1.Le onde

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Capitolo 1. I campi dipendenti dal tempo e le onde

Introduzione

Passiamo adesso a studiare i campi dipendenti dal tempo. Dobbiamo necessariamentelimitarci al campo elettromagnetico; in fisica classica, infatti, il campo gravitazionale costante nel tempo. Onde gravitazionali sono, tuttavia, previste dalla Relativit Generale.

1. La legge di FaradayNeumann-Lenz

Definiamo flusso del campo magnetico attraverso una superficie S la quantit:

S

dSnBB

)( , dove n rappresenta la normale alla superficie infinitesima dS .

Orbene, M. Faraday scopr che ogni volta che il flusso concatenato con un circuito chiusocambia, c un passaggio di corrente attraverso il circuito. Non ha importanza se ilcambiamento di flusso avviene a causa di una deformazione del circuito, di unospostamento del circuito, di una variazione del campo esterno, di un movimento dellasorgente del campo esterno o per qualche altra ragione. Ad una variazione di flussoconcatenato corrisponde sempre il passaggio di una corrente attraverso il circuito ed ilverso della corrente cos generata sempre tale da opporsi alla variazione del flusso (legge

di Lenz): se il flusso diminuisce, la corrente indotta tender a mantenere il campocostante, se il flusso aumenta, la corrente avr verso opposto e generer dunque un campoche tende a diminuire il flusso. Poich la carica si muove attraverso un circuito a causa diun campo elettrico, evidentemente la variazione del flusso concatenato produce un campo

elettrico la cui circuitazione 0 ldEcircuito

. questo il campo elettrico che fa muovere

gli elettroni nel filo e dunque produce una corrente. Riflettiamo un attimo su questo punto.Il lavoro infinitesimo effettuato dal campo elettrico in ciascun punto del circuito positivo, dunque lintegrale effettivamente diverso da zero. Questo un comportamentodiverso da quello del campo elettrostatico, la cui circuitazione risultava in ogni caso nulla.Il campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico non dunqueconservativo: per esso non possiamo definire un potenziale scalare.

Allintegrale 0 ldEcircuito

si assegna il nome di forza elettromotrice (f.e.m.) indotta.

Questo non lunico modo in cui si pu generare una f.e.m.. Se in un circuito si inserisceuna pila, una corrente attraverser il circuito e lintegrale del campo elettrico non sarnullo. Dunque, anche in questo caso nel circuito si avr una f.e.m., anche se non indotta

Data limportanza del flusso, per le ragioni che vedremo in questo capitolo, al flussounitario: tesla.m2si da il nome di weber.

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Cap. 1 I campi dipendenti dal tempo e le onde________________________________________________________________________2

dalla variazione di flusso del campo magnetico. Ci si pu convincere del fatto che perottenere una corrente in un circuito occorre in ogni caso avere una f.e.m. non conservativa.Dato un circuito in cui sia inserita una fem, generata forse da una batteria o in altro modoqualsiasi, si ha chefem Ri (legge di Ohm). La legge di Faraday stabilisce che lacircuitazione del campo elettrico nel filo (la fem) uguale alla derivata, cambiata disegno, del flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata dal circuito,ovvero:

dSnBdt

dldE

Scircuito

(Legge di Faraday)

Fig. 1: Legge di Faraday (linee di forza del campo B).

Si tenga presente che la derivata del flusso tanto pi grande quanto pi rapidamenteavviene la variazione del flusso: importante anche la velocit del cambiamento e nonsolo il cambiamento totale! Si tenga presente anche che un flusso concatenato ad uncircuito pu essere prodotto dal campo generato dalla corrente che percorre il circuitostesso, in tal caso si parla di flusso autoconcatenato.

La legge di Ohm si scriver in generale: anche in questo caso:( )d B

V Ridt

, in cui

V la fem eventualmente generata con pile e ( )B

il flusso del campo magnetico.

C anche da notare che, data la curva definita come circuito nella legge di Faraday, ilnumero di superfici racchiuse da questa curva infinito: quale scegliere? Una qualsiasi,

perch il flusso di B

uguale attraverso tutte le superfici, come si pu dimostrare con unsemplice ragionamento. Si prendano due superfici aventi come bordo il circuito e le si

chiamino 1S ed 2S La superficie totale 21 SSS una superficie chiusa ed il flusso

di B

attraverso di essa sar nullo. Dunque:

dSnBdSnBdSnBdSnBdSnBSSSSS

2121

0 . Questo significa

che i due flussi sono uguali in modulo. Il segno meno appare qui perch, se il flusso

attraverso 1S entrante in S, allora il flusso attraverso 2S sar uscente e dunque

Linee diforza

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Cap. 1 I campi dipendenti dal tempo e le onde________________________________________________________________________

3

negativo. Tuttavia a noi interessa confrontare i due flussi entranti in 1S ed 2S che

saranno cos uguali in valore e segno.

Un punto importante il fatto di utilizzare la derivata totale (dt

d) del flusso, piuttosto che

la derivata parziale (t

). La derivata totale di una funzione ),,,( tzyxff :

t

f

dt

dz

z

f

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

df

ed dunque diversa dalla derivata parziale

rispetto al tempo t

f

. La ragione per usare la derivata totale che, come si detto, la fem

prodotta da una variazione del flusso, qualunque ne sia la causa. E possibilenaturalmente, che il campo magnetico sia variabile nel tempo come, per esempio, quelloprodotto da una corrente alternata, mentre n la forma n la posizione del circuito cambia.In tal caso la derivata totale si riduce a quella parziale. E tuttavia possibile che, mentre ilcampo magnetico sia costante nel tempo, la variazione del flusso concatenato col circuitosia dovuta o ad una cambiamento di posizione del circuito (come, per esempio, una spirache ruota intorno ad un suo diametro) o ad una deformazione del circuito (come, peresempio, nel caso di un circuito rettangolare con tre lati fissi ed uno che, scorrendo su duedegli altri lati mantenendo il contatto, faccia variare larea della spira). In questo ultimocaso la derivata parziale nel tempo sar nulla, ma la derivata totale non nulla, perch nonsono nulle le derivate rispetto alle coordinate n lo sono le derivate delle coordinate

rispetto al tempo.Consideriamo adesso il caso in cui il campo magnetico sia costante in funzione del tempo.Un circuito chiuso si muove allinterno di tale campo o almeno una sua parte si muovementre il circuito viene deformato. Pensiamo il filo che costituisce la spira come un tubopieno di un gas di elettroni. Durante il movimento questi elettroni si muovono nel campo

magnetico e sono pertanto soggetti alla forza di Lorentz ( BveF

) che divisa per la

carica equivalente ad un campo elettrico ( Bve

FE

), integrando questo campo

su tutto il circuito si ottiene una fem che proprio quella prevista dalla legge di Farady-Neumann-Lenz. Vediamo come:

( ). ( )

( ) ( )

S

S S S

S

E dl v B dl v B ndS

dx dy dzB v ndS v B ndS B B B ndS

dt x dt y dt z

dB ndS

dt

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Notare che il tempo non variabile dintegrazione e dunque la derivata si pu portare

fuori dal segno dintegrale. La relazione usata BvvBBv

)()()( una relazione generale che comunque si pu calcolare esplicitamente. Ricordare anche che

0 B

.Da questo punto la legge non ci da nessuna informazione nuova rispetto alla sempliceconstatazione dellesistenza della forza di Lorentz. Studiamo adesso il caso di un campovariabile nel tempo, mentre il circuito resta fermo. E il caso in cui solo la derivata

parziale del flusso rispetto al tempo diversa da zero, dunquetdt

d

.

Riscriviamo la legge di Faraday, usando il teorema di Stokes:

dSnt

BdSnB

tdSnEldE

SSScircuito

)( . Si eguaglino adesso

gli integrandi giacch gli integrali sono sempre uguali e troviamo:

t

BE

(Legge di Faraday)

Questa dunque la legge di Faraday nella sua forma differenziale che sostituisceluguaglianza a zero del rotore del campo elettrico nel caso statico. Si noti comunque che,

nel caso in cui non vi sia neppure un campo magnetico variabile ( 0

t

B

), si ritorna alla

vecchia legge, che la nuova formulazione estende al caso in cui vi sia un campo magnetico

variabile. Si guardi adesso alla legge di Faraday con un po dattenzione: quello che essaci dice, in effetti, che la sorgente di un campo elettrico pu essere anche un campomagnetico variabile e non solo una carica. Nel ragionamento fatto, abbiamo di fattoeliminato qualsiasi ruolo del filo e delle parti materiali. Dunque si pu pensare che non

siano necessari dei fili per verificare lesistenza di questo campo elettrico generato da B

,ma che si dovrebbe trovarlo direttamente nello spazio in cui il campo magnetico stavariando, per esempio, verificando che c una forza (non conservativa) che agisce su diuna carica elementare, come un elettrone. Allo scopo di verificare che questainterpretazione corretta, si descriver adesso un apparecchio, chiamato betatrone, cheutilizza appunto un campo magnetico variabile nel tempo per accelerare particelle lungouna circonferenza. Questo campo magnetico produce un campo elettrico capace dieffettuare del lavoro su di elettrone in moto su una curva geometrica chiusa e dunque diaccelerarlo. Se troviamo che un elettrone effettivamente accelerato, ne concludiamo chenello spazio si formato effettivamente un campo elettrico non conservativo.

Notiamo che non potremo pi dire che:

E con potenziale scalare, giacch il

campo elettrico non conservativo. Tuttavia possiamo modificare questa relazione,

sostituendo a:

E la relazione:t

AE

, in cui A

il potenziale

vettore il cui rotore il campo magnetico. Infatti:

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5

t

B

t

A

t

AE

)()(

.

2. Il betatrone

Un betatrone ha la struttura illustrata in fig. 2:Il betatrone una grande massa di ferro, magnetizzata con degli avvolgimenti (rettangolirigati), in modo da creare il campo magnetico indicato in fig. 2. Cariche (elettroni, protoni,ioni) circolano in un toro, in cui si fatto il vuoto, localizzato dove il campo curvo.Essendo il campo magnetico costante e verticale sul piano di simmetria del betatrone, lecariche si muovono su di una circonferenza giacente su tale piano. Si immagini di avereiniettato le cariche nel toro in modo che la loro velocit sia esattamente tangenzialeallorbita circolare e giaccia sul piano di simmetria. Variando la corrente nei dueavvolgimenti possibile cambiare il valore del campo magnetico senza modificarnelandamento spaziale. Si varier cos il flusso attraverso lorbita della carica iniettata equesto, in accordo con la legge di Faraday, dovr generare un campo elettrico nonconservativo sullorbita che accelerer la particella. Assumiamo che, al momento

delliniezione, la particella abbia velocit v

e che il campo sia B

. Il raggio dellorbita

sar allora pari a:eB

pr . Allaumentare di B

comparir sullorbita una f.e.m. indotta

che accelerer la particella (se il segno della carica ed il verso di iniezione della particellae della corrente sono stati scelti correttamente). Dunque, aumenter limpulso della

particella ovvero il termine al numeratore nella precedente espressione. Tuttavia,aumentando B

anche il denominatore cresce. possibile tenere rcostante, in modo che

la particella resti allinterno del toroide durante tutto il processo di accelerazione seguendounorbita circolare? La risposta positiva purch si rispetti una condizione detta appuntocondizione di betatrone che illustreremo adesso.

Fig. 2: Schema di un betatrone.

B

Camera avuototoroidale

Fe

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Si guardi ancora una volta al senso di ci che si sta facendo. Si iniettata una particella,diciamo un elettrone, in un campo magnetico. Non c traccia di un apparato che possaprodurre un campo elettrico. Si fa variare la corrente negli avvolgimenti in modo che ilcampo magnetico cambi ed il nostro elettrone venga accelerato da una forza che divisa perla sua carica appunto un campo elettrico. Tale campo pu essere generato solo dalcampo magnetico variabile.

dunque evidente che, nella stessa zona di spazio in cui c un campo magneticovariabile, c anche un campo elettrico (variabile). Per provare che la legge di Faradayesprime in maniera corretta il rapporto tra campo magnetico e campo elettrico, possiamoverificare sperimentalmente la condizione di betatrone, costruendo un betatronefunzionante.Cominciamo con lo scrivere la legge di Faraday applicata allorbita ed imponiamo larichiesta che il raggio dellorbita rimanga appunto costante:

dSnBt

ldESorbita

. Notiamo che il problema a simmetria cilindrica. Da

questo si pu dedurre che sullorbita tanto E che B sono spazialmente costanti, ciouguali in ogni punto, mentre variano temporalmente insieme. Di conseguenza la

circuitazione pu essere espressa come: rEldEorbita

2

. Per il secondo principio

della dinamica, E

legato alla variazione dellimpulso:

dt

dpeE . Questa relazione

espressa in forma scalare, intendendosi che il campo elettrico ha direzione tangenteallorbita e produce appunto una variazione della velocit tangenziale. Del resto, se variap perch varia B (stiamo imponendo che il raggio resti costante):

Z

r

Iniezione

Piano di simmetria

Orbita

Campo E

indotto

Fig. 3: Iniezione di un elettrone in un campo magnetico.

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7

t

BS

t

BrrEldE

t

BrEeE

dt

dp

t

Ber

eB

pr

orbita

2

22 2

dove S larea dellorbita. Sostituendo nellespressione della legge di Faraday si ottiene:

t

BSldEdSnB

torbitaS

2

che si riscrive come:

1 1

2

S

BB ndS

S t t

. Si noti a questo punto che la quantit: dSnB

S S

1

rappresenta il valore medio del campo magnetico sul piano di simmetria di B . Il campoB che appare a secondo membro invece il campo sullorbita (costante per le ragioni disimmetria gi invocate). Si supponga adesso che il campo magnetico abbia unadipendenza dal tempo del tipo: )(sen t , fattorizzabile rispetto alla dipendenza spaziale. In

altre parole: ( , ) ( )sen( )B r t B r t . Sostituendo e semplificando, si ha la cosiddetta:

BB2

1(condizione di betatrone)

ovvero il campo sullorbita deve essere pari alla met del campo medio interno allorbita.Per quanto riguarda la possibilit di fattorizzare la dipendenza temporale del campomagnetico, questa dipende dal fatto che le correnti variano allinterno degli avvolgimenticon la frequenza di rete di 60Hz(50Hznegli USA), mentre la forma del campo magneticodipende dalla collocazione degli avvolgimenti e dalla forma del ferro. Si tenga presenteche, se i segni delle cariche, ecc... sono stati scelti in modo che per il primo quarto diperiodo si ha un processo di accelerazione (il flusso aumenta), allora, durante il secondoquarto, si avr un rallentamento (il flusso cala) e, durante il secondo semiperiodo, ilcampo avr direzione inversa ed espeller le particelle lateralmente, invece di tenerle nellacamera a vuoto. In conclusione, lintero processo di accelerazione deve avvenire in unquarto di periodo ovvero in 4,2(5)ms . Il fatto che il betatrone funzioni implica lo stretto

accoppiamento di un campo elettrico ad ogni campo magnetico variabile nel tempo nelvuoto.

3. La corrente di spostamento

Nel paragrafo precedente si visto che un campo magnetico variabile sorgente di uncampo elettrico. Questo per mette in luce una strana asimmetria: un campo magneticovariabile genera un campo elettrico, mentre linverso non sembra essere vero. O forse sidevono considerare le cose pi attentamente, pensando ai termini dipendenti dal tempoche potrebbero essere stati omessi nel discutere la magnetostatica. Fu J. C. Maxwell arisolvere il problema di questa asimmetria. Si riprenda la legge di Ampere, cos come

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stata scritta nel Cap. 3: jB

0 e si noti che, mentre la divergenza del membro disinistra zero (la divergenza di un rotore sempre nulla), la divergenza del membro didestra non nulla. Si anzi visto, con l equazione di continuit della corrente, che

esprime la conservazione della carica, che:t

j

. Naturalmente, nel caso di

fenomeni non dipendenti dal tempo la derivata della densit di carica sar nulla e tuttotorna a posto. In genere per si ha a che fare con processi dipendenti dal tempo per cui ladivergenza della corrente non nulla e lequazione di Ampere non funziona. Questo cifornisce un indizio su come risolvere la questione dellapparente asimmetria dicomportamento tra i due campi: forse c un termine mancante a destra dellequazione di

Ampere, termine dipendente dal tempo e quindi nullo nei casi statici. Se questo terminecoinvolge il campo elettrico, possibile risolvere il nostro problema. Ricordiamo ora che:

0

E

ovvero, derivando rispetto al tempo,tt

E

0

1

e, sostituendo

nellequazione di continuit della corrente, si trova subito un vettore a divergenza sempre

nulla: 0)()( 0

t

Dj

t

E

tj

, dove: ED

0 . Lipotesi

di Maxwell fu che occorreva mettere a secondo membro della legge di Ampere il vettore:

t

Dj

e non il solo j

. Naturalmente nei casi statici lequazione di continuit della

corrente si riduce a quella gi nota. In conclusione, lipotesi di Maxwell porta a scrivere la

legge di Ampere nella forma: )(0t

DjB

. Cerchiamo adesso di capire il

significato del termine:t

D

, che chiamato corrente di spostamento. Al vettore D

si

d il nome di induzione elettrica. Chiaramente la corrente di spostamento non pu

essere legata al moto di cariche: per questo c gi j

. Tuttavia c un caso dove

evidentemente il solo vettore j

non basta. Si consideri un circuito costituito da un filo

chiuso sulle armature di un condensatore (fig. 4). Supponiamo dapprima di caricare ilcondensatore e poi di chiudere il circuito. Si tenga presente che: il simbolo

standard per un condensatore e il simbolo di un interruttore.

Si carichi dunque il condensatore, poi si chiuda linterruttore e la corrente scorrer nel filospinta dalla differenza di potenziale presente sulle armature del condensatore carico. Sitratta evidentemente di un fenomeno transitorio, perch, allorquando la quantit di caricanegativa che arriva sullarmatura positiva sar sufficiente per neutralizzarla, la differenzadi potenziale ed il campo dentro il filo andranno a zero e la corrente si arrester. Si pufacilmente calcolare landamento della corrente nel circuito, utilizzando la legge di Ohm.

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9

Fig. 4: Circuito con interruttore.

La differenza di potenziale nel circuito infatti pari alla differenza di potenziale tra le

armature: C

QV , dove C la capacit del condensatore. Se R la resistenza del filo,

si avr: RiC

QV , dove i la corrente. Differenziando rispetto al tempo, si ottiene:

dt

dQ

dt

diRC . Si noti adesso che la carica che fluisce dal condensatore quella che

produce la corrente, ma che mentre i positiva , la derivata della carica negativa perch

la carica diminuisce col tempo:dt

dQi . Sostituendo si ottiene lequazione

differenziale: i

dt

diRC che pu essere facilmente risolta per separazione delle

variabili. Si ponga: RC e si scriva:

dt

i

di , che ha come soluzione:

t

eiti

0)( . Dunque la corrente parte da un massimo allistante in cui linterruttoreviene chiuso e poi va a zero esponenzialmente.La costante , che ha le dimensioni di un tempo, ci dice quanto veloce la scarica oquanto tempo ci mette la corrente ad annullarsi ed detta costante temporale del circuitoRC.Dunque, abbiamo imparato che possiamo fare scorrere della corrente in un filo anchequando questo non veramente un circuito chiuso, poich le armature del condensatorerappresentano in realt uninterruzione del circuito: attraverso questa interruzione la

corrente di cariche evidentemente non passa. Maxwell ipotizz quindi che sullarmatura cisia un accumulo di carica e che il flusso della densit di corrente totale attraverso unasuperficie che avvolga unarmatura non possa essere nullo.

Tuttavia, il flusso entrante di j

(per esempio nel volumetto tratteggiato nella figura che

avvolge unarmatura del condensatore) pu essere compensato dal flusso uscente dellacorrente di spostamento.

+ -

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Infatti, indicando con dla distanza e con Sla superficie delle armature, la

corrente di spostamento :0 0s s c

E S V V dqi j S S C i

t d t t dt

. Un esperimento che

dimostra lesistenza di una vera corrente tra le armature del condensatore sipu fare usando un toroide tra le armature in modo che le sue spire sianoperpendicolari alle armature. Se una corrente (di spostamento) scorreeffettivamente lungo lasse di simmetria del toroide (cio

perpendicolarmente alle armature), allora una corrente sar indotta neltoroide dal flusso, variabile durante la scarica, del campo magnetico. Sinoti che il lavoro fatto per unit di tempo dal campo sulle cariche sar ora:

2

0

1

( )2c s cE j E j E j E j Et

. Il primo termine rappresenta ladissipazione nei conduttori (effetto Joule). Il secondo termine inveceaumenta la densit di energia nello spazio tra le armature (vedi oltre per ladefinizione di densit di energia del campo). Infine allinterno del filo lacorrente di spostamento sar ancora presente, ma ha divergenza nulla:

( )0

s

D Dj

t t

perch 0D

non essendoci cariche vere

nel conduttore.

4. Le equazioni di Maxwell

Con le modifiche appena introdotte per tenere conto dei fenomeni dipendenti dal tempo, leequazioni di Maxwell si riscrivono come:

Fig. 5: Corrente di spostamento.

j

Corrente dispostamentoCorrente di

carica

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11

)(

0

0

0

t

DjB

B

E

t

BE

Equazioni di Maxwell

che, con il necessario complemento delle tre equazioni

Ohmdiequazione

Lorentzdiforza)(

correntedellacontinuit0

Ej

BvEeF

tj

,

sintetizzano tutte le nostre conoscenze di elettromagnetismo.Dobbiamo adesso utilizzare queste equazioni per scoprire nuovi fenomeni, in particolarele onde elettromagnetiche.

La legge di Faraday Neumann Lenz e la conservazione dellenergia

Si abbiano n circuiti percorsi da correntiki , con 1,...,k n e ciascuno dotato di una

fem internak

V , come, ad esempio, una batteria. Per i circuiti vale la legge di ohm:

0k k k

R i V . Moltiplicando perk

i : 2 0k k k k R i i V ovvero2 0k kk k ik k R i V

Questa relazione esprime la conservazione dellenergia; in parole: il lavoro (k ki V ) fatto

dalle fem (k

V ) uguale al calore ( 2k kR i ) prodotto per effetto Joule. Postulando la

conservazione dellenergia occorrer includere anche lenergia del campo magnetico

generato dalle correntik

i : 2( ) 0mk k k k k

dUi R i V

dt . Lenergia totale del campo

magnetico mU data da:

1 1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2 2m V V V V U H B H A dV A H dV A H dV

,

in cui A

il potenziale vettore e lultimo passaggio una identit matematica.Lintegrale con la divergenza nullo perch trasformandolo in un integrale di superficiecol teorema di Gauss e portando la superficie dintegrazione allinfinto, si trova zero

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perch allinfinito i campi sono nulli. Cos:1

( )2m V

U A H dV

. Il H j

,

per cui:1 1 1 1

( ) ( )2 2 2 2m V S

U A jdV i A ds i A ndS i B

. Se

abbiamo, non uno , ma n circuiti, si avr:1

( )2m k kk

U i B

, con ( )k B

il flusso

concatenato al k esimo circuito. Sostituendo nellequazione di conservazione

dellenergia, si ha:1

( ( )) 0

2

k

k k k k k k k k k

di R i V i B

dt

. Calcoliamo la

derivata dellultimo termine, con lipotesi semplificativa che solo una corrente vari, per

esempio 1i . I flussi sono dipendente dal tempo solo attraverso la dipendenza dal tempo

della corrente 1i . Pertanto:1

11

( )1 1( ( )) ( )

2 2k

k k kk k

d B didi B B i

dt di dt

.

Mostriamo ora che: 11

( )( ) k

kk

BB i

i

.

Innanzitutto possiamo dire che il flusso in qualsiasi circuito deve essere lineare nellecorrenti, giacch i campi magnetici sono lineari nelle correnti. Possiamo allora scrivere:

1

1

( )

( ) kk k

B

B ii

, che uguale a 1

( )k

kk

B

ii

, se

1

1

( ) ( )k

k

B B

i i

. Le

due derivate sono in effetti i coefficienti di mutua induzione del circuito k-esimo e delcircuito 1. Essi sono effettivamente uguali, perch:

1 1 11 1 1 1 1

( ) ( ) 1 1 1( )

k k

k kk k k

S S k

B BB ndS A ndS A ds

i i i i i

,

Sostituendo al potenziare vettore la sua espressione: 11 111 k

dsA i

r

, con 1kr la distanza

del punto dintegrazione sul circuito 1 da quello del circuito k. Sostituendo, si ha:

1

1 1,1

( )k k

kk

B ds ds

i r

. Palesemente otteniamo lo stesso risultato per 1

( )

k

B

i

,

facendo gli stessi passaggi.Cos abbiamo trovato che:

1

1

( ) ( )1( ( ))

2k k

k k k k k k k

d B d Bdidi B i i

dt di dt dt

. Sostituendo

nellequazione di conservazione dellenergia, abbiamo:

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13

( )0k k

k k k k k k k k

d Bi R i V i

dt

. Possiamo leggere questa equazione dicendo

che la conservazione dellenergia implica il sorgere di una fem nel circuito k-esimopari a

( )kd B

dt

. Col che si conclude che si pu assumere come legge fondamentale la legge di

FNL e dimostrare la estensione della conservazione dellenergia al campo magnetico, masi pu anche postulare la legge di conservazione dellenergia e dedurne la legge di FNL.

5. Lequazione delle onde

Dunque la corrente di spostamento un interessante ipotesi teorica introdotta da Maxwell,ma unipotesi giusta? Dobbiamo tentare di dare una risposta a questa domanda,identificando le conseguenze dellintroduzione del termine di corrente di spostamento epoi verificandole con degli esperimenti.

Cerchiamo delle soluzioni alle equazioni di Maxwell nella forma:

),(

),(

txBB

txEE

. In altre

parole, vediamo se esistono dei campi che siano solo funzioni della coordinata x e deltempo t. Questo dovrebbe semplificare il compito di analizzare le soluzioni delleequazioni di Maxwell. Unaltra maniera per semplificare tale calcolo consiste nelloscegliere una zona di spazio in cui sia la densit di carica che la densit di corrente sono

nulle: 0e0 j

. Con queste ipotesi, dalle due equazioni della divergenza si trova:

00

00

x

B

z

B

y

B

x

BB

x

E

z

E

y

E

x

EE

xzyx

xzyx

Queste relazioni esprimono il fatto che le componenti lungoXdei due campi sono costantirispetto alla coordinata spaziale. Calcoliamo adesso le componenti dei due rotori:

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tE

xB

yB

xB

t

E

x

B

x

B

z

B

t

E

z

B

y

B

zyxy

yzzx

xyz

)(

)(

)(0

00

00

00

Si possono fare diverse deduzioni. Prima di tutto, dalle prime due equazioni relative aciascun campo, si pu concludere che le componenti lungo Xdei due campi sono costantianche nel tempo. Senza perdere in generalit, possiamo porre queste componenti uguali azero, anche se la soluzione pi generale avr dei campi costanti lungo lasse X non

necessariamente nulli. Si ponga adesso:

00

1

c e si riscrivano le coppie di

equazioni relative alle componenti YeZ:

t

B

x

E

t

B

x

E

zy

yz

e

t

E

cx

B

t

E

cx

B

zy

yz

2

2

1

1

Si ricordi che le derivate rispetto al tempo del campo elettrico nelle equazioni a destraesistono per avere introdotto la corrente di spostamento, mentre nelle equazioni di sinistrale derivate rispetto al tempo esistono a causa della legge di Farady-Neumann-Lenz. Seadesso si derivano le quattro equazioni rispetto a x e rispetto a t si ottengono ottoequazioni.Derivando inizialmente rispetto adx:

xt

B

x

E

xt

B

x

E

zy

yz

2

2

2

2

2

2

e per il campo magnetico:

xt

E

cx

B

xt

E

cx

B

zy

yz

2

22

2

2

22

2

1

1

t

B

x

E

y

E

x

E

t

B

x

E

x

E

z

E

t

B

z

E

y

E

zyxy

yzzx

xyz 0

7/26/2019 1.Le onde

15/107


15

Derivando poi rispetto a t:

2

22

2

22

t

B

tx

E

t

B

tx

E

zy

yz


2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

t

E

ctx

B

t

E

ctx

B

zy

yz

Ad uno sguardo attento, ci si accorge che, assumendo che lordine di derivazione siainvertibile, alcune delle derivate miste appaiono in due equazioni diverse. Possono quindi

essere eliminate eguagliando gli altri termini. Si ottengono quindi le quattro equazioni perle componenti lungo YeZdei due campi:

01

01

2

2

22

2

2

2

22

2

t

E

cx

E

t

E

cx

E

yy

zz


01

01

2

2

22

2

2

2

22

2

t

B

cx

B

t

B

cx

B

yy

zz

Come si vede, si tratta di quattro equazioni aventi la stessa forma. Equazioni ben note echiamate appunto equazioni delle onde, perch storicamente gi note come le equazionidel moto delle onde meccaniche!

Per completezza, si vuole dimostrare che anche i potenziali, non solo i campi,

obbediscono allequazione delle onde. Si riparte quindi da:t

EB

00 e

sostituendo i potenziali: AB

edt

AE

.

tct

A

cAAA

22

2

2

11)( . Il primo passo a destra

giustificato dallidentit matematica: )( aaa

.

Si ottiene allora: )(11

22

2

2 A

tct

A

cA

, cio:

)1

(1

22

2

2 A

tct

A

cA

. Se: 0

12

A

tc

allora si ha il risultato

cercato. Poich il potenziale vettore definito a meno del gradiente di una funzionescalare, si ha la libert di sceglierlo in modo che la condizione scritta (condizione di

7/26/2019 1.Le onde

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Lorentz) sia verificata. Infatti, se si ridefinisce il potenziale vettore come: fAA

' ,

si pu imporre la condizione2

2 2 2 2

1 ' 1 1' 0

fA A f

c t c t c t

scegliendo la funzionefsoluzione dellequazione:2

2 2 2

1 1( )

fA f

c t c t

. In questo modo la condizione di Lorentz soddisfatta per ' e 'A

.

Usiamo adesso lequazione di Maxwell: At

E

0 , che,

riutilizzando la condizione di Lorentz, d immediatamente lequazione delle onde per il

potenziale scalare: 01

2

2

2

tc

. Se non avessimo eguagliato a zero la densit di

carica e la densit di corrente, avremmo avuto le due equazioni delle onde non omogenee:

02

2

2

1

tc

jt

A

cA 02

2

2

1

Tali equazioni non omogenee descrivono il campo elettromagnetico nelle zone di spaziodove non lecito porre a zero la densit di corrente e di carica. Da notare che, per i

potenziali, abbiamo direttamente ricavato la forma tridimensionale dellequazione delleonde, con il Laplaciano al posto della sola derivata seconda rispetto a x. In realt,lequazione delle onde si poteva ottenere immediatamente con un altro procedimento.

Prendiamo il rotore del rotore di B

e, ricordando che:

BBBB

)( , otteniamo:2

0 02 2 2

2

02 2

1 1

1

BB B j E j

c t c t

BB j

c t

Teniamo presente che, se si cambia il potenziale vettore secondo la regola: fAA

'

allora si deve cambiare anche il potenziale scalare, secondo la regolat

f

' . Solo in

questo modo il campo elettrico resta identico:t

A

t

AE

''

. Linsieme

delle due trasformazioni nota come trasformazione di gauge (misura).

7/26/2019 1.Le onde

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17

Lasciamo allo studioso lettore il compito di trovare lanaloga equazione per il campoelettrico, ricalcando lo stesso procedimento.

Prima di esaminare lanalogia meccanica, possiamo scoprire facilmente alcune notevolipropriet delle soluzioni dellequazione delle onde, cio delle soluzioni di unequazione

del tipo: 01

2

2

22

2

t

f

cx

f. Possiamo dimostrare che la funzione ),( txff pu

essere una funzione qualunque, purch sia funzione della variabile ctx , cio non

delle due variabili x e t separatamente, ma della combinazione lineare delle due. Ladimostrazione banale. Se: )(ff , allora calcoliamo le derivate prime:

cft

ft

ffxf

e e le seconde:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 1e

f

t

f

cc

f

t

ff

x

f. Eguagliando le espressioni

della derivata seconda di f rispetto a , si ottiene lequazione delle onde:

01

2

2

22

2

t

f

cx

f. Pertanto si possono usare funzioni del tipo seno o coseno o

logaritmo, ecc... purch largomento sia espresso nella forma: ctx .

Il fenomeno fisico che tali funzioni rappresentano estremamente generale e puassumere infinite forme. Esaminiamo per pi da vicino il significato della restrizionesullargomento della funzione: cosa vuol dire che largomento deve necessariamente

essere ctx

?A titolo esemplificativo, si prenda una funzione matematica nulla dovunque tranne che inuna ristretta porzione dello spazio. Se ne disegni uno schizzo in funzione della coordinatax a tempo fisso, per esempio a 0t (come in fig. 6) e ci si domandi come apparir lastessa funzione ad un tempo successivo 0t .Si pu vedere che per ogni x per cui f non nulla a 0t , esiste una coppia di valori

'x e 0't per cui )','()0,( txfxf . Basta infatti che largomento della funzione sia

0a tx

X

Fig. 6: Funzione non nulla in una ristretta regione dellospazio.

7/26/2019 1.Le onde

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lo stesso, cio: '' ctxx , perch questo accada. Qui si scelto il segno negativo perfissare le idee, ma lo stesso vale se si sceglie il segno positivo.Avendo fissato un istante 't , allora si definisce 'x con luguaglianza scritta. In generaleesistono infinite coppie di valori ',' tx per le quali '' ctxx . Si definisca un tempo 't al quale si vuole riguardare la funzione e si ritrover il valore di f ad un altro 'x .Precisamente a '' ctxx , cio spostato di una quantit c moltiplicato lintervallo ditempo trascorso dallistante al quale si disegnata la funzione rappresentata in fig. 6.Poich questo spostamento non dipende da 'x , tutti i punti si saranno spostati da x a 'x con '' ctxx , ovvero ci sar stato uno spostamento rigido dellintera curva di ct (fig.7).

Questo significa che la zona di campo non nulla (f

qui rappresenta un campo, ma pu

anche rappresentare delle quantit meccaniche, se ci si riferisce ad onde meccaniche) si spostata sullasse Xpositivo a velocit c. Se si fosse scelto il segno positivo si sarebbenaturalmente trovato un moto in senso opposto. A proposito: c ha le dimensioni di unavelocit? E che valore ha?Si definito:

smATmNmCc /103))/(104)/(10854,8(1 82

172212

00

.

Si tratta effettivamente di una velocite precisamente della velocit della luce. Questascoperta apre molte questioni.

1. Si vuole puntualizzare ancora una volta che senza il termine di corrente dispostamento tutto questo non sarebbe stato possibile. Se effettivamente i campielettromagnetici si propagano alla velocit della luce, laggiunta del termine dicorrente di spostamento era giusta e necessaria.

2. vero che i campi variabili nel tempo si propagano alla velocit della luce?

Le dimensioni di csono:

v)/v())/v(a)((qvB/forzt/q))forza))(Bl/(l((q /// 2122122122 11 .

X

ct

x xFig. 7: Spostamento rigido della funzione rappresentata nella figura precedente.

7/26/2019 1.Le onde

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19

3. Si deve identificare la luce con unonda elettromagnetica?4. Dalla relativit galileiana sappiamo che la velocit relativa ad un sistema

specifico e che essa cambia al cambiare del sistema di riferimento. Dunque leequazioni di Maxwell, che predicono la velocit di propagazione, o sono statescritte in un sistema specifico (letere) o implicano una violazione della relativitgalileiana.

Lesistenza di onde elettromagnetiche che effettivamente si propagano nello spazio vuotoalla velocit cfu dimostrato da H. Hertz (1857-1894) nel 1887. Lutilizzo delle onde e.m. un fatto quotidiano per noi. Dunque la risposta alle prime due domande positiva. Perquanto riguarda lultima domanda, questa ha gi avuto risposta nel Cap. 1, dove si rilevato che occorre superare la relativit galileiana e passare alla relativit di Einstein in

tutti i casi in cui le velocit siano paragonabili a quella della luce. La domanda numero treha una risposta positiva, ma occorre andare avanti per poter fare a ragion veduta questaidentificazione. Per quanto riguarda il punto quattro, si pu verificare che latrasformazione di Lorentz lascia la forma dellequazione donda invariata e, naturalmente,non ha effetto sulla velocit della luce. Ovvero:

2

2

22

2

2

2

22

2

'

1

'0

1

t

f

cx

f

t

f

cx

f

.

Per le onde meccaniche, del resto, non ci si deve preoccupare della non invarianza sotto latrasformazione di Galilei, perch esse sono esplicitamente derivate nel riferimento delsupporto meccanico (corda, ecc...) del quale rappresentano le vibrazioni, come si vedr alprossimo paragrafo. Si calcolino adesso le derivate prime, tenendo conto dellatrasformazione di Lorentz (Cap. 1, par. 10) ed in parallelo di quelle di Galilei:

''

'

'

'

'

''

'

'

'

'

txc

t

t

tt

x

xt

tcxx

t

tx

x

xx

e quelle seconde:2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2' ' ' '' 'c x t c t xx x c x

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

' ' ' '' 'c x t c t xc t x c t

Sottraendo membro a membro si ottiene il risultato cercato. Con le trasformazioni diGalileo si ha invece (Cap. 1, par. 9):

7/26/2019 1.Le onde

20/107


'''

1

''

'

'

1

''

'

'

'

'

''

'

'

'

'

2

22

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xtc

v

tctx

x

c

v

xc

v

tctxv

t

t

tt

x

xt

xxxx

t

tx

x

xx

Sottraendo membro a membro, non si riottiene lequazione delle onde nel nuovo sistemadi riferimento.

A questo punto, allo scopo di familiarizzarsi con il concetto di onda, occorre studiare leonde meccaniche e vederne alcune caratteristiche, come, per esempio, le caratteristiche dipropagazione. Si torner poi alla questione dellidentificazione delle ondeelettromagnetiche con la luce.Per completezza, vogliamo menzionare il fatto che lequazione delle onde ancheinvariante sotto una trasformazione di parit (cambiamento di segno delle coordinatespaziali) e di inversione del tempo (cambiamento di segno dellasse temporale) perch sitratta di una equazione alle derivate seconde (due cambiamenti di segno). Infine,lequazione invariante sotto una rotazione. Lo studioso lettore pu verificare questoultimo punto usando le relazioni tra coordinate in sistemi ruotati e riproducendo ilprocedimento fatto a proposito della trasformazione di Lorentz. Il procedimento moltosemplice nel caso di rotazione intorno allasseZ.Basta seguire, mutatis mutandis, il procedimento fatto a pag. 210 delle dispense per

dimostrare che lequazione delle onde invariante sotto una trasformazione di Lorentz:2 2 2 2

2 22 2 2

' ' ' '( ) 2 ( )

' '' '

x x y y

x x x x y xx x y

e

2 2 2 22 2

2 2 2

' ' ' '( ) 2 ( )

' '' '

x x y y

y y y x y yy x y

, in cui:

'cos

x

x

, ' senx

y

, ' sen

y

x

e ' cosy

y

. Sostituendo si ottiene:

2 2 2 22 2

2 2 2cos 2cos sen sen

' '' 'x yx x y

e

2 2 2 2

2 22 2 2sen 2sen cos cos' '' 'x yy x y

, inoltre:

2 2

2 2'z z

e

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21

2 2

2 2 2 2

1 1

'c t c t

. Da cui sommando le prime tre righe e sottraendo la quarta, si ottiene il

risultato.Poich una trasformazione di gauge non modifica le definizioni dei campi, lequazionedelle onde invariante anche rispetto ad una trasformazione di gauge. Abbiamo gi vistoche lequazione delle onde invariante sotto la trasformazione di Lorentz. Ciascunainvarianza anche chiamata una simmetria dellelettromagnetismo.

6. Le onde meccaniche

Il caso delle corde forse quello pi noto. Qualunque strumento musicale a corda dispone

di un certo numero di corde tese: basta pizzicare una di queste corde, cio spostarlarapidamente dalla posizione di equilibrio ad un certo punto e la corda comincia a vibrare,finch lattrito non fa cessare le vibrazioni. Si prenda una corda con densit linearein

modo che un trattino di corda di lunghezza ds abbia massa: dsdm . Si considerino

piccole oscillazioni della corda in modo da poter identificare dx con ds . La corda lungotutta la sua lunghezza soggetta ad una tensione Tcostante. La forza totale agente lungolasse X su ogni pezzetto infinitesimo di corda deve essere nulla, altrimenti la corda sisposterebbe lungo questa direzione. Dunque, si calcoli la componente su Y delle forzeagenti su un trattino di corda di lunghezza ds , corrispondente ad uno spostamento lungo

lasseX di dx . Si proietti sullasse Y.Per proiettare i vari vettori sullasse Y, si ha bisognodella direzione del vettore. Si utilizzi langolo ),( tx , definito in fig. 8.

dxx

y

x

ydx

xxdxx

dx

dyx

2

2

)()()(

T

Y

X

x x+dx

)(x

dxx

xdxx

)()(

T

Fig. 8: Piccole oscillazioni di una corda.

7/26/2019 1.Le onde

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Si calcolino ora le componenti delle forze agenti sul trattino di corda:

dxx

yT

x

yTdx

xTxTdx

xxTdxxFy 2

2

)())(()(

x

yTxTxFy

)()(

Si faccia la differenza e si eguagli al prodotto massa per accelerazione lungo Y:

dxt

ydx

x

yTxFdxxF yy 2

2

2

2

)()(

In conclusione:

2

2

22

2

2

2

2

2 1t

y

vx

ydx

t

ydx

x

yT

, con:

Tv

che appunto lequazione delle onde. La velocit questa volta dipende dalla tensione dellacorda e dalla sua densit. Teniamo presente che un elemento di corda pucontemporaneamente oscillare su due piani ortogonali XY e XZ. Se londa oscilla su unpiano, essa polarizzata su quel piano, in caso contrario per conoscere il moto diclementino di corda, occorre comporre i moti sui due piani coordinati (vedi oltre per leonde elettromagnetiche).Un punto importante da sottolineare che lelemento di corda che oscilla, oscilla indirezione perpendicolare alla direzione di propagazione: unonda del genere detta ondatrasversale. chiaro, da quanto visto nel paragrafo precedente, che unondaelettromagnetica unonda trasversale. Diamo subito un esempio di onda longitudinale,

tale cio che loscillazione avvenga nello stessa direzione della propagazione dellonda.Un onda longitudinale quella, per esempio, che si propaga in una sbarra metallica didensit e sezione S, che viene percossa ad unestremit.

Fig. 9: Onde longitudinali in una sbarra metallica.

Xdx

)( dxx )(x

S

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23

Le due sezioni chiare mostrate in fig. 9 rappresentano le posizioni di riposo di due facce diun tratto infinitesimo di barra di lunghezza dx . La funzione ),( tx rappresenta lo

spostamento di una faccia dalla posizione di equilibrio (x) ed funzione sia del tempo chedella coordinata x. Durante la vibrazione, le due sezioni in esame si troveranno, ad un

certo istante t, nella posizione indicata dal colore pi scuro. La faccia di sinistra sardunque a coordinata )(xx e quella di destra a )( dxxdxx . La forza totale

agente sul trattino di lunghezza dx e massa Sdxdm , sar uguale alla differenza trale forze sulle due facce spostate dalla posizione dequilibrio. Calcoliamo queste forze.Secondo Hooke, una forza applicata ad una sbarra ne produce un allungamento in accordo

con la legge: l

l

YSF

, dove:

Y una costante elastica (modulo di Young) specifica del materiale che forma lasbarra.

l

l lallungamento relativo dellasta di lunghezza iniziale l .

Una fettina infinitesima intorno a ciascuna faccia sar soggetta, dunque, ad una forza:

dx

dYSF

. Si adesso in grado di calcolare lequazione delle oscillazioni:

)()(2

2

dxxx

YSdxxF

e

xYSxF

)( sono le forze sulle due

facce dellelemento di sbarra.

La risultante sar: dxx

YSxFdxxF2

2

)()(

.

Applicando il secondo principio della dinamica si avr:

2

2

2

2

tSdxdx

xYS

0

12

2

22

2

tvx

, con

Yv .

Conclusione: anche le vibrazioni longitudinali della sbarra obbedisconoallequazione delle onde.

Si provi ora a calcolare la velocit di unonda in una sbarra diAl, per la quale:210

/10886,5 mNY 33 /107,2 mkg

smmkg

mNYv /1067,4

/107,2

/10886,5 333

210

G. Colombo,Manuale dellingegnere, 80aedizione, pag. 650.

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Passiamo ad un terzo caso: quello delle onde in un gas. Il suono una vibrazionelongitudinale che si propaga nel gas. La differenza col caso precedentemente esaminatosta nel fatto che un gas comprimibile, mentre un solido o un liquido non lo sono.Dunque le pressioni esercitate non solo muovono lo straterello di gas, ma allo stessotempo lo comprimono. Poich la lunghezza di un cilindretto infinitesimo durante unaoscillazione varia da dx a ddx (si veda fig. 9), la densit varia dal valore di riposo

0 a )1(1

1000

dx

d

dx

dddx

dx

. La forza che si esercita su di una

faccia dello straterello infinitesimo di lunghezza dx e sezione Ssar data dal prodotto

della pressione p per larea S. La forza totale agente sar la differenza delle forze sulledue facce. La pressione produce cos un movimento sulla massa Sdxdm 0 dellostraterello in accordo con il secondo principio della dinamica (la forza una forza dirichiamo, da ci il segno meno):

2

0 2( ( ) ( ))

pdF p x p x dx S Sdx Sdx

x t

, ma anche una variazione

della sua densit. Si ponga:x

p

x

p

e si avr:

2

2

0x

p

x

p

. Sostituendo:

2

2

02

2

0

t

SdxSdx

x

pSdx

x

p

01

2

2

22

2

tvx

, con

0)(

pv

I gas sono cattivi conduttori termici e la temperatura dello straterello varier perch sarsottoposto ad una compressione adiabatica1. Secondo le leggi della termodinamica (Cap. 5

delle note di Fisica Generale 1), deve essere: 00cost pp . Dunque:

100

pp

e finalmente:

0

0

0)(

ppv

. Si provi adesso a calcolare il valore di questa velocit.

1Newton ammise che la compressione fosse isoterma, ma questo porava ad un valoredella velocit di un 10% fuori dal valore misurato. Fu Laplace ad introdurre lidea che sitrattasse invece di compressioni adiabatiche e a introdurre il rapporto tra calori specificiVedi A life in exact sciences p.199 di C. C. Gillispie sulla vita di Laplace.

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25

Per i parametri atmosferici si hanno i seguenti valori standard:

= kg/m3

T = 15,0 0C

P = 10,332 kgf/m2 = 101,357 N/m2

v = 340,29 m/s

Per gas biatomici (N2, O2, ecc...), si ha che:5

7 . Sostituendo nella formula della

velocit, si ottiene: smmkg

mkgmspv /04,341

/22,1

/357,101

5

73

22

0

0

, in

eccellente accordo con il valore di vsopra riportato.Naturalmente, lequazione studiata descrive non solo le onde nei sistemi che si sono quidescritti, ma anche le vibrazioni su di una membrana o su di una superficie liquida, chenon saranno analizzate qui per brevit. In funzione dellaltezza si ottiene, usando le

formule stabilite in termodinamica:4

( )341 (1 ) /

( ) 2,7 10

p h hv m s

h

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

0

50

100

150

200

250

300

350

Velocitdelsuono(m/s)

Altitudine (m)

F3

Un aereo che voli ad una certa velocit rispetto al suolo, si trover pertanto a volare ad unavelocit inferiore o superiore a quella del suono a seconda dellaltitudine a cui vola. Nella

Handbook of Chemistry and Physics, 61aedizione (F 208).

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figura che segue il rapporto /s

v v della velocit di un oggetto che si muova a

900 / 250 / v km h m s con la velocit del suono sv graficato in funzione

dellaltitudine. Il rapporto /s

v v viene chiamato numero di Mach.

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

0

2

nodiMach

Altitudine (m)

F1

5. La trattazione lagrangiana dei sistemi continui

Come sempre dopo aver discusso i sistemi di particelle puntiformi,passiamo a generalizzare i risultati ai sistemi continui. E possibile scrivereuna Lagrangiana per un sistema continuo, in modo tale che le relativeequazioni di Lagrange siano le equazioni del sistema? Forse occorreaccordarsi prima su cosa si deve intendere qui per sistema continuo. Se

prendiamo un corpo non puntiforme (per esempio una sfera che ruotaintorno ad un suo asse e si muova sotto lazione di una forza esterna), ingenere, ci possiamo aspettare che ci siano solo pochi parametri che ci dianolo stato del corpo (forse langolo di rotazione intorno allasse e la posizionedel baricentro). La trattazione del moto di un corpo del genere dunquerientra completamente nella Lagrangiana gi descritta. Se pensiamotuttavia ad una corda vibrante avremo un parametro che ci d ladeformazione della corda in funzione del punto della corda e dellistante ditempo. E questo, o meglio una vibrazione in un corpo elasticotridimensionale, ci che vogliamo trattare adesso.

7/26/2019 1.Le onde

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27

Cominciamo allora da una corda vibrante, cio da un sistema continuo, maunidimensionale.Prendiamoycome coordinata generalizzata, non pi dotata di indicediscreto come nei casi trattati prima, ma funzione continua dixet.Lenergia cinetica di un trattino infinitesimo di corda, dx, :

dxt

ydE 2)(

2

1

, mentre lenergia potenziale per unit di lunghezza dx ,

derivando dalla forza2

2

x

yT

dx

dFy

, sar:

2

)(

0

2

)(

02

2

02

2

0

)(2

1

))(21(),(

x

yT

dx

dU

xydTdx

xy

xyTdy

xyTdy

dxdF

dxtxdU

yxyxyy

y

.

La Lagrangiana sar dunque:

ll

dxx

yT

t

ydx

dx

dU

dx

dEUEL

0

22

0

))()((2

1)( , dove l la lunghezza

della corda. Possiamo allora chiamare densit di Lagrangiana la quantit:

))()((2

1 22x

yT

t

y

. Se riscriviamo, generalizzandola, lequazione di

Lagrange nella forma: 0)()(

y

x

ydx

d

t

ydt

d , otteniamo lequazione

delle onde: 012

2

22

2

t

y

vx

y . Infatti: 0

y,

x

yT

x

y

)(e

t

y

t

y

)(,

che sostituite nellequazione di Lagrange, danno lequazione delle onde. Lageneralizzazione consiste nel fatto che, anzich considerare solo la

derivata:)(

dt

dq

L

dt

d

q

L

dt

d

, che si tradurrebbe in

)(t

ydt

d

nel nostro caso, vi

abbiamo aggiunto il termine analogo:)(

x

ydx

d

, trattando cos la variabilex

e la variabile t sullo stesso piano (il che fa pensare che stiamo costruendouna teoria relativistica).

7/26/2019 1.Le onde

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Cos pure, se ci riferiamo allesempio della sbarra metallica, possiamo

scrivere una densit di Lagrangiana: ))()((2

1 22dx

dY

dt

d , che restituisce

anche essa lequazione delle onde con la corretta formula per la velocit. Ilprimo termine di lenergia cinetica di uno spessore dx per unit dilunghezza (diviso per la sezione S) della sbarra e il secondo lenergia

potenziale per unit di lunghezza e divisa per S, questultima derivata comenel caso precedente:

2

02

2

0

)(

2

1),(

x

yY

dx

dUd

x

Ydy

dx

dF

Sdx

txdUyy

y

.

Se vogliamo adesso passare al caso dellonda in un gas, dobbiamoconsiderare la perturbazione , come funzione di tutte le coordinatespaziali: ),,,( tzyx , trovare una densit di Lagrangiana ,ulteriormente generalizzare lequazione di Lagrange includendo, cio

sommando, anche le derivate)(

y

dy

d

e

)(z

dz

d

:

0

)()()()(

z

dz

d

ydy

d

xdx

d

tdt

d . Si dovr prendere come

Lagrangiana: dVtczyx

dVL ))(1

)()()((2

1 22

222

.

Ci si pu, infine chiedere, se possibile dare una trattazione lagrangianadel campo e.m., visto che si tratta di onde. Questidea nasce naturalmente,se ricordiamo che le onde e.m. vennero considerate per un periodo ditempo come onde in un mezzo materiale assai speciale, chiamato etere.Letere non esiste, vero, ma questo non ha affatto modificato laspettoformale delle equazioni dellelettrodinamica classica.

6. La trattazione lagrangiana delle equazioni di Maxwell

Le equazioni della elettrodinamica possono essere derivate con le stesseregole viste per i sistemi continui a partire dalla densit di Lagrangiana:

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29/107


29

2 22 20 0 0

00

/ 1 1( ) ( )

4 2 2 2

E B AF F A

t

. La densit

di Lagrangiana totale per un sistema di particelle dotate di massa e carica,

sar cos: 2 200

1 1( ( ( ) ( , ))) ( ( ) ( ) )

2i i i ii

AT r v A r t A

t

.

Le coordinate generalizzate del campo e.m. sono: il potenziale scalare e letre componenti del potenziale vettore.Proviamo a calcolare lequazione di Lagrange relativa al potenziale scalareche appare nellespressione della densit di Lagrangiana elettromagnetica:

2 2 2 2 20

0

1(( ) 2 ( ) ) ( ) ( ) ( )

2 2y yx xz z

A AA AA AA A

t t y z z x x y

2 2 20 (( ) ( ) ( ) 2( ) ...)2

yx zAA A

x y z x t y t z t

. Calcolando

le derivate rispetto alle componenti del gradiente di e derivando, comerichiesto, si otterr il Laplaciano di , moltiplicato per due meno due volte

la derivata temporale della divergenza di A

:2 2 2 2

0 02 2 2 2 2

1

( ( )) ( )

yx zAA A

t x y zx y z c t

, dove abbiamo

usato, nellultimo passaggio, la condizione di Lorentztc

A

2

1 . Come

si vede si ottiene la solita equazione (omogenea) delle onde. Facciamoadesso lo stesso calcolo relativamente al potenziale vettore. Prendiamo xA che appare anche nei termini che derivano dal campo magnetico.

Lequazione di Eulero-Lagrange : 0( ) ( )

A Ax A x

x x

.

Lultimo passaggio giustificato dal fatto che la lagrangiana em nondipende dal campo, ma solo dalle derivate del campo. Scegliamo xA A .

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00

0

( )( )

x

x

A

Ax t t x

x

; 0( )x

Ax

x

;0

1( )

( )

y x

x

A A

Ay y x y

y

e0

1( )

( )

x z

x

A A

Az z z x

z

. Facendo le derivate e sommando,

abbiamo:2 2 2 2

0 2 2 2 20

00

1( )

( )

1( ( ))

x x x x

y xz

A A A A

Ax t y z x

x

A AA

x t y z x

,

In cui abbiamo aggiunto e sottratto2

20

1 xA

x

, otteniamo, considerando che:

0 20 0

1 1 1( ) ( ) 0y xz

A AAA

t y z x t c

,

2 2 2 2 2

0 2 2 2 2 2 20

1 1( ) ( ) 0x x x x x x

A A A A AA

t y z x c t

; che ovviamente

lequazione delle onde.

Se il termine meccanico ( i

iiii trAvrT ))),()(((

) esiste, esso

contribuisce ancora il termine: (derivando rispetto a

,

sottraendo e portando al secondo membro), si ottiene infine:

02

2

2

1

tc.

Si ottengono risultati simili per le tre componenti del potenziale vettore:

jvt

A

cA

02

2

2

1

.

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31

Infine, dal termine meccanico: i

iiii trAvrT ))),()(((

si potranno

ricavare le equazioni della meccanica e del moto dei punti materiali sottolazione dei campi e.m., come abbiamo gi fatto vedere.Occorrerebbe a questo punto ricavare la forma della Lagrangiana in unateoria relativistica. Ci limitiamo a dire che la Lagrangiana di una singola

particella in un campo e.m. : vAeemcL

22 1 e la Hamiltoniana

stata usata per il calcolo del moto in un campo centrale (atomo diidrogeno secondo Sommerfeld).

Un punto molto importante da notare che, se facciamo unatrasformazione di gauge (pag. 207 del cap. V delle dispense,

fAAt

f

; ) allora la lagrangiana cambia con laggiunta della

derivata totale di una funzione rispetto al tempo; ci non modifica leequazioni di Eulero-Lagrange: si ottiene cio una lagrangiana equivalente.Insomma possiamo dire che una trasformazione di gauge non cambia lalagrangiana, anche se in realt non cambia le equazioni del campo che daessa si deducono. Dimostriamo che, se abbiamo la seguente trasformazione

della lagrangiana:dt

dg , le equazioni di Eulero-Lagrange rimangono

le stesse. Applicando il principio di Hamilton:

GdttqqqqLtgtg

dttqqqqLdtdt

dgdttqqqqLdttqqqqL

t

t

nn

t

t

nn

t

t

t

t

nn

t

t

nn

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

),,...,,...()()(

),,...,,...(),,...,,...(),,...,,...(

1112

111111

Nel processo di minimizzazione la costante Gnon dar contributo e leequazioni di Lagrange dovranno rimanere le stesse.Dimostriamo adesso che una variazione della gauge comporta appunto che

dt

dg . Nella densit di lagrangiana:

))(1

)((2

1))),()((( 2

0

20 A

t

AtrAvrT

i

iiii

, i termini

))(1

)((2

1 2

0

20 A

t

A

non cambiano, mentre ai termini

)),()(( trAvr iii

si trovano aggiunti i due termini:

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dt

df

dt

dz

z

f

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

t

ffv

t

fi

)()(

. Ricordando che, a

causa della conservazione della carica e del fatto che vj

dt

d

dt

dz

zdt

dy

ydt

dx

xttj

0 , possiamo aggiungere ai due

termini precedenti il prodotto ft

j )(0

, ottenendo:

)()()(

fdt

d

dt

df

dt

dff

tjfv

t

fi

. Il fatto che la lagrangiana

non venga modificata (nel senso spiegato sopra) da una trasformazione digauge, come si vede, equivalente al fatto che la carica si conserva.

7. Propriet delle onde

Tra le infinite soluzioni dellequazione delle onde, scegliamo di soffermarci su alcuni casidi particolare rilievo. Una soluzione speciale data dalle funzioni seno e coseno: le ondesinusoidali. Le funzioni seno e coseno sono per periodiche ed allora importante capireil senso della periodicit. Unonda sinusoidale si scrive come:

)2(sen)(),(

vtx

Avtxftxf

. Chiaramente si sarebbe potuto usare allo

stesso modo il segno positivo invece del negativo. La costante a denominatore resanecessaria dalla richiesta di avere un argomento adimensionale per il seno, dunque hale dimensioni di una lunghezza. Questo il significato delle varie quantit che appaiononella formula:

A lampiezza dellonda. v la velocit di propagazione.

la lunghezza donda.

T il periodo dellonda.

v

la frequenza dellonda e 2 la frequenza angolare opulsazione .

Largomento del seno:

vtx

2 detto fase dellonda .

Il grafico della funzione (mostrato in fig. 10) aiuta a capire il significato delle quantitdefinite.

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33

0 2 4 6 8 10

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

A T

x

f(x,t

)

t=costante

Fig. 10: Rappresentazione di unonda sinusoidale, a t= cost.

A tcostante, il seno acquista lo stesso valore in due puntixex,quando:

nxxnvtxvtx

'22'

2 , dove n un numero intero.

Evidentemente, la pi piccola distanza alla quale londa e la sua derivata riprendonoil loro valore.

A x costante, si pu rifare lo stesso discorso per i due tempi t e t e si trova che:

Tv

tt ' . Londa descritta unonda che si propaga lungo lasse X; ad un dato

istante t, il piano ax=costante il piano di fase costante. Una superficie a fase costante detta fronte donda. Nel nostro caso il fronte donda un piano e pertanto londa si dicepiana. Lampiezza di unonda piana costante in funzione di x .Esistono anche altri semplici tipi di onde. Per esempio le onde sferiche che hanno frontidonda sferici. La funzione che rappresenta unonda sferica sinusoidale, :

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0 2 4 6 8 10

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

A T

t

f(x,t

)

x=costante

Fig. 11: Rappresentazione di unonda sinusoidale a x= cost.

2( , ) sen( )

Af r t r t

r

, per unonda sferica: r la distanza dallorigine.

Si noti che lampiezze dellonda diminuisce allaumentare della distanza dallorigine. Si

definisca vettore donda il vettore:r

rk

2 e si riscriva:

1. )(sen),( trkr

Atxf

, per unonda sferica.

2. )(sen),( txkAtxf x , per unonda piana.Si consideri adesso il caso dellonda piana. Se si effettua una rotazione degli assi e sipassa ad un nuovo sistema di riferimento, allora )',','( zyxxx . A questo punto, la

componente lungoXdel vettore donda, xk avr nel nuovo sistema tre componenti e sar

rappresentata da un vettore: k

. Dunque il termine txkx si scriver trk

e, nel

nuovo sistema, lespressione per londa piana si trasformer in:)(sen),( trkAtxf

. facile verificare che, nel nuovo sistema, londa piana

obbedisce allequazione: 02

2

21

t

f

c

f , che risulta cos la generalizzazione

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35

tridimensionale dellequazione donda nella sola variabile x che si sin qui utilizzata.Infatti:

22

2

22

2

22

2

2 212 2 2

fk fx

x

fk fy

y

fk fz

z

ff

c t c

sommando:2

22

21( ) 0

2 2f

f k fcc t

A questo punto occorrerebbe dimostrare che le onde sferiche sono effettivamentesoluzioni dellequazione delle onde tridimensionali. La prova si ottiene riscrivendo illaplaciano in coordinate sferiche e provando che la parte radiale soddisfatta dallefunzioni date. Pi in generale, si pu asserire che funzioni del tipo:

( ) ( )f r ct f r ct

r r

sono soluzioni dellequazione delle onde. Basta scrivere il

laplaciano in coordinate sferiche e notare che i termini con derivate in e sono

identicamente nulli, perch le funzioni date non hanno dipendenza da tali variabili.

Rimane la parte radiale:2 2

2

2 2 2 2

1 1 1( ) ( )r r

r r rr r c t

, che pu essere riscritta

come:2 2

2 2 2

1 ( )( ) 0

rr

r c t

. Per quanto precedentemente visto, la soluzione di

questa equazione, che lequazione delle onde unidimensionali, data da:( ) ( )r f r ct f r ct .

Una propriet molto importante delle funzioni donda che la sovrapposizione (somma)di due o pi funzioni donda ancora una funzione donda. Da un punto di vistamatematico questa affermazione banale. Da un punto di vista fisico, avere delle ondemeccaniche sovrapposte, significa che una particella del solido, liquido o gas che oscillasotto lazione di pi onde avr un moto che sar dato dalla composizione dei moti checiascuna delle onde impone alla particella.Si visto che le funzioni )(sene)cos( tkxtkx , sono soluzioni dellequazionedelle onde; si possono combinare nella forma:

)(sen)cos()( tkxitkxe tkxi o nella forma:

)(sen)cos()( tkxitkxe tkxi

e si ottiene cos un altro modo di rappresentare le onde sinusoidali. Utilizzando il teoremadi Fourier, possiamo esprimere londa nella forma ( )ctx :

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dkekaftxf ik

)(

2

1)(),( , dove:

defka ik)(

2

1)( la

trasformata di Fourier di )()( ctxff . Si pu allora interpretare lintegrale diFourier dicendo: una funzione donda qualunque )( ctxff la sovrapposizione di

infinite onde sinusoidali ))((o)()(

)( v

xti

vtxik eaeka

, ciascuna con vettore donda

k(pulsazione ), la cui ampiezza )(kaa la trasformata di Fourier della funzionedonda. Questa formula, e la sua interpretazione, hanno conseguenze molto importanti infisica. Una conseguenza che, se otteniamo un certo risultato per unonda sinusoidale,

allora tale risultato sar verificato per ogni onda, potendosi esprimere ogni onda come lasovrapposizione di onde sinusoidali. Facciamo un esempio. Prendiamo una corda tesa,fatta di due pezzi di diversa densit, caratterizzati perci da diverse velocit di

propagazione dellonda 21 e vv e quindi da diversi vettori donda 21 e kk . Prendiamo ilpunto di giunzione dei due pezzi di corda a 0x . Supponiamo di perturbare lestremosinistro della corda: una perturbazione localizzata, cio non nulla solo in un ristrettointervallo di valori dix, rappresentabile mediante un pacchetto donde come spessochiamato lintegrale di Fourier, che si propaga in direzione positiva:

1( )

1( , ) ( )

2 0I

xi t

vf x t a e d

(incidente).

Quando il pacchetto donde raggiunge il punto di giunzione delle due corde, una partedella perturbazione passer alla seconda corda, mentre laltra parte sar riflessaallindietro. Dunque si avranno due nuovi pacchetti donda:

1( )

1( , ) ( )

2 0R

xi t

vf x t a e d

(riflesso) che si muove nel verso negativo e

2( )

1( )

2 0

xi t

vf c e dT

(trasmesso) che si muove nel verso positivo. Al punto

di giunzione, lo spostamento dei due pezzetti di corda deve essere uguale se si vuole chela corda non si spezzi, ma anche la derivata di f rispetto adxdeve essere continua. La

condizione di continuit della derivata dellonda conseguenza del fatto che le forzecambiano con continuit lungo la corda e, daltra parte, si visto che la forza :

x

yTxTxFy

)()( , proporzionale cio alla derivata dellonda. Dunque, si pu

scrivere:

),0(),0(),0( tftftf TRI e000

x

T

x

R

x

I

x

f

x

f

x

f

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37

Pertanto: A destra del punto di giunzione esistono solo onde che si propagano in avanti

)(2v

xti

e

.

A sinistra del punto di giunzione esistono entrambi i tipi di onde)(

2v

xti

e

e

)(2v

xti

e

, a partire dal momento in cui il pacchetto donde incide sul punto digiunzione.

Poich le condizioni in alto devono valere per ogni perturbazione If , esse devono valere

per ogni componente armonica, dunque:

1 1 2( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x xi t i t i t

v v va e b e c e

e

1 1 2( ) ( ) ( )

1 1 2( ) ( ) ( )

x x xi t i t i t

v v vi a k e i b k e i c k e

v v v

Che vanno calcolate a 0x e diventano:

( ) ( ) ( )a b c

1 1 21 1 1( ) ( ) ( )a b cv v v

Da cui si ricavano le equazioni:

2 1

1 2

2

1 2

( ) ( )

2( ) ( )

v vb a

v v

vc a

v v

, che danno lampiezza dellonda

riflessa e trasmessa in funzione della pulsazione. Si ricavano quindi i cosiddetti

coefficienti di riflessione e di trasmissione:

222 1

1 2

1 2

21 2

( )( )

( )

4

( ) 1 ( ) ( )

v vbR

a v v

v v

T R v v

.

I due coefficienti saranno dipendenti dalla pulsazione, se le velocit ne sono dipendenti. Sinoti che il fenomeno della riflessione risulta necessario affinch le condizioni al punto digiunzione possano essere soddisfatte.

8. Fenomenologia delle onde

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Esistono vari fenomeni caratteristici delle onde. Alcuni (interferenza e diffrazione)debbono essere studiati con molta attenzione, data la loro importanza di principio e lavastit delle applicazioni. Altri verranno brevemente passati in rassegna in questoparagrafo.

a. Effetto Doppler

Consiste in un cambiamento percepito della frequenza dellonda quando o la sorgente odil ricevitore si muovono rispetto al mezzo nel quale londa si propaga. Il caso pi noto quello del Sig. Doppler che ascolta il fischio di una locomotiva in avvicinamento prima ein allontanamento dopo: la frequenza del fischio prima aumenta e dopo diminuisce.Vediamo perch. Esaminiamo prima il caso in cui la sorgente ferma e losservatore in

movimento con velocito

v . Semette onde, per esempio sferiche (fig. 13), di lunghezza

dondas

, che si muovono a velocit c rispetto ad S. La lunghezza donda la stessa

per losservatore e per la sorgentes o

(una lunghezza non cambia, cambiando

di riferimento, nella fisica classica), ma la velocit dellonda sar pi elevata per

losservatore in moto verso la sorgente (o

c v ), in accordo con la relativit galileiana.

Dunque: ( ) (1 )(1 )o

so o s s o o s

TT c v cT T f f

, in cui o

v

c

e,

quindi, tenendo conto del fatto che il segno sarebbe negativo se losservatore si

allontanasse, scriviamo: )1( so ff

SO

o

t

Fig.13: Osservatore O in moto verso la sorgente S.

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'( ' ) ( ' ' cos ) ' (1 cos )x

ck k c . Che diventa:

2(1 cos )'

(1 )(1 )

. Per 0 (effetto D. longitudinale) la formula si

semplifica e, a seconda del segno a numeratore, d:(1 )

'(1 )

oppure:

(1 )'

(1 )

. Se si pu trascurare 2 rispetto ad uno, si ottiene poi:

'(1 cos )

. Per leffetto D. trasversale ( 2/ ) si ha invece: ' .La verifica sperimentale di queste formule fu eseguita nel 1938 da H. E. Ives e G. R.Stilwell e costitu chiaramente una verifica sperimentale della relativit e dellipotesi deifotoni. In effetti, pi avanti, vedremo che la luce fatta di fotoni e si vedr che leffettoDoppler un caso speciale di trasformazione del quadrivettore impulso/energia:

,p k E

dei quanti di luce o fotoni.

b. Leffetto Cherenkov

Affrontiamo adesso il caso in cui la velocit della sorgente superiore a quella dellonda:

'cvs . Questo fatto possibile anche nel caso della luce: particelle ad alta velocit

possono superare la velocit della luce nei mezzi materiali, dove la velocit della luce 'c sostanzialmente inferiore a quella della luce nel vuoto c .Il limite che non pu essere superato quello della velocit nel vuoto, naturalmente.La situazione presentata nel caso delleffetto Doppler adesso modificata e la situazioneappare come mostrato in fig. 15.I fronti donda interni sopravanzano quelli esterni nella direzione del moto della sorgente.Infatti tra un fronte e il prossimo c, a sorgente ferma, una distanza Tc' , ma, asorgente in moto, la distanza tra i punti in cui i due fronti successivi sono emessi sar pari

a: TcTvd s ' . Si vede dalla fig. 15, che i vari fronti sferici si sovrappongono a

formare un fronte conico con un angolo di apertura . Dalla stessafigura si osserva che,

nel tempo tin cui il fronte si mosso di tc' , la sorgente si mossa di tvs e che

X

tc'

tvs

Fig. 13: Effetto Cherenkov.

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41

sv

c'sen . La luce si muove in un mezzo materiale con una velocit inferiore, come si

detto gi, e precisamente la sua velocit in un mezzo si pu scrivere come la velocit nel

vuoto divisa per lindice di rifrazione ndel mezzon

cc' . Questultimo un parametro

che determina le propriet di rifrazione del mezzo e che sar definito nei prossimi

paragrafi. Si ha cos:nnnv

c

s

11sen

, (con

c

vs ) giacch la particella che

emette avr approssimativamente: cvs .

b.Onde stazionarie

Consideriamo una corda fissa agli estremi. Pizzichiamola in modo da farla oscillare. Lesoluzioni armoniche dellequazione delle onde sono due e possiamo combinarlelinearmente: ( , ) sen( ) sen( )f x t A kx t B kx t . Essendo la corda bloccata agli

estremi, occorre imporre che tanto nellorigine quanto alla coordinata lx (la lunghezzadella corda) le oscillazioni si annullino, sempre:

(0, ) ( ) ( ) 0f t Asen t Bsen t A B

( , ) sen( ) sen( ) 2 sen( )cos 0f l t A kl t kl t A kl t kl n , ovvero il

prodotto kl deve essere uguale ad un numero intero di volte cio: 0, , 2 . Questa ,

in effetti, una condizione sul rapporto tra la lunghezza della corda e la lunghezza donda:

2

l

l

Fig. 14: Onde stazionarie in una corda fissa agli estremi

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2

2kl l n l n

. La lunghezza della corda quindi deve corrispondere (si veda

fig. 16) ad un numero intero di semilunghezze donda. Disegniamo alcuni di questi casi,per visualizzare il fenomeno. I due muri simboleggiano i due punti di attacco della corda.

Come si vede dal caso2

l n

( 2n ), ci sono per altri punti intermedi dove la corda

non si muove, cio dove kl n . Questi punti si chiamano nodi. Sono invece dettiventri i punti di massima ampiezza di oscillazione.Come si visto, in questo caso, la soluzione viene trovata nella forma del prodotto di duefunzioni una del tempo e una della posizione. Possiamo provare in generale a vedere sottoquali condizioni ci si pu fare. Prendiamo lequazione delle onde in una dimensione:

2 2

2 2 2

10

f f

x v t

e proviamo a scrivere la soluzione nella forma:

( , ) ( ) ( )f x t g x h t , sostituiamo e otteniamo:2 2

2 2 2

( ) 1 ( )( ) ( )

g x h th t g x

x v t

,

dividendo per f , otteniamo:2 2

2 2 2

1 ( ) 1 1 ( )

( ) ( )

d g x d h t

g x dx v h t dt

. Poich il membro di

sinistra solo funzione di x e quello di destra solo di t , luguaglianza si pu avere solose entrambi sono uguali ad una stessa costante . Da ci ricaviamo due equazioni:

2

2 2

( )( ) 0

d g xg x

dx

e2

2

( )( ) 0

d h th t

dt

. Si pu dimostrare che i valori di

devono essere positivi, poniamo allora: 2 . La seconda equazione dunque

lequazione delloscillatore armonico di pulsazione . La prima equazione diviene:2

2 2

2

( )4 ( ) 0

d g xg x

dx

, con 2 v

. Anche la seconda lequazione

delloscillatore armonico e pertanto ha soluzioni oscillanti del tipo: ( ) cos 2 x

g x

.

In conclusione, le soluzioni esistono solo per funzioni sinusoidali (o esponenziali). Seimponiamo delle condizioni al contorno del tipo appena visto per la corda, risulter che,solo per certi valori di

, esistono soluzioni, essi si chiamano autovalori e le soluzioni

relative autofunzioni dellequazione. Evidentemente solo in certi casi per la funzione( )f f x vt possibile separare le due dipendenze., cio solo per funzioni

esponenziali del tipo 2 / (2 / )i x i t i x te e e o funzioni oscillanti.Unonda per cui possibile separare la parte dipendente dal tempo da quella dipendentedalle coordinate spaziali si chiama onda stazionaria, quelle per cui ci non possibile sichiama onda progressiva.

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43

Lo stesso procedimento si pu fare per onde tridimensionali, separando la parte spaziale

che acquisir la forma: 2 2( , , ) 4 ( , , ) 0f x y z f x y z dalla parte temporale che

avr la stessa forma oscillante di prima.

c.Battimenti. La velocit di gruppo e la velocit di fase

Supponiamo di avere due oscillazioni con frequenza angolare molto simile e con la stessaampiezza. Usando il principio di sovrapposizione delle onde, possiamo dire che londarisultante sar la somma delle due onde:

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( , ) cos( ) cos( )

2 cos( ) cos( )2 2 2 2

f x t A k x t A k x t

k k k k A x t x t

dove si fatto uso delle formule di prostaferesi nellultimo passaggio. Utilizziamo adesso

il fatto che le due frequenze sono quasi uguali 21 e scriviamo, ridefinendoA:

1 2( , ) cos( )cos( )2

f x t A t kx t

.

In conclusione: londa risultante unonda con lo stesso vettore donda e frequenzaangolare delle due onde, ma caratterizzata da unampiezza variabile nel tempo con unafrequenza molto pi bassa. La fig. 17 mostra landamento temporale dellonda a xcostante. Come si vede lampiezza delloscillazione dalta frequenza viene modulatadalloscillazione a bassa frequenza.

Lesperimento per verificare lesistenza dei battimenti viene eseguito con due diapason,strumenti che percossi emettono una frequenza quasi pura e vengono usati dagliaccordatori di strumenti musicali. Percuotendo due diapason con frequenze quasi uguali sisente il suono che sarebbe emesso da uno solo dei due, ma lintensit sonora aumenta ediminuisce periodicamente.

),( txf

t

costx

Oscillazione conpulsazione

Oscillazione conpulsazione

2/)( 21

Fig. 17 Battimenti

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Unapplicazione importante si ha nelle radio a modulazione dampiezza (AM). Il segnaleradio costituito da unoscillazione ad alta frequenza (portante) la cui ampiezza modulata da un segnale a frequenza acustica, il suono che si vuol trasmettere appunto. Ilricevitore deve rivelare il segnale in arrivo, estrarne il segnale acustico e mandarlo ad unamplificatore a bassa frequenza che sia capace di pilotare laltoparlante.Il primo problema in questa sequenza di funzioni nasce dal fatto che il segnale in ingresso generalmente debole e deve prima essere rafforzato o amplificato da un amplificatorecapace di amplificare le alte frequenze in tutta la banda in cui funziona il ricevitore. molto pi facile costruire un amplificatore dalta frequenza capace di funzion

1.Le onde

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