1 La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l altro è la divisione di un...

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“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo.

Keplero

Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa.”

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DE DIVINA PROPORTIONELa geometria nell’antica Grecia era

strettamente legata all’architettura e tutte le

conoscenze geometriche venivano utilizzate per

edificare costruzioni all’avanguardia. Grande

importanza veniva data dai Greci all’armonia nelle

proporzioni delle figure geometriche e, di

conseguenza, tra elementi architettonici. Sembra impossibile esprimere l’armonia con una

quantità matematica eppure la proporzione perfetta

dal punto di vista estetico esiste ed è quella utilizzata

dalla natura per costruire innumerevoli suoi

componenti. Piante, conchiglie, persino le falangi degli

esseri umani, seguono in qualche modo i rapporti di

questa proporzione, che per la sua intrinseca

perfezione viene definita sezione aurea……

Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08

3

SEZIONE AUREA

Agostino Biondo

Andrea Palmieri

Riccardo Casini

Maurizio Mostacci

Daniele Pellegrini

Edoardo Antonini

Federico Zei

II C


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CBA

LA SEZIONE AUREALa sezione Aurea di un segmento è la sua

porzione (AB), media proporzionale tra il segmento stesso (AC) e la parte del segmento rimanente (BC)

Assegnando, dunque, alla porzione di segmento in sezione aurea (AB) il valore “x”, e alla porzione rimanente (BC) il valore 1, traduciamo l’enunciato appena formulato in proporzione algebrica. Chiaramente il segmento intero (AC), sarà dato dalla somma tra x e 1 1 : x = x : (x + 1)

AC : AB = AB : BC


5

+--(:.:x 1. xx20x21 =

4

5__________+ 1_____+√

x )

DERIVAZIONE MATEMATICA

1. Partiamo dalla proporzione appena ottenuta

2. Data la proprietà delle proporzioni per cui il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi …

3. … riduciamo l’equazione così ottenuta in forma normale

4. Risolviamo, quindi, l’equazione di secondo grado con la nota formula, prendendo in considerazione il valore ottenuto dall’addizione della radice di 5 e non quello ottenuto dalla sottrazione poiché la “x”, che è la lunghezza di un segmento, può avere solamente valori positivi

x= 12

≈1,618033…

5. Il numero ottenuto è irrazionale, ne ricaviamo un’approssimazione.

Il numero 1,618033.. è il numero che esprime il rapporto aureo e si indica con φ


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E

COSTRUZIONE GEOMETRICA

A B

C

D

M

1. Tracciamo il segmento AB.

2. Innalziamo da B la perpendicolare al segmento AB

3. Individuiamo il punto medio M e centrando il compasso in B tracciamo l’arco di raggio BM individuando sulla perpendicolare il punto C.4. Congiungiamo A con C

5. Centriamo in C con apertura di compasso CB e tracciamo un arco che interseca il segmento AC nel punto D6. Centriamo in A con apertura di compasso AD e descriviamo un arco che interseca il segmento AB nel punto E7. Il segmento AE è la sezione aurea di AB


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1

I NUMERI DI FIBONACCILeonardo da Pisa, detto anche “Leo” Fibonacci è stato uno dei più grandi matematici italiani.

0+1 = +1 =

+1 =+2 =

+3 = +5

= +8 = +13

=

2

35

813

2134

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Tra le altre cose, inventò una successione di numeri, ognuno dei quali si ottiene dalla somma dei due precedenti, scegliendo di partire da 0 e 1. La successione dei primi numeri di Fibonacci, quindi, sarà:


8

1,6

___

___

___

___

___

___

__

__

__

1/1

55

34

21

13

8

5

3

211

LA SEZIONE AUREA E FIBONACCI

Abbiamo appena definito la sequenza dei numeri di Fibonacci.

Proviamo a trovare il rapporto fra ciascun numero ottenuto e quello che lo precede nella sequenza (escludiamo la prima coppia perché non ha senso dividere per 0).

= 1

1= 2

2= 1,

5

3= 1,66

..

5= 1,6

8= 1,625

13= 1,6153..

21= 1,6190..

34= 1,6176..

Riportiamo su un grafico cartesiano i valori decimali dei rapporti così ottenuti in corrispondenza delle coppie utilizzate

Il grafico mostra come i rapporti così ottenuti tendano al numero aureo ottenuto in precedenza (φ≈1,618033…), senza però mai raggiungerlo…

2

1

1,5

1,7

2/1

3/2 5/3 8/5

13/8

21/13

34/21

55/34

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55


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L I

A B

C

D

E

G

H

PENTAGRAMMA

1 Dato il pentagono regolare ABCDE tracciamo le sue diagonali. Queste si intersecano nei punti FGHIL. La figura così ottenuta prende il nome di pentagramma.2 Analizzando i rapporti all’ interno del pentagramma, ritroviamo che tutti e cinque i lati del pentagono esterno sono in sezione aurea rispetto alle diagonali.

3 Un esempio può essere il lato ED che possiede una proporzionalità aurea rispetto alla diagonale AD.

4 Inoltre si può notare che pure EI è in proporzionalità aurea rispetto a EC

F


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COSTRUZIONE DELLA SPIRALE DI FIBONACCI

Iniziamo a costruire i quadrati aventi il lato corrispondente ai numeri di Fibonacci

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2

3

5

8

13

Partendo dai quadrati più piccoli tracciamo archi di circonferenza di raggio pari al lato di ciascun quadrato e con una estremità in

comune con l’arco precedente


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La spirale che abbiamo appena ottenuto è presente in natura, nelle esatte proporzioni descritte, in vari elementi, ad esempio nel cavolo o nella conchiglia del Nautilus.

LA “SPIRALE DI FIBONACCI”

Aggiungiamo che la figura ottenuta nella diapositiva precedente risulta essere un

rettangolo aureo, concetto che sarà definito successivamente.


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LE PIRAMIDI E LA SEZIONE AUREA

Ciascuna faccia delle piramidi può essere scomposta in due triangoli rettangoli.

Le grandi piramidi di Giza, costruite rispettivamente da Chéope, Chéfren e Micerino, vennero edificate tra il 2500 e il 2400 a.C. e sono tuttora fonte di meraviglia ed emblema dell’Egitto.

Questi triangoli hanno la peculiarità che la somma tra cateto maggiore e cateto minore è uguale ad un segmento la cui sezione aurea è il cateto maggiore!

Gli altri triangoli raffigurati (

triangolo verde

e triangolo celeste ) completano

triangolo giallo,

(triangolo rosso).

il quadro della presenza della proporzione aurea secondo le misure riportate a fianco delle immagini.


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3. Innalziamo da E la perpendicolare ad AE incrociando il prolungamento di DC nel punto F

RETTANGOLO AUREO

1. Costruiamo il quadrato generico ABCD2. Individuiamo il punto medio del lato AB in M e, puntando in M con apertura MC, tracciamo un arco fino a incrociare il prolungamento di AB nel punto E

Il rettangolo aureo non è altro che un rettangolo le cui dimensioni sono l’una in sezione aurea rispetto all’altra. Secondo i Greci era il rettangolo perfetto. Vediamo come costruirlo.

A B

CD

E

F

M

4. Il rettangolo AEFD, rispetta le proporzioni della sezione aurea. È infatti verificabile che AB è la sezione aurea di AE


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Nel Partenone, luogo sacro dedicato alla dea Athena Parthenos, costruzione dominante dell’Acropoli, si realizza l’ideale greco di misura equilibrata e trova definitiva formulazione il rapporto tra le parti, caratteristico del periodo classico. Il tempio è un periptero (a colonnato continuo) in stile dorico con 8 colonne lungo i lati brevi e 17 lungo i lati lunghi, secondo il principio classico per il quale sul lato lungo il numero delle colonne laterali è il doppio più una di quelle del fronte.

LA SEZIONE AUREA NEL PARTENONE

L’ architetto Iktinos al fine di conservare la divina proporctione ha applicato la sezione aurea nel Partenone. Infatti il lato minore del rettangolo costruito intorno al tempio è in sezione aurea rispetto al suo lato di base. Questo si può comprendere con maggiore certezza sovrapponendo un rettangolo aureo al Partenone stesso.

Per Le Corbusier il vero autore del Partenone è Fidia: solo uno scultore può plasmare una “macchina per creare emozioni”, come egli definisce il tempio, dove l’architettura diventa “Il gioco sapiente, rigoroso e magnifico dei volumi nella luce”


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Nel celebre disegno delle proporzioni umane di Leonardo, l’altezza dell’uomo determina il lato del quadrato in cui è inscritta la figura. Le diagonali si incrociano all’altezza dei genitali. I due segmenti che uniscono il punto medio della base con i due vertici in alto incrociano l’asse orizzontale del quadrato in due punti. Se da questi punti si tracciano le perpendicolari al lato superiore del quadrato, si delimita il quadrato piccolo interno. I lati verticali di questo quadrato formano con i segmenti obliqui due triangoli rettangoli.

L’UOMO VITRUVIANO E LA SEZIONE AUREA

Le sezioni auree di questi lati (in verde) individuano l’altezza delle braccia dell’uomo immobile. Tracciando l’asse verticale del quadrato maggiore si individua un triangolo di cui l’asse stesso è il cateto maggiore. Costruendo la sezione aurea di questo segmento (in rosso) si individua il centro della circonferenza che circoscrive l’uomo in movimento. Il punto di intersezione tra questa circonferenza e il lato superiore del quadrato individua l’altezza delle braccia.


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LA SEZIONEAUREA

Ci sono, oltre a quelli appena presentati, innumerevoli altri esempi di sezione aurea, in tutti i campi...


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Pignatti, Gemin, Pedrocco“L’Arte nel Mondo”

Ed. Atlas

Pinotti, Taddei, Zanon“Tecniche Grafiche”

Ed. Atlas

Piero Adorno“L’Arte italiana”Ed. G. D’Anna

Per ulteriori approfondimenti

sulla sezione aurea consultare

il sitoLa Colonna Sonora di

“La Sezione Aurea”

è di Claude Debussy

“La Cathédrale Engloutie”

Interpretata dal pianista

Arturo Benedetti Michelangeli

Il materiale utilizzato è stato ricavato da ricerche in rete e dai manuali specifici

Emilio Morasso

“Percorsi matematici”

Ed.Electa/Bruno Mondadori

LA SEZIONE AUREA

Progetto di potenziamento

per la classe IIC

del Liceo Antonio Labriola

durante l’anno scolastico 2007/2008

Si ringraziamo i Docenti,

Professoressa Alba di Iorio

e

Marco Litterio

Per lo spunto e per la collaborazione

www.sectioaurea.com

FINE

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