1

Le oscillazioniMoto armonico semplice

Abbiamo già incontrato brevemente il moto armonico semplice in quanto utile per discutere la misura della massa di un corpo. Riassumiamo brevemente:

m

0 xMolla ideale: xF (positivo o negativo)

Visto che )()()( inerziaFmollaF (3. Legge di Newton)

amx 0 xmx

Soluzione generale: )cos()( tAtx m con (*)

Misurando e , si può determinare m

xcosx )(sin(*) ricordiamoci: xx sin)cos( bbaba )()(

2

0 xmx

)cos()( tAtx con

22

T

periodo T

frequenza

pulsazione o frequenza angolare

ampiezza A

fase t+

costante o angolo di fase

1

T

<- Massimo valore del spostamento

x(t) può essere un spostamento, una differenza di potenziale, una pressione …

3

4

Qualsiasi movimento che si ripete a intervalli regolari è definito moto periodico o moto armonico.

Non solo

Ma anche:

Basta però studiare sen (o cos):

Qualsiasi altra funzione può essere creata da una sovrapposizione di sen con diversi A, ,

5

Velocità nel moto armonico semplice

)(cos)( tAtxcon

)sin()cos()(

)( tAtAdt

d

dt

tdxtv

)cos()sin()( 2 tAtAdt

d

dt

dvta

)()( 2 txta

Nel moto armonico semplice l’accelerazione e’ proporzionale allo spostamento ma di segno opposto, e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione

6

m

0 x

Nel caso particolare di:

Abbiamo trovato che

m

0 xmx

Descrive I parametri rilevanti del sistema, e m

Ma e’ vero in generale, che per un qualsiasi sistema che segue

Il parametro risultante descrive le proprietà del sistema

7

L’energia potenziale del sistema e’

m

0 x

221 xdxxdxxdxFxdFEpot

L’energia cinetica

tAmvmEkin22

212

21 sin

)sin()( tAtvcon

m

)()( tcosAtx

)(2221 tcosA

con

tA 2221 sin

ttAEEE potkintot222

21 cossin

221 A perchè 1cossin 22

8

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.

Quali sono la pulsazione, la frequenza e il periodo dell’oscillazione risultante?

xF

amx 0 xmx

)cos()( tAtx m con

sradsradkg

mN/8.9/78.9

68.0

/65

HzHzrad

srad6.156.1

2

/78.9

2

sHz

T 64.056.1

11

9

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.

Qual e’ l’ampiezza dell’oscillazione?

)cos()( tAtx cmA 11

Qual e la massima velocita’ del blocco oscillante, e dove si trova quando cio’ si verifica?

)sin()cos()(

)( tAtAdt

d

dt

tdxtv

s

mm

s

radAv 1.111.078.9max

La massima velocita’ istantanea si ha quando il blocco passa attraverso l’origine, x=0

10

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.

Qual e’ l’ampiezza massima dell’accelerazione del blocco?

)cos()sin()( 2 tAtAdt

d

dt

dvta

2

22 1111.078.9

s

mm

s

radAamass

:)()( 2 txta La massima accelerazione si ha quando il blocco si trova nei punti estremi del suo percorso

11

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.

Qual e’ la costante di phase del moto?

)cos()( tAtx

Ax )0( 10cos rad0

o qualsiasi angolo multiplo di 2

=> Funzione spostamento:

tts

radmtAtx 8.9cos11.008.9cos11.0)cos()(

Con x espresso in metri e t in secondi

12

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.

Qual e’ la energia meccanica?

Per t=0:

JJ

mm

NxkvmEEE potcintot

39.0393.0

11.0650)0( 2

212

212

21

221 xkdxxkdxxkdxF

Quali sono l’energia potenziale e l’energia cinetica dell’oscilaltore quando la particella e’ a meta’ strada verso il massimo spostamento, ossia per ?Ax 2

1

JEAkAkxkE totpot 098.0412

21

412

21

212

21

JEE totcin 30.043

13

Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2.

Qual e’ la pulsazione?

cos)0(

sin)0(

cos)0(

2

Aa

Av

Ax (I)

(II)

(III)

Tre equazioni, tre incognite

2

)0(

)0( x

a(III)/(I) => srad

m

sm

x

a/5.23

0850.0

/0.47

)0(

)0( 2

14

Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2.

Quali sono la costante di fase e l’ampiezza A?

(II)/(I) =>

tancos

sin

)0(

)0(

A

A

x

v

461.00850.05.23

/920.0

)0(

)0(tan

m

sm

x

v

srad

mmx

A 094.025cos

0850.0

cos

)0(

25

0

0

Anche =1550 e’ una soluzione, con A=0.094 m

A deve essere una costante positiva => soluzione = -250 da scartare

15

Un oscillatore armonico semplice angolare

Pendolo di torsione

Momento torcente di richiamo, che tende a contrastare la rotazione

Costante di torsione

m In questo caso, invece di

si trova I I = momento d’inerzia del disco oscillante

221 potE

Ci riccordiamo, per una molla: xF

16

Come appare nella figura, un’asticella sottile omogenea, di lunghezza L=12.4 cm e massa m=135g, e’ sospesa al centro da un lungo filo. Se e’ misurato il suo periodo Ta di oscillazione angolare, che e’ risultato di 2.53 s. Un oggetto di forma irregolare, che chiameremo X, e’ stato poi appeso allo stesso filo, come nella figura, e si e’ trovato che il suo periodo Tb e’ 4.76 s.

Qual e’ il momento di inerzia dell’ oggetto X rispetto al suo asse di rotazione?

Abbiamo gia calcolato:

17

18

La asticella “e composta” di due sbarre

Chiamiamo : sbarra di massa m’, lunghezza L’

asticella di massa m, lunghezza L

Con m=2m’, L=2L’

22

2

12

1

223

12

3

12)(2)( Lm

LmLmsbarraIasticellaI

242 1073.1124.0135.012

1mkgmkg

I

2

T

a

a

IT 2

b

b

IT 2

242

224

2

2

1012.653.2

76.41073.1 mkg

s

smkg

T

TII

a

bab

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Con un pendolo di torsione si possono misurare anche angoli molto piccoli

raggio di luce specchio

Si trova:

Lo specchio di torsione non si ferma mai, continuamente fa piccoli oscillazioni irregolari.

Misura: lo specchio ha in media un’energia cinetica di Tk 21

T = temperatura (assoluta)

k = costante di Boltzmann

20

Boltzmann ha dimostrato che non solo lo specchio di torsione, ma qualsiasi sistema ha sempre energia cinetica pari a 1/2kT (= movimento termico) per ciascun grado di libertà.

Questo vale anche per gli atomi.

Nonché per interruttori o altri sistemi che possono assumere due minimi energetici

E perciò immagazzinare informazione.

Szillard (1927): per immagazzinare un bit di informazione occorre dissipare una energia pari a 1/2kT

Landauer: non è vero. Si deve dissipare energia pari a 1/2kT per cancellare un bit di informazione.

Bennett:: si deve dissipare energia solo se si prende informazione dall’esterno del sistema, altrimenti è possibile copiare e calcolare senza dissipare (reversible computing)

E 1/2kT

21

H.S.Leff, A.F.Rex

Maxwell’s Demon: Entropy, Information, Computing

Princeton University Press

22

Moto armonico semplice e moto circolare uniforme

Il moto armonico semplice e’ la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge

)cos()( tAtx

)()()(

)( tsenAtcosAdt

d

dt

tdxtv

)()()( 2 tcosAtsenAdt

d

dt

dvta

23

Onde

)cos()( tAtx

Se “la variabile” (spostamento, pressione, potenziale...) cambia solo con il tempo: oscillazione –

nel caso piu semplice: modo armonico semplice

Se “la variabile” cambia anche in funzione dell’spazio: onda

)sin()( tAtxo

24

In generale, una onda non avrà forma sinusoidale:

Forma generica di una onda: txkhtxy ),(

h: funzione qualsiasi

25

26

Lunghezza d’onda e numero d’onde

xkyxy m sin)0,(

Per definizione y deve essere uguale per x=x1 e x=x1+

kxkyxkyxkyy mmm 111 sinsinsin

2k o

2

k numero d’onda angolare

unità1mrad

numero d’onda: 1

2

k

27

Periodo, pulsazione e frequenza

tytyty mm sinsin),0(Si puo fare il discorso analogo per

T

2 Pulsazione o frequenza

angolare

unita’: radiante al secondo

2

1

Tfrequenza

28

Velocita’ di un’onda in moto

t

x

txk costante

0 txkdt

d

0 dt

dxk

dt

dx

vTk

velocita’ dell’onda

txkytxy m sin),(

Onda che si muove nel verso in cui x aumenta

txkytxy m sin),( Onda che si muove nel verso delle x decrescenti

k

v

v

v

29

x

y

Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo

Piccolo elemento di filo

x

yT

T

Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo

TLa tensione del filo

crea una forza

su ogni elemento del filo

30

La tensione del filo crea una forza effetiva su un elemento di filo, se c’e una curvatura:

curvatura= differenza relativa fra due pendenze

x

y TT

dxdx

ydTT

2

2La massa di questo elemento e’ dx

2

2

2

2

dt

yddxadxdx

dx

ydT

adx

dy

bdx

dy

dx

dy

dxdx

dy

dx

d

dx

dy

Newtoncurvatura

31

2

2

2

2

dt

yddxadxdx

dx

ydT

2

2

2

2

dt

yd

Tdx

yd

2

1v

32

txkytxy m sin),(

txkkytxydx

dm sin),( 2

2

2

txkytxydt

dm sin),( 2

2

2

vTk

(A)

(B)

A/B = 2

2

k

2

2

22

2

.

1

dt

yd

dx

yd=> e’ vero che

v

v

33

Il principio di sovrapposizione per le onde

Onde sovrapposte si sommano algebricamente a formare un’onda risultante:

),(),(),( 213 txytxytxy

34

=> Interferenza di onde

txkytxy m sin),(1 txkytxy m sin),(2

sia

txktxkytxytxytxy m sinsin),(),(),( 21

Si puo’ dimostrare: 21

21 cossin2sinsin

21

21 sincos2),( txkytxy m

Quando due onde sinusoidali aventi stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono concordemente nella stessa direzione lungo una corda tesa, esse interferiscono a formare un’onda risultante sinusoidale che si propaga sempre nella medesima direzione

con 21cos2 mm yy

35

36

Onde stationarie

txkytxy m sin),(2

txkytxy m sin),(1

txkytxkytxy mm sinsin),(

txkytxy m cossin2),(

21

21 cossin2sinsinSempre con

Se due onde sinusoidali de stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono in versi opposti lungo una corda tesa, la loro interferenza genera un’onda stazionaria

37

38

L’ ultimo numero

iIl numero immaginario

39

12 i

Numeri complessi: yixz x,y numeri reali

2cos

ii ee

i

ee ii

2sin

40

Asse reale

Asse immaginaria

z

x

y

41

1) Qualsiasi funzione puo’ essere costruita mediante una somma di

txkytxy m sin),(

2) “i” e’ l’ ultimo numero, nel senso che non esiste niente, che non possa essere rappresentato da i

Se non sappiamo come descrivere un fenomeno, usiamo “i”.