1

Il decadimento del neutroneLe caratteristiche del neutrone riportate dal Particle Data Group (PDG)

isospin

Vita media: 885.7 0.8 s (media di tutte le misure)

eepn

2

La presenza del neutrino è cruciale per spiegare la forma dello spettro di energia elettronico:

Se non fosse presente gli elettroni sarebbero monoenergetici – stato finale a 2 corpi!)

Neutrino o “piccolo neutro” postulato da Pauli nel 1931 (q = 0, m = 0, S = 1/2)

Associato solo all’interazione debole – molto difficile da rivelare

Rivelato per la prima volta da Reines e Cowan, 1959 (premio Nobel 1995)

energia (keV)

cont

eggi

3

Altri processi collegati:

decadimento + in un nucleo, se energeticamente possibile ad es. 25Al 25Mg

enp

nep

enp

e

e

e

Cattura elettronica

Cattura di un antineutrino. Usato da Reines & Cowan per rivelare l’antineutrino

... e molti altri ...

Nota: l’elettrone e l’antineutrino appaiono assieme; il positrone e il neutrino appaiono assieme ...

Questo suggerisce una nuova quantità conservata detta numero leptonico Le:

enp

nep

Le

Le

e

e

e

e

e

e

1 1

Legge di conservazione empirica: Le = costante - e e anti e sono distinti !

4

Se la parità è conservata ci aspettiamo un ugual numero di elettroni paralleli e antiparalleli a B

Esaminiamo la distribuzione angolare di una particella di decadimento (ad esempio quella rossa). Se questa è simmetrica (sopra/sotto il piano intermedio) allora

riflesso sotto paritàOriginario

T.D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev. 104, 254 (1956).

http://publish.aps.org/ puzzle

0Jp

In questo caso la parità è quindi conservata

5

Se

0Jp

allora l’hamiltoniana del sistema deve dipendere da e la parità non è conservata nel decadimento

Jp

In un famoso esperimento, C.S. Wu dietro suggerimento di Lee e Yang (1956, premio Nobel 1957) dimostrò che l’interazione debole viola la parità in

ee NiCo 6028

6027

Osservazione chiave: i nuclei di cobalto vengono posti in un campo magnetico a bassa temperatura gli spin si allineano col campo magnetico.

Gli elettroni sono emessi preferenzialmente in direzione opposta allo spin nucleare ...

6

Due raggi “famosi”, 1173 e 1332 keV (radiazione della terapia al cobalto!)

Il 60Co può essere polarizzato nel campo magnetico grazie al suo elevato spin

La distribuzione angolare dei raggi rivela la polarizzazione del nucleo genitore 60Co

7

+ +

60CoJ=5

60Ni*J=4

60Ni*J=4Jz=1 Jz=1

pv

pvpe-

pe-

SINO

Il rate di conteggio dipende da <J>pe, che è – rispetto a una trasformazione di parità

Campo B

8

Consideriamo prodotti scalari come o . Anche queste quantità si trasformano in modo diverso sotto parità

Lo spin è un momento angolare. Sia P che S sono vettori, ma sotto parità hanno proprietà di trasformazione diverse:

X, P cambiano segno (vettori polari)

S non cambia segno (pseudo-vettore o vettore assiale)

PSPSPS

XPXPXP

scalare

pseudo-scalare

Se l’hamiltoniana del sistema contiene termini pseudo-scalari allora non commuta più con : il sistema non è più invariante sotto parità

22)()( rr

XP

PS

en pS

L’hamiltoniana deve quindi contenere un termine del tipo

9

Ancora sull’asimmetria destra-sinistra

Per una particella di spin s e momento p, definiamo l’elicità h

c

vh

c

vI cos1)(

s

s

p

p

11

hsp

psh

elettroni positroni

c

vh

c

vI cos1)(

dove è l’angolo fra il momento della particella e lo spin - v è la velocità

Quindi gli elettroni sono principalmente sinistrorsi (LH – left handed) mentre i positroni sono principalmente destrorsi (RH – right handed)

L’esperimento di Wu et al. Ha mostrato che

gli elettroni sono sinistrorsi (LH – left handed).

In generale lo spin non è completamente allineato – diverse misure hanno evidenziato la distribuzione angolare

10

I leptoni sono sinistrorsi Gli anti-leptoni sono destrorsi elettroni, neutrini positroni, antineutrini

cioè la polarizzazione dei neutrini è P = - 1 o + 1.

Sinistrorsi o destrorsi?

Dall’ipotesi di Pauli lo spin del neutrino è 1/2. Ma qual’è la sua polarizzazione? Una misura diretta (Goldhaber et al. - 1958) concluse che:

- i neutrini che accompagnano i positroni sono sinistrorsi

- gli antineutrini che accompagnano gli elettroni sono destrorsi

Possiamo definire la polarizzazione “longitudinale”

Per neutrini senza massa (o con massa molto piccola) v c, per cui ci aspettiamo

per 1

per 1

v

)()0(

)()0(

e

e

cII

IIP

cos1)( o cos1)( II

11

Lo spettro di energia elettronicoEsaminiamo lo spettro di energia dell’elettrone. Abbiamo

prima dopo

TTmTmm eeppn

La conservazione dell’energia e del momento porta a

0

ppp ep

conservazione energia

conservazione momento

Definiamo il valore Q (deve essere Q > 0 affinchè la reazione possa aver luogo)

epnep mmmTTTQ

Dal PDG Q = 0.78233 0.00006 MeV ( 60 eV !)

12

Spettro di energia misurato dall’esperimento “PERKEO” al reattore ILL, Francia Fit allo spettro atteso includendo il

modello del rivelatore

La presenza del neutrino influisce su questa forma in modo drammatico – altrimenti sarebbe un picco monocromatico al valore determinato dalla conservazione dell’energia/momento

Nel punto terminale abbiamo la massima energia cinetica:

)0( max, TQTe

Poichè me << mp, Tp = p2 / 2m è piccola (circa 0.3 keV). Quindi Q Te + T.

La risoluzione sperimentale finita introduce un’incertezza nella determinazione esatta di questo punto (e quindi rende difficile una misura precisa della piccolissima massa del neutrino)

Energia (keV)

cont

eggi

13

Il decadimento è un processo di interazioni deboli fondamentale

La vita media è relativamente lunga:2

3* )( 1

rdrV if

grande implica un piccolo rate di transizione , perciò un’interazione “debole” V(r)

Facciamo il confronto col decadimento della risonanza : + p + 0, un processo di interazione forte con = 5.7 x 10-24 sec !!!

Gli studi di precisione del decadimento del neutrone sono importanti per verificare le basi del modello standard delle interazioni fondamentali ...

Il decadimento è mediato dal bosone W (MW 80 GeV)

r

egrV

rM

W

W

)(

range = 1 / MW 2 x 10-18 m << dimensione nucleare

L’interazione è quasi puntiforme. Inoltre, dall’approssimazione di Born, l’ampiezza di transizione va come gW

2 / MW2. L’interazione è debole non tanto perchè gW è piccola,

quanto perchè MW è molto grande ...

14

Consideriamo più in dettaglio l’elemento di matrice

rdrVM iffi

3* )(

Le funzioni d’onda dello stato iniziale e finale sono

funzione d’onda del nucleo “genitore” Pi

e

D

eDf funzione d’onda del nucleo “figlio”

funzione d’onda di e-

funzione d’onda del neutrino

Poichè il range dell’interazione è 2 x 10-3 fm possiamo fare l’approssimazione

P

W

D

e

P

e

D

)()3(fi rrGV

Interazione di “contatto”

15

L’elemento di matrice diventa quindi

rdG

rdrrGM

PeD

PfieDfi

3***

3)3(***

)(

L’interazione è proporzionale all’overlap della funzione d’onda delle particelle dello stato iniziale e finale nello stesso punto dello spazio.

G = costante di accoppiamento dell’interazione debole

Il modello standard può “predire” il valore di G in termini di parametri del modello, mentre nella teoria di Fermi essa deve essere determinata dall’esperimento.

16

Considerazioni sullo spin: elettrone e neutrino

Il momento angolare orbitale è

)1( L

Classicamente, |L| = pb, dove b è il parametro d’impatto e p è il momento della particella

Poichè i leptoni sfuggono dal nucleo, deve essere b < R = raggio nucleare. Poichè nel decadimento E 1 MeV, ricaviamo

cm )1(102)1(MeV 1

fmMeV 200

)1()1(

11

E

c

pb

Poichè deve essere b < R 10-13 cm, vediamo quindi che

0Elettroni e neutrini sono emessi principalmente con L = 0. Emissioni con L non zero sono molto meno probabili transizioni “proibite”

17

Assumiamo L = 0. Ci sono due possibilità di accoppiamento del momento angolare dei due leptoni

1 ,0 SSss tote

Nel caso del decadimento del neutrone la conservazione del momento angolare è

totpn Sss

)2/1()2/1(Sia Stot = 0 che Stot = 1 possono contribuire nel decadimento del neutrone

Punto sottile: poichè i leptoni sono emessi con elicità definita, possiamo dedurre una correlazione fra le loro direzioni di moto nei due casi:

eepn

decadimento di Fermi (Stot = 0)

e- e viaggiano nella stessa direzione

decadimento di Gamow-Teller (Stot = 1)

e- e viaggiano in direzione opposta

18

Decadimento di Fermi Stot = 0

I leptoni viaggiano nella stessa direzione

Lo spin del protone rinculante è nella stessa direzione dello spin del neutrone iniziale

Decadimento di Gamow-Teller Stot = 1

I leptoni viaggiano in direzione opposta

Lo spin del protone rinculante è in direzione opposta a quella dello spin del neutrone iniziale

“spin-flip”

19

Come procedere?

Come prima, assumiamo un’interazione puntiforme, ma ammettiamo che esistano diverse costanti di accoppiamento per i casi di Fermi (F) e di Gamow-Teller (GT).

Caso di Fermi, Stot = 0: (costante di accoppiamento: “GV” perchè il potenziale si trasforma come un vettore spaziale)

Gamow-Teller Stot = 1: (costante di accoppiamento: “GA” perchè il potenziale si trasforma come un vettore assiale, cioè come il momento angolare)

rdGMM PeDVFfi

3***

rdGMM PeDAFfi

3***

Sperimentalmente, le costanti di accoppiamento sono molto simili

25.1V

A

G

G

Sono calcolate confrontando diverse transizioni nucleari, dove la conservazione del momento angolare restringe gli stati di spin leptonico totale che possono contribuire

20

rate di transizione S tot = 0, 1

Per il neutrone abbiamo

poichè ci sono tre modi diversi con cui i leptoni possono essere emessi con Stot = 1 (ms = 1, 0, -1) mentre uno solo con Stot = 0.

Per il momento lavoriamo su un generico elemento di matrice, poichè le espressioni sono uguali a parte le costanti di accoppiamento

2223

2AVffi GGM

rdrrrrGM PeDfi

3*** )()()()(

V

er

V

er

rqirpi

e

//

)( ,)(

Assumiamo che e- e siano debolmente interagenti “particelle libere” nel nucleo. Approssiamo i leptoni con onde piane di definito momento:

eepn

21

elemento di matrice

Abbiamo

dove è il momento di rinculo del protone. Possiamo scrivere )( qppR

Vc

QRrpe

R 1 1

fmMeV200

fmMeV 1 **max

eepn

//)(** 11

)()( rpirqpie

ReV

eV

rr

2

/)(**

2

11

11)()(

rpi

rpi

Ve

Vrr RRrqpi

e

L’integrale di Mfi si estende su regioni spaziali in cui le funzioni d’onda dei nucleoni (n, p) non sono nulle: Rmax 1 fm (nei nuclei usiamo R 1.2 A1/3 fm)

Ma il momento di rinculo pR non è maggiore del valore Q della reazione, MeV ...

Questa è una notevole semplificazione: le funzioni d’onda leptoniche sono costanti sulla regione spaziale che conta nel calcolo dell’elemento di matrice

22

Possiamo quindi riscrivere l’elemento di matrice

Il restante integrale è noto come elemento di matrice nucleare

Quando il decadimento si verifica in un nucleo, non è detto che le funzioni d’onda dello stato iniziale e dello stato finale del protone e del neutrone siano esattamente uguali, per cui in generale

Tuttavia, nel caso del neutrone libero, non ci sono complicati effetti nucleari e l’elemento di matrice è identicamente 1

fPDffi rdV

GM

23*

2

22 22

rdψψM P*D

3nucleare

12

nucleare M

fV

G 2

22

Quando questo si verifica in un nucleo, il rate di decadimento è massimo, e la transizione è classificata come super-permessa

23

Densità di stati finali Il calcolo è simile a quello fatto per lo scattering elettronico, ma ora ci sono due particelle leggere nello stato iniziale.

Vogliamo determinare il numero di stati finali equivalenti nell’intervallo di energia dEf,

I momenti dello stato finale sono quantizzati nel volume V

(il nucleone è molto più pesante delle altre particelle: TR = p2R / 2 mp 0 )

A Ee fissata

ff dE

dn

cqEEEE

Vdqq

Vdppdndndn

eef

e

32

32

)2(4

)2(4

cdqdEeEf cost

Di conseguenza la densità di stati per i quali il momento elettronico è nell’intervallo (p,p+d3p) (senza tener conto del momento del neutrino) è

dpc

qpV

cdq

dndn

dE

dn e

ff 6

2222

)2()4(

24

Arriviamo infine al rate di transizione

neutrone libero: Mnucleare = 1

Questo è in realtà un rate di decadimento parziale d(p), perchè il momento elettronico è specificato esplicitamente rate a cui si verifica il decadimento per un dato momento elettronico che si trova nell’intervallo (p,p+d3p)

predizione dello spettro di momento!

Abbiamo q = (Ef – Ee) / c. Ora

dpqpMc

G 226

22

nucleare2

)2(

)4(2

transizione mista: G2 = GV2 + 3 GA

2

dppcmcpcmQMc

Gpd ee

22

422222

nucleare337

2

2)(

2

22

cmQE

cmETcmETTQ

ef

efeee

Inoltre4222 cmcpE ee

25

Rate di transizione in funzione di Ee. Abbiamo

Ora

0)()0( fee EEdEd

da cui

2

4222

2

22

1

c

dEEpdp

cmEc

p

ee

ee

pdppEEMc

Gpd ef 2 2

nucleare337

2

2)(

eeeeefe dEEcmEEEMc

GEd

2/14222 2

nucleare637

2

2)(

vediamo che

26

Rate in funzione dell’energia cinetica elettronica. Abbiamo

Inoltre

0)()0( QTdTd ee

Quindi, essendo dEe = dTe

eeeeeeee

eee

TcmTcmTcmcmE

TcmE

224222422

2

2

eeeef TQEcmQEE 2

eeeeeeee dTTcmTcmTTQMc

GTd 2

2)( 21/2 222 2

nucleare637

2

vediamo che in questo caso

27

Spettro di momento ed energia cinetica elettronico

22cost)( eTQpdp

dpN

Spettri predetti graficati per Q = 2.5 MeV, non per il dec. del neutrone libero!

Si noti che Te,max = Q

Te (MeV)

N(T

e)

p(MeV/c)

N(p

)

28

Confronto con i dati sperimentali (decadimenti e+ ed e- di 64Cu)

troppi e- di bassa energia

troppo pochi e+ di bassa energia

effetti coulombiani ...

29

Discrepanza: abbiamo trascurato gli effetti coulombiani nello stato finale.

Punto chiave: le distorsioni coulombiane degli spettri di energia si verificano dopo che l’elettrone / positrone sono stati emessi nel processo di decadimento

Densità modificata degli stati di elettrone / positrone

),'( 4)2(

23

pZFdppV

dne

risultato originario

Funzione di Fermi Dipende dalla carica Z’ del nucleo figlio (stato finale) e dal momento di e-/e+

Fattori di correzione approssimati per il decadimento

137

1

4 , ,

'2 ,

1),'(

2

c

e

c

vZx

e

xpZF

x

spettro elettrone / positrone modificato

2

nucleare373

222

2 ),,'()( M

c

GCpZFTQCppN e

30

Test della teoria: grafico di Fermi-Kurie

Idea: per i “decadimenti consentiti” corrispondenti all’approssimazione dentro il nucleo, lo spettro di energia elettronica può essere “linearizzato” se si tiene conto della distorsione coulombiana tramite la funzione di Fermi F(Z’,p)

1/ rpi Re

eTQpZFp

pN ),'(

)(2

Funzione lineare endpoint Q

Moltissimi decadimenti misurati sono consistenti con questo andamento (anche se non tutti ...)

Grafico di Kurie),'(

)(2 pZFp

pN

)keV(eT

eeHeH 33

Q

31

L’effetto della massa del neutrino. Studiamo la zona vicino all’end-point dello spettro di energia

m = 0

m 0

eeHeH 33Effetti maggiore decadimenti con Q piccolo (es. )

dpdNcmcpcmQppN ee / )(2/1

422222

0/ )(2

422222 dpdNcmcpcmQppN ee

32

Dal proposal di “KATRIN” (Karlsruhe Tritium Neutrino expt. – 2001)

Miglior limite superiore diretto: m < 2.5 eV

Dallo studio dei neutrini solari e dei raggi cosmici, esiste una convincente evidenza indiretta che la massa dei neutrino è molto minore di questo valore

33

A parte l’elemento di matrice nucleare, la variazione dei rate di decadimento per diversi nuclei instabili dovrebbe dipendere solo dall’integrale di Fermi, che possiamo calcolare indipendentemente.

Possiamo usare questo fatto per testare la nostra teoria del decadimento debole !

Il nostro formalismo determina d, il rate (s-1) in un particolare stato finale elettronico (o positronico) di momento p

si riferisce ai modi di decadimento

Otteniamo il rate di decadimento totale integrando d su tutti i momenti e consentiti

Test sistematico: il rate di decadimento totale

Integrale di Fermi

dppZFpTQMc

Gpd e ),'(

2)( 22 2

nuclear337

2

),'(cost

),'( 2

)(

2

nuclear

max

0

22 2

nuclear337

2

QZfM

dppZFpTQMc

Gpd

p

e

34

Integrale di Fermi adimensionale:

per convenzione

QEdppZFpTEcm

EZfp

ee

0

max

0

22 0750 ,),'(

1),'(

Nota: Z’ = 0 dà l’integrale dello spazio delle fasi per lo spettro non distorto – cioè senza effetti coulombiani

E0 = Q (MeV)

log 1

0 f(

Z’,E

0)

35

Confronto dei tempi di dimezzamento

Per convenzione si utilizza il tempo di dimezzamento t1/2 = ln2 ( = 1 / ) come

standard di confronto per diversi decadimenti nucleari

),'( 2

2

nucleare337

2

QZfMc

G

Riarrangiando otteniamo

2

2ln),'( 2

nucleare452

37

2/12/1McmG

fttQZfe

Nota: la sola differenza nel valore “ft” fra diversi decadimenti nucleari è il valore dell’elemento di matrice nucleare.

Se |Mnucleare|2 = 1 (caso “super-permesso nei nuclei), i valori ft possono essere usati per determinare la costanti di accoppiamento debole G (GV, GA)

Caso speciale: “decadimenti super-permessi” nei nuclei con stati nucleari iniziale e finale 0+ 0+. Ad es.

e147

148 eO O

Deve avere spin leptonico totale Stot = 0 decadimento di Fermi puro ...

36

Decadimenti super-permessi 0+ 0+: “world best data” per i nuclei leggeri

Tutti hanno lo stesso valore ft 3100 s

Determina la costante di accoppiamento debole per i decadimenti di Fermi

/GeVc)(100.0004)(1.1496 25-5V G

(e GA / GV = -1.25 – di più in seguito ...)

37

Capiamo i decadimenti in generale?

Prima pagina del Krane, appendice C: ( stà per cattura elettronica/decadimento +)

27 isotopi: 8 decadimenti -, 6 decadimenti + i cui rate coprono 16 ordini di grandezza!

38

Alcune anomalie ...

1. In base alla nostra teoria, il decadimento molto lento (1.6 x 106 anni)

ee )3(B )0(Be 105

104

non si dovrebbe verificare proprio perchè viola la conservazione del momento angolare

)1 oppure 0(30

2. Un altro esempio (16.1 ore)

ee )0(Se )1(Br 7634

7635

Questo non si dovrebbe verificare perchè le funzioni d’onda nell’elemento di matrice nucleare hanno parità opposta, per cui l’integranda è dispari e l’integrale dovrebbe annullarsi

??? 0)()( 3nucleare rdrψrψM P

*D

39

Questi sono esempi di decadimenti proibiti – essi non possono procedere nell’approssimazione fatta in quanto

Esiste qualche altro modo che faccia si che si verifichino? Riconsideriamo la funzione d’onda di e- e e come espansione di multipolo

VrrrdrψrrrψM ePe

*Dfi

1)()( se 0)()()()( **3**

0

/** )(cos)/()12()()(

PrpjierrV Rrpi

eR

Funzioni di Bessel sferiche

Al crescere di L diventano più importanti per per grande momento di rinculo

questo cambierà la dipendenza dal momento della nostra predizione

Polinomi di Legendre

Questi introducono una nuova dipendenza angolare nell’integranda di Mfi

equivalente a momento angolare L

40

L’accoppiamento del momento angolare per il multipolo di ordine L assieme a S e al momento angolare nucleare fa si che reazioni precedentemente impossibili possano aver luogo

Il termine di multipolo ha parità (-1)L, che permette all’operatore di decadimento di connettere stati di parità nucleare opposta

La dipendenza dal momento dell’elemento di matrice varia come (PRr / h)L ...

Poichè questo è piccolo, il multipolo di ordine L più basso che soddisfa le leggi di conservazione dominerà la transizione

2

22

)01.0(raterP

M R

La dipendenza dal momento influisce anche sulla forma dello spettro; i plot di Curie non sono più lineari a meno di introdurre opportuni fattori di forma ...

L=0 permessoL=1 primo proibitoL=2 secondo proibitoL=3 terzo proibito ...

terminologia:

drammaticamente minore per L grande

41

Classificazione generale: tutti i decadimenti noti

Lfi

fi LSJJ

)1(

S = 0 (Fermi) o S = 1 (Gamow-Teller)

Il valore più piccolo di L consistente con le leggi di conservazione dominerà la transizione

leggi di conservazione

42

Esempio: decadimento + di 18Ne

1 ,1 )1)(()( 00 SLLS L

Transizione 1: 0+ 0- Questo è un decadimento GT primo proibito, col rate parziale più lento

Branching ratio: frazione di decadimenti che vanno in un particolare stato finale. In questo caso total = 1 / = 0.667 s-1; = 1 + 2 + 3 , i = BR(i) total

Transizione 2: 0+ 0+ Questo è un decadimento di Fermi permesso

0 ,0 )1)(()( 00 SLLS L

Transizione 3: 0+ 1+ Questo è un decadimento GT permesso

1 ,0 )1)(()( 10 SLLS L

43

Tipi di interazione debole

ee

W-

2q 1q

W- W

leptonica semi-leptonica non-leptonica . interazioni di corrente carica

1q 2q

4q3q

decadimenti non leptonici di adroni strani

u

u d

d

s

d

u

u

W-

n

0udu

u d

d

s

W-

p

-u

44

42

20

422

21cMcMQ

MW

Q

Wfi

ggg

interazione a corto range

fmfmGeVMeV

cMc

W

32 105.2

80197

42

3

2

)(e2

:cM

cG

WF

2g

W-

e e

g

g

Il bosone W si accoppia alla carica debole g. Elemento di matrice di transizione

Interazione puntiforme (ipotesi di Fermi) GF (costante di Fermi). Definizione conveniente

GF può essere determinata dalla vita media del decadimento

452

73192

cmGF

Il decadimento del muone dà una costante di accoppiamento debole che è circa il 2.5% più grande che nei decadimenti nucleari

45

La rivelazione degli antineutriniReines & Cowan usarono la “cattura di antineutrini” per rivelare l’antineutrino

L’esperimento ha fruttato il premio Nobel:

http://www.nobel.se/physics/laureates/1995/illpres/neutrino.html

enpe

Physical Review 117, p. 159, 1960

46

enpe

intenso fascio prodotto in un reattore nucleare

protoni in una grande vasca d’acqua

Un esperimento a rate molto basso: > 1013 antineutrini incidenti / sec ma solo 3 eventi/ora! 5 mesi di presa dati !

Acquisizione dati non computerizzata! Per ciascun evento un sistema fotografico azionato automaticamente scattava una fotografia delle tracce di un oscilloscopio analogico!

La rivelazione con una “coincidenza ritardata” sia del neutrone che del positrone sopprimevano il fondo

Misure ausiliarie per determinare le efficienze di rivelazione, ecc.

Sezione d’urto assoluta misurata: 1 x 10-43 cm2 (10-19 b), in accordo con la teoria!

rallentamento tramite scattering in acqua; rivelati attraverso la cattura in un sale dissolto di cadmio

rivelato tramite i raggi dell’annichilazione con e-

47

antineutrino proveniente da un reattore

rivelatore a scintillatore liquido

rivelatore a scintillatore liquido

H2O + CdCl2

(bersaglio)annichilazione

raggi dell’annichilazione

protone bersaglio

cattura n in cadmio dopo la moderazione

raggi della cattura nel cadmio

i neutroni devono rallentare

annichilazione di e+ istantanea keV) (511 2 ee

enpe

Schema dell’esperimento:

48

Altezza verticale 2m; circondato da uno schermo di Pb per ridurre il fondo ...

enpe

49

Dati raw: fotografie all’oscilloscopio !

Luce di scintillazione proveniente dall’annichilazione e+ prima, dalla cattura neutronica successivamente (3 – 10 s)

50

Dati: rate di eventi coincidenti in funzione del ritardo in tempo

reattore acceso 383.5 hr

reattore spento 128 hr

la distribuzione indica il tempo di rallentamento dei neutroni in acqua - la sezione d’urto 1/v di cattura in Cd è grande a bassa energia!

ritardo temporale (s)

con

teg

gi /

0.5

s

Reines e Cowan accanto a uno dei loro rivelatori di neutrini. L’esperimento fu scherzosamente chiamato “Progetto Poltergeist” in quanto il neutrino era considerato elusivo come un fantasma ...

Prima dimostrazione diretta dell’esistenza degli antineutrini !

2437.04.0 cm 102.1

51

Più sul numero leptonico:

Esistono in realtà tre “generazioni” di leptoni di cui siamo a conoscenza (in ordine di massa crescente e, , ) e ciascuna ha il proprio neutrino associato con un numero leptonico conservato separatamente ...

Esempio. Il decadimento del muone: sono emessi due neutrini distinti, come dimostra la forma dello spettro

ee

Energia elettronica (MeV)

Co

nte

gg

i

52

La misura della vita media del neutrone

53

Metodo. Il rate di decadimento è

N

dt

dN

Misuriamo il rate contando i protoni di decadimento in un dato intervallo di tempo (dN/dt) e normalizziamo al flusso del fascio di neutroni (N)

Realizzato idealmente con “neutroni freddi”, ad es. provenienti da un reattore e moderati in idrogeno liquido

Alcuni problemi:

1. volume di decadimento preciso? 2. rivelazione dei protoni? 3. normalizzazione del fascio?

54

Distribuzione del fascio di neutroni. Decisamente non monoenergetica:

Neutroni MeV proveniente da un reattore sono “moderati” tramite scattering in un grosso contenitore d’acqua (“termici”) o idrogeno liquido (“freddi”)

Dopo diversi scattering, essi raggiungono l’equilibrio termico col moderatore e sono estratti in una linea di fascio verso l’esperimento

La distribuzione di velocità è maxwelliana: le energie sono nel range del meV (kT = 26 meV @ T = 293 K)

dvevkT

mndvvf kTmv 2/2

2/32

24)(

Energia

f(E

)

55

Rivelazione di neutroni a bassa energia

Diversi nuclei leggeri hanno enormi sezioni d’urto di cattura neutronica a basse energie (ricordiamo che l’area trasversa di un nucleo, ad es. 10B è circa 0.2 barn)

Caratteristica chiave: le sezioni d’urto scalano come 1 / velocità a bassa energia

sezi

one

d’ur

to (

barn

)

Energia dei neutroni

L’energia cinetica dei frammenti ionizzati può essere convertita in un segnale elettrico rivelabile (tipicamente 40 eV 1 coppia elettrone-ione

56

Il rate di decadimento è piccolo e appr. costante; dN<<N

LN

Nconst

dtdN

N

dec

riv

fascio

fascio

)(/

t

N

dt

dNdecfascio

Probabilità di rivelazione dei neutroni nel rivelatore 10B G= fattore geometrico – misurato calibrando il rivelatore v

vGGP 00

Segnale nel rivelatore di neutronit

LNconst

vG

vN

G

NN riv

rivrivfascio )(

00

Vita media

Nriv

decNfascioN

57

Dettagli sperimentali (tutto sotto vuoto presso il reattore ILL, Francia)

rivelatori di particelle per i prodotti di cattura

rivelatore con apertura di precisione

deposito 10B

B = 5 tesla

1 kV elettrodo “mirror”

elettrodo centrale

elettrodo “gate”

rivelatore p

sottile foglio di 10B per catturare i neutroni del fascio

trappola di Penning a lunghezza variabile (16 elettrodi)

i protoni spiraleggiano attorno alle linee di campo quando fatti uscire dalla trappola

Si usa una trappola di Penning per confinare i protoni di decadimento

Si fanno fuoriuscire dalla trappola dopo essere stati accumulati per un tempo T

Si misura il rapporto Nriv / Ndec in funzione della lunghezza L della trappola

la pendenza dà

rivN

decN

fascioNnn

58

Risultato: 893.6 5.3 sec (1990)

valore del PDG: 885 0.8 sec (2003)

rate vs lunghezza della trappola L

59

(una trasformazione (x, y, z) (x, y, -z) è descritta dal prodotto di una rotazione per la trasformazione di parità).

In meccanica quantistica la parità è descritta da un operatore agente sugli stati di uno spazio di Hilbert

ParitàLa trasformazione di parità è definita da

1

Richiediamo che

rrP

Quindi l’operatore posizione e anticommutano.

In coordinate polari sferiche abbiamo

, ,rr

XXXX

60

Applicando l’operatore parità una seconda volta troviamo

Sia |x> un autostato della posizione, X |x> = x |x>. Allora sotto parità

La funzione d’onda di una particella (senza spin) descritta da uno stato |> è

Quindi la funzione d’onda dello stato trasformato sotto parità |> è

xx )(

xx

xxxXxX

1 2

xxx

)( xxx

61

Poichè inoltre (r) = (-r), questo implica che le autofunzioni di hanno la proprietà

Ricerchiamo le autofunzioni e gli autovalori di . Abbiamo

Momento e parità Poichè p = dx / dt ci aspettiamo che

Momento angolare e parità In questo caso essendo

LPXPXPXL

PXL

dispari funzione 1

pari funzione 1 )()(

rr

PP

Quindi la parità e il momento angolare commutano

1

)()()()(

)()(2

rrrr

rr

vettore assiale

vettore polare

62

Non tutte le funzioni d’onda fisicamente importanti hanno una parità definita. Ad esempio, poichè P e non commutano, un autostato del momento non è un autostato della parità. Infatti

/)( xpi

p ex

non è nè pari nè dispari.

Al contrario, poichè L e commutano, un autostato |,L,m> del momento angolare (L2,Lz) è anche un autostato della parità. In coordinate sferiche

mrYrRmrmr m ,,,,),()( ,,,,,,

Sotto parità

immim ee

rr

)1(

-coscos

,

L’espressione esplicita delle funzioni sferiche è

immmm eP

m

mY )(

)!(4

)!)(12()1(),(

63

Abbiamo per m = 0 il caso speciale

A seconda del grado L, il polinomio di Legendre è o pari o dispari

0,,,,)1(0,,,, mrmr

Vediamo quindi che

Introduciamo gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare

)(cos4

12),(0

PY

)()1()( zPzP

1,,,,

,

mmL

iLLL yx

Poichè L communta con , anche L commutano con la parità e quindi

mrmr ,,,,)1(,,,,

64

Supponiamo che l’hamiltoniana H di un sistema e commutino

e che |n> sia un autostato di H non degenere con energia En. Allora |n> è anche un autostato della parità.

Abbiamo

Quindi, poichè [H,] = 0

|n> è un autostato di H con autovalore E. Di conseguenza deve essere

0, H

nEnEnHnH

nn autostato della parità

nEnHnH

Esempio. Consideriamo l’oscillatore armonico, descritto dall’hamiltoniana

222

2

1

2rm

m

pH

65

Sotto parità abbiamo

Quindi H e commutano: la autofunzioni dell’oscillatore armonico hanno parità definita.

D’altra parte

La condizione di non degenerazione è essenziale. Ad esempio, l’hamiltoniana di una particella libera H = P2 / 2m è pari (H commuta con ). Gli stati di energia |p> , |- p> sono degeneri

)()( rHrH

pm

ppH

2

2

)()())((2

1

2

))((

)()(

2 rHrrrmm

pp

rHrH

(hanno lo stesso autovalore di E = p2 / 2m). Essi non sono autostati della parità perchè

pp

66

Se un sistema è invariante sotto parità allora

Quindi le probabilità di trovare una particella ad un angolo o 180 - sono uguali.

o, in coordinate sferiche

Per verificare la conservazione della parità è necessario eseguire un esperimento:

a. in una data configurazione

b. Nella configurazione “riflessa” sotto parità

22)()( rr

Se entrambi gli esperimenti danno gli stessi risultati, la parità è conservata ed è una buona simmetria.

Un processo di decadimento dovrebbe essere lo stesso sia che questo sia riflesso sotto parità che no.

Violazione della parità

22),,(),,( rr

67

Consideriamo il processo

L’elettrone viene catturato dalla shell K per cui il momento angolare totale dello stato iniziale è lo spin dell’elettrone.

eJeJ )1(*Sm)0(Eu 152 152

L’esperimento di Goldhaber

152Eu

152Sm*

152Sm

E1

J=0

J=1

J=0

)0(Sm)1(*Sm 152152 JJ

Il nucleo 152Sm* è in uno stato eccitato (E = 960 keV). Dopo un breve tempo esso decade nello stato fondamentale J = 0+ emettendo un fotone (transizione E1)

3 x 10-14 s)

68

La conservazione del momento angolare per il primo decadimento richiede che lo spin di 152Sm* (J = 1) debba essere opposto a quello del neutrino (S =1/2) in modo che la loro somma dia lo spin dello stato iniziale pari a 1/2 (lo spin dell’elettrone)

neutrino RH

neutrino LH

Per quanto riguarda la reazione di diseccitamento di 152Sm*, lo spin del fotone deve essere parallelo allo spin di 152Sm* poichè nello stato finale 152Sm ha J = 0.

Abbiamo le seguenti possibilità per il caso di un neutrino LH

fotone LH

fotone RH

152Sm*direzione avanti

direzione indietro

velocità

spin

Il fotone in avanti ha la stessa polarizzazione del neutrino. Ma come sapere se è emesso in avanti o indietro?

69

Rivelazione in avanti: Assorbitore fra la sorgente e rivelatore

i fotoni rivelati provengono dallo scatteratore e non direttamente dalla sorgente

Scattering Compton dei in uno strato di ferro in un campo magnetico prima di raggiungere lo scatteratore

Se B polarizza gli e- di Fe nella stessa direzione dei , è maggiore

meno arrivano al rivelatore. Invertendo B i invece aumentano

Il emesso può dar luogo ad assorbimento risonante da parte di un secondo nucleo di Sm “scatteratore”:

Questo è possibile solo per un in avanti perchè ha energia leggermente maggiore dell’energia di eccitazione (quindi permettendo un pò di energia di rinculo del nucleo)

)0(Sm)1(*Sm)0(Sm 152152152 JJJ

scintillatore NaI (Tl)

scatteratore Sm2O3

schermo Fe+Pbfotomoltiplicatore

(RCA 6342)

elettromagnete

sorgente 152Eu

70

Scattering Compton dei in uno strato di ferro in un campo magnetico prima di raggiungere lo scatteratore

B polarizza 2 elettroni di Fe in direzione opposta a B

La sezione d’urto dipende dagli spin del fotone e dell’elettrone

Se B polarizza gli e- di Fe nella stessa direzione dei , la sezione d’urto è maggiore e meno arrivano al rivelatore.

Allora Invertendo B i invece aumentano

Ma come misurare la polarizzazione dei fotoni?

scintillatore NaI (Tl)

scatteratore Sm2O3

schermo Fe+Pbfotomoltiplicatore

(RCA 6342)

elettromagnete

sorgente 152Eu

71

Risultato:

N- = rate di conteggi con B

N+ = rate di conteggi con B

Il segno + corrisponde a elicità negativa: i neutrini sono sinistrorsi e gli antineutrini destrorsi

Queste particelle possono ruotare in una sola direzione !

003.0017.0)(

21

NN

NN