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Segnali e Sistemi
• Un segnale è una qualsiasi grandezza che evolve nel tempo.
• Sono funzioni che hanno come dominio il tempo e codominio l’insieme di tutti i valori che può assumere la grandezza
• I sistemi trasformano uno o più segnali in ingresso in uno o più segnali in uscita.– Operatore che trasforma una funzione
del tempo in una funzione del tempo
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Proprietà dei sistemi ed operatori
• Linearità:
• Invarianza temporale: (L’effetto non dipende dall’istante di aplicazione della causa)
• Causalità:
0tt 0tt
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Proprietà dei sistemi ed operatori
• Un sistema è causale se i segnali d’uscita precedenti a tO non dipendono dai valori assunti dopo tO
• I sistemi sono generalmente tempo varianti e non-lineari. La ipotesi di sistemi lineari e temporalmente invariabili è utilizzabile in prima approssimazione.
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Circuiti Elettronici
• Una rete elettrica è un sistema costituito da componenti connessi– resistori, condensatori, induttori, generatori
tensione e corrente, diodi, transistori,…
• Un circuito con N nodi ed R rami con L generatori di tensione ed M generatori di corrente associa alle tensioni e correnti di ingresso le tensioni di tutti i nodi e le correnti di tutti i rami
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Bipoli
• I componenti circuitali si possono classificare in base al numero dei terminali
• I più semplici sono i BIPOLI• Lo stato di un bipolo è
caratterizzato da due grandezze: tensione e corrente
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Versi coordinati di tensione e corrente
• I versi di tensione e corrente vanno scelti in modo che il prodotto sia pari alla potenza assorbita
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Relazione costitutiva del bipolo
• relazione tra corrente che attraversa e tensione ai capi
• se la conoscenza di v consente di ricavare i
• La conoscenza di i consente di ricavare v
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Relazione costitutiva
• In generale i bipoli definiscono sia Z che W– eccezione: generatori di corrente e
tensione
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Proprietà del bipolo
• Le proprietà del bipolo dipendono dalle proprietà degli operatori Z e W– in particolare:
• linearità• invarianza temporale• causalità
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Bipoli istantanei (senza memoria)
• corrente e tensione sono determinabili, univocamente, nel medesimo istante
– istantaneo: corrente e tensione dipendono solo dai valori al tempo t.
• La relazione tensione corrente è una funzione rappresentata in un piano (v,i)– Tale funzione è denominata caratteristica del del
bipolo
• Sono causali e tempo invarianti• Lineari se:
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Bipolo non istantaneo
• un bipolo non istantaneo è detto “con memoria” perché per determinare v o i al tempo tO occorre conoscere i valori nei tempi precedenti.
• “sistemi dinamici”
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Bipoli ideali:generatore ideale di Tensione
• relazione costitutiva– dove f non dipende da altre
grandezze elettriche del circuito
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Generatori ideali di tensione
• Fisicamente non realizzabili
V1 V2
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Bipoli ideali:generatore ideale di Corrente
• relazione costitutiva– dove f non dipende da altre
grandezze elettriche del circuito
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Generatori ideali di Corrente
• Fisicamente non realizzabili
I1
I2
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Resistore Ideale
• relazione costitutiva
• unità: Ohm• bipolo lineare, istantaneo, tempo
invariante• potenza assorbita (eff. Joule):
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Condensatore Ideale
• relazione costitutiva
• unità F: Farad ([F]=[-1s])• bipolo lineare, tempo-invariante, con
memoria• V=cost. I=0.
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Condensatore Ideale
• elemento inerziale:– si oppone alle variazioni della
tensione ai suoi capi
I<Imax
La limitazione sulla massima corrente erogata limita la variazione della tensione nel tempo.
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Condensatore Ideale
• può assorbire e cedere energia ma non dissipare.
• Energia immagazzinata:
20
Condensatore Ideale
• calcolo energia:
21
Condensatore Ideale
• calcolo energia:– considerando v=0 a t=tO
• a cui corrisponde E=0
• Densità volumetrica di energia
– condensatore piano
Campo elettrico
d
εSC
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Induttanza Ideale
• relazione costitutiva
• unità H: Henry ([H]=[s])• bipolo lineare, tempo-invariante, con memoria• I=cost. V=0.
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Induttanza Ideale
• elemento inerziale:– si oppone alle variazioni della
corrente che la attraversa
V<Vmax
La limitazione sulla massima tensione erogata limita la variazione della corrente.
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Induttanza Ideale
• può assorbire e cedere energia ma non dissipare.
• Energia immagazzinata:
25
Induttanza Ideale
• calcolo energia:
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Induttanza Ideale
• calcolo energia:– considerando i=0 a t=tO
• a cui corrisponde E=0
• Densità volumetrica di energia
– interna alle spire
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Calcolo energia per volume
2L2
22
2
2
L
222
L
2
H2
1
V
E
n2
Hl
l
VnE
n
HliSlV
2
i
l
nS
2
iLE
l
nS
l
ni
i
Sn
i
SHn
iL
l
niH
SHnSBn
;
28
Linearizzazione di bipoli istantanei
• Un generico bipolo istantaneo non-lineare può essere linearizzato attorno ad un punto di lavoro (Vo,Io) caso della tensione
iI
)V(I)I(I
I
)V(I)V(IV(I)v
)I(II
)V(I)V(IVV(I)V
00
00
00
0
I
)V(IR 0
29
Linearizzazione di bipoli istantanei
• Un generico bipolo istantaneo non-lineare può essere linearizzato attorno ad un punto di lavoro (Vo,Io) caso della corrente
vV
)I(V)V(V
V
)I(V)I(VI(V)i
)V(VV
)I(V)I(VII(V)I
00
00
00
0
I
)V(IR 0
30
Generatori di tensione reali
• Circuito equivalente VO: generatore ideale, R resistenza interna
L
0L
L0
R
R1
1V
RR
RVv
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Generatori di Corrente reali
• Circuito equivalente IO: generatore ideale, R resistenza interna
R
R1
1I
RR
RI
RRR
RRIi
L0
L0
LL
L0
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Resistore reale
• La relazione ideale (legge di Ohm) vale nei metalli fino a che l’effetto Joule non introduce deviazioni dalla linearità.
• Dipendenza di R dal materiale () e dalla geometria (L,s).
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Resistore reale
• circuito equivalente
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Condensatore Reale
• circuito equivalente
perdita del dielettrico
contatti
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Induttore Reale
• Circuito Equivalente– R: resistenza del filo
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Induttore reale
• calcolo del coefficiente di autoinduzione di un solenoide– induzione magnetica:
•n=numero spire, i=corrente, : permeabilità magnetica
•nel vuoto:
– fem indotta (legge di Faraday-Neumann)
niμB 00
dt
(B)dv(i)
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Induttanza reale
• calcolo coefficiente autoinduzione:
– esempio: r=1cm, l=5cm, n=100spire/cm
B Li t B BnS in nSn2Si
Ln2S
nnl ; S2 r2
Ln2l 22 r2
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Induzione Elettromagnetica
– In un circuito elettrico, ogni volta che varia il flusso magnetico concatenato, si manifesta un fem indotta
dt
dv i
legge di Lenz: la fem indotta è tale da opporsi alla corrente che genera il flusso magnetico
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Autoinduzione• ogni circuito elettrico, percorso da corrente,
determina un campo magnetico le cui linee di forza sono sempre concatenate col circuito stesso.
• Se la corrente varia nel tempo, varia nel tempo il flusso magnetico concatenato, quindi si genera un fem indotta.
• L: coefficiente di autoinduzione: induttanza
Li
40
fem di autoinduzione
dt
diL
dt
dv
diLd
i
;
vi
iRdt
diLv i
41
espressione di L• solenoide: avvolgimento su un
nucleo di permeabilità magnetica
BS H S;
H I nl
c n n2Sl
I
L c
I n2S
l
l
S
n
42
circuito RC uscita su R
1
2
CRVo
Vu
VA VB1 2 1
12 21
VA
t
• Inerzia del condensatore: non cambia la v istantaneamente
Vu
t
Vu= VB- VA
Vo
Vo
-Vo
43
circuito RC uscita su R
1
2
CR
Vo
Vu
vu Ri;
Vo 1C
idt 0
t
Ri;
dVo
dt0
1Ci R
didt
;
dii 1
RCdt ln i
iO t
RC;
i iO e
tRC ; iO
Vo
R
vu Ri R Vo
Re
t
RC
Vo e
t
RC
• io corrente iniziale– il condensatore non potendo
cambiare istantaneamente carica (quindi V) all’inizio è come un corto circuito
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Il condensatore blocca la componente DC
VA
t
Vu
t
Vo
Vo
-Vo
valor medio diverso da 0
valor medio uguale a da 0
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circuito differenziatore
• nell’ipotesi in cui R e C siano piccoli:
vu Ri;
Vo 1C
idt 0
t
Ri;
dVo
dt
1Ci R
didt
;
i CdVo
dt;
vu RCdVo
dt
46
1 2 1
12 21
VA
t
• Inerzia del condensatore: non cambia la v istantaneamente
Vu
t
Vu= VA- VB
Vo
Vo
1
2
CVoVu
VB
VA
R
circuito RC uscita su C
47
circuito RC uscita su C
vu vc 1C
idt;0
t
Vo 1C
idt 0
t
Ri; dVo
dt0
1Ci R
didt
;
dii 1
RCdt ln i
iO t
RC;
i iO e
tRC ; iO Vo
R
vu 1C
Vo
Re
tRC dt
0
t
Vo
RCRC 1 e
tRC
vu Vo 1 e
tRC
2
VoVu
1C
VB
VA
R
48
circuito integratore• nell’ipotesi in cui R e C siano
grandi:
vu 1C
idt0
t
;
Vo 1C
idt 0
t
Ri;
dVo
dt
1Ci R
didt
;
i Vo
R;
vu 1
RCVo dt
0
t
49
Vo
circuito RL uscita su R
1
R Vu
L
vu Ri;
Vo Ldidt
Ri i Vo
R
Vo
Re
RL
t
vu RVo
R1 e
RLt
Vo 1 e
RL
t
1 2 1
12 21
VA
t
Vu
t
Vo
Vo