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LEZIONI DI FISICA PER IL CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA

Titolare Prof. Fabrizio Gasparini Dipartimento di Fisica “Galileo Galilei”Via Marzolo 8Ufficio 172 (ingresso>a sinistra>primo corridoio a destra)Telef. 0049 827 70 95

E-mail fabrizio,gasparini@pd.infn.it

Giorno ricevimento : mercoledi’ mattina ore 9-10

Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/edW. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. SkoveCopyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl+ (oppure) dispense disponibili a:

Modificate : 4,6,43Sdoppiate 7 > 7 e 8Spostate di numero (+1) e Modificate :22,23,25,40

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PROGRAMMA

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Il moto avviene nello spazio e nel tempo.La posizione “cambia” e il tempo “passa”

La posizione richiede la definizione di un sistema di riferimento ( X,Y,Z,t)Si misurano U=(X,Y,Z) e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to

La posizione e’ definita da tre numeri , da un VETTORE (U)Il tempo da uno scalare t, un numero solo.(Att: un numero non e’ necessariamente adimensionale, e’ il valore assunto daUna grandezza fisica misurabile in metri. o secondi etc….)

C’e’ moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o direzione) nel tempo dt

dU/dt ≠ 0 (in senso vettoriale dU/dt = (dX/dt,dY/dt,dZ/dt)

O (0000)

U

dU

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Sistema di riferimento

⇨ non è possibile parlare di quiete, di moto o posizione in senso assoluto⇨ Si vedra’ perche’ e quali sono l e conseguenze

è sempre necessario stabilire un sistema di riferimento rispetto al quale facciamo l'osservazione

P e’ individuato da una terna ordinata di numeri (x,y,z), con segno. Individuano il segmento OP . OP e’ un vettoreSe si cambia il riferimento i tre numeri cambiano ma O’P individua sempre POP e O’P sono dei vettori (raggio vettore) la sua lunghezza e’ (x2+y2+z2)1/2 (Pitagora)

P(x,y,z)

Z

X Y

x y

z

Oo

O’

Sistema levogiro.Il verso positivo delleRotazioni e’ antiorarioe porta x su y, y su ze z su x

I tre numeri (X,Y,Z) sono indipendenti e corrispondono ai tre gradi di liberta’ di P . Se P si muove nel tempo, X,Y e Z cambiano di valore nel tempo. Il vettore OP = OP(t) = (x(t),y(t),z(t))

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vettori

modulo di un vettore:

versore u: vettore di lunghezza unitaria:

moltiplicazione di un vettore per un numero:

somma di due vettori:

V

aV a > 0

bV b < 0

BA

C

V v x,v y,v z

V v x2 v y

2 v z2

u ux2 uy

2 uz2 1

V v x,v y,v z

W aV av x,av y,av z

W a2v x2 a2v y

2 a2v z2 a V

A ax,ay ,az

B bx,b y,bz

C A B ax bx,ay by ,az bz

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vettori

prodotto scalare di due vettori: e’ uno scalare , un numero cos θ =cos (- θ)

Se B e’ un vettore unitario U A∙U = A (1) cos θ = (proiezione di A su U)

prodotto vettoriale: e’ un vettore A X B = C

Il suo verso e’ perpendicolare al piano definito dai vettori A e B e forma con

A e B una terna levogira. La sua lunghezza e’ l’area parallelogramma individuato

da A e B. L’obbligo di formare una terna levogira fa si che BXA =C’ opposto a C.

modulo del prodotto:

A

B

A

BC

A

B

C'

A B A Bcos B A

A ax,ay,az

B bx,by ,bz

A B ax bx ay by az bz B A

C A B B AC ' B AC C '

C ay bz byaz,azbx bzax,ax by bxay

C ' b yaz ay bz,bzax az bx,bxay ax by

bl A Bsin

Prodotto di A per se stesso A ∙ A = ax ax + ay ay+ az az = A2

sin θ = - sin (- θ)

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Fissare un riferimento (X,Y,Z) e’ equivalente a fissare treVERSORI i , j e k perpendicolari tra loro e costanti, essi formanoUn a terna levogira (dome nell’ordine medio,indice e pollice della mano sinistra!

Con questa notazione il prodotto vettore e’ :

c =

c = (a2b3 – a3b2) i + (..) j + (…) k

c’ = b x a = (a3b2-a2b3) i +……..

C e c’ sono diversi !!Che direzione ha il vettore C (oppure C’?). Basta fare il prodotto vettoreDi i e j : i j kI x j = 1 0 0 = k j x i = -k 0 1 0

Il vettore “prodotto vettoriale” ha direzione perpendicolare al piano di a e b e verso tale da formare con a e b una terna levogira.Il suo modulo = ab sinθ = area del parallelogramma di lati a e b.

Notare che k = i x j cioe’ k rappresenta la rotazione che porta i su j. ( analogamente i per j su k e j per k su i )

X

Y

Z

i

jK

P

O

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X

Y

Z

i

jK

P

O

Il vettore OP(t) puo’ essere rappresentato in Funzione delle sue tra componenti indipendenti

OP(t) = (OP ∙ i) i + (OP ∙ J) J + (OP ∙K) K == X(t) i + Y(t) J + Z(t) K

Poiche’ i, j e k sono costanti la derivata di OP (velocita’ di P) e’

dOP /dt = dx/dt i + dy/dt j+ dz/dt k =Vx i+Vy j+Vz k

In generale la derivata di un vettore S = s Us con Us parallelo a S di lunghezza 1, ma di direzione variabile . e’ V = dS/dt = ds/dt Us + s dUs/dt(vedi piu’ avanti il caso dell’accelerazione)

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Si considerino due situazioni:a) Lancio di un oggetto verso l’alto con velocita’ iniziale V = (Vx,Vy)b) Lancio di un oggetto lungo un piano orizzontale V= (Vx, 0)

X

Y

P (x,y)

X

y

P (X,0)

La posizione P e’ individuta da una coppia ordinata di numeriNel caso a) variano sia x che y, nel caso b) y = cost=0

θ

QUALE E” IL PUNTO DI VISTA DELLA “FISICA”?.

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studiare

Lancio di un oggetto: angolo (θ) e velocita’ iniziale (V), altezza raggiunta, distanza percorsa tempo di volo etc….??Si possono fare parecchi lanci, misurare tutto etc….. E sapere ,che per colpire un oggetto all’altezza Y e nella posizione X , P=(X,Y) si deve lanciare con un certo angolo e velocita’ (θ,V)

Si puo’ ripetere e trovare come lanciare per (Y1,X1),(Y2,X2) etc…..

Un disco lanciato di piatto su un suolo orizzontale con attrito costante : posizione X di arresto in funzione della velocità’ iniziale. Ripeto il ragionamento ………………..

c’e’ una correlazione tra i valori trovati per le coppie (θi,Vi) verso (Xi,Yi)?Questa correlazione puo’ essere ottenuta graficamente, per continuita’.Cosa succederebbe cambiando l’oggetto lanciato? Rifare tutte le misure per ogni oggetto. ,Molto più interessante trovare un formulazione matematica tipo (X,Y) = F (θ,V)

In F compariranno dei parametri che dipenderanno ovviamente dall’oggetto lanciato (massa) o dal suo peso (forza di gravita’) etc…

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F non puo’ essere arbitraria : deve riprodurre i risultati sperimentali, e dare una risposta corretta per qualunque altro lancio.Quanto bene deve riprodurre i risultati delle misure? Tener conto degli errori di misura !

A questo punto si ha una “teoria” : una formulazione matematica che descrive compiutamente una serie di risultati sperimentali e prevede con precisione quelli di altre prove.

Traducendo le osservazioni in relazioni matematiche tra le varie grandezze misurate si troverebbe :Primo caso X = B T Y = C T –D T2

Secondo caso X= E T – G T2 dove B,D,E,G sono delle costanti

Si e’ indotti a pensare che una stessa causa sia alla base di entrambi

Primo caso dX/dT = B dY/dT = C – 2 D T d2X/dT2 = 0 d2Y/dT2 = - 2D Secondo caso dX/dT = E -2GT d2X/dT2 = - 2 G

Entrambi sono moti ad accelerazione costante: tutti i moti ad accelerazionecostante sono descritti da una stessa forma matematica.

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Grandezze Fisiche l'osservazione deve essere quantitativa:

tradursi in un enunciato quantitativo (formula matematica) delle osservazioni effettuateleggi fisiche

è fondamentale per poter tradurre le leggi della Fisica in espressioni matematiche

concetto di grandezza fisica:OSSERVABILI definiamo una serie di operazioni di laboratorio

consentono di associare ad un concetto fisico un valore numerico grandezze fisiche della stessa specie si dicono omogenee

molte grandezze fisiche sono note in quanto di uso quotidiano: lunghezza tempo volume forza

deve essere chiaro come si misurano la definizione di una grandezza fisica è operativa:

descrive una serie di operazioni da compiere per effettuare la misura

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Misura si possono distinguere due tipi di misura:

1) misura diretta: confronto diretto con la grandezza campione

2) misura indiretta: si ricava dalla misura di altre grandezze esempio:

la velocità media vm (si misura in “m/s”) è definita come il rapporto

tra lo spazio percorso d e il tempo t necessario a percorrerlo V = d/t

la misura di d e t è diretta, quella di vm è indiretta

la misura è sempre affetta da errorila misura è sempre affetta da errori

Sistemi di Unità di Misura

c'è un numero limitato di grandezze fisiche fondamentali tutte le altre grandezze vengono derivate da queste

le grandezze fondamentali sono tra loro indipendenti la scelta della loro unità di misura non influisce sulle altre la scelta della unità di misura può essere arbitraria

le grandezze derivate sono quelle la cui definizione operativa è fondata sull'uso delle grandezze fondamentali

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Sistemi di Unità di Misura un sistema di misura è formato da tutte le unità fondamentali e da tutte le unità

derivate nel Sistema Internazionale di misura le grandezze fondamentali sono:

Grandezza Unità di misura

Lunghezza l metro mMassa m chilogrammo-massa kgIntervallo di tempo t secondo sTemperatura assoluta T grado Kelvin KIntensità luminosa I candela cdIntensità di corrente elettrica i A

Simbolo della Grandezza

Simbolo dell'unità

ampère

nella prima parte del corso si utilizzeranno solo lunghezza, massa e tempo e loro derivate

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Angoli nel Sistema Internazionale gli angoli vengono misurati in unità di arco

angolo in radianti: il rapporto tra l'arco b e il raggio r di un settore circolare. E’ un rapporto tra due lunghezze : un numero adimensionale

l'unità 1 radiante (rad) è l'angolo al centro per cui il raggio e l'arco siano uguali

l'angolo è una grandezza derivata

r b

angolo giro: circ/r = 2 p rad = 360 gradi

angolo piatto:(circ/2)/r = p rad = 180 gradi

angolo retto: (circ/4)/r = p/2 rad = 90 gradi

1 radiante sono 57,3 gradi = 180 / p

1 grado sono 0,017 radianti

=br

θ

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Grandezze fondamentali della meccanica

lunghezza: l'unità di misura è il metro

è 1650763.73 volte la lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica emessa dall'isotopo 86 del kripton nella sua transizione tra gli stati 2p10 e 5d5 quando la lampada è alla

temperatura del punto triplo dell'azoto tempo:

l'unità di misura è il secondo è la durata di 9192631770 oscillazioni della radiazione emessa

dall'isotopo 133 del cesio nello stato fondamentale 2S½ nella

transizione dal livello iperfine F=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0

Stupefacente ? No: se si vuole misurare un grandezza con una risoluzione diuna parte su 1010 e’ necessaria uno strumento con una precisione di 1011.

Le nanotecnologie lavorano su dimensioni di qualche 10-10 m

Precisione : dispersione dei dati intorno al valore medioAccuratezza : quanto il valor medio e’ vicino al valore realeSi puo’ essere accurati ma non precisi , oppure precisi ma non accurati

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Grandezze fondamentali della meccanica massa gravitazionale: la massa indica quanta materia c'è in un corpo, la sua quantità si ha misurando il

peso del corpo (massa gravitazionale mg) l'unità di misura è il kilogrammo

la massa di un campione custodito a Parigi presso l'Ufficio Internazionale di Pesi e Misure che consiste in un cilindro di platino-iridio di 39 mm di diametro e 39 mm di altezza

con l'ausilio di una bilancia si possono confrontare masse gravitazionali tra loro e con l'unità campione

dalla definizione deriva che è proporzionale alla forza esercitata dalla attrazione terrestre sul corpo

massa inerziale: più avanti troveremo un'altra proprietà della materia, l'inerzia

ogni corpo oppone una resistenza a variare il proprio moto per variare lo stato di quiete o di moto di un corpo occorre

applicargli una forza questa proprietà della materia introdotta attraverso l'inerzia si indica con il

nome di massa inerziale e la indicheremo con mi

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Equazioni dimensionali

per stabilire il legame tra grandezze derivate e quelle fondamentali si utilizzano le equazioni dimensionali

sono importanti per: definire le unità di misura derivate verificare la correttezza dimensionale delle equazioni

Superficie:

Volume:

Densità:

[S ]=[l ]⋅[l ]=[l2 ]=m 2

[V ]=[l ]⋅[l ]⋅[l ]=[l3 ]=m3

per una grandezza meccanica G:

[G]= [mn lk th]

[]=[m ]/[V ]=[m ]/[l3]=kg⋅m−3ρ

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Operazioni con grandezze fisiche

i calcoli tra grandezze fisiche si esprimono come uguaglianze tra i simboli dato un parallelepipedo di altezza h = 4 m, larghezza l = 3 m e profondità b =

5 m il volume sarà: V = l · b · h = 3 m · 5 m · 4 m

V = 60 m3

in questo modo otteniamo anche l'unità di misura del volume

le regole dell'algebra valgono per i valori numerici e per le unità di misura la somma e differenza di grandezze fisiche ha senso solo se esse sono tra

loro omogenee il prodotto o il rapporto di grandezze si ottiene moltiplicando o dividendo

anche le unità di misura per passare da un'unità di misura ad un'altra si può esprimere l'unità di

misura iniziale in termini dell'altra: (1 Km) = 1000 volte (1 m) e (1 ora) = 3600 volte (1 sec)

v = 30 km/h = 30 x (1 Km) / 1(1 h) = 30 x 1000x(1 m) /(3600 x (1 s))

v = 8.3333 m/s

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Cinematica la cinematica studia il moto di un corpo senza considerarne le cause

spostamento: quando un punto materiale si muove la sua posizione varia nel tempo

traiettoria: la successione delle posizioni assunte dal corpo al variare del tempo

il caso più semplice : unidimensionale la traiettoria è un segmento di retta

sistema di riferimento:

retta orientata origine O fissata arbitrariamente istante t=0 fissato arbitr.

O P(x) x

Una proprietà caratteristica di un moto è la velocitàil rapporto tra spazio percorso e tempo di percorrenza:v = Dx/Dt

la sua unità di misura è:

[v]= [l t-1]= metri/secondi

X = xo +vt [L] =[L] + [L t-1][t]=[L]+[L/t][t]=[L]+[L]

i

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Moto rettilineo moto rettilineo uniforme:

un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali

la sua velocità è costante se mettiamo in grafico lo spazio percorso (sull'asse verticale) in funzione

del tempo (sull'asse orizzontale) otteniamo:

i punti che rappresentanola posizione stanno su di una retta la cui pendenza tan a è la velocità v = Dx /Dtl'equazione completa della retta èx(t) = x(0)+ Vt

Se x (t) e’ una funzione continua di t. OP= x(t) i il valore della velocità istantanea risulta essere la derivata della funzione x (t)

che descrive lo spazio percorso in funzione del tempo

con il termine “velocita” si intende sempre velocità istantanea

V = dOP/dt = dx(t)/dt i Poiche’ dx puo’ essere positivo o negativo V puo’avere il verso di i o quello opposto

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Moto lo spostamento non è stato trattato in modo completo

avviene in uno spazio tridimensionale abbiamo trattato il caso nello spazio unidimensionale senza esplicitarlo

nel caso più generale la traiettoria del corpo può essere descritta da:

OP = x I + y J + z K\

P(x,y,z)

Z

X Y

x y

z

O

La derivata di un vettore e’ ancora un vettore che ha come componentiLe derivate dei componenti V=dOP/dt =dx/dt I + dy/dt J +dz/dt KLa velocita’ e’ un vettore. Una misura di velocita’ e’ una misuraindiretta : si misurano spazio e tempo.

la posizione OP è un vettore (tre moti indipendenti lungo x, y e z)

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Vettore velocità

AB

C BA

CA+B=B+A=C

I vettori si mettono in fila!

A-B=A+(-B)-B e’ B orientato in verso opposto -B = (-1) x B s2

S1s

Chi e’ dOP ? E che verso ha ? dOP e’ la variazione di OP nel tempo Infinitamente breve dt . Si consideri un tempo finito ΔT : in esso P spostada P1 a P2 e quindo OP cambia da OP1 a OP2,

Δ OP = OP2 – OP1 come mostrato in figura

oP1

P2ΔOP

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Accelerazione

la velocità in genere non rimane costante accelerazione: il rapporto tra una variazione di velocità in un certo intervallo

di tempo e l'intervallo di tempo in cui avviene questa variazione:

avt

come nel caso della velocità possiamo definire: accelerazione media accelerazione istantanea

l'unità di misura della accelerazione è:

a = d/dt (dx/dt) = d2x/dt2

ai limt 0

vt

dvdt

a v t 1 lt 2 ms2

Si consideri ancora un moto rettilineo, lungo un asse X

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Accelerazione (caso unidimensionale) Se la velocita’ mantiene costante la propria direzione V = v Uv con Uv=cost.

accelerazione tangenziale: è dovuta alla variazione del modulo della velocità ha modulo pari alla derivata del modulo della velocità rispetto al

tempo

ha direzione parallela alla velocità nel punto

at=dvdt

at=dvdt

=dv uv

dt=dvdt

uv

perche’ uv e’ costante

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accelerazione radiale: il vettore velocità può cambiare anche direzione

Accelerazione (caso bidimensionale)

ar=v2

r

Se V cambia la propria direzione cioe’ Uv non e’ costante nel tempo

a = at + ar = dV/dt Ut – v2/r Ur

V1

V2V2

ΔV

r

ΔVt

ΔVr

si dimostra che questa accelerazione ha: direzione parallela al raggio di curvatura locale della

traiettoria modulo pari a

Se si scrive V = V Uv

Si avra’ a =dV/dt = dV/dt Uv + V dUv/dt

ΔV = V2 – V1 ha due componenti ΔVt e Δ Vr………………

Se la traiettoria e’ curva “ar” ha sempre verso opposto al

Raggio di curvatura istantaneo (accelerazione centripeta)Notare che [ v2/r ] = [L t -2]

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Cinematica del punto

nota la legge oraria s(t), oppure OP(t) da essa si possono ricavare la velocità e l'accelerazione in ogni istante:

v td s tdt

a td v tdt

d 2s tdt2

non sempre si conosce la legge oraria, a volte si conosce solo l'accelerazione a(t), si possono invertire le equazioni precedenti :

questo richiede la conoscenza della velocità e della posizione ad un dato tempo t

0 (condizioni iniziali)

v t a t dt

s t v t dt a t d2t

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Moti moto rettilineo uniforme:

quando un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali

la sua velocità è costanteistante per istante il vettore velocità giace sulla stessa retta e punta nella medesima direzione

possiamo trascurare il carattere vettoriale della velocità e considerarla come una grandezza scalare (entro certi limiti)

a=dV/dt =0V(t) =cost = V0

S(t) = V0dt= V0(t-t0)

= V0 t + cost

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Moto rettilineo uniformemente accelerato

s=12at2

v=at

t2sa

v a2sa

2sa

a = cost = dV/dt dV = a dt V = a dt = at + K1t

V = ds/dt ds = Vdt s = (at +K1) dt = ½ at2 + K1 t + K2t

Se S (0 ) = S0 e V (0) = V0 si ha K1= V0 e K2 = S0

S(t) = S0 + V0 t + ½ a t2

Se S0 e V0 sono entrambi nulli (moto che inizia dall’origine con velocita’ nulla

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Esercizio

• Due treni viaggiano con velocità costanti • uno verso l'altro su due binari paralleli: • ad un certo istante passano davanti a due • stazioni distanti tra di loro d = 12 km e si incrociano dopo un tempo t = 6 min. Si

calcolino le velocità dei due treni esprimendole in km/h e in m/s, se il primo treno ha velocità doppia rispetto al secondo

scriviamo le equazioni che danno la posizione dei due treni nello stesso sistema di riferimento

sappiamo che:

dopo 6 minuti i treni occupano la stessa posizione

la velocità del primo è doppia di quella del secondo

quindi

x1 t v1 tx2 t d v2 t

2v2 t d v2 t3v2 t d

v2

d3t

12km18min

12000 m1080s

11.11 m s

abbiamo scelto un sistema di riferimento in cui l'origine coincide con la posizione della stazione di partenza del treno 1

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Esercizio• Il moto nel piano x, y di una particella

è definito dalle equazioni:

• con = 0.1 m/s 2 e = 1 m/s . Si calcolino i moduli della velocità e dell'accelerazione all'istante =10 s

le componenti della velocità si ottengono derivando le equazioni che danno le componenti della posizione in funzione del tempo: e quindi:

per determinare l'accelerazione basta derivare rispetto al tempo le componenti della velocità:

al tempo dato e con i parametri del problema si ottiene:

x t2 ty t2 t

vx t 2 tv y t 2 t

vx 10 3m sv y 10 1m s

v vx2 v y

2 10 3.16 m s

ax t 2ay t 2

ax 10 ay 10 0.2 m s2

a ax2 ay

2 0.28 m s2

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data la legge oraria X (t) = 3 – 6 t determinare

1) velocità

2) posizione per t=0 s e per t=2 sec

3) quando passa per l'origine è un moto rettilineo uniforme

1) velocità v = dx/dt

0) posizione

0) passaggio per l'origine

data una velocità v=0.4 m/s costante e x(0)=-2.5 m

1) scrivere la legge oraria2) determinare la posizione per t=5 s3) determinare quanto spazio è stato

percorso tra t=0 e t=5 s è un moto rettilineo uniforme, nel

verso positivo1) legge oraria:

1)

2) calcoliamo la posizione per t=0 e t=5 s e poi facciamo la differenza

moto lungo il verso negativo

v 6m s

t 0s x 3 mt 2s x 9 m

x 0m t 0.5s

x t 0.4t 2.5

t 5s x 5 0.5 m

t 0s x 0 2.5 mt 5s x 0 0.5 m

x x 5 x 0 0.5 m 2.5 m 2m

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Esercizio

Durante la fase di decollo un aviogetto percorre la pista, lunga 2.25 km, in 45 s. Calcolare l'accelerazione, supposta costante

e la velocità posseduta dall'aereo appena si stacca dal suolo (velocità di decollo) .

siamo in condizioni di moto rettilineo uniformemente accelerato:

nel nostro caso: s0 = 0 m v0 = 0 m/s

possiamo ricavare subito l'accelerazione:

– la velocità risulta

potevamo ottenere direttamente la velocità

s t s0 v0 t12a t2

s t12a t2

a2 s t

t2

2 2.25km45s 45s

4.5 103m

2025s2 2.22m s 2

v t a t 2.22m s 2 45s 100m s 1

360km h 1

v t a t2 s t

t2 t2 s tt

2 2.25 103m45s

100m s 1

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Esercizio

• Un aviogetto decolla da un aeroporto per raggiungere un altro aeroporto distante 1100 km. L'aereo, nella fase di involo, accelera uniformemente per 30 km sino a raggiungere la velocità di crociera di 800 km/h e, nella fase di planata e di atterraggio, decelera uniformemente con accelerazione eguale in modulo a quella corrispondente alla fase di involo.

Qual'è il tempo occorrente al jet per compiere l'intero percorso supponendo che esso segua la rotta più breve?

(t = 1h 27 min)

v 0=0m /ss1=30km=3⋅10

4mv 1=800km /h=222.2m /s

so = 0

S= ½ at2

V= at30000 m= ½ at1

2

222 m/sec = at1

t = √ 2s/aV= √ 2s/a x a = √ 2saa = v2/2s = 0,823 m/sec2

per la fase di volo di crociera il tempo impiegato (moto rettilineo uniforme) risulta essere:

t 2 t1 t2 9min 1h18 min 1h27 min

t1 = √ 60000/o.823 = √ 75000 = 270 sec

t2

s2

v 1

d 2 s1

v 1

1040km222.2m s

4680s

78min 1h18min

nel primo tratto moto rettilineo uniformemente accelerato, di questo moto conosciamo le seguenti cose:

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moto circolare uniforme

moto circolare uniforme: il moto di un punto che percorre una circonferenza con velocità costante

(in modulo) la velocità non può essere costante in direzione viste le caratteristiche del

moto poiché la direzione della velocità varia c'è una accelerazione

(accelerazione centripeta)

a= (V2 – V1)/ Dt= = (V2 + (-V1))/Dt

V2

V1

-V1

ar1

r2quando Dt tende a 0 , r 2 tende a r 1

Secondo il disegno quando r2 tende a r1 V2 – V1 tende a zero , ma anche Dt tende a 0E il rapporto tende ad un numero finito.

E’ la definizione di derivata……..rapporto tra due infinitesimi.

V2 - V1

V2 +(- V1)

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Periodo si definiscono:

periodico qualunque fenomeno che a intervalli regolari di tempo si riproduca

secondo una stessa legge che lo caratterizza periodo (T)

l'intervallo di tempo necessario affinché il fenomeno periodico considerato riprenda gli stessi caratteri

frequenza () il numero di volte che questo avviene nell'unità di tempo

la sua unità di misura è l'Hertz (Hz) Frequenza = 1 / T

Moto circolare uniforme lo spazio percorso durante un periodo T è pari ad una circonferenza (=2 r)

il modulo della velocità è:

che può anche essere scritto come:

v 2 r

vsT

2 rT

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Moto circolare uniforme raggio vettore

il segmento che in un generico istante congiunge il centro della circonferenza con P

velocità angolare il rapporto tra un angolo (in radianti) descritto dal raggio vettore e il

tempo impiegato a descriverlo

la velocità angolare si misura in radianti/secondo (rad/s)

nel caso di velocità angolare costante, in un periodo

quindi avremo

T 2

t

2T

2

confrontando: 2v 2 rv r

con:

otteniamo:

dove (ovviamente) anche le dimensioni tornano

nel moto circolare uniforme il modulo della velocità (periferica) è proporzionale al raggio della traiettoria descritta

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v r E’ una relazione scalare

In realta’ ω rappresenta la rotazione che porta il vettore r su r’ = r + dr nel tempo dt. L’area descritta da r e ‘ dA = r X r’ = r x r + r x dr = 0 + r dr K = r r d θ K = r2 d θ K

dA/dt = r2 d θ/dt K = r2 ω K ω e’ un vettore parallelo a K ed e’Una misura della velocita’ “areale”

Vettorialmente V = ω x r

a = dV /dt = d ω/ dt x r + ω x dr/dt ma d ω/ dt = 0e dr/dt e’ ,per definizione V

Quindi a = dV/dt = ω x V = ω x (ω x r)

ω x V ha verso opposto a r : e’ cioe’ diretto verso il centro. I vettori sono tutti perpendicolari: ω x (ω x r) ha lunghezza ω2 r ( oppure V2/r)

Conclusione l’accelerazione e’ un vettore diretto In verso opposto al raggio di curvatura e di modulo ω2 r = V2 /r.

ω

r

V

r

r’K

drdθ

39

Moto circolare anche il moto circolare può essere non uniforme

analogamente al moto vario, varrà la relazione:

analogamente al caso di velocità varia si avrà una accelerazione angolare

che si misura in rad/s2

☞ l'accelerazione angolare è legata alla accelerazione tangente:

tddt

tddt

d 2

dt2

aT raT = dV/dt = d ω/dt x r + ω dr/dt e dr/dt e’ nullo

40

Moto circolare uniformemente accelerato

moto circolare uniformemente accelerato: è un moto in cui è costante l'accelerazione angolare per esso valgono tutte le considerazioni fatte nel caso di moto rettilineo

uniformemente accelerato (con le ovvie sostituzioni):⇨s ⇨v ⇨a

t 0 t

t 0 0 tt2

2

41

Moto relativoCome si cambia sistema di riferimento? le osservazioni dello stesso fenomeno fatte da osservatori

diversi con riferimenti diversi devono essere confrontabili ?A quali condizioni?

la posizione di un punto P in un sistema (A) di riferimento può essere data dal vettore

r che va dall'origine del sistema al punto stesso

in un altro sistema di riferimento (B) sarà data da un altro vettore r´

la posizione dell'origine del secondo sistema di riferimento rispetto al primo è data da rO

per l'algebra vettoriale abbiamo quindi: r= r0 + r’

vd rdt

vd rdt

d rO

dtd r 'dt

v O v 'r

z'

x'y'B

r'r0

xy

zP

A

la velocità del punto P rispetto al sistema di

riferimento A e’

V : e’ la velocita’ “assoluta”vO: è la velocità di B rispetto al sistema A (velocita’ di trascinamento)v´ : è la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento B (velocita’ relativa)

42

Per l’accelerazione si avra’

ad vdt

d v O

dtd v 'dt

aO a'

Se i due sist. di rif. si muovono di moto relativo rettilineo e uniforme a0= 0 e a = a’

L’accelerazione (cioe’ la fisica) e’ la stessa in sistemi di rif. in mot rett. UniformePrincipio di relativita’ Galileiano

Cosa succede se B ruota ?Sia B fermo ma ruoti intorno a B con vel. Angolare ω. Sia P fermo rispetto a B V’ = 0A osserva la velocita’ V = ω r’.Se B in piu’ si muove rigidamente con velocita’ Vo sara’ V = Vo + ω r’Se P si muove rispetto a B con velocita’ V’ Sara’ V = Vo + V’ + ω r’

PPr’’

AB

Wr’

43

se il sistema di riferimento B ruota con velocità ω rispetto al sistema A l'equazione diventa:

si ha perché la derivata di r´ rispetto al tempo ha due contributi:

dalla variazione del modulo r´ dalla variazione relativa di direzione

e si può dimostrare che:

dr'dt

d r'ur '

dtdr'dt

ur ' r'd ur '

dtd uv

dtuv

nel caso più generale, in cui il sistema B ruota, si può dimostrare che l'equazione che lega le accelerazioni è la seguente:

a aO a' r ' 2 v '

vd r O

dtd r'dt

v O v ' r'

44

Dinamica la dinamica studia il movimento dei corpi in relazione alle cause che lo

producono dobbiamo conoscere i seguenti elementi:

1) le cause del moto (forze) con le leggi che le determinano in funzione di:⇥ posizione⇥ velocità⇥ altri parametri

2) i parametri del corpo che intervengono in modo essenziale nel moto

3) le equazioni del moto

→ le relazioni che permettono di determinare il moto del corpo

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Dinamica del punto per punto materiale si intende un corpo di dimensioni piccole rispetto alle

altre lunghezze in gioco e del quale non interessa studiare la struttura un corpo può essere approssimato o meno a un punto materiale a

seconda del problema

prima di Galileo e di Newton si pensava che:

lo stato naturale di un corpo (cioè un corpo non soggetto ad interazioni con altri corpi) fosse quello di quiete un corpo in moto con velocità costante richiedesse opportune interazioni con altri corpi .

Questa idea sembra suggerita dall'esperienza quotidiana una cassa che si muove con velocità costante su di un piano richiede una forza fornendo una spinta alla cassa sul piano la cassa si mette in moto ma tende a fermarsi

46

Iº principio della dinamica questo punto di vista fu universalmente accettato finché, prima Galileo, poi

Newton, eseguendo esperimenti con piani levigati confutarono questa teoria rendendo le superfici più lisce occorre meno forza per spingere la

cassa, la cassa si ferma dopo aver percorso un tratto maggiore da questo, estrapolando, deriva il seguente postulato (

Io principio della dinamica):

un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna

un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna

47

Iº principio della dinamica

un corpo non soggetto ad interazioni con altri sistemi materiali o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme

la proprietà che ha un corpo di opporsi a variazioni della propria velocità fu chiamata da Newton inerzia

il postulato precedente è noto anche come principio d'inerzia o anche primo principio di Newton

il primo principio della dinamica si riferisce ad una situazione limite, una idealizzazione che non può venire realizzata in un esperimento

il principio d'inerzia non può avere significato se non si specifica il sistema di riferimento usato

consideriamo due sistemi di riferimento in moto traslatorio rettilineo uniforme uno rispetto all'altro:

un corpo che si muove con velocità costante rispetto al primo sistema si muove con velocità costante anche rispetto al secondo

i sistemi di riferimento inerziali sono sistemi di riferimento in moto traslatorio relativo rettilineo uniforme

un sistema solidale con la terra è solo approssimativamente inerziale

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Sistemi Inerziali

quando passiamo da un sistema di riferimento inerziale ad un altro:

mentre per le accelerazioni:

dove, per definizione, a0 = 0

la variazione nello stato del corpo che osservo nei due sistemi è la stessa la causa di questa variazione deve essere la stessa

v v O v '

a aO a' a'

il principio d'inerzia può venire formulato nel modo seguente: in un sistema di riferimento inerziale un corpo persevera nel suo stato di quiete

o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna

un altro enunciato è quello di Galileo: tutte le leggi della meccanica quali quelle relative alla caduta dei gravi, delle

oscillazioni etc., sono le medesime per osservatori in moto traslatorio rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro

49

Iº principio della dinamica

passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro:variano le coordinate dei corpivariano le loro velocità

Una forza e’ cio’ che provoca una variazionedello stato di moto di un corpo

FORZA

Lo stato di un corpo materiale all’istante t sia definito da posizione e velocita’.Il suo “stato di moto” dalla sua velocita’.

50

Forza e accelerazione : seconda legge della dinamica

una accelerazione è una manifestazione di una forza: dobbiamo stabilire una relazione quantitativa tra le due

possiamo applicare ad un corpo delle forze note F1, F2, F3, ... e misurare

l'accelerazione prodotta su di un corpo direzione e verso di forza e accelerazione sono uguali le accelerazioni sono in genere tra loro diverse in modulo il rapporto tra forza applicata e accelerazione misurata è costante

questa costante cambia se cambiamo il corpo su cui effettuiamo le misurel'azione dinamica di una forza su di un corpo è di fornire una accelerazione tale che

F= k a

la costante k è uno scalare definisce una caratteristica del corpo venne chiamata da Newton massa inerziale F= ma

questa legge viene indicata come seconda legge della dinamica (o seconda legge di Newton) mg e mi vengono fatte coincidere

F1

a1=F 2

a2=F3

a3==costante

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Forze Principio dell'indipendenza delle azioni simultanee:

si ricava dall'osservazione se più forze agiscono su di un corpo, ciascuna produce l'accelerazione cui

darebbe luogo agendo da sola se abbiamo 2 corpi che esercitano una forza su di un terzo corpo,

l'accelerazione di questo corpo (a1) risulta essere la somma delle singole

accelerazioni prodotte dagli altri due corpi sul corpo in esame (a12 e a13

rispettivamente):

se moltiplichiamo per la massa m1:

a1 a12 a13

m1a1 m1a12 m1a13 quindi avremo:

la forza risultante agente su un corpo è la somma vettoriale delle singole forze esercitate sul corpo dai diversi sistemi materiali che interagiscono con esso

questo viene anche indicato come principio di sovrapposizione

F 1 F 12 F 13

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Inerzia

dalla seconda equazione della dinamica risulta un pò più chiaro il concetto di inerzia:

la massa è una proprietà dei corpi F = ma implica che:

maggiore è la massa m minore è la perturbazione a che la forza F apporta al corpo

la massa è una misura della resistenza che un corpo oppone a un tentativo di modifica del suo stato (inerzia)

sperimentalmente si verifica che: se due corpi A e B di masse mA e mB vengono uniti insieme a formare un

corpo C, la massa mC di questo corpo è pari alla somma delle masse di A e B:

la massa è una grandezza fisica additiva: mC = mA + mB

nella fisica classica la materia è una quantità che si mantiene costante e si conserva questo non è più vero nella meccanica relativistica e nella meccanica quantistica relativistica

53

Seconda legge della dinamica la validità della seconda legge della dinamica è data da:

prove sperimentali prove indirette (tutte le deduzioni che derivano da questa legge sono

verificate)

la seconda legge è valida anche nel caso in cui la forza non sia costante nel tempo

l'equazione F = ma lega la risultante delle forze agenti alla accelerazione del corpo

massa e forza sono legati tra loro attraverso l'accelerazione

Unità di misura della forza l'unità di misura della forza viene espressa in funzione della massa:

l'unità di misura della forza nel sistema internazionale è stata chiamata newton (N), quindi:

F m a m l t 2 kg m

s2

F Nkg m

s2

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Sistemi non inerziali se passiamo da un sistema di riferimento (inerziale) ad uno in moto accelerato

vario (non inerziale) sappiamo che l'accelerazione osservata sul secondo sistema è

quindi misuriamo una forza

dove i termini

hanno le dimensioni di una forza

a' a aO r' 2 v '

F ' ma' m a maO m r' m2 v 'F m aO m r ' m2 v ' F F app

m aO m r ' m 2 v '

questi termini si indicano con il nome di forze apparenti in quanto all'osservatore non inerziale appaiono come forze ma non sono riconducibili a nessuna origine fisica

compaiono solo grazie al moto del sistema di riferimento

55

l'accelerazione posseduta da un corpo in caduta libera si chiama accelerazione di gravità e viene indicata con il simbolo g

l'accelerazione di gravità vale circa 9.81 m/s2

per il secondo principio di Newton su un corpo di massa m agisce una forza pari a

Forza peso

F = m g

detta forza peso o peso del corpo

56

Forza peso la variazione di g rispetto alla

latitudine è dovuto alla rotazione della terra e al fatto che la misura si riferisce ad un sistema solidale con la terra e quindi non inerziale

la variazione con l'altezza è dovuta alla variazione della distanza del corpo dal centro della terra

57

Misura della massa

si può utilizzare la seconda legge della dinamica per stabilire la scala di misura della massa

supponiamo di avere una forza F che applichiamo alla nostra massa campione m0 e al corpo di massa m

questa relazione vale anche per gli scalari

e quindi

questa è una misura dinamica

l'esperienza dimostra che il valore di m non dipende dal tipo di forza utilizzata

F = m0a0 = m a

F = m0a0 = m a

m = m0

a0

a

58

Misura della massa

la misura dinamica della massa è fattibile, ma è imprecisa

consideriamo la forza peso P: sappiamo che vale la relazione scalare

poiché l'accelerazione dei corpi è la stessa (g) possiamo allora derivare

un apparecchio in grado di confrontare le forze peso confronta anche le masse dei corpi

lo strumento che si utilizza per questo scopo è la bilancia

m =Pg

m1

m2=

P1

P2

59

Misura l'operazione di misura non è altro che il confronto dell'oggetto da misurare

con una grandezza campione assunta come unitaria dobbiamo sapere a quale unità di misura si riferisce il valore che stiamo

trattando una grandezza è specificata da:

un numero (risultato dell'operazione di misura) una unità di misura (indica il tipo di grandezza fisica)

tempo t = 2.3 sspazio l = 12.8 m

il campione deve essere:invariabile

facilmente riproducibile

preciso

riconosciuto universalmente

60

Sistemi di Misura

altri sistemi di misura che utilizzano unità diverse CGS MKS

61

Sistema di Misura c'è una notazione per indicare i multipli e sottomultipli di una unità di misura

Potenza Prefisso Abbreviazioney z

atto a f

pico p nano n micro

m c d

deca da chilo k mega M giga G tera T

P E Z Y

10-24 yocto10-21 zepto10-18

10-15 femto10-12

10-9

10-6

10-3 milli10-2 centi10-1 deci101

103

106

109

1012

1015 peta1018 exa1021 zetta1024 yotta

62

Ordini di grandezzaordine di grandezza di

lunghezze (m)dimensioni dell'universo 1027

distanza della galassia più vicina

1023

raggio della nostra galassia 1019

un anno luce 1016

sistema solare 1014

distanza dal sole 1011

raggio della terra 106

spessore di un foglio di carta 10-4

raggi atomici 10-10

raggi nucleari 10-14

sole

nave

ordine di grandezza di masse (kg)

1030

terra 1024

108

uomo 102

protone 10-27

elettrone 10-30

ordine di grandezza di intervalli di tempo (s)

età della terra 1017

un anno 107

periodo delle onde sonore 10-3

periodo delle onde radio 10-10

periodo delle vibrazioni atomiche

10-15

periodo delle vibrazioni nucleari

10-21