1 Spazi vettoriali

1.1 Definizioni ed assiomiDefinizione 1.1 Un campo e un insieme K dotato di una operazione somma K × K → K,(x, y) 7→ x + y e di una operazione prodotto K×K → K, (x, y) 7→ xy tali che

i) la somma e il prodotto godano delle proprieta associativa, commutativa e distributiva;

ii) la somma ammetta un elemento neutro cioe un elemento, denotato 0, tale che x + 0 = x

per ogni x ∈ K;

iii) il prodotto ammetta un elemento neutro denotato 1;

iv) ogni elemento x ∈ K ammetta un inverso additivo −x, cioe un elemento tale che x+(−x) =0;

v) ogni elemento x ∈ K, con x 6= 0, ammetta un inverso moltiplicativo x−1, cioe un elementotale che xx−1 = 1;

Osservazione 1.2 Esempi significativi sono il campo dei numeri reali R, il campo dei numericomplessi C e il campo dei numeri razionali Q. Di particolare interesse per l’informatica eil campo con due elementi F2 che consiste degli elementi 0 ed 1 con le operazioni 0 + 0 = 0,0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0 e 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0 e 1 · 1 = 1. Si puo verificare che tali operazionidefiniscono una struttura di campo.

In questo corso i campi che utilizzeremo sono soltanto i campi R e C. Ove non sia necessariospecificare a quale dei due campi ci si riferisca, utilizzeremo la notazione K.

Definizione 1.3 Definiamo K-spazio vettoriale (o spazio vettoriale sul campo K) un insiemeV dotato delle due seguenti applicazioni:

1. Somma:

+: V × V → V

(v,w) 7→ v + w

2. Prodotto per scalare:

· : K× V → V

(α, v) 7→ α · v

3

1. Spazi vettoriali

tali che valgano le seguenti proprieta:

(P1) Proprieta associativa di +: ∀v,w,z ∈ V si ha (v + w) + z = v + (w + z) ;

(P2) Proprieta commutativa di +: ∀v,w ∈ V si ha v + w = w + v ;

(P3) Esistenza dell’elemento neutro di +: esiste un elemento 0 ∈ V tale che ∀v ∈ V si hav + 0 = v ;

(P4) Esistenza dell’elemento opposto o inverso relativamente a +: ∀v ∈ V esiste w ∈ V taleche v + w = 0 useremo la notazione w = −v ;

(P5) Proprieta distributiva di · rispetto a +: ∀α ∈ K,∀v,w ∈ V si ha

α · (v + w) = α · v + α · w ;

(P6) Proprieta distributiva di · rispetto a + in K: ∀α, β ∈ K,∀v ∈ V si ha

(α + β) · v = α · v + β · v ;

(P7) Proprieta associativa di · : ∀α, β ∈ K,∀v ∈ V si ha (αβ) · v = α · (β · v);

(P8) Proprieta di 1: ∀v ∈ V si ha 1 · v = v.

Sia V e un K-spazio vettoriale. Gli elementi v ∈ V sono chiamati vettori ∗ e gli elementiα ∈ K sono chiamati scalari.

Proposizione 1.4 Sia V un K-spazio vettoriale. Allora:

i) 0 · v = 0 ∀v ∈ V ;

ii) α · 0 = 0 ∀α ∈ K,;

iii) dati α ∈ K e v ∈ V allora α · v = 0 se e solo se α = 0 oppure v = 0 ;

iv) dati v,w,w′ ∈ V allora v + w = v + w′ se e solo se w = w′. In particolare l’opposto di unvettore e unico.

v) −(α · v) = (−α) · v = α · (−v) ∀α ∈ K,∀v ∈ V . In particolare −v = (−1) · v.

Dim. Con le stesse ipotesi di cui sopra:

i) Si ha: 0 · v = (0 + 0) · v = 0 · v + 0 · v. Sommando a destra e sinistra (−0 · v) si ha:

0 = 0 · v + (−0 · v) = (0 · v + 0 · v) + (−0 · v) = 0 · v + (0 · v − 0 · v) = 0 · v + 0 = 0 · v .

ii) Si ha: α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0. Sommando a destra e sinistra (−α · 0) si ha:

0 = α · 0− α · 0 = (α · 0 + α · 0)− α · 0 = α · 0 + (α · 0− α · 0) = α · 0 + 0 = α · 0 .

∗Nel testo i vettori saranno indicati in grassetto, gli scalari in carattere normale.

4

1.2 Esempi

iii) Se α = 0 la tesi segue da quanto dimostrato in precedenza. Se α 6= 0 allora:

∃α−1 ∈ K tale che αα−1 = 1 = α−1α

Quindi α−1(α · v) = (α−1α) · v = 1 · v = v = α−1 · 0 = 0.

iv) Sommando a destra e sinistra (−v) si ha:

(v + w) + (−v) = (v + w′) + (−v)

(w + v) + (−v) = (w′ + v) + (−v) per (P2)

w + (v − v) = w′ + (v − v) per (P1)

w + 0 = w′ + 0 per (P4)

w = w′ per (P3).

In particolare se w e w′ sono due opposti di v, per definzione di opposto v+w = 0 = v+w′.Quindi, per iv), w = w′, cioe l’opposto e unico.

v) Basta dimostrare che (−α) · v e α · (−v) sono l’inverso di α · v. Infatti:

α · v + (−α) · v = (α + (−α)) · v = 0 · v = 0

α · v + α · (−v) = α · (v + (−v)) = α · 0 = 0

Per la (iv) si ha che (−α) · v = α · (−v).

In particolare nel caso α = 1, si ha (−1) · v = −v. �

1.2 Esempi

1.2.1 Lo spazio banale

Chiamiamo spazio banale l’insieme {0} con le operazioni:

• Somma + :

{0} × {0} → V

(0 , 0) 7→ 0

– Elemento neutro: 0;

– Inverso: −0def≡ 0;

• Prodotto per scalare · :

K × {0} → {0}(α , 0) 7→ 0

Concludiamo che {0} e spazio vettoriale.

5

1. Spazi vettoriali

1.2.2 Lo spazio Kn

Definiamo Kn come l’insieme delle n-ple di elementi di K ovvero

Kn def≡ {(a1, . . . , an) tali che a1, . . . , an ∈ K} .

Introduciamo le due operazioni di somma e prodotto per scalare con le rispettive proprieta:

• Somma + :

Kn × Kn → Kn

((a1, . . . , an) , (b1, . . . , bn)) 7→ ((a1 + b1), . . . , (an + bn))

– Elemento neutro in Kn : 0def≡ (0, . . . , 0);

– Inverso in Kn : −(a1, . . . , an) = (−a1, . . . ,−an);

• Prodotto per scalare · :

K × Kn → Kn

((α , (a1, . . . , an)) 7→ ((αa1), . . . , (αan))

Si verifica che Kn, con le operazioni sopra definite, e un K−spazio vettoriale. In particolare,Rn e un R-spazio vettoriale e Cn e un C-spazio vettoriale. Osserviamo che R1 = R e C1 = C.

1.2.3 C-spazio vettoriale come R-spazio vettoriale

Sia V un C-spazio vettoriale. Definiamo su V la seguente struttura di R-spazio vettoriale.Poniamo la somma, il vettore nullo e l’opposto uguali a quelli definiti sul C-spazio vettoriale V .Infine poniamo il prodotto per scalare ·

R × V → V

(α , v) 7→ α · v

ove identifichiamo α ∈ R con la sua immagine in C ed utilizziamo il prodotto per scalare· : C× V → V .

In particolare, il C-spazio vettoriale C = C1 ammette una struttura di R-spazio vettorialecon

• Somma + : somma usuale di numeri complessi;

• Prodotto per scalare · :

R × C → C(α , (a + ib)) 7→ α(a + ib)

• Elemento neutro di + : C 3 0def≡ (0 + i0);

• Inverso di + : −(a + ib) = (−a− ib).

Notiamo quindi che e importante precisare il campo sul quale lavoriamo.

6

1.2.4 Lo spazio dei polinomi a coefficienti in K

1.2.4 Lo spazio dei polinomi a coefficienti in K

Definiamo K[x] come l’insieme dei polinomi a coefficienti in K nell’indeterminata x. DunqueK[x]

def≡{∑∞

i=0 aixi|ai ∈ K, ai = 0per i � 0

}. Introduciamo le due operazioni di somma e prodot-

to per scalare con le rispettive proprieta:

• Somma + :

K[x] × K[x] → K[x](∑∞

i=0 aixi ,

∑∞j=0 bjx

j) 7→∑∞

i=0(ai + bi)xi

– Elemento neutro in K[x] : 0def≡∑∞

i=0 0xi;

– Inverso in K[x] : −∑∞

i=0 aixi =

∑∞i=0(−ai)xi;

• Prodotto per scalare · :

K × K[x] → K[x](α ,

∑∞i=0 aix

i) 7→∑∞

i=0(αai)xi

– Risulta evidente che 1 ·∑∞

i=0 aixi =

∑∞i=0 aix

i.

Si verifica che K[x], con le operazioni sopra definite, e un K-spazio vettoriale.

1.2.5 Lo spazio di funzioni

Sia S un insieme e sia W un K−spazio vettoriale. Sia V = F(S, W ) l’insieme delle funzioni daS in W , ovvero V

def≡ {f : S → W}. Introduciamo le usuali operazioni:

• Somma + :

V × V → V

(f , g) 7→ (f + g : S → W )x 7→ f(x) + g(x)

– Elemento neutro in V dato da 0 : S → W , x 7→ 0W ;

– Inverso in V dato da −f : S → W , x 7→ −f(x);

• Prodotto per scalare · :

K × V → V

((α , f) 7→ ((α · f) : S → W )x 7→ αf(x)

Si verifica che V , con le operazioni sopra definite, e un K-spazio vettoriale.

7

1. Spazi vettoriali

1.2.6 Prodotto di spazi vettoriali

Siano V e W K−spazi vettoriali. Sia V ×W l’insieme delle coppie ordinate{(v,w)|v ∈ V, w ∈

W}. Definiamo

• Somma + :

V ×W × V ×W → V ×W((v,w) , (v′,w′)

)7→

((v + v′), (w + w′)

)• Elemento neutro in V ×W dato da

(0V ,0W

);

• Inverso in V ×W dato da −(v,w

)=(−v,−w

);

• Prodotto per scalare · :

K × V ×W → V ×W

(α , (v,w)) 7→(α · v, α · w

)Si verifica che V ×W , con le operazioni sopra definite, e un K-spazio vettoriale. Piu in generale seWi, con i ∈ I, e una famiglia di K-spazi vettoriali, si definisce il prodotto ×i∈IWi come l’insiemeprodotto dotato delle operazioni somma, inverso e prodotto per scalare definite componente percomponente ed elemento neutro (0).

1.3 Spazi di matriciSia K un campo. Siano dati h ed n ∈ N con h ed n ≥ 1. Definiamo matrice h× n a coefficientiin K una tabella della forma

A =

a11 . . . a1n...

. . ....

ah1 . . . ahn

=(aij

)1≤i≤h1≤j≤n

con aij ∈ K per ogni 1 ≤ i ≤ h ed ogni 1 ≤ j ≤ n. Denotiamo Mh×n(K) l’insieme delle matricih× n a coefficienti in K. Introduciamo le due operazioni:

• Somma + :

Mh×n(K) × Mh×n(K) → Mh×n(K)a11 . . . a1n

.... . .

...ah1 . . . ahn

,

b11 . . . b1n...

. . ....

bh1 . . . bhn

7→

(a11 + b11) . . . (a1n + b1n)...

. . ....

(ah1 + bh1) . . . (ahn + bhn)

– Elemento neutro in Mh×n(K): 0

def≡(

0 ... 00 ... 0

);

8

1.4 Sottospazi vettoriali

– Inverso additivo in Mh×n(K): −

a11 . . . a1n...

. . ....

ah1 . . . ahn

def≡

−a11 . . . −a1n...

. . ....

−ah1 . . . −ahn

;

• Prodotto per scalare · :

K × Mh×n(K) → Mh×n(K)(α ,

a11 . . . a1n...

. . ....

ah1 . . . ahn

7→

α a11 . . . αa1n...

. . ....

αah1 . . . αahn

Si verifica che Mh×n(K), con le operazioni appena definite, e un K-spazio vettoriale.

Osservazione 1.5 Da questo punto in poi omettiamo il simbolo · per indicare il prodotto perscalare.

1.4 Sottospazi vettorialiDefinizione 1.6 Sia V un K−spazio vettoriale. Si definisce sottospazio vettoriale di V unsottoinsieme W ⊆ V che soddisfa le seguenti proprieta:

• ∀w1,w2 ∈ W si ha w1 + w2 ∈ W (chiusura rispetto a +);

• ∀w ∈ W,∀α ∈ K si ha αw ∈ W (chiusura rispetto a ·);

• W 6= ∅.

Proposizione 1.7 Sia W ⊆ V un sottospazio vettoriale di un K−spazio vettoriale V . Allora:

i) 0 ∈ W ;

ii) per ogni w ∈ W si ha −w ∈ W ;

iii) W con

(a) la somma definita dalla somma in V ;

(b) elemento neutro 0;

(c) l’opposto definito prendendo l’opposto in V ;

(d) il prodotto per scalare definito dal prodotto per scalare su V ;

e un K-spazio vettoriale.

Dim.

i) Poiche W 6= ∅ esiste un elemento w ∈ W . Allora, 0 · w = 0 grazie alla Proposizione 1.4.Ma 0 · w ∈ W per l’assioma (ii) di sottospazio vettoriale. Quindi 0 ∈ W .

9

1. Spazi vettoriali

ii) Sia w ∈ W . Allora, (−1) · w = −w grazie alla Proposizione 1.4. Inoltre (−1) · w ∈ W perl’assioma (ii) di sottospazio vettoriale. Quindi −w ∈ W .

iii) Per definizione di sottospazio vettoriale la somma e il prodotto per scalare sono ben definiti,cioe dati v e w ∈ W e dato α ∈ K allora i vettori v + w e α · v di V sono in W . Grazie ad(i) 0 ∈ W e grazie a (ii) l’inverso e ben definito su W . Per concludere basta allora verificareche gli assiomi P1–P8 di spazio vettoriale siano soddisfatti. Questo segue dal fatto che losono per V .

�

1.5 Esempi di sottospazi

1.5.1 Sottospazio banale

Se V e un K−spazio vettoriale, e immediato verificare che W = {0} ⊆ V e sottospazio vettoriale.

1.5.2 Sottospazio di polinomi

Sia V = K[x] il K−spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in K come definito in §1.2.4. Siad un intero non negativo. Sia

Wdef≡ K[x]≤d =

{P ∈ K[x] : deg(P ) ≤ d

}.

Allora W e chiuso rispetto a +, e chiuso rispetto a · e contiene il polinomio 0. Concludiamo cheW e sottospazio vettoriale di K[x]. Lasciamo al lettore la verifica che

K[x]≥d ={P ∈ K[x] : deg(P ) ≥ d

}non e sottospazio di K[x] se d ≥ 1.

1.5.3 Sottospazio delle funzioni di classe Cn

Sia I ⊆ R un intervallo aperto. Chiamiamo F(I, R) lo spazio delle funzioni f : I → R comedefinito in §1.2.5. Sia Cn(I, R) l’insieme delle funzioni derivabili n-volte, con derivata n-esimacontinua. Si puo facilmente verificare che Cn(I, R) e sottospazio vettoriale di F(I, R) per ogni n.Analogamente C∞(I, R) = ∩nCn(I, R) e sottospazio vettoriale di F(I, R).

1.5.4 Intersezione di sottospazi

Lemma 1.8 Sia V un K−spazio vettoriale e siano W e Z sottospazi vettoriali di V . AlloraW ∩Z e il piu grande sottospazio vettoriale di V contenuto sia in W che in Z. Piu in generale

10

1.5.5 Somma e somma diretta di sottospazi

data una famiglia di sottospazi vettoriali Wi di V , con i ∈ I, allora l’intersezione ∩i∈IWi e ilpiu grande sottospazio vettoriale di V contenuto in Wi per ogni i ∈ I.

Dim. Daremo la dimostrazione nel caso di due sottospazi lasciando il caso generale al lettore.Dimostriamo innanzitutto che W ∩ Z e un sottospazio vettoriale. Prendiamo a e b ∈ W ∩ Z.Segue che a e b ∈ W e a e b ∈ Z, da cui abbiamo che

a + b ∈ W e a + b ∈ Z.

Deduciamo quindi che a + b ∈ W ∩ Z, ovvero W ∩ Z e chiuso rispetto alla somma.Prendiamo ora α ∈ K e v ∈ W ∩ Z. Segue naturalmente che αv ∈ W e αv ∈ Z, da cui

risulta αv ∈ W ∩ Z, ovvero W ∩ Z e chiuso rispetto al prodotto per scalare. Poiche 0 ∈ W e0 ∈ Z grazie a 1.7 deduciamo che 0 ∈ W ∩ Z e quindi W ∩ Z 6= ∅. Concludiamo quindi cheW ∩ Z e sottospazio vettoriale di V .

Sia ora T ⊂ V un sottospazio vettoriale contenuto sia in W che in Z. Allora T ⊆ W ∩ Z.Quindi W ∩ Z e il piu grande sottospazio vettoriale di V contenuto sia in W che in Z. �

1.5.5 Somma e somma diretta di sottospazi

Sia V un K−spazio vettoriale e W e Z due sottospazi. In generale, non e vero che W ∪ Z siaun sottospazio vettoriale di V . Ad esempio, se V = R2, W e il sottospazio generato da (1, 0) eZ e il sottospazio generato da (0, 1) allora (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) non e un elemento di W ∪ Z.Ovviamo a tale problema dando la seguente definizione

Definizione 1.9 Definiamo W + Z come l’insieme dei vettori v ∈ V tali che esiste w ∈ W edesiste z ∈ Z per cui v = w + z ovvero

W + Z := {v ∈ V | ∃w ∈ W,∃z ∈ Z t.c. v = w + z}.

Piu generalmente se W1, . . ., Wn sono sottospazi vettoriali di V , definiamo∑n

i=1 Wi comeil sottoinsieme composto dai vettori v ∈ V tali che esistono vettori w1 ∈ W1, · · · ,wn ∈ Wn percui v = w1 + · · ·+ wn.

Lemma 1.10 Il sottoinsieme W + Z e il piu piccolo sottospazio di V contenente sia W che Z

ed e chiamato la somma di W e Z. In generale, se W1, . . ., Wn sono sottospazi vettoriali di V

allora∑n

i=1 Wi e il piu piccolo sottospazio di V contenente W1, . . . ,Wn ed e chiamato la sommadi W1, . . . ,Wn.

Dim. Ogni vettore w ∈ W si scrive come w + 0 e 0 ∈ Z in quanto Z e sottospazio vettoriale.Abbiamo quindi che w ∈ W + Z. Concludiamo che W ⊆ W + Z e, similmente, Z ⊆ W + Z. Inparticolare, W + Z e non vuoto.

Dati i vettori v1 e v2 ∈ W + Z esistono w1, w2 ∈ W e z1, z2 ∈ Z tali che v1 = w1 + z1 ev2 = w2 + z2. Quindi v1 + v2 = (w1 + w2) + (z1 + z2). Poiche w1 + w2 ∈ W e z1 + z2 ∈ Z

concludiamo che v1 + v2 ∈ W + Z. Se α ∈ K, allora αv1 = αw1 + αz1. Poiche αw1 ∈ W eαz1 ∈ Z concludiamo che αv1 ∈ W + Z. Abbiamo quindi mostrato che W + Z e un sottospaziovettoriale.

11

1. Spazi vettoriali

Sia T ⊆ V un sottospazio vettoriale contenente W e Z. Dato v ∈ W + Z esistono w ∈ W ez ∈ Z tali che v = w + z. Ma w e z ∈ T e quindi la loro somma v ∈ T . Segue che W + Z ⊆ T .

Il caso della somma di tre o piu sottospazi vettoriali e lasciato al lettore.�

Definizione 1.11 Dati W e Z sottospazi di V , diciamo che la somma e diretta se W ∩Z = {0}.in tal caso scriveremo W ⊕ Z invece di W + Z.

Piu generalmente se W1, . . ., Wn sono sottospazi vettoriali di V , diciamo che i Wi sonoin somma diretta se per ogni i i sottospazi vettoriali Wi ∩

(∑nj=1, 6=i Wj

)= {0}. In tal caso

scriveremo ⊕ni=1Wi invece di

∑ni=1 Wi.

Proposizione 1.12 Sia V un K−spazio vettoriale e siano W , Z sottospazi vettoriali di V .Allora W e Z sono in somma diretta se e solo se per ogni v ∈ W + Z esiste un unico w ∈ W

ed esiste un unico z ∈ Z tali che v = w + z.Piu generalmente siano W1, . . ., Wn sottospazi vettoriali di V . Allora i Wi sono in somma

diretta se e solo se per ogni v ∈∑n

i=1 Wi e per ogni i esiste un unico wi ∈ Wi tale chev =

∑ni=1 wi.

Dim. Dimostriamo l’implicazione diretta. Prendiamo v ∈ W + Z e supponiamo che esistanodue scritture:

v = w + z

v = w′ + z′

con w,w′ ∈ W e z,z′ ∈ Z. Allora w + z = w′ + z′, da cui

W 3 w −w′ = z′ − z ∈ Z.

Quindi w − w′ ∈ W ∩ Z e z − z′ ∈ W ∩ Z. Poiche W ∩ Z = {0} concludiamo che w = w′ ez = z′, ovvero la scrittura e unica.

Dimostriamo l’implicazione inversa. Sia v ∈ W ∩ Z. Allora possiamo scrivere

0 = 0W + 0Z = v + (−v)

Ovvero ho due scritture di 0, da cui v = 0. Quindi W ∩ Z = {0}.

Passiamo al caso generale. Dimostriamo l’implicazione diretta. Chiamiamo I = {1, . . . , n}.Sia v ∈

∑i∈I Wi e supponiamo che esistano due scritture∑

i∈I

vi = v =∑i∈I

wi

con vi e wi ∈ Wi per ciascun i. Allora, per ogni i ∈ I, vale

Wi 3 vi −wi =∑j 6=i

(wj − vj

)∈∑j 6=i

Wj

Quindi, vi −wi = 0 ovvero vi = wi. Questo dimostra che la scrittura e unica.Dimostriamo l’implicazione inversa. Sia v ∈ Wi ∩

∑j 6=i Wj . Allora v =

∑j 6=i wj con

wj ∈ Wj . Quindi ∑i∈I

0Wi= 0 = v +

∑j 6=i

−wj

Ovvero ho due scritture di 0. Segue che v = 0. Quindi Wi ∩∑

j 6=i Wj = {0}. �

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