18-Problemi_non_lineari_V_1_3.pdf

7/25/2019 18-Problemi_non_lineari_V_1_3.pdf

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Analisi di Buckling

Come detto in precedenza esistono due procedure attivabili per il calcolo dei carichi di collasso

La prima si basa sulla ricerca del punto di biforcazione mediante lanalisi modale

La seconda utilizza il calcolo non lineare e determina il carico di collasso direttamente

valutando il valore massimo raggiungibile fino ad un cambio drastico di configurazione

deformata

Metodo non lineare: si opera in controllo di

carico (carico crescente) e il calcolo non

converge pi a Fc

Oppure in controllo di deformazione e si

esamina lintera curva di risposta

Fc

Calcolo autovalori determinando il punto di

biforcazione (come si vede il calcolo non in

sicurezza in quanto si linearizza il

comportamento fino al punto di collasso)


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Impostazione agli autovalori

0 *geomelast KK

Il problema si risolve mediante unanalisi agli autovalori delle matrici

quindi necessaria unanalisi preventiva statica non lineare che consente di calcolare laK*geom (opzione distress stiffening)

Viene di seguito presentato come si forma tale matrice in una trave in flessione

Per piccoli spostamenti, si pu scrivere lequazione di equilibrio dei momenti attorno al punto disinistra

P P

u

v

2

dxdM dT dvM M dx q T dx dx P dx 0

dx 2 dx dx

Eliminando i termini in dx2, e derivando rispetto ad x: 0

dx

vdP

dx

dT

dx

Md2

2

2

2


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Non considerando le deformazioni a

taglio si ha dalla teoria della trave 2

2

dx

vdIEM q

dx

dT

qdx

vdP

dx

vdIE

2

2

4

4

Si pu ora applicare la formulazione debole per la determinazione delle matrici di

rigidezza a partire dalla formulazione della deformazione troncata al II ordine

2 2 21

2xx

u u v w

x x x x

2

2

2

xxdx

dv

2

1

dx

vdy

dx

du

(termine flessionale) (grandi deformaz.)

eV2xx dVE

21UEnergia di deformazione: Sostituendo e svolgendo prodotti

22 4 2 22 2 22

2 2 2

1 1 2

2 4L A

du d v dv du d v d v dv du dvU A y y y E dA dx

dx dx dx dx dx dxdx dx dx

Che la classica equazione differenziale dalla quale si pu

dedurre linstabilit delle colonne, valida per ogni C.C.

1 2 3 4sin cosv x C kx C kx C x C + Condizioni al Contorno


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Il precedente integrale si pu ridurre ad un integrale

di linea ricordando le propriet delle sezioni:

22 4 22

2

1

2 4L

du d v A dv du dvU E A I A dx

dx dx dx dx dx

E ricordando che

dx

duAEP

20 ; 0 ;A A A

dA y dA y dA I

Trascurando il termine di potenza pi alta

41

02 4

L

A dvE dx

dx

22 22

2

1

2 x

L

du d v dvU EA EI P dx

dx dx dx

Si perviene alla seguenteespressione della energia elastica

Lenergia elastica suddivisibile in due componenti, il primo associato a deformazioni

assiali e il secondo a deformazioni flessionali

ax fl U U U

21

2ax

L

duU EA dx

dx

2 22

2

1

2fl x

L

d v dvU EI P dx

dx dx


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L

0

22

2

22

dxdx

dvP

dx

vdIE

dx

duAE

2

1U

WU 1 1

2 2

all all fl fl all

TT T

gf K f f K f f P

Nel problema discretizzato si pu esprimere lo spostamento mediante le funzioni di forma, per

cui lenergia totale diviene:

1

2

ax ax ax

Tf K f

1

2 fl fl fl

T

f K f 1

2

fl fl

T

gf K f

1 , flxdv

dx

N f 1 1, ,0 AL T

x x dx *gK N NP

*

g gK K

2 3 2 3 2 3 2 3

1 11 12 13 14 2 3 2 2 3 2, ,

,

N N N N 1 3 2 , 2 , 3 2 ,x x

x

x x x x x x x xx

L LL L L L L L

,xN

1 2 3 2 2 3 2,6 4 6 2

12 , 6 , 12 , 6x

x x x x

L LL L L L L L

N

Derivando le precedenti si ha:


6/43

2 3

2

2 3 2 2 3 20

2 3

2

612

4 66 4 6 2

12 6 12 6 A6

12

26

L

x

L L

xx x x xL L

dxx L LL L L L L L

L L

x

L L

*gK

Per ricavare non resta che risolvere lintegrale

6 1 6 1

5 10 5 10

1 2 1

10 15 10 30 6 1 6 1

5 10 5 10

1 1 2

10 30 10 15

L L

LL

L L

LL

*

gK

1 1 2 2v v

1

1

2

2

v

v

*

gK

Si noti che sono presenti solo gdl flessionali


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Esistono due modalit di evoluzione non lineare, la prima facendo crescere il carico e la

seconda lo spostamento

Soluzione non lineare

In realt ne esiste anche una terza, combinazione delle due precedenti, che prende il

nome diArch-lengthod analisi di Riks

Il calcolo non lineare si

muove su questo arco

Il calcolo a collasso non lineare a tutti gli effetti unanalisi non lineare tout courtequindi si rimanda lapprofondimento a quello del calcolo non lineare in genere


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Risoluzione di problemi strutturali non lineari

Dal punto di vista strutturale, i problemi sono non lineari se, nota la risposta del sistema ad un

determinato livello di carico, incrementando tale livello i risultati non sono proporzionali

allincremento stesso

Se chiamiamo steplintera soluzione, dal momento in cui non applicato il carico al suo valorefinale, quasi sempre necessario suddividere lo step in un certo numero di substep, ove si

imponga la soddisfazione dellequilibrio (forze residue piccole)

Anche allinterno dei substepil calcolo non lineare, quindi sar necessario operare un certonumero di iterazioni allinterno (ciascuna costituita da un calcolo lineare) finch non si avr alcorrispondente substep una soluzione con forze residue minori del voluto

tempo

risposta

Substeps

STEP

iterazioni


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In ogni caso, il calcolo non lineare si sviluppa come unanalisi incrementale, del tipo:

1) I n controll o di cari coi carichi sono applicati con una legge preimpostata

2) I n controll o di spostamentospostamenti imposti indipendentemente dalla risposta sistema

3) Control lo indir etto sul la r ispostacontrollo basato su combinazioni della risposta, come ad

esempio spostamenti relativi tra gdl

3) Controllo di tipo Arc length si realizza mediante una combinazione di spostamento e carico

applicato la cui combinazione deve muoversi entro un raggio funzionale delle due grandezze

Il modello costitutivo del materiale fa ricorso alla matrice di rigidezza tangente del materiale

*

=

D

=

Attraverso la quale si calcola la matrice di rigidezza tangente di ogni elemento della struttura

*int T T T

T d d d

f

K B B B D Bu u u


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8) Fine del substep con soluzione

convergente e pronti ad un nuovo

incremento del carico

5) Si trova 2 1 1 n n n

u u u

6) Si determinano le forze interne, si

calcola il nuovo residuo associato allospostamento estrapolato

int

2

2

3 2 2

n

T

R

n 1 n n

f

K

u u u

7) . . . Si prosegue finch ilresiduo risulta essere pi grande

di un valore considerato

accettabile

Il metodo di Newton-Raphsono

della rigidezza tangenziale ricerca la

soluzione dallinizio di un substepalla sua fine calcolando ad ogni

iterazione la matrice tangente ed

estrapolando su di essa

Per semplificare la trattazione, si espone la procedura per un sistema a risposta non lineare

che per possiede un solo grado di libert

3) Si determina la nuova matrice

di rigidezza1

TK

2) dal substep precedente nota 1last

1

n nu u

1

1 1 1

nR

n TANu K

4) Si calcola per estrapolazionelineare lincremento spostamento

1

last

1

n nu u

1) lincremento di carico impostodefinisce il valore del residuo iniziale 1n nR P


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Il metodo di Newton-Raphsonmodificatodifferisce dal precedente in quanto non si ricalcola la

matrice tangente ad ogni iterazione ma si utilizza quella relativa alla fine del substep precedente

Il metodo di Newton Raphson pu

entrare in crisi se la struttura hardening

- la convergenza diviene lentissima

P

x0 x1x2x3x4

Se il sistema ha comportamento non monotono si

pu mancare totalmente la convergenza anche col

metodo non modificato

Miglior tendenza con N.R.

modificato

P


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Caso di sistema hardening

Non convergenza con Newton-

Raphson modificato

Convergenza lenta con Newton-

Raphson


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Nel metodo della secantesi effettua una prima iterazione secondo il metodo classico di Newton-

Raphson e poi si determina la matrice secante mediante

La determinazione della matrice secante immediata in un problema scalare, come

quello rappresentato in figura, ma molto meno banale per rigidezze matriciali

11 1 2 1 2

SEC n n

d R R

n

u K


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Esiste anche un metodo della secantemodificato (Iterazione diretta di Picard) secondo il quale la

secante computata sempre considerando la soluzione iniziale

Il miglior funzionamento delle varianti presentate dipende dal problema stesso, e quindi di difficile determinazione aprioristica


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Ladaptive descentpu fare uso di due matrici di rigidezza incrementali, una la matricetangente Kte laltra la matrice secante Ks

La matrice in uso definita dalla espressione ts KKK 1

Literazione ha inizio con = 0, se la convergenza difficile da raggiungere si fa crescerein modo da avvicinarsi alla matrice secante, pi rigida se il sistema hardening

Se nelliterazione il residuo cresce (tendenziale divergenza):

Si porta = 1 e si continua ad iterare cos

Se nelliterazione il residuo decresce (tendenziale convergenza):

Si riduce progressivamente da 1 fino a riportarlo a 0 (matrice tangente)

Se durante literazione si verifica un pivot negativo (matrice mal condizionata):

Si riduce riutilizza la matrice secante (= 1) ed eventualmente si riduce la

dimensione del substep di avanzamento


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Il line search un metodo che prova a determinare la soluzione della iterazione modificando

i salti calcolati da Newton Raphson con ladozione di un coefficiente skappropriato

1 i i in n k ns u u u con

01.0s

Noto il valore di sksi associa ad esso uno scalare che indica lenergia coinvolta nelliterazione

1,T

i i k

k n ng u R

Ove naturalmente il residuo calcolato dallequilibrio delle forze esterne ed interne

1, int 1,i k ext i k n n R f f u

A questo punto si determina la nuova approssimazione di

sk+1estrapolando verso g=0 la retta indicata nella figura 0g

ks

kg

1ks

s

g

0

10

k kk

gs s

g g

Il processo termina dopo un numero prefissato di

iterazioni (e.g. 5) oppure quando si verifica una delle due

0 0.5k

g

g 1k k

k

g gerr

g


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Larc length un metodo molto adatto quando i sistemi sono softening-hardening, per esempionelle condizioni di post-buckling

A seconda del metodo adottato, si realizzano perdite di convergenza diverse

La curva degli equilibri successivi in pratica si determina da una combinazione sia degli

spostamenti delle variabili incognite, sia del fattore scalare di carico che agisce su tutti i carichiapplicati

Il metodo non invece adatto nei sistemi ove discontinuit di carico si realizzano

frequentemente durante gli step di carico (analisi con contatti tra superfici, )

Dato per che spostamenti e forze applicate sono dimensionalmente differenti, occorre definire

una costante di comparazione c:

2Tl c u u

Per gli elementi in cui sono presenti sia gdl

traslazionali che rotazionali si introducono

anche altri fattori di comparazione


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In un substep, si parte da 1 1,n n u

0u

e si vuole determinare i nuovi ,n nu

In pratica si ha una nuovo parametro con la condizione vincolare sulla lunghezza din l

Riscriviamo la linearizzazione dellequilibrio della generica iterazione i:

1 1 10 int, 0i i i i in n n n nf f f f K u

1 1 1

0 int,

i i i i i

n n n n

nK u f f f f

INCOGNITE

Ora, pensando che una iterazione porta da una soluzione ad una possiamo

linearizzando imporre lequilibrio nella condizione iniziale (0) e finale (f)

1

0=i

n u u fu

1 1 1

0 0 int,

1

i i i

n n n

i

n f

K u f f f

K u f

Esprimendo la

variazione dispostamento come

Sia che sono note e quindi, sostituendo nella lunica incognita presente fu

0 i i

n n f u u u

i

n

1 1 2 1 2T

i i i i i i

n n n n n nc l u u u u

Il sistema, di II grado, fornisce due

soluzioni: una avanza nel percorso,

laltra retrocede

Si separa

lequazioneprecedente in due


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Per quanto riguarda i criteri di convergenza essi possono essere basati sia sulle forze

(e momenti) residui sia sullo spostamento della soluzione dalliterazione precedente

I primi sono senzaltro da preferire in quanto hanno un preciso significato fisico, i secondiinvece possono mascherare enormi errori nellequilibrio per strutture particolarmente rigide

Infine, in genere i codici controllano se da una iterazione alla successiva si ha una nuova

condizione di contatto ed in tale caso effettuano sempre una iterazione aggiuntiva,

fermandosi quando non si altera pi il quadro complessivo dei contatti

La ricerca della soluzione pu anche diventare estremamente difficile quando sono presenti

condizioni non continue, come contatto o bruschi cambi di pendenza curva plastica del

materiale, passaggi di stato, ...

In particolare i problemi di contatto, peggio se associati a plasticit che invece produce

softening sono spesso difficoltosi perch instaurano delle condizioni di hardening

allinsorgere della penetrazione sul target


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Comportamento plastico dei materiali (metallici)

La plasticit caratterizzata da una correlazione non

biunivoca tra il valore della deformazione accumulata e

quello della tensione, in pratica si pu vedere se in un ciclodi carico e scarico si ripercorre o no il medesimo percorso

Nei materiali elasto-plastici perfetti esiste un valore di

tensione di yield oltre il quale le deformazioni sono

indeterminate

carico

scarico

y

I materiali che incrudiscono sono invece caratterizzati

da un valore di yielding che dipende da qualche

parametro di controllo

Il pi accreditato la

deformazione plastica

Lequazione della superficie di Yield 0,F

Nei materiali che presentano incrudimento la superficie

tende ad espandersi mano a mano che si accumula

plasticit

1

2


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Analisi del flusso plastico

Nel caso di presenza di flusso plastico il materiale caratterizzato da un legame tensione deformazione che si modifica durante leventoplastico.

In una semplificazione comunemente adottata, il materiale allinterno di una superficie disnervamento si comporta elasticamente, al di fuori plasticizza

Se incrudente, si ha una estensione della superficie di snervamento stessa determinata dallentitdella deformazione plastica stessa.

Chiamando con F la superficie di snervamento, essa sar funzione dello stato di tensione e di un

parametro che tiene in conto dellincrudimento subito

, 0F

Il tensore delle tensioni naturalmente il seguente:

xx xy xz

xy yy yz

xz yz xx

Considerando la tensione media, si pu scrivere un tensore

deviatorico che si costruisce eliminando la componente idrostatica: 1 3m x y z

xx m xy xz

xy yy m yz

xz yz xx m

s

(1)


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Si rammentano anche i tre invarianti delle tensioni che sono cos definiti, una volta che stato

individuato il sistema di riferimento principale

1 1 2 3I 2 1 2 2 3 3 1I 3 1 2 3I

Nel caso si faccia uso del tensore deviatorico, i tre invarianti assumono i valori

1 0J 2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1

6J

3 1 2 3J s s s

Il criterio di snervamento di Von Mises imediatamente legato aJ2

2 2 2

1 2 2 3 3 1

1

2eq

23eq J

Qualora ci si trovasse in un sistema di riferimento non principale, il J2diverrebbe

2 2 2 2 2 2

2

16

6 x y y z z x xy yz zxJ

La deformazione plastica equivalente viene anche essa in

genere conteggiata mediante un criterio alla Von Mises 23

32

pl pl pl pl

eq ij ijJ


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Un metodo per determinare le direzioni principali deviatoriche, alternativo alla soluzione del

problema agli autovalori, dato dalle seguenti espressioni (Kachanov):

2 2

2 1cos

33s J

3 22

cos3

s J

3

32

2

3 3cos3

2

J

J

;

;

Avendo posto

A questo punto le tensioni principali altro non sono che

1 1 ms

2 2 ms

3 3 ms

;

;

Tornando alla superficie di yielding F, se si adotta la tensione equivalente di Von Mises, leq (1)

, 0eq yF

2 2 2

1 2 2 3 3 1

10

2 y

In questa ultima equazione leffetto dellincrudimento viene conteggiato mediante la variazionedella tensione di snervamento, che sar funzione di un parametroda definire ma che tiene in

considerazione il livello di plasticit raggiunto

Incrudimento isotropico

1 2

2 1cos

33s J


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Superf icie di snervamento

Mater iale Elasto-Plastico perfetto

La superficie di snervamento definisce linnesco della condizione di plasticitLestensione di tale superficie si attualizza con la deformazione plastica accumulata

, 0plF

I ncrudimento isotropico

I ncrudimento cinematico

In questo caso la condizione di plasticizzazione totalmente indipendente

dalla deformazione plastica

0F

La condizione di plasticizzazione rimane la stessa nel corso della deformazione plastica, sia nella

estensione che nella posizione originaria

La superficie di snervamento pu crescere ma non cambia posizione

La superficie di snervamento pu solo traslare ma non

cambiare di forma


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La superficie di snervamento segue levoluzione dello stato tensionale in modo che la disequazionesia sempre rispettata

Condizione di consistenza

, 0plF

Un cambiamento dello stato tensionale si sviluppa elasticamente (scarico elastico) se , 0pldF

Si ha invece ulteriore plasticizzazione se si realizza una fase di carico

ulteriore con incremento della deformazione plastica , 0pl

dF

Mater iali incrudenti

La superficie cresce in estensione dal

primo snervamento fino alla superficiedi rottura (il cammino irreversibile)


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Principio di normalit

Esso asserisce che in condizioni di incipiente uscita dalla curva limite di snervamento, la

deformazione plastica fluisce secondo una direzione che risulta normale alla curva limite stessa

In termini di equazioni, si pu scrivere che, per ciascuna delle 6 componenti indipendenti

dellincremento di deformazione plastica, si ha la condizione di parallelismo tra lincremento plasticodi deformazione e la normale alla superficie di snervamento

pl

ij pl

ij

Fd

(2)

La costante per ora niente di pi che un fattore di proporzionalit che andr determinato.

Nella plasticit associativa, di cui qui si discute, si ha cheFrisulta essere proprio la superficie di

snervamento prima definita


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Se si considera plasticit non associativa (valida per esempio per materiali porosi che risentono della

tensione media) , allora occorre sostituire aFuna funzione che definisca pi appropriatamente il

potenziale plastico

tot el pl

ij ij ijd d d

Per ottenere un legame costitutivo coerente, nel caso elasto-plastico, si

suddivide la deformazione in una somma di contributo elastico e plastico

Ricordando il principio di normalit ed il legame tensioni-

deformazioni in campo elastico e plastico1 F

d d

D (3)

Dove D- legame elastico - vale, nel caso tridimensionale

1 - - 0 0 0

- 1 - 0 0 0

- - 1 0 0 01

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

yz yz

xz xz

d d

d d

d dd d

d dE

d d

d d

D


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Come detto, quando si realizzano le condizioni di flusso plastico, la superficie limite si incrementa

(incrudimento) e fa si che essa continui ad inglobare lo stato tensionale raggiunto.

Questo vuol dire che il suo differenziale totale (incremento assoluto), composto da 7 termini, rimane

sempre nullo

0xx yy z xy yz zxxx yy zz xy yz zx

F F F F F F FdF d d d d d d d

(4)

Definendo ora con

1 F

A d

(5)

Utilizzando il vettore a 6 componenti di , lequazione scalare (4) assume una forma semplificata

0

TF

d A

(6)

Se ora si raggruppano le eqq. (3) e (6) si perviene ad un sistema composto di 7 eq. in 7 incognite:

1

0 T

Fd

d

Fd A

D

(7)


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Vediamo ora di discutere il significato del termineA. Chiaramente, se non si ha incrudimento,

esso si annulla in quantoFrimane lo stesso al crescere di

Il punto di partenza la determinazione del parametro che misura il lavoro

incrementale di hardening, per cui la sua crescita vale

T pld d

...pl pl plxx xx yy yy zx zxd d d d

Ricordando la legge di flusso plij

ij

Fd

(2) e sostituendola in questultima T

Fd

Che ci consente di eliminare il fattore d presente nella equazione (5)

TF FA

(8)

Von Mises presenta il notevole vantaggio di poter esprimere il gradiente diFin modo agevole

2 2 2 2 2 21 3 3 3 0

2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx yF

33 3; ; ;

2 2 2

yx z

xx eq yy eq zz eq

ss sF F F

3 3 3; ; ;

xy yz zx

xy eq yz eq zx eq

F F F

Con semplici passaggi si scrivono le 6 derivate


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Se si dispone di una semplice prova di trazione (monodimensionale), si ha a

disposizione una curva del tipo m - m , spostandosi dalla condizione di

incipiente snervamento, il lavoro incrementale di deformazione plastica :y m

d d

Si esprime - in questo caso monodimensionale - il valore della prima derivata scalare presentenella eq. (8) avendo bene in mente che il differenziale totale (4) risulta nullo

0ss

F Fd d

1

y y

y m y

d dF H

d d

=1

y

m

dHd

Avendo definito H non altro che la pendenza istantaneadella curva di incrudimento monotona.

Se ora si sostituisce nella (8) ricordando anche che nel caso monodimensionale la

seconda derivata ivi presente vale semplicemente 1, si perviene ad una definizione di

A H

TF F

A

Si pu ora tornare al sistema (7)

cercando di darne una soluzione il pi

possibile generale. In particolare

occorre approntare una opportuna strategia risolutiva che

rimanga valida anche quandoA= 0, ossia il materiale

presenti un comportamento elasto-plastico perfetto

Lo scopo sar quello di fare scomparire nel sistema (7) il termine .

T


31/43

Si comincia col premoltiplicare il primo set di equazioni (7) per il termineT

F

D

1

T T TF F F F

d d

D D D D

Semplificando, e mettendo in evidenza il primo termine a destra dell'uguale, si ottiene il seguente

T T TF F F F

d d

D D

termine che pu essere poi sostituito nel II set di equazioni (7) - che poi

una semplice eq. Scalare - si elimina cos il d0

T

F d A

0

T TF F F

d A

D D

1 Fd d

D

Questultima permette di eliminare il fattore moltiplicativoT

T

Fd

F FA

D

D

(9)

(6)


32/43

Che viene infine eliminato nella prima delle (7) 1 F

d d

D

1

T

T

Fd

Fd d

F F A

D

D

D

(10)

Ora si scrive la precedente equazione in termini espliciti, indicando cio la variazione dello

stato tensionale per effetto di un incremento di deformazione totale (si premoltiplica per D)

T

T

F F

d d dF F

A

D D

D

D

(11)

In pratica si trovato un legame incrementale tra il tensore di deformazione e quello della tensione

che si scrive noto che siano la matrice Ddel materiale elastico, lipotesi di rottura attraverso ladefinizione diFe quindi delle sue derivate, la pendenza incrementale di incrudimento plastico (A).

*d d D *

T

T

F F

F F

A

D D

D D

D


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Questo modo di procedere fin qui descritto ha lo svantaggio di considerare una D* indipendente

dallo stato di tensione che di fatto fuoriesce istantaneamente dalla curva di snervamento

Se gli incrementi di deformazione sono sufficientemente piccoli lerrore che si commette non grande, tuttavia se cos non lerrore accumulato pu diventare intollerabile.

Per il momento il sistema non viene descritto, si ritiene utile solo accennare al fatto che la

risoluzione comporta la ricerca di zeri della funzione attraverso lalgoritmo diNewton-Raphson.

In questo caso si pu far ricorso allalgoritmo del return mapping, proposto nel 1964 daMaenchen e Sacks. La tecnica prevede unoscalingdella tensione in modo da permanere

sempre sulla superficie di incrudimento

Qualora la plasticit non fosse asssociativa, ugualmente la ricerca del punto finale sulla superficie

di snervamento va risolta in forma numerica


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Esempio su deformazione 3D

Si ipotizza la presenza di un determinato stato di tensione e di

deformazione, giacenti sulla superficie limite di snervamento:

275.04 59.01 -202.86

59.01 260.36 -27.52

-202.86 -27.52 -65.40

La quale presenta, come si pu risolvere, tre tensioni principali pari a:1 400 MPa

2 230 MPa

3160MPa

Secondo i criterio di Von Mises, essendo la tensione equivalente sulla curva di snervamento, si hauna tensione di snervamento

2 2 2400 230 160 400 230 230 160 160 400 497.29y

Si calcola il tensore di

deformazione elastico, ipotizzandodi essere in regime elastico e

quindi di non aver ancora compiuto

lavoro plastico (=0):

1 - - 0 0 0

- 1 - 0 0 0- - 1 0 0 01

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

yz yz

xz xz

E


35/43

Ponendo per il materiale le seguenti caratteristiche: E= 2.06e11 Pa, =0.3, sn=500 Mpa

H= 1/1000*E

1 - - 0 0 0 275.04 1.0512

- 1 - 0 0 0 260.36 0.9586

- - 1 0 0 0 -65.40 -1.09721

0 0 0 1 0 0 59.01 0.3724

0 0 0 0 1 0 -27.52 -0.1737

0 0 0 0 0 1 -202.86 -1

xx

yy

zz

xy

yz

xz

E

310

.2802

Da un calcolo complessivo, a partire da questo stato, si ha un incremento di deformazione totale

(di primo tentativo) ad esempio di semplice dilatazione unidirezionale inx, pari a 0.001:

3

1.0512 1.0000 2.0512

0.9586 0.0000 0.9586

-1.0972 0.0000 -1.097210

0.3724 0.0000 0.3724-0.1737 0.0000 -0.1737

-1.2802 0.0000 -1.2802

new old d

310

La prima verifica da fare che lincremento di deformazione totale faccia sforare la sollecitazioneequivalente oltre il limite di snervamento attuale:


36/43

3

1- 0 0 0 2.0512 552.39

1- 0 0 0 0.9586

1- 0 0 0 -1.0972 10

0 0 0 1 2 2 0 0 0.37241 1 2

0 0 0 0 1 2 2 0 -0.1737

0 0 0 0 0 1 2 2 -1.2802

xx

yy

zz

xy

yz

xz

E

379.21

53,44

59.01

27.52

202.86

573.31 MPa 497.29 MPaeq La sollecitazione esce dalla zona elastica

Con il che si evince che si entrati in campo plastico e bisogna utilizzare la equazione (11)per il

calcolo del tensore delle tensioni.

Per poter applicare la (11) occorre calcolare le derivate del gradiente diFrispetto alle tensioninellultimo punto noto in elasticit:

+ 3=156.67m x y z MPa

=118.37x x ms MPa =103.70y y ms MPa

= -222.07z z ms MPa

= 59.01xy xys MPa= 27.52yz yzs MPa

= -202.86xz xzs MPa


37/43

3 222.073 118.37 3 103.700.3571; 0.3128; 0.6698;

2 497.29 2 497.29 2 497.29xx yy zz

F F F

3 27.52 3 202.863 59.010.3560; 0.1660; 1.2238;

497.29 497.29 497.29xy yz zx

F F F

0.3571 0.3128 -0.6698 0.3560 0.1660 1.2238T

F

Calcolando ora la (12) si ottiene

* 5

2.6863 1.1124 1.3513 -0.0865 0.0404 0.2975

1.1358 2.7065 1.3311 -0.0758 0.0354 0.2606

1.4816 1.3063 2.4676 0.1624 -0.0757 -0.55821 10

-0.1559 -0.0627 0.3485 1.4983 0.0402 0

T

T

F F

F FA

D D

D D

D

.2966

-0.2739 -0.1101 0.6124 -0.3256 1.5659 -0.1383

0.0727 0.0292 -0.1625 0.0864 0.1518 0.5649

Per cui, osservando che *d d D

* 268.63 111.24 135.13 8.66 4.04 29.75T

Td d MPa D

Si d i h il di i


38/43

Si determina anche il nuovo stato di tensione

543.67 371.61 69.73 50.36 23.11 173.11T

d MPa

Con una nuova tensione di snervamento 521.38y

MPa

Evidentemente pi bassa di quella estrapolata al primo tentativo elastico (573.31MPa)

Il parametropu essere ora calcolato dalla(9): 4

51.53 10

T

T

Fd

F FA

D

D

E il lavoro incrementale di hardening (per unit di volume) assume il valore

'4 = 51.53 10 543.67 371.61 69.73 50.36 23.11 173.11

0.3571 0.3128 -0.6698 0.3560 0.1660 1.2238 0.0763

T Fd

Nmm


39/43

Il punto debole del calcolo precedente la determinazione del gradiente di tensione, preso nello stato

precedente alla deformazione aggiuntiva

Qualora tale gradiente dovesse modificarsi in modo significativo per effetto della deformazione

imposta dallo step, occorrer ridurre gli intervalli di crescita di deformazione, in modo da inseguirelevoluzione dellincrudimento restando sempre sulla superficie (aggiornata) di snervamento stessa

Questo modo di procedere risponde al nome diReturn Mapping ed esistono svariati modi di

procedere in funzione anche del metodo utilizzato per calcolare la tensione equivalente

Nel calcolo agli elementi finiti, il modo di precedere si inserisce negli step di calcolo non lineare,

come ad esempio nello svolgimento del metodo di Newton Raphson.

Tale metodo prevede lo svolgimento di iterazioni, e quindi lassunzione di un campo di spostamenti

di tentativo, che viene via via affinato finch non si raggiunge un equilibrio soddisfacente tra leforze esterne applicate e le forze interne che si sviluppano

Il problema del calcolo elasto-plastico del materiale nasce proprio per la valutazione delle forze

interne, la cui definizione richiede la soluzione del legame non lineare tra deformazioni e tensioni


40/43

Pertanto, ad ogni iterazione si considera un sottoincremento dello spostamento

In modo da ottenere

i iu u

ii e quindi ricercare le conseguenti variazione di tensione

Questa operazione ripetuta per ogni elemento, in corrispondenza ad ognuno dei suoi puntidi Gauss, utilizzati per lintegrazione numerica

In pratica, la tensione, dipendente dal valore assunto al passo precedente, si risolver da una

sommatoria che contiene integrali del tipo

*

1

0

i

n n n n iid

D

Il modo esplicito pi semplice di affrontare questo problema di approssimare lintegraleconsiderando un valore costante nellarco di integrazione. Questo metodo molto rapido, ma

decisamente poco preciso a meno che non si suddivida in intervalli molto piccoli e di dimensionedifficilmente prevedibile

In alternativa, si pu determinare ciascun integrale con un approccio alla Runge-Kutta del II

ordine, che conduce ad una doppia stima della matrice tangente*

iD


41/43

Si impone una deformazione pari alla met di quella effettiva e si

calcola la tensione relativa*

1 2 0

1

2 D

Con questo incremento di tensione si ridetermina la matrice tangente

che viene utilizzata per il calcolo dellintero stato tensionale*

1 0 1 2 D

Questo metodo risolutivo consente anche di avere una stima

dellerrore mediante lespressione 1 1 22 err

Il metodo pu comportare il continuo scostamento del tensore della tensione dalla curva di Yielding

In alternativa stato sviluppato il metodo del Return-Mapping (1964), del quale si pu dare una

semplice interpretazione geometrica dalla figura sottostante

In pratica si impone di riportare lo stato di tensione s lla c r a di sner amento mediante tratti di


42/43

In pratica si impone di riportare lo stato di tensione sulla curva di snervamento, mediante tratti di

ritorno tutti ortogonali e di livelli di incrudimento decrescente. Lalgoritmo impone che lo stato ditensionale finale corrisponda ad una tensione equivalente pari a quella di snervamento attualizzata

I dettagli operativi dipendono dal modello costitutivo utilizzato per la valutazione della plasticit

Dal punto di vista del codice di calcolo agli elementi finiti, si possono comunque prevedere i

seguenti passaggi

Assunzione della deformazione totale: allo step nsecondo uniterazione delprocedimento non lineare di calcolo

n1)

Calcolo della deformazione di trialeliminando la parte gi

plastica al passo precedente

2)1

tr plast

n n n

3) Determinazione della tensione di trialche si avrebbe se il

materiale reagisse linearmente 1tr plast n n n D

4) Calcolo della tensione equivalente per valutare se si rimane in regime elastico o sesi rientra in un tratto di plasticit

Risoluzione, mediante la formulazione esplicita (oppure il return mapping) del

moltiplicatore plasticone quindi della parte plastica dellincremento di deformazione5)

plast

n n

F


43/43

Determinazione della componente elastica e plastica della deformazione totale6)

elast tr plast

n n n 1plast plast plast

n n n

Calcolo dello stato tensionale presente (dovuto solo alle deformazioni elastiche)7)

elast

n n D

Aggiornamento dellincremento del lavoro plastico di incrudimento e dellincremento plasticoequivalente della deformazione (per utilizzare la curva monotona)

8)

T

n n n

Fd

1n n nd 2

3

pl plT pl

eq

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