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i costituenti del mezzo in cui si propaga l’onda

un onda e’ una perturbazione che si

attenzione :

Fenomeni OndulatoriFenomeni Ondulatori una perturbazione e’ la variazionevariazione rispetto alla configurazione di equilibrio

i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia :

cio’ che si propaga sono l’energia, la quantita’ di moto e il momento della

ma non viaggiano da un punto all’altro dello spazioposizione di equilibrio

quantita’ di moto trasportati dall’onda

di una o piu’ grandezze caratteristiche di un sistema fisico

propaga nel tempo e nello spaziopropaga nel tempo e nello spazio

oscillano intorno alla loro

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suono, luce, onde radio ... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, con

Onde meccaniche: oscillazioni del mezzo in cui si propagano

Onde elettromagnetiche: oscillazioni del campo e.m.

mentre

la frequenza delle onde dipende solo dalla sorgente

ma attenzione:

dalle caratteristiche del mezzo e’ vero, a rigore,

origine in una sorgente

quali la sua elasticità, densità etc.

la velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche del mezzo

solo nei mezzi non dispersivi

l’affermazione che la velocità di propagazione dipende soltanto

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una perturbazione scalare

( , , , ) ( , )x y z t r t

( , ) Vx t f x t

la traslazione di un onda che si propaghinel caso unidimensionale,

e’ descrivibile, nel caso piu’ semplice possibile, come

lungo l’asse delle ascisse senza distorsione,

dalla “ funzione d’onda funzione d’onda ”

viene rappresentata matematicamente

ne’ attenuazione

dove f e’ una generica funzione

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infatti se il profilo della perturbazione

( , ) ( , )x dx t dt x t

, Vx t f x t

e affinche’ sia vero che

Vdx dt dovra’ essere

se la perturbazione si sposta

dove f e’ una funzione qualsiasi qualsiasi

per ogni x e per ogni t

x

( , )x t

1( , )x t

x1

1( , )x dx t dt

xx1+dxx1

(onda progressivaprogressiva )

in particolare

verso destradestra

con velocita V

al passar del tempo

Vdt

senza alcuna distorsione ne’ attenuazione

che

si deve avere

fa una pura

dato che dt e’ sempre > 0

( , ) ( , )x dx t dt x t

traslazione si dovra’ avere

5

d V df x x t t in tale caso infatti

dato che

Vdx dt

V d Vdf x t x t ( V )f x t

6

, Vx t f x t

d V df x x t t in tale caso infatti

dato che

Vdx dt

Vdx dt

V d Vdf x t x t ( V )f x t

dovra’ essere

se invece la perturbazione si sposta

(onda regressivaregressiva )verso sinistrasinistra

con velocita V

1( , )x dx t dt

xx1+dx x1

Vdt

x

( , )x t

1( , )x t

x1

quindi bisogna che

7

onda progressiva, onda progressiva,

da una funzione del tipo

quindi se l’onda si sposta verso destra,destra, dovra’ essere descritta

onda regressiva, onda regressiva,

da una funzione del tipo

mentre se l’onda si sposta verso sinistra,sinistra, dovra’ essere descritta

f(xVt)

f(x Vt)

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f puo’ essere una funzione qualsiasiqualsiasi, purche’ abbia come argomento una

2 22

2 2V

t x

equazione delle onde o di “D’Alambert” caso unidimensionale

in generale le soluzioni, con opportune condizioni, sono del tipo:

0( , ) ( )x t f k x t V

ovvero

2 2

2 2 2

1

Vx t

combinazione lineare di spazio e tempo

9

0( ) s kx k t Vinfatti se,

f df s dfk

x ds x ds

2 22

2 2

d

d

f fk

x s

d d

d d

f f s fk

t s t s

V

2 22

2 2

d

d

f fk

t s

2V

2 2

2 2

f f

t x

2Vdunque si avra’

combinazione lineare di spazio e tempoargomento una

e cio’ significa che se f ha come

D’Alambert soddisfera’ sempre all’equazione di

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segno negativo onda progressiva

fronte d’onda = luogo dei punti che hanno tutti la stessa fase

0 + = Vkx k t = fase dell’onda

V = velocita’ di fase

0( ) kx t

k = numero d’onda

= kV = pulsazione dell’onda

0 = fase iniziale

nomenclatura:

segno positivo onda regressiva

= funzione d’onda 0( , ) ( V )x t Af k x t

A = ampiezza , non necessariamente sempre costante

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la linearita’ dell’equazione di D’Alambert garantisce che valga il

1 ( V )f x t

2 ( V )f x t

se e’ una soluzione

e e’ un’altra possibile soluzione

per il principio di sovrapposizione anche 3 1 1 2 2c c e’ una possibile soluzione

principio di sovrapposizione

dell’equazione di D’Alambert

dell’equazionedove c1 e c2 sono costanti

di D’Alambert

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onda piana uniforme

( , )y z costante se in più

(solo parte progressiva):

( , ) ( V )x y z f x t onda piana

una possibile soluzione all’equazione di D’Alambert unidimensionale e’

( V )x A f x t

si ha

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avra’se la perturbazione ha carattere vettoriale la

2 2

2 2 2

1

Vx t

equivale alle tre equazioni scalari

x y ze

la

ˆˆ ˆx y zi j k

tre componenti

se

Perturbazioni vettoriali

con ciascuna componente a sua volta funzione di x , y , z , t

in coordinate cartesiane

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2 2

2 2 2

1

Vx x

x t

2 2

2 2 2

1

Vy y

y t

2 2

2 2 2

1

Vz z

z t

e