13 Febbraio 2009 Liceo Volta Riccione - bo.astro.itbedogni/divulg/2009.02.13-riccione-perpdf.pdf ·...

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13 Febbraio 2009Liceo Volta Riccione

«rinserrati nella stanza sottocoperta di un naviglio»dal principio di relatività di Galileo al principio di equivalenza di

EinsteinBedogni Roberto

INAF Osservatorio Astronomico di Bolognahttp://naomi.bo.astro.it/bedogni

email: [email protected]

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Nella cosmologia di Dante si riassume, in forma poetica, la visione dell’Universo

antecedente la rivoluzione

scientifica galileiana

Terraacquafuocoaria

separati dalle sfere cristallinee poi …

l’empireo

La visione del mondo medioevale

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« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere

se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è

impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Il Saggiatore »

La nascita della fisica moderna - Galileo Galilei

Nasce il metodo scientifico

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Il criterio di semplicità o rasoio di Occam

Data una possibilità di scelta tra due diverse spiegazioni equivalenti di uno stesso fenomeno fisico è bene optare sempre per quella più semplice !

E se non c'è possibilità di scelta ??

Evitare non solo i voli di fantasia ma di suffragare con la propria opinione ipotesi sempre più complesse

Nonostante le difficoltà matematiche, le leggi fisiche sono “costrette” ad essere semplici per poter essere “credibili” e facili da utilizzare per fare delle previsioni.

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Fisica ed Astronomia

La Fisica e l’Astronomia trattano i fenomeni utilizzando le stesse leggi ma disponendo di metodologie d’indagine differenti

La Fisica è una scienza SPERIMENTALE che indaga i fenomeni naturali e cerca di scoprirne le leggi fondamentali utilizzando il laboratorio per riprodurli e comprenderli. Una volta nota una “Legge Fisica” la si utilizza per fare delle previsioni.

L’Astronomia ha come laboratorio l’intero Universo è quindi una scienza OSSERVATIVA. Il suo scopo è quello di interpretare e scoprire nuovi fenomeni fisici su scale, sia di distanza che temporali, maggiori della fisica sperimentale di laboratorio ma utilizzando le stesse “Leggi fisiche” determinate con il metodo sperimentale

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Galileo Galilei ed il telescopio

Il telescopio, usato in parallelo alla nuova teoria galileiana del moto locale, faceva a pezzi l’intero sistema tradizionale sia mostrando la superfluità della distinzione tra mondo sublunare e mondo celeste, sia facendo nascere la questione della unicità degli effetti gravitazionali sulla Terra e nel cielo. (E. Bellone Storia della Fisica pag. 5)

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Con l'uso del telescopio da poco inventato, il 7 gennaio 1610 Galileo poté constatare, con i suoi occhi, che Giove era accompagnato da quattro satelliti (i satelliti medicei ) che gli giravano intorno come la Luna alla Terra ed i pianeti al Sole.

Galileo Galilei e la scoperta dei pianeti Medicei

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Galileo osservò inoltre per la prima volta che Venere, come la Luna, mostrava le fasi, dimostrando inequivocabilmente che Venere si trova tra la Terra ed il Sole.La Teoria Copernicana aveva così una clamorosa conferma: si dimostrava con l'osservazione che la Terra non era l'unico centro di ogni moto celeste. La pubblicazione del Dialogo sopra i due Massimi Sistemi in lingua italiana contribuì alla diffusione della concezione eliocentrica presso un pubblico sempre più vasto.

Galileo Galilei e la scoperta delle fasi di Venere

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Eclisse dei pianeti medicei su Giove

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Lo studio del moto lungo il piano inclinato è il prototipo da cui il Galilei trae le sue più profonde conclusioni fisiche riguardanti sia il principio di inerzia che il principio di equivalenza

Galileo Galilei ed il piano inclinato

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Il giovane Galilei nel De Motu metteva in discussione , servendosi del ragionamento geometrico d’ispirazione archimedea, alcune questioni centrali nella spiegazione del movimento basata sulla dicotomia tra moti naturali e violenti …egli non accetta la distinzione assoluta tra corpi leggeri e corpi pesantitutti i corpi, ivi compresi quelli che apparivano all’osservazione quotidiana come tendenti a salire spontaneamente verso l’alto, dovevano, secondo Galilei, essere soggetti alla gravità.

Galileo Galilei – “De Motu”

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Galileo Galilei -il piano inclinato e la gravità

la soluzione aristotelica del problema del moto si basava sulla ipotesi che la velocità di un corpo mobilefosse direttamente proporzionale al peso di quest’ultimo e inversamente proporzionale alla densitàdel mezzo nel quale avveniva lo spostamento.

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Galilei utilizzava l’analisi del moto sottoposto alla gravità per indagare il delicato problema del movimento senza attriti su

un piano perfetto ed orizzontale In condizioni ideali un corpo doveva essere messo in

movimento grazie all’applicazione di una forza minore di qualsiasi forza prefissata, benché di minima intensità


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Secondo Galileo non aveva alcun senso ragionare sulla velocità V di un grave esprimendola come il rapporto tra spazio S e tempo T impiegato a

percorrerlo NON ERA LECITO ANALIZZARE IL RAPPORTO S/T !

Si doveva ragionare in termini di proporzioni, affermando che due velocitàV1 e V2 (a tempi diversi) stavano in rapporto tra loro secondo uno schema

che oggi può essere così trascrittoV1/V2=(S1/S2) (T1/T2)

modalità basata sul presupposto che lo stato di moto e lo stato di quiete di un corpo fossero qualitativamente diversi tra loro

Come inserire le accelerazioni in questo schema ??Come effettuare una “ composizione” dei moti ??

Che significato poteva avere togliere gli attriti e parlare di un moto “nel vuoto” ??

Le difficoltà nel trattamento del moto

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1) È difficile inserire in questo schema le accelerazioni


3) È assurda la notazione stessa di “vuoto” (il mondo era un plenum e non poteva mai verificarsi il paradosso secondo cui un corpo avrebbe dovuto avere, se soggetto ad una forza esterna, una velocità infinita nel vuoto, essendo nulla la resistenza offerta dal vuoto stesso)(E. Bellone Storia della Fisica pag. 17)

2) È impossibile parlare di una composizione dei moti

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Galilei riuscì a sviluppare la tesi per cui un grave cadeva in modo tale che lo spazio percorso era direttamente proporzionale al quadrato del tempo impiegato a percorrerlo


Cioè “che il mobile naturale vadia crescendo di velocità con quella proporzione che si discosta dal suo moto“

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Ma fece di più ! Stabilì che il “corpo ideale” era indifferente allo stato di quiete o di moto


Se BC è il doppio di AB, Galilei asseriva che il mobile li avrebbe percorsi nello stesso intervallo di tempo in quanto una volta raggiunto il punto B con una certa velocità finale avrebbe continuato orizzontalmente con la stessa velocità !

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Estrapolando dalle figure di Galilei è possibile determinare il persino il valore dell'accelerazione di gravità, in un valore di poco inferiore a quello oggi noto (9,80665 m/s2) a causa di errori sistematici dovuti all'attrito, che non potevano essere completamente eliminato.


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Il piano inclinato e la gravità

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La relatività galileiana nella concezione di Einstein

lo spazio ed il tempo non sono più assoluti

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Il tema della nave

Seconda giornata del “dialogo”

Questione del moto relativo

Un osservatore e due navi, l’una in moto e l’altra ferma.

Se l’osservatore era sulla nave in moto ma nutriva la convinzione di essere immobile, allora, guardando la nave ferma avrebbe creduto che

quest’altra si stava spostando.

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Il Principio di Inerzia

Nel dialogo Salviati sosteneva che due osservatori, uno su di una nave in moto ed uno su di una nave in quiete, se lasciavano cadere un grave trovavano che il punto di impatto era sempre lo stesso ! Questo implicava che era impossibile determinare un eventuale moto della Terra

NB Simplicio NON avendo fatto l’esperienza si “fidava” della tesi dell’immobilità della Terra.

Utilizzando l’apertura di credito di Simplicio Galilei supera le critiche rivolte al metodo di far scienza “a priori” e costruisce su questa base il principio di Relatività Galileiana

1)Estrapolando ad uno stato di moto su di una superficie orizzontale priva di attriti Il corpo sarebbe stato in quiete od in moto rettilineo uniforme

2)Il moto di un grave che cade sulla tolda della nave -> è descrivibile con la composizione del moto della nave con quello dovuta alla gravità

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IL Dialogo NON aveva bisogno di fare riferimento a nuove misure in quanto gli esperimenti possibili fornivano informazioni deducibili “a priori”

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Il Principio della Relatività Galileiana o Principio di Inerzia

Se individuiamo un sistema di riferimento nel quale un corpo, non soggetto a forze esterne rimane in quiete, ecco che abbiamo in mano uno strumento formidabile per fare le nostre osservazioni fisiche.

Tali sistemi di riferimento si dicono “inerziali”.

Come notò per primo Galileo Galilei è impossibile distinguere tra di loro due sistemi inerziali che si muovono l’uno rispetto all’altro di moto rettilineo uniforme!

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I sistemi di riferimento inerziali

Ma esistono davvero i sistemi di riferimento inerziali oppure sono un’astrazione della mente umana ??

Rotazione terrestre, il giorno e la notte con periodo di 24

ore – Sistema rotatorio” non-

inerziale

Rivoluzione delle Terra attorno al Sole con periodo di 365

giorni ad una velocità di oltre 20 km/sec- Sistema “rotatorio” non-

inerziale

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Misurare lo spazio vuol dire definire un metodo di misura delle distanze

I concetti di spazio e tempo sono innati all’esperienza umana ma vengono resi “operativi” in fisica misurando intervalli spaziali (distanze) ed intervalli temporali (ore,anni, secoli,…)

Il metro campione

Misurare il tempo vuol dire definire

un metodo di misura dei tempi basato su fenomeni periodici

Orologio

La rivoluzione EinstenianaRidefinire lo spazio ed il tempo

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I sistemi di riferimento inerziali e lo spazio ed il tempo assoluti

I sistemi di riferimento inerziali sono quindi una astrazione teorica.

Ma questa difficoltà non solo non impedì ai fisici di misurare l’inerzia dei corpi materiali (cioè la loro massa)

ma nemmeno di pensare all’esistenza di uno “spazio assoluto”

tanto meno si pose in discussione l’idea del “tempo assoluto”

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La relatività galileiana

La relatività galileiana riguarda due osservatori inerziali S ed S’ che si muovono l’uno rispetto all’altro con moto rettilineo uniforme a velocità v

Nessuno dei due è in grado di stabilire che è fermo o chi è che si sta muovendo. Conta solo il moto relativo tutto il resto perde di significato.

Trasformazioni galileiane

E’ possibile per i due osservatori “scambiarsi” informazioni e descrivere i fenomeni utilizzando leggi di trasformazione delle distanze e dei tempi molto semplici che tengono conto unicamente della velocità relativa vdovuta al moto tra i due.

x' = x − vty' = yz' = zt' = t

Le leggi della dinamica di Newton sono ”invarianti” per trasformazioni galileiane

La forza elettrostatica e gravitazionaleLa forza gravitazionale agisce tra le masse con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

Ha un raggio di azione infinito

dette m1 ed m2 le masse gravitazionalidei due corpi, r la loro distanza ed Fgla forza agente, si ha:

F g = G(m1 m2 )/r 2

G è la costante di gravitazioneG = 6,67 10 -11 (MKS)

tutte le masse si attraggono

La forza elettrostatica agisce tra le cariche elettriche con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.Ha un raggio di azione infinito Dette q1 ed q2 le cariche elettriche, r la loro distanza ed Fem la forza agente, si ha:

Fem =k (q1q2/r2 )K è la costante di CoulombK=8,99 10 9 (MKS)=1/(4 π ε0 )

ε0 =8,85 10 -12 costante dielettrica del vuoto

due cariche di segno opposto si attraggono due di ugual segno si

respingono

La teoria elettromagnetica

Alla prova dei fatti, le trasformazioni di Galileo furono considerate valide fino agli studi sull'elettromagnetismo, con le equazioni di Maxwell.

Il problema fu quando si scoprì che tale equazioni non erano invarianti sotto le trasformazioni di Galileo.

J. C. Maxwell 1831-1879

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La velocità della luce

Galileo Galilei fu la prima persona a sospettare che la luce non si propagasse istantaneamente e a cercare di misurarne la velocità, ma è possibile che altri prima di lui abbiano ipotizzato un valore finito della velocità della luce.

Galileo scrisse del suo tentativo infruttuoso di usare lanterne per mandare dei lampi di luce tra due opposte colline fuori Firenze.

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La prima misura della velocità della luce è stata fatta da Rømer, nel 1680 circa, utilizzando una anomalia nella durata delle eclissi dei pianeti Medicei, i satelliti di Giove scoperti da Galileo.

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Egli ottenne un valore di circa 210 800 000 m/s, dovuto alla scarsa precisione con cui aveva misurato il tempo necessario alla luce per percorrere il diametro dell'orbita terrestre.

Una targa all'Osservatorio di Parigi, dove l'astronomo danese lavorava, commemora quella che fu, in effetti, la prima misurazione di una quantità universale, fatta su questo pianeta. Rømer pubblicò i suoi risultati, che contenevano un errore del 10-25%, nel Journal des sçavans

Fu il fisico J.C. Maxwell, anche in seguito ai lavori di Ampère e Faraday, che nel XIX secolo definì le leggi che regolavano la fisica dei fenomeni elettromagnetici scrivendo le famose “equazioni di Maxwell” e legando in modo indissolubile i fenomeni elettrici a quelli magnetici.

Hertz dimostrò che la luce è un fenomeno elettromagnetico e si propaga a velocità finita pari a circa 300 000 km/s

Come agisce la forza elettromagnetica ?? Con una azione a distanza sintetizzata tramite l’ipotesi del campo elettromagnetico elettrodinamica

Elettricità e magnetismo-Campi non forze

L’invarianza delle equazioni di Maxwell

A quel punto, giustamente, si lavorò per determinare delle nuovetrasformazioni rispetto alle quali le equazioni di Maxwell, certamente leggi valide in qualsiasi sistema di riferimento inerziale, fossero invarianti.

E. Lorentz

1853-1928

Fu il fisico H. Lorentz che trovò le equazioni di trasformazione che mantenevano invariate le equazioni di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro.

Le trasformazioni di LorentzSenza perdere di generalità, si può assumere che S' abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di S, che il sistema S' si muova con velocità v lungo l'asse x di S e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per t' = t = 0. Questi due sistemi di riferimento sono detti in condizioni standard.

Sotto queste condizioni le trasformazioni di Lorentzassumono la forma:

x' = γ (x − vt)

y' = y con γ= 1/(1-v2 / c2) 1/2

z' = z

t' = γ(t − (v/c2) x)

Mentre quelle galileiane eranox' = x − vty' = yz' = zt' = t

Proprietà delle trasformazioni di Lorentz

Trasformazioni di Lorentz

x' = γ (x − vt)

y' = y

z' = z

t' = γ(t − (v / c 2)x)

Fattore di Lorentz

γ = 1/(1-v 2 / c2) 1/2

Dove :

v = velocità relativa tra S ed S’

c = velocità della luce

Notiamo come nelle trasformazioni di Lorentz :

1. Appare la velocità della luce c

2. y e z sono invariate e si trasformano in y’ e z’

3. La trasformazione di x in x’ coinvolge non solo la velocità relativa v ma anche il fattore γ

4. Il tempo non è più invariato e quindi non può essere più considerato assoluto ciò coinvolge non solo il fattore γ ma anche il rapporto v/c2

tra la velocità relativa ed il quadrato della velocità della luce che va a moltiplicare x

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La teoria elettromagnetica, l’etere e lo spazio assoluto

Il paradosso delle teoria elettromagnetica consiste nel fatto che essendo la luce un fenomeno ondulatorio riconosciuto da Maxwell come prodotto dalla oscillazione del campo elettromagnetico è naturale introdurre un mezzo l’etere in cui la luce, come fenomeno ondulatorio, può e, per certi aspetti, deve propagarsi

Se però l’etere esiste come mezzo immateriale in cui la luce può propagarsi ecco che equivale allo spazio assoluto di Newton

Fu il fisico Michelson che insieme a Morley propose un esperimento per verificare l’esistenza dell’etere e ne concluse che l’etere non esiste

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Einstein e la Relatività Ristretta

Fu Einstein a ricomporre il quadro dimostrando che: il principio della Relatività Galileiana può essere esteso ai fenomeni elettromagnetici e quindi valere per le equazioni di Maxwell

1. purché si utilizzino le trasformazioni di Lorentz al posto di quelle Galileiane

2. si accetti che la luce si propaga sempre alla stessa velocità in ogni sistema di riferimento inerziale indipendentemente dalla loro velocitàrelativa

3. si rinunci definitivamente non solo all’ idea di spazio ma anche a quella di tempo assoluto

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La velocità della luce è costante ?

Il valore di c è circa 30 centimetri per nanosecondo, precisamente

c = 299 792 458 metri per secondo

Tutti gli osservatori misurano la stesso valore per la velocità della luce!

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Dilatazione dei tempi

Orologio a luce: due specchi paralleli con un fotone che rimbalza da uno specchio all’altro.

L’orologio “batte un colpo” ogni volta che il fotone compie un giro completo

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L’orologio a luce in primo piano è in stato di quiete

mentre quello dietro si muove a velocità costante v

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Dal nostro punto di vista, il fotone dell’orologio compie un tratto, piùlungo in diagonale,

E quindi …

Il nostro cronometro segna un tempo maggiore !

L’elemento cruciale è la costanza della velocità della luce

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Le leggi di Keplero

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Il cielo e le leggi di Keplero

L’astronomo J. Keplero formulò le leggi, ancora oggi note, con il suo nome riguardanti il moto dei pianeti.

1 a legge di Keplero: i pianeti si muovono su orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi

2 a legge di Keplero: il “raggio vettore” percorre aree uguali in tempi di percorrenza uguali

3 a legge di Keplero: i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle rispettive orbite

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La 1a legge di Keplero

i pianeti si muovono su orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi.

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il “raggio vettore” percorre aree uguali in tempi di percorrenza uguali

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Dalla 3a legge di KepleroP 2 = k a 3

diventa allora possibile calcolare la distanza a di un pianeta dal Sole, sconosciuta nell'astronomia tolemaica, prendendo come unità di misura l' Unità Astronomica determinato che sia il periodo di rivoluzione P in anni. Se i periodi di rivoluzione si misurano in anni ed i semiassi maggiori delle orbite planetarie in unità del semiasse maggiore dell'orbita terrestre, si ha k = 1.

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Le leggi del moto

La prima legge del moto

Tutti i corpi sono in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme in assenza di una forza applicata

La prima legge del moto di Newton è la legge di inerzia di Galileo

La seconda legge del motoLa seconda legge della dinamica afferma che ogni corpo possiede un'inerzia espressa dalla sua massa mi (inerziale) che si oppone agli agenti esterni (le forze F ) che tendono ad alterare il suo stato dinamico ed a fornirgli una accelerazione a tale per cui :

F = m i · a = m i ∆2 x/∆t 2

dove :•F = vettore forza•a = vettore accelerazione•mi = massa inerziale

E’ solo osservando l’applicazione della forza esterna in un sistema di riferimento inerziale che siamo in grado di valutarne gli effetti e quindi di misurare la massa (inerziale) del corpo sottoposto all’azione della forza

La terza legge del moto

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria

Legge di conservazione della quantità di moto (impulso)

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La legge della gravitazione “universale”di Newton

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La legge di gravitazione universale

Nel 1684 Newton fu in grado di enunciare la legge di gravitazione universale :due punti materiali qualsiasi si attraggono lungo la loro congiungente con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

In formula, dette m1 ed m2 le masse gravitazionali dei due corpi, r la loro distanza ed F la forza agente, si ha:

F = G (m1 m2 )/r 2

dove G è la costante di gravitazione

La massa gravitazionale e la seconda legge della dinamica

Nel semplice caso della gravitàterrestre caratterizzata da una accelerazione costante si definisce la forza peso come:

Fg = mg · gdoveFg = vettore forzag = vettore accelerazione di gravità

= G M/r 2=9,81 m/s 2mg= massa gravitazionale o “peso”del corpo nel campo gravitazionale terrestre mentre M è la massa della Terra, G la costante di gravitazione, ril raggio della Terra

Massa inerziale e massa gravitazionale

Ma cosa ha a che fare la massa inerziale mi con la massa gravitazionale mg?

Legge della caduta dei gravi:F = mg · g

Seconda legge della dinamica:F = mi · a

In base alla combinazione delle due possiamo calcolare l’accelerazione a come:

a = (mg / m i ) · g ???

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La caduta dei gravi

Come è noto tutti gli oggetti cadono al suolo con la stessa accelerazione.

È stato infatti tramandato l' episodio, anche se apocrifo, di Galileo Galilei che dalla torre di Pisa fece cadere oggetti di peso diverso. Se lasciamo cadere un sasso oppure una piuma, facendo astrazione dall'effetto di resistenza dell'aria, entrambi gli oggetti seppure differenti per composizione chimica e struttura fisica, raggiungeranno il suolo allo stesso istante.

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La caduta dei gravi

“se un mobile scende a partire dalla quiete, con un moto uniformemente accelerato , gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno tra di loro in duplicata proporzione dei tempi, cioè stanno tra di loro come i quadrati dei tempi…” (piano inclinato)

"…veduto, dico questo, cascai in opinione che se si levasse totalmente la resistenza del mezzo, tutte le materie discenderebbero con uguale velocità".

Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai movimenti locali

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Le misure dei tempi fatte da Galileo Galilei

NB non esistono ancora gli orologi per cui Galileo usa un “orologio ad acqua” da un recipiente ricolmo di acqua fluisce un “sottil filo” di fluido che è raccolto in un piccolo recipiente e che viene di volta in volta pesato con una bilancia ”esattissima”, “dandoci le differenza e proporzioni de i pesi loro le differenze e proporzioni de i tempi”

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Il Principio di Equivalenza

Il Principio di Equivalenza afferma che la massa inerziale di un corpo èuguale a quella gravitazionale

mi = mg

indipendentemente dalla loro composizione chimica e struttura fisica; fatto questo già osservato da Galileo Galilei è verificato nei primi decenni del secolo corso dal fisico ungherese Eötvos (precisione di una parte su 10 milioni)

Eötvos il fisico ungherese che per primo verificò l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale

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Il Principio di Equivalenza verificato sulla Luna

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La costruzione di una teoria relativistica che include i sistemi accelerati

Alla fine del 1905 Einstein conclusa la costruzione della Relatività Speciale si pose il problema dell’invarianza delle leggi fisiche anche rispetto ai sistemi accelerati che producono tipici effetti “non-inerziali”.

Il primo passo in questa direzione fu quello di notare la straordinaria peculiarità della gravità trascurando le altre forze non inerziali

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L’ascensore di Einstein

Il primo e più importante ragionamento fatto da Einstein nella direzione dello studio dei sistemi accelerati e del loro accostamento alla gravità è noto come l' ascensore di EinsteinUn tipico esperimento mentale (“gedanken experiment”)

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L’ascensore di Einstein in caduta libera I

Immaginiamo ora un ascensore all'ultimo piano di un grande grattacielo, che risente del campo gravitazionale terrestre, e supponiamo che non vi sia aria in esso.

Di colpo si spezza il cavo portante e la cabina inizia a cadere liberamente con accelerazione costante pari a g=9,81 m/s 2 .

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L’ascensore di Einstein in caduta libera IIContemporaneamente una persona che si trova nel suo interno, lascia cadere un sasso ed una piuma.

Nel riferimento esterno all’ ascensore cioèall’esterno della cabina si osserva che la forza di gravità, del campo gravitazionale terrestre (ad accelerazione costante), attrae allo stesso modo sia i due oggetti che l'ascensore, per cui la velocità relativa tra sasso e piuma è nulla.

Nel riferimento dell’ascensore, all’interno della cabina la forza di gravità, del campo gravitazionale terrestre è annullata e sia il sasso che la piuma non arrivano a toccarne il fondo dal momento che quest'ultimo sta cadendo con la loro stessa accelerazione.

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L'uomo all'interno della cabina potrebbe quindi a buon diritto affermare di trovarsi in una zona dello spazio lontana dall'azione gravitazionale di stelle e pianeti dal momento che i due oggetti lasciati a se stessi rimangono sospesi a mezz'aria.

Viene simulata in questo modo l’assenza di gravitazione e solo l’inerzia appare agire sui corpi dentro l’ascensore e le masse sono “masse inerziali”

L’ascensore di Einstein in caduta libera III

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Consideriamo ora la situazione opposta: la cabina viene posta in una zona dello spazio dove non agiscono forze gravitazionali, ad esempio in una navetta spaziale in orbita terrestre.

Supponiamo inoltre che la cabina venga tirata verso l' alto sempre con accelerazione costante pari a g=9,81 m/s 2 tramite una fune collegata al soffitto.

L’ascensore di Einstein accelerato verso l’alto I

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Nel riferimento dell’ascensore la persona all'interno dell'ascensore lascia andare la piuma ed il sasso.

Il pavimento però si sta muovendo verso l'alto e prima o poi raggiungerà i due oggetti. La persona all'interno dell'ascensore, ignorando la situazione esterna, può credere di trovarsi dentro un campo gravitazionale dal momento che lasciando andare la piuma ed il sasso essi "cadono" sul pavimento contemporaneamente.

In questo modo una “massa inerziale” appare come una “massa gravitazionale”

L’ascensore di Einstein accelerato verso l’alto II

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L’esperimento dell’ascensore-Conclusioni

Si può quindi affermare che: gli effetti di un'accelerazione costante su di un osservatore sono equivalenti a quelli di un campo gravitazionale uniforme sullo stesso osservatore supposto in quiete. Ciò vale però solo se l’accelerazione è costante e LOCALMENTE se “usciamo” dall’ascensore allora questa equivalenza non vale più !In questo consiste il famoso Principio di Equivalenza

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Equivalenza tra accelerazioni I

In questa animazione viene mostrata l’ equivalenza tra l’ effetto di una accelerazione uniforme su di un corpo in assenza di gravità (al centro)rispetto alla accelerazione di gravità su di un corpo in quiete (a destra),confrontandolo con il moto rettilineo del corpo senza alcuna accelerazione (a sinistra).N.B. entrambe le accelerazioni DEVONO essere costanti !

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Equivalenza tra accelerazioni II

In questa animazione viene mostrata l’ equivalenza tra il moto di un corpo con accelerazione di gravità (a destra), rispetto a quello dello stesso corpo in un sistema in caduta libera nello stesso campo gravitazionale (al centro) confrontandolo con il moto senza alcuna accelerazione (a sinistra).

N.B. entrambe le accelerazioni DEVONO essere costanti !

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La teoria della Relatività Generale

La teoria della Relatività Generale di Einstein fornisce gli strumenti matematici ed il riferimento fisico in cui viene costruita la

Teoria della Gravitazione come

Teoria dello Spazio-Tempo ed estende la Teoria di Newton

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I fondamenti della Relatività Generale

Due sono i principi che hanno guidato Einstein nella revisione della teoria Newtoniana:

Il Principio di EquivalenzaIl Principio di Mach

A questi due principi va aggiunta l’ introduzione dellospazio-tempo

già sviluppato nell’ambito della teoria della Relatività Ristretta

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Riferimento Inerziale

In un razzo che si muove (in assenza di gravità) a velocitàcostante v la pallina lasciata “cadere” si muove in linea retta.

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Riferimento Accelerato

In un razzo che si muove (in assenza di gravità) ad accelerazione costante a (che si soprappone alla velocità costante precedentemente considerata) la pallina “cade” con traiettoria parabolica come nel caso del campo gravitazionale terrestre g

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Verifica sperimentale del Principio di Equivalenza

Il Principio di Equivalenza è sottoposto a due fondamentali esperimenti di verifica:

• La bilancia gravitazionale (uguaglianza tra masse oppure accelerazioni) • Il red-shift gravitazionale (traiettorie dei raggi luminosi nel campo

gravitazionale)La verifica del Principio di Equivalenza non da informazioni sulla struttura “specifica” dello spazio-tempo.

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Bilancia gravitazionale I

Per verificare questa ipotesi sono state misurate con dei particolari strumenti chiamati bilance di torsione o bilance gravitazionali, le accelerazioni relative di due corpi di diversa composizione nel campo gravitazionale Terra-Sole, che per le sue caratteristiche èpraticamente uniformeDicke, Rool e Kroktov a Princeton hanno misurato la accelerazione in caduta libera, nel campo gravitazionale Terra-Sole, di due corpi di differente composizione chimica; uno d'oro e l'altro di alluminio.

Mentre Braginski e Panov a Mosca hanno ripetuto lo stesso esperimento a Mosca utilizzando invece platino ed alluminio.

La bilancia gravitazionale di Q. Majorana

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Bilancia gravitazionale II

Lo schema della bilancia di torsione dell’apparato di Roll-Krotkov-Dicke con due masse inerziali identiche di Oro ed alluminio sono scelti perché hanno diversa composizione e proprietà

NB: 0,59 cm/sec2 è l’accelerazione di “caduta libera” nel campo gravitazionale del Sole

Al alluminio Au Oro

Numero di neutroni/num di protoni

1,08 1,5

Massa-energia dei K-elettroni/massa degli elettroni

0,005 0,16

Massa-energia elettrostatica del nucleo/massa dell’atomo

0,001 0,004

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Bilancia gravitazionale III

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Bilancia gravitazionale IV

• I risultati degli esperimenti verificano la eguaglianza tra le masse inerziali e gravitazionali con una precisione:

Þ entro 10 -11 nell'esperimento di Princeton

Þ entro 10 -12 nell'esperimento di Mosca.

• Il grado di precisione è uno dei più elevati mai riscontrato nella fisica moderna.

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Se si definiscono con: (A cm)Al =valore medio dell'accelerazione del baricentro del corpo di alluminio

(A cm)Au =valore medio dell'accelerazione del baricentro del corpo di oro

(A cm)pt =valore medio dell'accelerazione del baricentro del corpo diPlatino

(g ts) =accelerazione di gravità Terra-Sole=0,59 cm/sec2

i risultati degli esperimenti danno: [(A cm)Al - (A cm)Au]/ gts =10-11

nell'esperimento di Princeton. [(A cm)Al - (A cm)pt]/ gts =10-12

nell'esperimento di Mosca.

Bilancia gravitazionale V

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La verifica sperimentale del Principio di Equivalenza

La banda blu rappresenta il limite sui corpi gravitanti dagli esperimenti con il Lunar-Laser ranging (LLR)

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Bilancia gravitazionale-Conclusioni

Si può notare da questi dati la grande precisione (1 parte su 10milioni) con cui il principio di equivalenza è stato verificato sperimentalmente e ricordare che già il fisico ungherese Eötvösaveva ottenuto questo risultato nel 1910 a Budapest.

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Gli esperimenti di Pound, Rebka e Snider

Un'altra classe di esperimenti per la verifica del principio di equivalenza fa riferimento alle misure del red-shift gravitazionale. Il più alto grado di precisione, per questo tipo di misure, è stato ottenuto dapprima da Pound e Rebka nel 1959 e poi da Pound e Snider nel 1965.

Robert Pound Glen Rebka

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La luce in un campo accelerato

Torniamo al principio di equivalenza e consideriamo di nuovo il nostro ascensore che, lontano da forze gravitazionali, viene costantemente accelerato verso l'alto.

Cerchiamo di capire su quale traiettoria si muove il raggio di luce e quale è l’effetto del suo moto accelerato

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Supponiamo di inviare un raggio luminoso verso il soffitto.

La luce, come è noto, è composta da radiazione elettromagnetica le cui oscillazioni possono darci una misura del tempo che passa.

Analogamente al ticchettio di un orologio, contando i "battiti" di un'onda, possiamo dire quanti secondi sono trascorsi, una volta che si conosca la frequenza dell'onda, ossia il numero di oscillazioni (i "battiti") compiute ogni secondo.

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Il raggio di luce deve compiere un percorso maggiore dell'altezza della cabina per raggiungere il soffitto, dal momento che questo nel frattempo si muove verso l'alto.

In virtù della velocità sempre crescente della cabina, a causa della costante accelerazione verso l'alto le successive creste d'onda del raggio di luce devono compiere distanze uniformemente crescenti per raggiungere il soffitto che si allontana.

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A causa dell'analogia tra il ticchettio di un orologio e le oscillazioni di un'onda, possiamo anche dire che:

Un orologio posto sul soffitto della cabina funziona più lentamente (cioè ritarda) rispetto all'orologio sul pavimento

si ha quindi uno spostamento della frequenza del battito verso il rosso!

Di conseguenza bisogna concludere che la gravitazione altera lo scorrere del tempo.

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L’esperimento di Pound e SniderIl più alto grado di precisione, per misure del red-shift gravitazionale, è stato ottenuto da Pound e Snider.

Pound e Snider nel 1965utilizzarono una sorgente capace di emettere raggi gamma con una elevata coerenza (emessi dal ferro) è stata posta sulla cima della torre della Universitàdi Harvard mentre un'altra, capace di assorbirli, alla sua base.

Le due sorgenti erano separate da una distanza corrispondente all'altezza della torre dal suolo pari a 22,5 metri.

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L’esperimento di Pound e SniderIl campo gravitazionale terrestre, sulla distanza di 22,5 metri, produce un effetto, in base al principio di equivalenza, che separa la frequenza tipica di assorbimento da quella di emissione di una quantità pari a :

Δν/νe= (νe- νa) / νe= ΔUdove : νe = frequenza della luce emessa νa = frequenza della luce assorbita ΔU= differenza di potenziale del campo gravitazionale tra la sommità e la base della torre = g · h/ c2= 2,5 · 10-15

con : g = accelerazione di gravità terrestre=9,81 (m/sec2) h =22,5 metri altezza della torre c = velocità della luce circa 300000 km/sec L'esperimento verificò l' effetto di "arrossamento" dei raggi luminosi prodotto dal campo gravitazionale con una precisione dell' 1% cioè:

Δν/νe= (νe- νa) / νe= ΔU ·(1 ± 0.01)

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Red-shift gravitazionale

α misura il grado di deviazione del redshift dalla formula

∆ν/ν = ∆ U/c2

dove U=potenziale gravitazionale

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Il futuro delle verifiche del Principio di Equivalenza-STEP

α misura il grado di deviazione del redshift dalla formula

∆ν/ν = ∆ U/c2

dove U=potenziale gravitazionale

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La gravità nella teoria di Einsteinla geometro-dinamica

La gravità è interpretata come effetto geometrico in quanto la materia presente nell'Universo determina la curvatura dello spazio-tempo. Le equazioni di Einstein esprimono semplicemente la relazione fra la curvatura da un lato e la materia ed energia dall'altro.

Equazioni di campo della Relatività Generale

membro di sinistra = membro di destracurvatura = materia ed energia

Lo spazio-tempo è una entità a quattro dimensioni (tre spaziali + una temporale) che sostituisce lo spazio ed il tempo assolutidella teoria newtoniana. Non solo lo spazio ed il tempo non sono più assoluti possono essere intrinsecamente connessi !

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La curvatura dello spazio-tempo I

Supponiamo, per meglio rappresentare l'effetto della gravità, che la superficie sia di gomma e vi appoggiamo sopra una sfera di piombo.

Il peso della sfera (che simula l' effetto della gravità) fa sì che essa affondi incurvando e deformando la superficie

L'avvallamento prodotto si fa sempre meno profondo mano a mano che cresce la distanza dalla sfera, finché ogni segno di depressione scompare.

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La curvatura dello spazio-tempo IISe una pallina leggera vi transita vicino essa non solo devia dalla sua traiettoria rettilinea ma può finire anche con il cadere nella buca in fondo alla quale si trova la sfera stessa, proprio come se quest'ultima l' avesse attratta.

Al limite se la sfera è molto massiccia e la buca quindi risulta molto profonda la pallina non esce più !

Se invece la buca è poco profonda oppure la velocità della pallina abbastanza elevata essa esce dalla buca allontanandosi però lungo un direzione diversa da quella originale.

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La verifica di Eddington della deflessione della luce

Il telegramma con cui Eddington annunciò ad Einstein la verifica della deflessione della luce da parte del Sole.

101

La precessione del perielio di Mercurio

102

Il pulsar binario

103

Il principio di Mach

”Le masse laggiù determinano l’inerzia qua". L'inerzia, cioè la proprietà di continuare a muoversi di moto uniforme finché non viene disturbato da una forza, non può essere una proprietà intrinseca al corpo, ma deve essere determinata dalla sua interazione con le altre masse dell'Universo. Tolte via queste masse, anche l'inerzia sparirebbe perché non si vede rispetto a cosa il corpo potrebbe accelerare o rallentare il suo moto.

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