ONDE MECCANICHE Una perturbazione viene trasmessa …...fronte d’onda e la direzione di...

ONDE

MECCANICHE Una perturbazione viene trasmessa

l’acqua non si

sposta

ONDE: perturbazioni di

tipo ondulatorio o

oscillatorio che si

propagano in un mezzo

o nel vuoto trasportando

energia.

Le onde si dicono

meccaniche se si

propagano in un mezzo

materiale. Le particelle

del mezzo comunicano

la perturbazione interagendo

tra di loro.

Perché la perturbazione si

propaghi e’ necessaria una

forza di richiamo

gravitazionale o elastica.

impulso

Onde trasversali: ogni

punto sulla corda si muove

perpendicolarmente

alla velocità di

propagazione dell’onda.

onde trasversali

Onde longitudinali: le particelle del mezzo oscillano

attorno alla loro posizione di equilibrio parallelamente

Alla velocità di propagazione dell’onda.

onde longitudinali acustiche

Onda superficiale nell’acqua

A meno di effetti di distorsione l’impulso si propaga

parallelo a sè stesso: la forma resta invariata

y = f (x) a t=0. Dopo t lo spostamento verticale del punto P

è y = f (x – vt) f(x,t) funzione d’onda

y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda)

Tre “istantanee” di

una perturbazione

armonica: t = 0 s,

t = 1s, t = 2 s.

Fissato il tempo la

funzione d’onda

descrive il

comportamento (y)

delle varie ascisse

x (punti della fune

in questo

esempio).

Descrizione matematica di un’onda unidimensionale Osservando la propagazione di una perturbazione unidimensionale in un

mezzo elastico, in cui le perdite di energia per attrito sono trascurabili, si

riscontrano due fatti sperimentali:

• la perturbazione si propaga mantenendo inalterata la sua forma,

• la velocità vo con cui essa si propaga è costante.

Supponiamo di aver provocato a t0 = 0 , intorno ad xi = 0 una

perturbazione di forma y = f(x) che si sposta nella direzione di x positiva

con velocità vo. Dopo un tempo Δt = t− t0 = t − 0 = t, tutti i punti della

perturbazione si saranno spostati di voΔt = vo t, la perturbazione si

troverà nel punto x = xi + vo t e avrà la stessa forma ⇒

y = f(xi) = f(x- vot).

Infatti: f(x- v0t)= f(xi + vo t − vo t)= f(xi ).

y = f(xi) = f(x- vot).

In conclusione: un’onda unidimensionale y che si propaga con

velocità vo nella direzione x positiva è matematicamente descritta

da una funzione nelle variabili x e t nella combinazione

x−vo t ⇒ y(x,t) = f(x− vo t)

Le stesse considerazioni valgono per onde periodiche

unidimensionali y(x,t) dove f sarà una funzione periodica di

x− vo t.

Essendo un’onda un fenomeno di propagazione nel tempo

e nello spazio, possiamo avere due visualizzazioni:

a) tempo fissato: per t = cost ⇒ y(x,t) = g(x). Essa è l’andamento dei valori di y in ogni punto dello spazio x in

cui si propaga l’onda ma ad un tempo fissato (foto del

fenomeno

ondulatorio)

b) posizione fissata: per x = cost ⇒ y(x,t) = h(t). Essa è l’andamento dei valori di y in funzione del tempo di un

punto fissato dello spazio in cui si propaga l’onda (moto di

un punto del mezzo disturbato dall’onda)

Limitiamo solo studio alle onde sinusoidali cioè alle

funzioni del tipo y = sinx che scriviamo come:

• λ = lunghezza d’onda dimensioni di una lunghezza (m) • A =ampiezza

Onde sinusoidali

cresta t fisso

x fisso

lunghezza d’onda l [m] periodo T [s] frequenza f = 1/ T [1/s] V = l / T [m/s] ampiezza A [m] numero d’onda k=2p/l [rad/m] pulsazione ω= 2p/T [rad/s]

Onda sinusoidale:

I singoli punti oscillano come

oscillatori armonici semplici

Produzione di onda sinusoidale

onda verso destra

y = A sin (k x – wt)

Fronte d’Onda

Nello spazio investito da un’onda tridimensionale, l’insieme dei punti in cui l’onda ha la stessa fase costituisce il cosiddetto fronte d’onda. Se il mezzo è omogeneo ed isotropo, il fronte d’onda è sempre perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda che viene talvolta detta raggio. I fronti d’onda possono avere forme diverse: piani paralleli = onde piane, concentriche = onde sferiche. Le onde piane sono in effetti solo un’approssimazione delle onde sferiche che, a grandi distanze dalla sorgente, possono essere considerate piane per una limitata regione di spazio.

Fronte d’Onda

Fronte d’onda piano: la sorgente e' una sorgente a simmetria piana a sinistra

Fronte d’onda circolare: la sorgente delle onde è una

sorgente puntiforme al centro

In un mezzo omogeneo e isotropo le onde si propagano in linea retta

Il fronte d'onda e' il luogo geometrico dei punti dello spazio a t = costante in cui la

fase dell'onda ha lo stesso valore, cioè il luogo dei punti che ad un dato t hanno la

stessa ampiezza

I fronti d'onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda

Vista trasversale

Le onde trasmettono

energia

• Conoscendo la velocità di ogni punto di

un’onda sinusoidale, si può calcolare

l’energia cinetica in una lunghezza d’onda:

Kl = 1/4mw2A 2l

e analogamente l’energia potenziale

• Energia totale El = Kl + Ul = 1/2mw2A 2l

Potenza trasportata da un’onda (corda)

è proporzionale al quadrato dell’ampiezza e al quadrato

della pulsazione (cioè della frequenza).

dipende solo dalle proprietà del

mezzo in cui l’onda si propaga.

In una corda di densita’ lineare µ =

massa/lunghezza (kg/m), soggetta

alla tensione T, la velocità di

propagazione dell’onda è:

Onde Meccaniche: velocità di propagazione

Propagazione delle onde

Quando un treno di onde periodiche si propaga, una minima

parte dell’energia trasportata è assorbita dal mezzo, la

perturbazione si propaga finché non incontra un ostacolo. A

seconda della natura dell’onda e dell’ostacolo si possono

verificare diverse situazioni:

•assorbimento dell’energia e quindi dell’onda da pare di un

oggetto ( in questo caso non c’è più propagazione);

•riflessione totale o parziale dell’onda incidente;

•rifrazione (passaggio) dell’onda attraverso la superficie di

separazione tra mezzi diversi;

•diffrazione (passaggio) dell’onda attraverso fenditure o

piccoli fori dell’ostacolo;

Riflessione: propagazione

dell’onda in direzione opposta

rispetto alla velocità dell’onda

incidente contro un ostacolo che

impedisce l’attraversamento della

perturbazione

Se l’estremità della corda

è libera l’impulso incidente

viene riflesso senza

essere invertito

Contemporanea riflessione e trasmissione delle onde

Nella corda più spessa l’onda viaggia più lentamente

(a) Un impulso in moto

verso destra in una

corda leggera legata

ad una più pesante.

(b) L’impulso incidente

viene parzialmente

riflesso (ed invertito),

e parzialmente

trasmesso alla corda

più pesante.

Riflessione di un treno

di onde piane

rappresentate sia

come superfici d’onda

sia come raggi.

Riflessione sopra una

superficie pianadi un

treno di onde circolari

rappresentate

mediante superfici

d’onda.

Riflessione di un’onda

piana rappresentata

con un solo raggio e

una sola superficie

d’onda

Leggi della riflessione

Ia legge: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla

superficie di incidenza sono complanari.

IIa legge: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione.

Rifrazione delle onde: passaggio di una perturbazione

ondulatoria da un mezzo ad un altro caratterizzato da una diversa

velocità di propagazione

Rifrazione di onde piane

Rifrazione di onde piane dirette verso l’alto. Le

onde passano da una zona di acqua più

profonda ad una meno profonda.

Leggi della rifrazione Ia legge: il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superficie di

separazione tra i due mezzi sono complanari.

IIa legge: il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza e il seno dell’angolo di

rifrazione è costante.

(seni)/senr) = n1,2

N1,2 dipende dalla particolare coppia di mezzi considerati.

AB superficie di separazione. Il fascio di onde piane viene in parte riflesso e in parte

rifratto

Diffrazione: propagazione delle onde dopo che queste incontrano

un ostacolo munito di un foro o di una piccola fenditura.

Un treno di onde piane,

dopo aver incontrato una

sbarrette disposta

parallelamente al fronte

d’onda, muta la sua

configurazione: raggira

l’ostacolo invadendo lo

spazio retrostante alla

sbarretta.

Figure di diffrazione prodotte da un treno di

onde piane contro un ostacolo munito di

un’apertura di diverse dimensioni (dimensione

dello stesso ordine di grandezza di l).

Figura di diffrazione prodotta

da un treno di onde piane

contro un ostacolo munito di

un foro (dimensione molto

minore l).

Esperimento con una vaschetta ondoscopica.

Onde con fronte d’onda piano vengono generate e spinte verso un ostacolo, che ha un

foro attraverso cui il liquido passa. Al di là dell’ostacolo si osservano onde sferiche

propagarsi in tutte le direzioni.

Si tratta del fronte d’onda secondario generato nel punto che corrisponde al foro nella

barriera.

Questo vale anche per la luce. Basti pensare al fatto che la luce si propaga in tutte le

direzioni quando entra attraverso un foro in una stanza buia.

Principio di Huygens Ogni punto del fronte d’onda è sorgente di un fronte d’onda secondario

che ha una forma sferica.

Il nuovo fronte d’onda è l’inviluppo di tutti i fronti d’onda secondari.

Una sorgente di luce emette radiazione nello spazio circostante, che si propaga

sottoforma di onde sferiche. I punti del singolo guscio sferico formano il cosiddetto

fronte d’onda e la direzione di propagazione dell’onda è sempre ortogonale al fronte

d’onda.

Inviluppo: L'inviluppo può essere pensato

come un modo di derivare (ottenere)

una nuova curva basata su una

famiglia di curve dipendenti da un

parametro.

L'inviluppo di una famiglia di curve è una curva C tale che C è tangente a ciascun elemento della

famiglia. (Ricorda che due curva

sono tangenti l'una con l'altra in un

punto se in quel punto hanno una

tangente comune).

Nella figura a lato la parabola

y=4/3x² è ottenuta come inviluppo

del fascio di parabole di equazione:

y=x²+ax+a²

Ellisse come inviluppo delle sue tangenti

4- Onde, Interferenza e

Diffrazione E.Sassi, L.A. Smaldone 39

Bolle di Sapone … e Macchie d’Olio

Cosa produce questi bellissimi

colori ?


Diffrazione E.Sassi, L.A. Smaldone 40

Altri Esempi di Bellissimi Colori …

http://www.cs.cmu.edu/~adg/images/minerals/tsilicates/labradorite.jpg


Diffrazione E.Sassi, L.A. Smaldone 41 41

Sono solo Configurazioni di Differenze di Fase!

Interferenza da Film Sottile

Interferenza construttiva e distruttiva di

onde luminose su lamine sottili di

spessore variabile, come le bolle di

sapone, forma coloriti e cangianti disegni.

Sono la prova della natura ondulatoria

della luce

Sovrapposizione di onde o interferenza Principio di sovrapposizione

Se due o più onde che si propagano in un mezzo e si

combinano in un punto, lo spostamento risultante è la somma

degli spostamenti delle singole onde.

Sovrapposizione

di due onde

sinusoidali

uguali ma con

una differenza

di fase

interferenza

costruttiva

interferenza

distruttiva

interferenza

normale

Quando due (o più) onde si

incontrano si assiste ad un

fenomeno detto interferenza.

Nella figura a sinistra è

rappresentato un altro

esperimento con una vaschetta

ondoscopica in cui sono

presenti due “generatori” di

onde sferiche.

Si riconoscono regioni in cui i fronti d’onda si sommano e altre in cui si

annullano.

Si ha interferenza costruttiva quando si sommano due onde in fase, cioè due

onde che hanno massimi (e quindi minimi) coincidenti.

Si ha interferenza distruttiva quando un’onda cancella l’altra, e questo avviene

quando le onde sono in opposizione di fase, cioè quando i massimi dell’una

coincidono con i minimi dell’altra.

Il fenomeno dell’interferenza si verifica

anche per le onde luminose, in questo

caso si parla di frange di interferenza

costruttiva o distruttiva

Interferenza a due fenditure:

Esperimento che mostra la posizione dei massimi e dei minimi

(frange di interferenza costruttiva e distruttiva) in funzione della

distanza tra le fenditure.

INTERFERENZA

A. Martini

Supponiamo di avere due sorgenti di onde,

puntiformi,

in fase,

di uguale lunghezza d’onda

Se avviciniamo le sorgenti, le onde si sovrappongono, dando

origine ad un fenomeno di interferenza

Come si vede chiaramente, nella zona centrale ci sono righe

bianche e nere: questo significa che in questa zona si propaga

energia.

Ma nelle due zone laterali si nota un grigiore uniforme:

questo significa che in queste zone NON si propaga energia,

non ci sono onde!

Allontanando le sorgenti,

Il numero e la larghezza delle zone di massimo e minimo

cambia:

Allontanando le sorgenti,

Il numero e la larghezza delle zone di massimo e minimo

cambia:

Più le sorgenti sono lontane, più

numerose e vicine tra loro sono le

zone di ASSENZA di energia.

Queste zone si chiamano “minimi”

Le zone in cui c’è energia si

chiamano: “MASSIMI”

Naturalmente la posizione dei massimi e dei minimi dipende

anche dalla differenza di fase delle sorgenti.

IN FASE IN OPPOSIZIONE DI FASE

Come si vede qui, se le sorgenti sono IN FASE al centro c’è un massimo,

se sono IN OPPOSIZIONE DI FASE, al centro c’è un minimo!

MAX min

LA POSIZIONE DEI MASSIMI E DEI MINIMI DIPENDE

DAL CAMMINO PERCORSO DALLE ONDE

In questo caso i cammini percorsi sono uguali

le onde partono in fase

ed arrivano in fase

nel punto O si ha un massimo di energia.

Consideriamo ora un altro punto sullo schermo

P

P

Consideriamo ora un altro punto sullo schermo

In questo caso i cammini percorsi sono diversi

le onde partono in fase

ed arrivano in opposizione di fase

nel punto P si ha un minimo di energia.

P P

massimo centrale

massimo del primo ordine

di destra

massimo del primo ordine

di sinistra

primo minimo

di destra

primo minimo

di sinistra

CERCHIAMO LE

CONDIZIONI DI

MASSIMO E DI MINIMO

Supponiamo che lo schermo sia così lontano dalle sorgenti, da

poter considerare i cammini delle onde PARALLELI TRA LORO

(condizione di Fraunhofer)

O

P

Supponiamo che lo schermo sia così lontano dalle sorgenti, da

poter considerare i cammini delle onde PARALLELI TRA LORO

(condizione di Fraunhofer)

Se mandiamo la perpendicolare al tragitto rosso che

passa per la sorgente azzurra, troviamo la differenza dei

tragitti percorsi dalle onde:

O

P




O

P

S1

S2 K




O

P

S1

S2 K

d

In P si avrà un MASSIMO quando la differenza dei

cammini d è multiplo di una lunghezza d’onda

O

P

S1

S2 K

d



O

P

S1

S2 K

d

d = nl



O

P

S1

S2 K

d

d = nl

S1

S2

O

K

d

d



O

P

S1

S2 K

d

d = nl

S1

S2

O

K

d

d

Da questo momento in poi le onde percorrono lo

stesso tragitto, per cui, se sono in fase in S1 e in

K, lo saranno anche in P.



O

P

S1

S2 K

d

d = nl

S1

S2

O

K

d

d



O

P

S1

S2 K

d

d = nl

S1

S2

O

K

d

d = d sen

d



O

P

S1

S2 K

d

d = nl

S1

S2

O

K

d

d = d sen

d

d sen = nl

CERCHIAMO LE

CONDIZIONI DI

MASSIMO E DI MINIMO

In P si avrà un minimo quando la differenza dei cammini

d è multiplo di mezzza lunghezza d’onda

O

P

S1

S2 K

d



O

P

S1

S2 K

d

d = (n-1/2)l (con n=1, 2, 3, ...)

O

P

S1

S2 K

d

S1

S2

O

K

d

d



d = (n-1/2)l (con n=1, 2, 3, ...)

O

P

S1

S2 K

d

S1

S2

O

K

d

d



d = (n-1/2)l (con n=1, 2, 3, ...)

Da questo momento in poi le onde percorrono lo

stesso tragitto, per cui, se sono in opposizione di

fase in S1 e in K, lo saranno anche in P.

O

P

S1

S2 K

d

S1

S2

O

K

d

d = d sen

d

d sen = n-1/2)l



d = (n-1/2)l (con n=1, 2, 3, ...)

d sen = nl

d sen = n-1/2)l

[ MAX ]

[ min]

d sen = nl

d sen = n-1/2)l

[ MAX ]

[ min]

E’ possibile verificare queste condizioni e

calcolare l’intensità in ogni punto dello schermo,

facendo uso della seguente equazione, che

determineremo teoricamente:

Indicando con x1 e x2 le distanze delle sorgenti dallo schermo, avremo che:

Nell’interferenza costruttiva si ha:

Nell’interferenza distruttiva avremo:

d sen = nl

d sen = n-1/2)l

[ MAX ]

[ min]

Onde stazionarie

Sovrapposizione di due onde identiche che viaggiano in direzioni opposte:

y1 = A sin (kx – wt); y2 = A sin (kx + wt) y1 + y2 = 2A sin kx cos wt

La dipendenza dal tempo è fattorizzata.

Un’onda stazionaria, oscilla nel tempo ma rimane ferma nella sua posizione.

Si ottengono unde stazionarie pizzicando una corda di una chitarra o

soffiando con regolarità nel collo di una bottiglia

Si hanno antinodi o ventri per

Si hanno nodi (ampiezza nulla) per

Esempi di onda stazionaria in vari istanti prodotta da due onde

di uguale ampiezza viaggianti in direzioni opposte. Per l’onda

risultante y i nodi N sono punti di spostamento nullo e gli

antinodi A sono di massimo spostamento.

L’orecchio umano è molto sensibile, può percepire suoni un

milione di volte più fievole di una normale conversazione o un

milione di volte più forte (prima di sentire dolore).

L’orecchio umano può percepire suoni con frequenze comprese

tra 20 Hz e 20000 Hz.

Suoni con frequenza superopre sono detti ultrasuoni, con

frequenza inferiore infrasuoni.

L’orecchio umano può percepire due suoni distinti se arrivano

all’orecchio con un intervallo di tempo non inferiore ad 1/10 di

secondo (la eco), se il tempo di separazione tra due intervalli è

inferiore si percepisce un unico suono allungato (rimbombo).

Il suono Il suono è un’onda meccanica longitudinale che si propaga

attraverso un mezzo.

Applicazioni tecnologiche degli ultrasuoni e

infrasuoni:

•fischietti per cani addomesticati;

•ecografia (basata sulla ecolocazione - radar come per i

pipistrelli;

•litotrissia dei calcoli renali (23 J di energia per impulso);

•Individuazione di meteoriti, per mezzo di rilevatori di infrasuoni,

prima del loro ingresso in atmosfera (Laboratorio Nazionale di Los

Alamos - New Mexico costruito originariamente per rilevare

esplosioni relative a test nucleari segreti).

Intensità del suono Il volume di un suono è determinato dalla sua intensità I cioè dalla

quantità di energia che attraversa una data area in un determinato

intervallo di tempo

Ricordando che E/t = P (potenza) si può esprimere anche:

I = P/A

L’unità di misura dell’intensità sonora è quindi Watt/m2.

Sperimentalmente si è verificato che la minima intensità udibile è

I0 = 10 -12 W/m2

La percezione umana del suono è misurata dalla grandezza:

B = 10 log(I/ I0)

detta bel dal nome dei Alexander Graham Bell (1847-1922) inventore

del telefono. Maggiormente utilizzato è il decimo del bel indicato con db.

At

EI =

Poiché la velocità di

propagazione del

suono nell’aria a

pressione

atmosferica e a 20

°C è la stessa per

tutte le frequenze

cioè:

V = l f

l e f sono

inversamente

proporzionali

Effetto Doppler

Si verifica in ogni tipo di

onda, anche nella luce.

Si verifica quando c’è

moto relativo tra

l’osservatore e la

sorgente delle onde:

la frequenza registrata

dall’osservatore è

differente da quella alla

sorgente.

Se sorgente e

osservatore si avvicinano

la frequenza sembra

maggiore e viceversa

fronti d’onda

I caso: sorgente ferma rispetto all’aria e osservatore in moto con velocità

vo. Detta vrel la velocità dell’onda rispetto all’osservatore si ha: vrel = v + vo.

La lunghezza d’onda non cambia.

In ogni unità di tempo l’osservatore percepisce, oltre alle f onde che

percepirebbe stando fermo, anche le v0/ l dovute al suo movimento. La

frequenza percepita f’ è quindi f’ = f + (v0/ l ) e poiché l = v/f si ottiene:

Si avrà un segno - al numeratore se

l’osservatore si allontana dalla sorgente.

II caso: sorgente in moto con velocità vS e osservatore in

quiete rispetto all’aria : A percepisce una frequenza più alta, B più bassa. In questo caso è la lunghezza d’onda che varia, sarà minore per l’osservatore A

di un tratto SS’ = allo spazio percorso in un periodo T. Si avrà: l’ = l - vST.

Poiché l’ = v/f’, l = v/f e T = 1/f, sostituendo si ottiene:

S’

Effetto Doppler osservato in una

vasca ondoscopica; l’asta

vibrante si muove con velocità

costante verso destra

Oltre la velocità

del suono v=vs il denominatore

tende a infinito

si genera

un’onda

d’urto

(boom sonico)

qui visibile

perchè

causa la

condensazione

del vapore

acqueo

Antonino Romito

Onde stazionarie nelle corde

L’onda è sottoposta a condizioni al contorno: solo le onde

che hanno nodi alle estremità possono generare onde stazionarie

n/2l = L ovvero l = 2L/n

n=1

n=2

n=3

N: nodo (punti di un’onda stazionaria che rimangono fissi.

A: antinodo (punto che ha un massimo spostamento, punto

medio tra due nodi)

Serie armonica

• Una corda di lunghezza L vibra secondo i modi normali con l = 2L/n

• La frequenza f = v / l dei modi normali è pertanto:

• n=1 frequenza fondamentale, ogni altra frequenza è multipla della prima. Per n>5 si hanno le armoniche superiori

Onde stazionarie nelle colonne d’aria

E’ lo stesso meccanismo ma nelle estremità chiuse si hanno nodi, nelle aperte antinodi

con due estremità aperte λ è come nelle corde e

ƒn = nƒ1 = n (v/2L) n = 1, 2, 3, …

con v velocità del suono nell’aria

Per andare da un’armonica alla successiva occorre aggiungere

una mezza lunghezza d’onda

L’altezza (suoni acuti o gravi) percepita di un suono dipende

dalla frequenza dell’onda sonora

Note Frequenze (Hz)

Do centrale 261,7

Do # 277,2

Re 293,7

Re # 311,2

Mi 329,7

Fa 349,2

Fa # 370,0

Sol 392,0

Sol # 415,3

La 440,0

La # 466,2

Si 493,9

Do 523,3

Il timbro degli strumenti musicali

testimonia l’importanza delle

armoniche superiori:

a parità di frequenza la forma

funzionale delle onde è diversa.

Una funzione periodica di periodo

T può essere espressa come

la somma di onde di frequenze

fn=n/T multiple della frequenza

fondamentale 1/T

(teorema di Fourier)

Diapason

Flauto

Clarinetto

Spettri (analisi armonica)

Le varie armoniche di frequenza fn contribuiscono in maniera diversa formando il timbro caratteristico. Gli strumenti musicali sono oscillatori forzati, sollecitati da forze periodiche che contengono una varietà di frequenze. La massima risposta (risonanza) si ha in vicinanza delle frequenze armoniche proprie dello strumento.

Sintesi di

un’ onda

quadra

come serie

di Fourier

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