04/11/23 C.1 A. Bettini 1

Istituzioni di Fisica SubnucleareA. Bettini 2006

Capitolo 1 Gli strumenti

1. Relatività, particelle, interazioni

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Trasformazioni di Lorentz

x ' =γ x−β ct( )y'=yz'=z

ct'=γ ct−βx( )

β =V

c; γ =

1

1− β 2

px ' =γ px −β cE( )py '=py

pz '=pz

cE'=γ cE−βpx( )

4-vettore coordinate (ict , r)

4-vettore energia-momento (icE , p)

m2c4 =E2 −p2c2

La sua norma è uno scalare, la massa

La sua norma (scalare) è l’intervallo

ds =c2dt2 −dr2

N.B. Il gruppo di Lorentz contiene una costante, positiva, indicata con c2

Ha il significato fisico di quadrato della velocità di propagazione dell’informazione, quindi delle onde fondamentali (elettromagnetiche e gravitazionali)

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Richiami di relativitàI processi fisici rilevanti per lo studio della fisica subnucleare avvengono ad energie

confrontabili o maggiori, anche molto maggiori, delle energie di riposo delle particelle coinvolte

Le particelle si muovono sia negli acceleratori sia negli apparti che le rivelano con velocità prossime a c

La loro descrizione è quindi relativistica

Due tipi di fenomeni

1. L’urto: nello stato iniziale ci sono due particelle, nello stato finale due o più

2. Il decadimento: una particella decade in due o più particelle

In entrambi i casi l’interazione avviene per un tempo brevissimo, rispetto a quelli misurabili

Le particelle nello stato iniziale e in quello finale sono quindi “libere”, non interagiscono tra loro

Situazione diversa. I protoni, i neutroni (in genere gli adroni) sono particelle composte. I quark sono particelle elementari legate negli adroni dall’interazione “forte”.

I quark non sono particelle libere.

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La massa m di un corpo è un invariante relativistico, non dipende dalla velocità, è una caratteristica del corpo, come la carica

La quantità di moto è

Massa, energia, quantità di moto

rp =

Ec2

rv

Esistono particelle con massa nulla m = 0. Non esiste analogo non-relativistico•il fotone γ•non i neutrini (sono tre: e, e ). Si pensavano tali, ma si è trovato che hanno masse piccolissime, ma non nulle

I corpi di massa nulla hanno velocità c in ogni riferimento e pc = E

rp =mγr

v; con γ = 1−β 2( )−1/2

, β =v/ c

rF =

drp

dt

Per v0, γ 1 quindi pmv la massa m è quella di Galileo-Newton

Se m≠0, la quantità di moto è anche

L’equazione del moto è

Relazione tra massa, energia e q.d.m. per una particella libera

m2c4 =E2 −p2c2

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La massa e l’energia

€

m 2c4 = E 2 − p2c2

L’energia in generale è somma quadratica dell’energia di massa e dell’energia di moto

Per un corpo fermo, solo energia di massa (energia a riposo) E0=mc2

Per un corpo ultrarelativistico contributo dell’energia di massa è piccolo

Se la massa è nulla (mai fermo) E = pc

Attenzione!

La “famosa equazione di Einstein” E=mc2 non è corretta

L’equazione corretta è E0=mc2

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La legge del moto per una particella

€

rF =

dr p

dt= mγ

r a + m

dγ

dt

r v

rF =mγ r

a+mγ 3 ra⋅

rβ( )

rβ

rF −

rF ⋅

rβ( )

rβ =mγ r

a

m

dγdt

rv=m

d 1−v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1/2

dtrv=−m

12

1−v2

c2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−3/2

−2vc2 at

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

rv=mγ 3 r

a⋅rβ( )

rβ

L’accelerazione non è parallela alla forza, ma ha anche un pezzo parallelo alla velocità

rF ⋅

rβ =mγ r

a⋅rβ +mγ 3β 2 ra⋅

rβ =mγ 1+γ 2β 2( )

ra⋅

rβ =mγ 3ra⋅

rβ

ra⋅

rβ =

rF ⋅

rβ

mγ 3

Non si può definire in maniera non ambigua la massa come inerzia al moto

Forza e accelerazione non sono in generale parallele

€

rF =

dr p

dt

r p = mγ

r v Equazione corretta

€

rF = m

r a Equazione errata

Casi particolariFv F = mγ3 a ”massa longitudinale” = mγ3 Fv F = mγ a ”massa trasversale” = mγ

La forza non è parallela all’accelerazione, ma ha anche un pezzo parallelo alla velocità

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La massa in meccanica quantistica

La descrizione dei fenomeni connessi con la fisica subnucleare è quantistica. Notiamo qui che

Massa è una proprietà degli stati stazionari = autostati della Hamiltoniana libera

Analogia: la pulsazione è una proprietà delle sole onde monocromatiche. Non ha senso parlare di pulsazione di una funzione la cui dipendenza dal tempo non sia una funzione armonica

Anche tra le particelle elementari esistono sistemi quantistici a due stati (K˚-≠K˚, B˚-≠B˚, ecc.) e a tre stati (e, , ) che sono prodotti dall’interazione responsabile in stati non stazionari, per i quali non si può definire la massa (e la vita media). Le masse sono definite per gli stati stazionari, combinazioni lineari di quelli.

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Massa di un sistema di particelle

m =

1c2 Ei

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

− crpi

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

2

Ei = mi2c4 + pi

2c2

Due casi: le particelle componenti possono essere

1.libere, cioè, le distanze tra loro sono abbastanza grandi da poterne trascurare le interazioni

2.interagenti, come i quark in un protone, i nucleoni in un nucleo, gli elettroni in un atomo, ecc.

Particelle libere

energia della i-esima

rpiquantità di moto della i-esima

infatti è libera

Energia del sistema E = Eii=1

n

∑ Quantità di moto del sistema

rP =

rpi

i=1

n

∑

m2c4 =E2 −p2c2Massa del sistema

L’energia e la quantità di moto di un sistema di particelle non interagenti è la somma delle loro energie e delle loro quantità di moto, rispettivamente

La sua massa non è (in generale) la somma delle loro masse, ma dipende dalle direzioni relative delle q.d.m.

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La massa di un sistema di due fotoni

2 fotoni della stessa energia E stessa q.d.m. p=E/c

E p=E/c

E p=E/c

Direzioni parallele e versi opposti

Etot =2 E, ptot = 2E/c

mtot=0

E p=E/c

E p=E/c

Etot =2 E, ptot = 0

0 < mtot< 2E/c2

Direzioni parallele e stesso verso

Direzioni diverse

La massa non è una misura della quantità di materia del corpo

mtot= 2E/c2

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Unità di misura naturali. Prima semplificazione

Per semplificare le formule conviene adottare il sistema di unità di misura “naturali”

L’unità fondamentale è il tempo (come nel SI)

L’unità di misura della lunghezza viene fissata in modo che c=1. È la distanza percorsa dalla luce in 1 s.

[L] = [T]

Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche

Per esempio 1 GeV = 1.6 x 10–10 J

E2 =p2c2 +m2c4 E2 =p2 +m2

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La massa del sistema di due particelle libere

s = E1 +E2( )2−

rp1 +

rp2( )

2=m1

2 +m22 +2E1E2 −2

rp1 ⋅

rp2

rβ =

rp

E s =m1

2 +m22 +2E1E2 1−

rβ1 ⋅

rβ2( )

La massa di un sistema di più particelle viene a volte chiamata “massa invariante”, ma l’aggettivo è inutile (e fuorviante, la massa è sempre invariante)

Il quadrato della massa viene spesso indicato con s

In un riferimento qualunque

Due riferimenti importanti

LABORATORIO:

una ferma = bersaglio una in volo = proiettile (nel fascio)

CENTRO DI MASSA: il sistema di riposo in cui P = 0

massa (invariante) del sistema = √s = Ec.m.

s = E1 +m2( )2−p1

2 s =m12 +m2

2 +2m2E1

Se Ei* >> mi ⇒ E1

* ; E2*

A rigore se m1 ≠m2 ⇒ E1* ≠E2

*

s = E1* +E2

*( )2≈ 2E*( )

2

s ≈2m2E1 se E1 >> m1,m2

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Sistema di particelle interagentiE ≠ Ei

i=1

n

∑

rP ≠

rpi

i=1

n

∑

φ=−1

4πε 0

Zqe

r

Una particella che si muove in un campo stazionario, cioè in un potenziale dato

Esempio: un elettrone (carica qe) nelle vicinanze (distanza r) di un nucleo (carica Zqe)

MN >> me quindi il nucleo sta fermo. Il moto dell’elettrone non lo disturba.

Mettiamo l’origine del riferimento nel nucleo fermo

L’elettrone si muove nel potenziale stazionario

Energia e quantità di moto del sistema non sono semplicemente le somme delle energie e q.d.m. dei suoi componenti

Ci sono anche energia e quantità di moto dei campi con cui interagiscono

La situazione può essere molto complessa

Ma ci sono casi importanti nei quali possiamo semplificare

Energia dell'elettrrone E = me2c4 + p2c2 −

14πε0

Zqe2

r

La velocità dell’elettrone v<<c, quindi E =mec2 +

p2

2me

−1

4πε0

Zqe2

r

Nell’atomo gli elettroni rimangono tali (ad es. non trovano positroni con cui annichilarsi), l’energia di massa è una costante. Quindi l’energia è come nel caso classico

E =p2

2me

−1

4πε0

Zqe2

r

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Sistema di particelle interagentiN.B. Il concetto di potenziale non è relativistico.

Supponiamo che “l’atomo” sia composto da un e– e da un e+.

Non c’è un centro di forza che stia fermo. Il sistema è composto dall’elettrone, dal positrone e dal campo e.m. da essi generato e nel quale si muovono, se la descrizione fosse quella della fisica classica.

Inoltre ci sono processi quantistici: i due possono annichilarsi e+e– γ ; rimane solo il campo

Un fotone del campo può di nuovo produrre una coppia γ e+e–

[Perché questi processi avvengano deve essere presente un altro corpo, vedi poi]

Criterio (2 equivalenti)

Si può usare il concetto di potenziale

se le energie in gioco sono << masse

se le velocità << c

OK negli atomi e nei nuclei

Non OK nei nucleoni

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La differenza è così piccola da non essere misurabile direttamente. L’aumento di energia di massa, macroscopicamente appare come aumento di temperatura (cioè di energia cinetica delle molecole)

Esempio. L’urto macroscopicamente anelasticoConsideriamo due corpi con la stessa massa m e con la medesima velocità che siano diretti inizialmente l’uno contro l’altro (due palline di cera ad esempio). I due corpi si urtano e rimangono appiccicati, formando un corpo di massa ML’energia cinetica finale è nulla ma l’energia totale è rimasta invariata. È aumentata di altrettanto l’energia a riposo. La conservazione dell’energia in questo caso è

2γm=M

La massa del corpo composto è M > 2m, ma di pocoEsempio. Prendiamo velocità alta rispetto alle ordinarie =300 m/s. Rispetto a c però è piccola, β = /c = 10–6. Sviluppando in serie

M =2γm=2m

1−β 2≈2m(1+

12β 2 )

M −2m2m

≈12β 2 ≈10−12

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Esempio. L’atomo di idrogeno

una piccolissima frazione come si vede. Il che giustifica l’approssimazione non relativistica

L’atomo di idrogeno è costituito da un elettrone ed un protoneIl lavoro necessario per separarli, cioè l’energia di legame è E = 13.6 eV

In corrispondenza la massa dell’idrogeno mH è minore della somma delle masse del protone mp e dell’elettrone me

mH + E =mp +me

La differenza relativa di massa, il rapporto tra differenza di massa e massa dell’idrogeno, è

mH −mp −me

mH

=13.6

9.388×108 =1.4 ×10−8

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Esempio. La fissione e la fusione nucleariI nuclei più massicci, come l’Uranio, tendono ad essere instabili; possono spontaneamente o forzandoli dall’esterno (facendo loro assorbire un neutrone) spaccarsi in due.M = massa del nucleo originario m1 e m2 = masse dei frammenti.

Risulta che: m1 + m2 < MM =m1 +Ek1 +m2 +Ek2

Ek1 +Ek2 =M −m1 −m2 La somma delle energie cinetiche dei frammenti è l’”energia nucleare” utilizzata nelle centrali a fissione

Viceversa, il nucleo di He è molto stabile, la sua massa è minore della somma delle masse dei nucleoni (2p e 2n) costituenti

mp =938.27 MeV mn =939.57 MeV mHe =3727.41 MeV

E = mHe − 2mp + 2mn( ) = 3727.41− 2 × 938.7 − 2 × 939.57 = 28.3 MeV

E

mHe

=28.3

3727.41= 0.8%

I difetti di massa nucleari sono enormi rispetto a quelli atomici o molecolari.La forza forte è infatti molto maggiore di quella elettromagneticaMa ancora l’approssimazione non relativistica funzionaNon così per gli adroni

Conservazione dell’energia (un. nat.)

L’energia del sole

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Esercizio. Avviene o no?

γ + e− → e−

γ → e+ + e−

e+ +e−→ γ

Sia Eγ l’energia del gamma, Ef, pf energia e q.d.m. dell’elettrone finale

s= (Eγ+me)2 – pγ2= 2meEγ

= Ef2 – pf

2 = me2 2meEγ 0 NO

Nel vuoto possono avvenire i seguenti processi?

E1 e p1 energia e momento di e+, E2 e p2 energia e momento di e–

s = 0=(E1+ E2)2–(p1+ p2)2 = 2me2+2(E1E2 – p1p2 cos)>2me

2>0 NO

È l’inversa delle precedente. NO

NB. In tutti i casi il problema nasce dall’impossibilità di soddisfare contemporaneamente la conservazione dell’energia e quella del momento

γ

p

e+

e–Le reazioni avvengono in natura nel campo Coulombiano di un nucleo; questo rincula, garantendo la conservazione del momento

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Unità di misura naturalih =6.58x10–22 MeV sc = 3 x 1023 fm/shc = 197 MeV fm (GeV am)

Poniamo (già visto) c = 1, ridefinendo l’unità di misura delle lunghezzeL’unità di misura del tempo = il secondoUnità di misura delle lunghezze = distanza percorsa dalla luce in un secondo [L] = [T]Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisichePoniamo h =1, ridefinendo l’unità di misura della massaDimensioni dell’energia [E]=[L–1]=[T–1]NB. In UN h=2π

Si può ridefinire anche l’unità di misura della carica elettrica. Unità Heaviside-Lorentz ε0= 0= 1

Alcuni autori (letteratura passata e non solo) 4πε0=1

Carica elementare al quadrato

e2 =

qe2

4πε0

=αhc≈2.3×10−28 Jm

Per le conversioni1 MeV = 1.53 1021 s–1

1 MeV–1 = 197 fm1 s = 3 1023 fm1 s–1= 6.5 10-16 eV1 m = 5.07 104 eV–1

1 m–1 = 1.97 10–7 eV–1

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Energia e tempoIl simbolo m può significare•La massa m•L’energia di riposo mc2

•L’inverso della lunghezza Compton h/mc•L’inverso del tempo impiegato dalla luce a percorrere la lunghezza Compton h/mc2

Lunghezza d’onda Compton del π (m=140 MeV)

€

λ = 1m

MeV–1 =1fm

140 × 5 ×10–3=1.42fm

€

= 1.42fm

3×1023fm/s≅ 5 ×10–24s

Tempo impiegato a percorrerla a velocità c

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Frequenza angolare ed energia

€

Ψ t( ) = Ψ0 exp –γt2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟cosω0t = Ψ0 exp –

t2τ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟cosω0t, τ =1/γ

€

F2 ω( ) =1

π 2ω2

ω02 – ω2

( )2

– ω2γ 2

Trasformata di Fourier F() (γ

La misura della larghezza di risonanza fornisce la vita media della stessa

€

=1γ

=1

150MeV=

1

150 ×1.52 ×1021s–1= 4 ×10–24s

Tempo caratteristico dei processi forti

Esempio: la , un mesone che decade tramite interazione forte in 2π, ha larghezza γ 150 MeV

In UN il simbolo può significare o una frequenza angolare o un’energia h

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Decadimenti e UrtiFisica teorica insegna a calcolare l’elemento di matrice della hamiltoniana d’interazione tra lo stato iniziale e quello finale. L’elemento di matrice è l’ampiezza di probabilità di transizione nello stato finale considerato.

M fi = ψ f H int ψ iDue tipi di processi

1 urti. Ad esempio a + b c + d : lo stato finale può essere definito, ad esempio o con c e d prodotti in qualsiasi direzione e con qualsiasi polarizzazione, o con a in un certo angolo solido, o con b con una certa polarizzazione, ecc. A seconda del caso si deve integrare sulle variabili che non si osservano. La quantità da calcolare è la sezione d’urto relativa allo stato finale misurato

2 decadimenti Ad esempio a b + c + d : di nuovo lo stato finale può essere definito in maniera più o meno dettagliata a seconda di cosa si misura. La quantità da calcolare è la velocità di decadimento nello stato finale misurato. Se si somma su tutte le configurazioni possibili si ottiene la larghezza parziale di a nel canale b c d: bcd. La somma su tutti i possibili canali di decadimento fornisce la larghezza totale di a

1

Si chiama rapporto di ramificazione in b c d il rapporto Rbcd= bcd/

In entrambi i casi si calcola il numero di interazioni (urti o decadimenti) per unità di tempo, normalizzato ad una particella del bersaglio e una del fascio, oppure ad una che decade

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Sezione d’urtoBersaglio fisso. Un fascio di particelle urta contro un pezzo di materia composto da bersagli elementari (nuclei, o elettroni, o quark nei nuclei)

f = flusso incidente = numero di particelle nel fascio per unità di tempo e unità di sezione normale

Ri = numero di interazioni per unità di tempo

W= numero di interazioni per unità di tempo per particella bersaglio

Nb = numero totale di centri diffusori (s’intende illuminati dal fascio)

La sezione d’urto è per definizione σ b =Ri

Φ f Nb

=W

Φ f

1 barn = 10–28 m2 (sezione geometrica nucleo A 100)In fisica subnucleare mb, µb, pb, fb

NNuclei =M kg( )NA

A moli/g( ) 10–3kg/g( )

Ci sono NA nucleoni per grammo Nnucleoni =M kg( )NA

10–3kg( )=

M kg( )6×1023

10–3kg( )

dei quali circa 1/2 protoni e 1/2 (o un po’ di più) neutroni 1 GeV–2 = 388 µb

1 mb = 2.5 GeV–1

Ci sono A nucleoni per nucleo

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LuminositàLuminosità L=numero di eventi per unità di tempo e unità di sezione d’urto

[L]=[m–2s–1], ma spesso [cm–2s–1]

= sezione utile del fascio

Nf numero particelle del fascio al secondo L =

Ri

σ= Φ f Nb =

N f Nb

Σ

nb densità numerica di particelle bersaglio [m–3]

densità del bersaglio [kg/m3]

l=lunghezza del bersaglio Nb=nb l L =N f nbl = N f

ρ NA

10–3 l

Fascio con I=1013 particelle/s

Bersaglio H2 liquido: =60 kg m–3, l=10 cm

L =I

ρ

10−3 lNA = 1013 × 60 ×103 × 0.1× 6 ×1023 = 3.6 ×1040 m-2s-1

Att errore su dispense Ni per Nf

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Spazio delle fasi, larghezze e sezioni d’urtoW= tasso di reazioni per particella bersaglio

E= energia totale del sistema

(E) = volume di spazio delle fasi

n E( ) = (2π )4 d 3 pi

(h)32Eii=1

n

∏∫ δ Eii=1

n

∑ − E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

δ 3 rpi

i=1

n

∑ −rP

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

UN⏐ →⏐ (2π )4 d 3 pi

(2π )32Eii=1

n

∏∫ δ Eii=1

n

∑ − E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

δ 3 rpi

i=1

n

∑ −rP

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Regola d’oro di Fermi

W =2π M fi

2 E( )

Due modi di scrivere il volume dello spazio delle fasi (SF) e quindi Mfi

1. non relativistico: la probabilità che la particella i abbia la posizione ri è |ψ (ri)|2. Essa viene normalizzata uguagliando ad 1 il suo integrale su dV

dV è scalare in 3 dimensioni ma non in 4, quindi non è Lorentz-invariante. Fattore di Lorentz per il cambio di riferimento rr’ = γ l’elemento di volume cambia dV dV’= γ dV

La densità di probabilità |ψ (ri)|2 non è invariante, ma |ψ (ri)|2 |ψ ‘(ri)|2= |ψ (ri)|2/ γ SF=per ogni particella i un fattore d3pi. Il tasso di interazioni W è indipendente dal riferimento, quindi M non è invariante

2. relativistico: Le energie: E E’= γ E Definire densità di probabilità |(2E)1/2ψ (ri)|2 (2 per convenzione), che è invariante. Si dimostra che, per n corpi nello stato finale

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Sezioni d’urtoSezione d’urto.È normalizzata ad una singola particella incidente dividere per flusso incidenteNel riferimento del lab le particelle bersaglio b sono ferme, le particelle del fascio a si muovono con velocità βa. Il flusso è il numero di particelle (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza βa e base unitaria

In un riferimento in cui anche le particelle b si muovono con velocità βb il flusso di queste è il loro numero (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza βb e base unitaria. Il flusso complessivo è 1 in un cilindro di altezza βa– βb = differenza delle velocità

La sezione d’urto se le energie sono Ea e Ea e le velocità βa e βb è

σ =(2π )4

2Ea 2Eb

rβa −

rβb

M fi

2 d 3 pi

(2π )32Eii=1

n

∏∫ δ Eii=1

n

∑ − E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

δ 3 rpi

i=1

n

∑ −rP

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N.B. βa– βb è la differenza delle velocità non la velocità relativa (come spesso scritto)

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LarghezzeDecadimento.Nello stato iniziale c’è una particella di energia E. La probabilità di transizione allo stato finale f per unità di tempo è

if =

(2π )4

2EM fi

2 d 3 pi

(2π )32Ei

δ Eii=1

n

∑ − E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

δ 3 rpi

i=1

n

∑ −rP

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i=1

n

∏∫

Velocità di decadimento (larghezze) e sezioni d’urto si misurano

L’elemento di matrice si calcola sulla base della teoria (modello standard o altra)

Il confronto testa la teoria

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Esempio. Spazio fasi per due corpiConsideriamo uno stato finale di un decadimento o di un urto di due corpi c e d. Conviene calcolare nel sistema del cm. Le energie: Ec, Ed, e in totale E= Ec+ Ed

I momenti: pc=–pd=pf

Sia per i decadimenti sia per le sezioni d’urto c’è da calcolare

Integrando su pd

1

4π( )2d3pc

EcEd pc( )δ Ec +Ed pc( )−E( ) =

14π( )2

pf2d pfdΩ f

EcEd pf( )δ Ec +Ed pf( )−E( )∫∫

1

4π( )2pf2

EcEd pf( )

d pf

d Ec +Ed pf( )( )dΩ f =

14π( )2

pf2

EcEd pf( )

1d

dpf

Ec +Ed pf( )( )dΩ f

Usando la rimanente δ e rimandando l’integrazione sugli angoli, dai quali in genere dipende l’elemento di matrice

dEc

dp f

=pf

Ec

dEd

dp f

=pf

Ed

1

4π( )2pf2

EcEd

1pf

Ec

+pf

Ed

dΩ f =pf

EdΩ f

4π( )2

d 3 pc

(2π )32Ec

d3pd

(2π )32Ed

2π( )4 δ Ec +Ed −E( )δ 3 rpc +

rpd( )∫

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Larghezza (parziale) e sezione d’urto

a,cd =1

2m

p f

EM a,cd

2 dΩ f

4π( )2∫Velocità di decadimento di una

particella a di massa m in c + d (nel cm)

a,cd =p f

8π m2 M a,cd

2

dσdΩ f

=1

2Ea2Eb

rβa −

rβb iniziali

∑ M fi

2

finali∑ 1

4π( )2pf

E

Sezione d’urto per il processo a + b c + d (nel cm)Le energie: Ea, Eb, e in totale E= Ea+ Eb

I momenti: pa=–pb=pi

In genere particelle del fascio e del bersaglio non sono polarizzate. Bisogna sommare sui diversi stati di spin finali e mediare su quelli iniziali

rβa −

rβb = βa + βb =

pi

Ea

+pi

Eb

=piE

EaEbdσdΩ f

=1

8π( )21E2

pf

pi iniziali∑ M fi

2

finali∑

Doveiniziali∑ =

12sa +1( ) 2sb +1( ) iniziali

∑

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Fermioni e bosoni

Due tipi di particelle

Fermioni (statistica di Fermi-Dirac) Spin=1

2h,

3

2h,

5

2h,....

Bosoni (statistica di Bose-Einstein) Spin=0h,1h,2h,....

Le particelle di un certo tipo, ad esempio gli elettroni, sono tra loro indistinguibili in linea di principio

Lo stato di una particella è definito dai valori di un insieme di osservabili {P} (ad es.: {momento, terza componete dello spin, carica,..})

Sistema di due particelle identiche. Stato definito dai due insiemi di valori, diciamo, {P1 }, {P2 }

Le particelle sono indistinguibili, quindi |ψ({P2 },{P1 })|2 = |ψ({P1 },{P2 })|2

Due casi Statistica di Fermi-Dirac ψ {P2} ,{P}1( ) =−ψ {P1} ,{P2}( ) antisimmetrica

Statistica di Bose-Einstein ψ {P2} ,{P}1( ) =+ψ {P1} ,{P2}( ) simmetrica

Segue il principio di esclusione di Pauli: due fermioni identici non possono trovarsi nel medesimo stato quantico (cioè avere gli stessi autovalori per tutti gli osservabili che definiscono lo stato)

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Le particelle

Materia ordinaria = nuclei+elettroni. Nuclei = protoni+neutroni (= nucleoni)

Elettroni, protoni, neutroni hanno spin = 1/2

Barioni: fermioni (spin=1/2, 3/2,..) ,includono nucleoni; tutti instabili (tranne p). Composti di tre quark

Mesoni π+, π–, π˚ mediatori delle forze nucleari (Yukawa 1935, Occhialini e Powell 1949)

Mesoni includono i pioni ma ce ne sono molti diversi. Composti di un quark+un antiquark

Adroni: particelle con interazioni forti= barioni + mesoni

Quark. Mai liberi. Spin = 1/2. Tre “famiglie” con la stessa struttura: un quark tipo “up”, carica 2/3 e un quark tipo down, carica —1/3:

up (u), down (d) charm (c), strano (s) top (t), beauty (b)

Leptoni. Spin = 1/2. Tre “famiglie con la stessa struttura: un quark tipo elettrone, carica –1 e neutrino, carica 0

elettrone (e), neutrino-e (e) muone (µ), neutrino-µ (µ) tau (), neutrino- ()

Attenzione. La materia ordinaria costituisce, sembra, solo poco più del 10% della materia e il 4% della Materia+energia dell’universo. Cosa è il resto?

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Le interazioni fondamentaliLe interazioni fondamentali sono

1. Gravitazionale

2. Debole

• di “corrente carica”, mediata da W+ e W–

• di “corrente neutra”, mediata da Z0

3. Elettromagnetica, mediata dal fotone, γ4. Forte. Si esercita tra quark, è la forza di “colore”,

mediata dai gluoni, all’interno degli adroni

• le forze forti tra adroni non sono fondamentali, ma le “code” della forza di colore

Le interazioni sono elencate in ordine di intensità crescente alle energie di laboratorio

Il Modello Standard è la teoria quantistica di tutte le forze, tranne la gravitazione. Di questa abbiamo solo teorie macroscopiche, la Relatività Generale (e altre)

La forza gravitazionale è debolissima e non osservabile a livello microscopico e alla scala delle energie di laboratorio

Non ne discuteremo in questo corso, a parte un’osservazione

Interaz Mediatore M (GeV) JP

Debole W±, Z0 91.2, 80.4 1–

E.M. γ 0 1–

Forte g 0 1–

I mediatori neutri sono antiparticelle di se stessi

W+e W– sono uno antiparticella dell’altro

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L’interazione gravitazionaleEsemp.: le forze elettrostatica e gravitazionale tra un protone ed un elettrone fermi alla distanza r

Felettrost . ep( ) =1

4πε0

qe2

r2Fgravit . ep( ) =GN

memp

r2

Felettrost . ep( )Fgravit. ep( )

=qe2

4πε0GNmemp

=1.6×10–19( )

2

4π ×8.8×10−12 ×6.67×10−11 ×9.1×10−31 ×1.7×10−27 ≈1039

La costante di Newton GN (gravitazione), la velocità della luce c (relatività) e la costante di Planck h (meccanica quantistica) si combinano in espressioni (correlate) che hanno le dimensioni della massa e della distanza, la massa e la lunghezza di Planck

M P =

hcGN

=1.22×1019 GeV LP =

hGNc3 =1.62×10−35 m

sono le scale, energie enormi o distanze minuscole alle quali, presumiamo, gli effetti quantistici della gravitazione dovrebbero manifestarsi

nell’impossibilità, ora e sempre, di costruire acceleratori di tanta energia, dobbiamo cercare nei fenomeni cosmici qualche indicazione sulla teoria della gravità cui ubbidisce la natura