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Onde trasversali in una corda tesa

0( , ) ( , ) ( , )x t y x t y x t

( , )y x t rappresenta lo spostamento trasversale lungo la corda rispetto alla condizione di equilibrio

( , ) ( , )x t y x t

risolviamo le equazioni del moto verticale di un tratto infinitesimo dx

sia T la tensione nella corda e la densita’ lineare di massa della corda dm

dx

assumeremo per iniziare che sia costante lungo la corda

x

y

0 ( , ) 0 y x t per ogni x e per ogni tall’equilibrio la corda e’ tesa lungo l’asse delle x quindi

x

y

x

Y(x)

Corda tesa

Corda perturbata

la perturbazioneperturbazione e’

2

dx

-T +T

Tensione meccanica nei fili

se il filo teso e’ fermo, o si muove di moto rettilineo uniforme, le due forze agli estremi sono opposte ed uguali

Y(x)

x xx+dx

T

T

inoltre la tensione avra’ lo stesso modulo T =|T| ovunque nella corda

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se la corda e’ in moto accelerato la tensione variera’ da punto a punto della corda

xx+dx

Y(x)

x

( )x ( )x dx

T

T

le tensioni ai capi di un piccolo tratto di corda tesa, al limite infinitesimo , comunque non si equilibrano perfettamente

per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio possiamo assumere che il modulo della tensione sia lo stesso ovunque ma

pur avendo lo stesso modulo dovranno avere direzione leggermente diversa a causa della curvatura della corda.

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' ( ' )yR Tsen Tsen T sen sen

' ( ' )xR Tcos Tcos T cos cos

xx+dx

y(x)

x

( )x ( )x dx

dx

d

''Tcos

'Tsen

T

T

Tsen

Tcosdm dx

T T

per angoli piccoli si potranno usare le approssimazioni delle funzioni : 1cos sen tg e

la risultante delle forze agenti su di un tratto infinitesimo di corda, trascurando la gravita’, sara’

( )x

( )x dx

armoniche

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( ' ) ( ' )yR T sen sen T tg tg cos ' cos 0xR T T

la risultante lungo l’asse delle x e’ nulla e dunque non vi sara’ moto della corda in quella direzione

per piccoli angoli piccoli angoli lo spostamento della corda e’ solo trasversale

per cui

e

tgdx

2

2

tg

x x

e derivando parzialmente rispetto ad x

sviluppando in serie di Taylor la funzione tg e

' ....tg

tg tg dxx

'

tgtg tg dx

x

da cui si ricava

ma

quindi 2

2'tg tg dx

x

2

2( ' )yR T tg tg T dx

x

arrestandosi al primo ordine

approssimazione valida per piccoli

d

xx+dx

y(x)

x

( )x ( )x dx

dx

'T

T

dm dx( )x

( )x dx angoli,

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y yF dm a

2 2

2 2yR T dx dxx t

2 2

2 2

T

t x

ma, in generale

2 22

2 2V

t x

e’ l’equazione di un onda

TV

questo dimostra che lungo la corda si propaga una onda trasversale con velocita’ V che dipende dalla tensione e dalla densita’ lineare di massa della corda

ydxa2

2dx

t

2

2

ydx

t

la seconda legge di Newton proiettata lungo l’asse trasverso per una massa infinitesima dm = dx e’

che si propaga con velocita’Proprietà elastica

Proprietà inerziale