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I modelli dei rendimenti di equilibrio

Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 3

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In questa lezioneRimuoviamo alcune ipotesi restrittive fatte nella

derivazione del CAPM a un periodo;

Usiamo il criterio M-V per derivare la domanda di attività rischiose;

Vediamo come si può usare il CAPM per costruire indicatori di performance;

Confrontiamo i rendimenti di equilibrio derivati dal CAPM con quelli derivati dall’Arbitrage Pricing Theory (APT)

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Estensioni del CAPM - 1Lo Zero-Beta CAPM: nessuna attività sicuraSe non è consentito prendere/dare a prestito al tasso privo di

rischio, si può mostrare che il mix di portafoglio scelto non è più lo stesso per ogni investitore, ma varia in base alle preferenze:

1. investitore raggiunge l’ottimo combinando portafoglio efficiente (M) con corrispondente portafoglio zero-beta (Z, cfr. figura);

2. è zero-beta un portafoglio con attività rischiose in proporzioni xi tali che ERz = xi ERi e vale che:(i) non è correlato col portafoglio rischioso M;(ii) è il portafoglio con varianza minima tra quelli che soddisfano (i).

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Estensioni del CAPM - 23. non vi è un’unica combinazione dei portafogli M e Z,

anche se i rendimenti di equilibrio sono comunque una funzione lineare di ERm ed ERz che soddisfa:

ERi = ERz + (ERm – ERz) βi

è ovvio, per βi=0 → ERi = ERz (portafoglio zero-beta)

Vale ancora il principio della separazione tra le due scelte dell’investitore. Egli:

(i) sceglie il portafoglio efficiente M e quello inefficiente Z (ogni portafoglio sulla linea ERz - Z è inefficiente);

(ii) combina M e Z in base alle sue preferenze.

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Estensioni del CAPM - 3

ó i

ER i

ó m

Z•

•

• M

•

I2

I1

ER z

ER m

M2

M1

Vende a llo scoperto il porta foglio Z e usa il ricava to + il proprio capita le per acquis ta re M e , cos ì, raggiunge M1

Misce la i porta fogli Z e M e , cos ì, raggiunge M2

Non s i può s tare sulla linea (analoga alla LMC) perché non s i può prendere /dare a pres tito: i portafogli M 1 e M 2 sono comunque e fficienti (sono sulla frontiera e fficiente )

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Estensioni del CAPM - 4Diversi tassi creditori e debitoriRiammettendo crediti e debiti, assumiamo che rB > rL (tasso

debitore > tasso creditore = tasso privo di rischio), allora si può mostrare che il mix di portafoglio scelto differisce tra tipi di investitori (cfr. figura):

1. creditore sceglie nel tratto rL – L (L–L’ irraggiungibile);

2. debitore sceglie nel tratto B – C (rB–B irraggiungibile);

3. se né creditore né debitore sceglie nel tratto LMB

Per 3 vale portafoglio zero-beta: ERi = ERz + (ERm – ERz) βi

Per 1 vale ERq = rL

+ (ERm – rL) βqL ove βqL = σqL/σ2L

Per 2 vale ERk = rB

+ (ERm – rB) βkB

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Estensioni del CAPM - 5

ó i

ER i

ó m

•

•

M

•

ER z

r B

L

B

r L

C

L'

creditore

debitore

né creditore né debitore

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Estensioni del CAPM - 6Altre estensioni• Presenza di attività rischiose illiquide (cioè che non

possono essere facilmente vendute sul mercato) → è difficile modificare il CAPM per tenerne conto;

• Presenza di tasse e costi di transazione → il CAPM può esser agevolmente modificato per tenerne conto;

• Aspettative eterogenee su rendimenti attesi, varianze e covarianze (violazione ipotesi di aspettative razionali) → su può modificare il CAPM per tenerne conto solo con ipotesi molto restrittive sulla funzione di utilità;

• Inflazione (investitore si cura dei rendimenti reali) → il CAPM può esser agevolmente modificato per tenerne conto.

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Modello domanda attività MV - 1Usiamo il modello MV (sviluppato da Tobin) per derivare

le domande di attività. Assumiamo che investitore massimizzi una funzione di utilità del tipo:

U = U(μN, σ2N) con U1 >0, U2 <0, U11, U22 <0,

che assume la forma particolare: μN – (c/2)σ2N

ove c coglie il grado di avversione al rischio. Se ci sono una attività priva di rischio (con rendimento r) e una sola attività rischiosa (con rendimento effettivo R, atteso μR e varianza σ2

R) siamo in situazione analoga derivazione della linea di trasformazione e si trova che la quota detenuta nell’attività rischiosa è: x*i = (μR – r)/(cσ2

R) ovvero la domanda dell’attività rischiosa cresce nel rendimento in eccesso e cala nella rischiosità

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Modello domanda attività MV - 2

r

ì N

óRóR

•

• I1I2

E

B

A•

D•

ì R(1)

ì R(2)>ì R

(1)

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Uso CAPM per indici di performance - 1Nel mondo del CAPM tutti i rendimenti aggiustati per il

rischio seguono: (ERi – r)/βi = (ERj – r)/βj = …

Ma nella realtà di breve periodo può non valere l’equilibrio e, perciò, possono esserci opportunità di profitto. Come valutare performance effettiva investimento? Indicatori di Sharpe (S), di Treynor (T) e di Jensen (J):

Si = (ERi – r)/σi Ti = (ERi – r)/βi

[EtRi,t+1 – rt] = Ji + [EtRmt+1 – rt]

Si appropriato se investitore detiene fondo comune + attività sicura; Ti e Ji se detiene fondo comune + altre attività rischiose. Si può mostrare che i tre indicatori sono correlati tra di loro e discendono da CAPM

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Arbitrage Pricing Theory APT - 1Per APT il rendimento di un’azione può essere scomposto in

una parte attesa e una inattesa: Rit = Reit + uit

e uit si scompone in rischio sistematico (di mercato, es. macro: π, PIL, r) e rischio specifico (idiosincratico):

uit = mt + εit ove si assume che cov(m,ε)=0

Come nel CAPM, il rischio sistematico non è diversificabile mentre quello specifico lo è con portafoglio ampio.

L’APT può essere espresso da: (1) Rit = ai + kj=1bijFjt + εit

(2) ERit = λ0 + kj=1bijλj ove gli Fjt sono fattori sistematici, i bij

sono dei fattori beta di ponderazione, λj è il rendimento in eccesso atteso richiesto per la sensibilità delle azioni al fattore i; λ0 = rt oppure ERZ.

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Arbitrage Pricing Theory APT - 2L’APT può essere stimato empiricamente attraverso

l’analisi dei fattori in modo da determinare i valori dei parametri espressi in (1) e (2). In effetti l’APT è anche noto come modello multifattoriale.

Che relazione c’è tra il CAPM e l’APT? Si può mostrare che il CAPM è coerente con un APT multifattoriale. Si consideri un APT con 2 fattori: (1’) Ri =ai + bi1F1+bi2F2

(2’) ERi = r + bi1λ1+bi2λ2 ora ricordiamo che λj è il rendimento in eccesso; quindi se vale il CAPM:

λ1= β1(ERm – r); λ2= β2(ERm – r) ove βi=σim/σ2m sono i β

derivati dal CAPM. Sostituendo in (1’) e (2’) si ha:

ERi = r + β*i (ERm – r)