 è dispari cosa posso dire di n? è pari? è dispari? Prova ad indagare.12) Verifica con un esempio che (a+b+c)2≠a2+b2+c2

13) Se k è divisibile per 2 cosa posso dire di k2

14) Se k è divisibile per 3 cosa posso dire di k2+3 è divisibile per….. indaga con degli esempi15) Indica se sono vere o false le seguenti affermazioni motivandone la risposta.

Una potenza è sempre > del prodotto della base per l’esponente (a)n>axn Il quadrato di un numero è uguale al doppio del numero. Il cubo di un numero è uguale al triplo del numero. Una potenza è uguale ad 1 solo quando la base è uguale ad 1. La potenza di 1 è 1 qualunque sia l’esponente.

16) Sapendo che 21:5=4 con resto di 1Qual è il quoziente di (21x3) : (5x3) ? e di(21x2) : (5x2) ? ed il resto?Osservazione: devo distribuire 21 caramelle tra 5 bambini nel primo casoHo il ……….di bambini ma anche il ………. di caramelle nel secondo casoHo il ………..di bambini ma anche il ……….di caramelle nel terzo caso

17)Metti in ordine crescente risultati delle seguenti operazioni:

(4+16)-(10:2)+(2x5-5)=4+(16-10):2+2x(5-5)=((4+16-10):2+2)x(5-5)=(4+(16-10):2+2)x5-5=

18)Se a e b sono numeri natural e a=b+10 quale delle seguenti affermazioni sono corrette: Supera b di 10 unità B supera a di 10 unità La differenza tra a e b è uguale a 10 unità Se aumento b di 11 unità ottengo il successivo di a

12

ESERCIZI RIGUARDANTI L’INSIEME Z

Rispondi al seguente quesito utilizzando al massimo 15 righe:“ spiega brevemente i concetti di moltiplicazione e divisione fra numeri relativi,illustrandone le proprietà con opportuni esempi”.

1. Se a indica un numero intero, il simbolo - a è un numero negativo? E +a?2. Esegui le seguenti addizioni di numeri interi relativi:

(-15) + (+12) + (-6) + (-8) + (-7) =

(-52) + (+34) + (-23 ) + (+10 ) + (+16) =

3. Calcola il valore delle seguenti espressioni:

+ (-16) – (-32) –4-7+5+12 =

-(-13) –10 + (-3) –8- (-6) – (-2) –1 =

4. Inventa un’espressione contenente almeno 7 termini nella quale siano presenti somme algebriche e prodotti e il cui risultato sia -1:

5. Se la temperatura media dovesse aumentare di 0,2°C ogni 15 anni, nel mese di Luglio 2077 a Roma sarebbe in media di ………°C se si considera che, nel mese di Luglio 2005, è stata di 30°C:

6. Le seguenti sono equazioni di 2° grado:

x2 + 7 x + 6 = 0 x2 – 5 x + 6 = 0x2 + 11 x + 10 = 0 x2 - 10 x + 21 = 0

Risolvere una equazione di 2° grado vuol dire determinare tutti i possibili valori ( sono al massimo 2) che , sostituiti al posto della lettera x , rendano vera l’uguaglianza. Per raggiungere l’obiettivo, esiste una formula che studierai al 2° anno, ma per quelle indicate ( e molte altre ) usa il seguente trucco:il prodotto p delle soluzioni è il numero che precede l’ =la somma s è l’opposto dell’altro numero.

7. Completa: ….. – 347 = - 128 ……… - 154 = 798. Risolvi le seguenti espressioni:

- 35 : (9-2) - - (18-3) : (-5) - -12 + (7-9) : (-7) –8 (-16+18) : (-5) =

12

S = ?P = ?

2 (7-9) (21-28) : (-9+5) – (14:2-9) (-28:7+6) : (18:6) +1 =

(-5)3 : (-5)2 = (-5)4 2 = (-2)3 (-2)4 2 : (-2)5 : (-2)2 3 =

9. Calcola le seguenti moltiplicazioni, divisioni e potenze:

(-9) (-8) = (-8) 0 = (+4) (-7) = (+7) : (-1) = (-24) : (-8) =

(-32) : (+4) = (-2)5 = (-3)4 = (-5)0 = (+7)3 =

10. Un quadrato è magico se le somme dei numeri di ciascuna riga , di ciascuna colonna , di ciascuna diagonale sono uguali. Verifica che il seguente sia magico:

-5 +10 +7

+16 +4 -8

+1 -2 +13

e completa i seguenti:

11. Un facile SudokuIl rompicapo nasce negli USA nel 1979. L’attribuzione è incerta, ma si pensa che sia stato ideato da Walter Mackey, uno degli enigmisti della rivista Math Puzzles and Logic Problems della Dell Magazines. Per creare il rompicapo, Mackey ( o chi altro 9 si basò sul “quadrato latino” ideato dal matematico svizzero Eulero nel 1793. La regola è semplice: in nessuna riga, colonna o riquadro può esserci due volte lo stesso numero. I numeri possibili sono quelli da 1 a 9.Completa il seguente sudoku:

12

-17 -2

-8

-14 +1

+6

-6

-2 -18

4 8 5

5 7 9 4 3

8 2

4 2 1 6

7 9 2 1 5 3 8 4

6 8 4 5

4 6

1 7 8 4 6

3 6 9

12. L’imperatore Ottaviano aveva 32 anni, 1 mese e 12 giorni nella battaglia di Anzio . Morì a 77 anni e 15 giorni. Quali sono le date della sua nascita e della sua morte?

13. Dire quanto vale il quoziente:a) tra due numeri ugualib) tra due numeri oppostic) tra due numeri discordi.

14. Se , dato un prodotto di più fattori, si cambia il segno di ogni fattore, il prodotto cambia segno o no ? Si può dare a questa domanda una risposta generale ?15. Completare le seguenti frasi:

5 : 0 = …….. perché …………0 : 0 = …….. perché …………7 : 7 = …….. perché …………0 : 7 = …….. perché …………

16. Dire come risultano tra loro i seguenti numeri:

- (+6)/(-2) (-6)/(-2) -(-6)/(+2) (+6)/(+2)

- (-20)/(-5) (-20)/(+5) (+20)/(+5) -(+20)/(+5)

17. Spiega che cosa significa in termini matematici che un numero è il doppio di un altro e stabilisci in quali casi il doppio di un numero è minore del numero stesso.18. Se nel gioco dei dadi utilizzassi un dado verde ( dove le facce hanno impressi i numeri da 1

a 6 ) e uno rosso ( dove i numeri vanno da -6 a -1 ) , quali sarebbero i punteggi complessivi?

19. In ognuna delle seguenti espressioni numeriche sostituisci alle lettere i valori numerici indicati e calcola quindi il risultato:z – z2 – z3 –2 z4 = z = -2

( a – b ) – ( b – a )2 – ( a – b )2 – b2 = a = -2 b = -320. Quali delle seguenti espressioni rappresentano , qualunque siano i numeri interi assegnati

alle lettere, un valore sicuramente non negativo o sicuramente non positivo?

p+1 ( 1 – p )2 - z2 a2 + b2 - t – 1 ( - k )3 ( - a ) ( - a )

12

( x – 1 )2 + 1

ESERCIZI RIGUARDANTI L’INSIEME Q

1) Considera la frazione è > o < di 1 cioè dell’unità? E di quanto ? E la frazione è > o < di

1 ? di quanto?

2) Rappresenta su una retta e ; c’è un modo conveniente di sceglire l’unità di misura?

3) Completa il seguente schema. Ogni numero è la somma dei numeri sottostanti

4) Associa l’espressione corrispondente a ciascuno dei seguenti numeri

; ; ; ; ; ;

Il doppio di

La metà di

Il triplo di

Un terzo di

aumentato di 1

12