1

ESERCIZIO

Quali di questi processi non possono avvenire tramite interazione forte? Perchè?

00

0

0-

π Kp K(3)

n Kp K(2)

n Kp K(1)

RISOLUZIONE

Ricordiamo i numeri quantici dei Kaoni e del protone e del neutrone:

0 Bbarionico numero 0 S stranezza dd - uu π

1 Bbarionico numero 0 S stranezza d d u n

1 Bbarionico numero 0 S stranezza d u u p

0 Bbarionico numero 1 S stranezza s d K

0 Bbarionico numero 1 S stranezza s u K

0 Bbarionico numero 1- S stranezza s u K

0

0

-

2

Sappiamo che le interazioni forti devono conservare sia la stranezza sia il numero barionico. Pertanto studiamo i numeri quantici delle tre reazioni:

stranezza.la violata è perchè forti iinterazion leper non e deboli, iinterazion leper

è loma barionico, numero ilsia carica la sia conserva perchè consentito processo un di tratta Si

violataèstranezza la 01 01- stranezza

conservato è barionico numero il 1 0 10 barionico numero

conservata ècarica la 0 0 1 1- carica

n Kp K(1)

0-

3

einterazion

di oNESSUN tipper consentito non processo un è pertanto barionico numero il viola processo Il

conservata èstranezza la 0 1 01 stranezza

conservato è non barionico numero il 0 0 10 barionico numero

conservata ècarica la 0 1 1 0 carica

π Kp K(3)

00

forti iinterazion leper consentito processo un èstranezza,la ancheconserva

poichè e barionico, numero ilsia carica,la sia conserva quanto in consentito è processo Il

conservata èstranezza la 01 01 stranezza

conservato è barionico numero il 10 1 0 barionico numero

conservata ècarica la 0 1 1 0 carica

n Kp K(2)

0

4

ESERCIZIO

Quali di queste interazioni avvengono per corrente neutra? Disegnare i relativi diagrammi di Feynman e scrivere le relative costanti di accoppiamento ai vertici.nμ pν (3) νν ee (2) pν pν (1)

μμμμμ

Il vertice nel quale entra un neutrino ed esce un neutrino è un vertice nel quale il leptone non cambia carica. Pertanto si tratta di un bosone mediatore neutro. Inoltre poichè il leptone è un neutrino, il bosone mediatore può solo essere la Z0 e non il . Poichè inoltre i tre quark del protone rimangono identici come natura, lo Z0 può essere stato emesso (assorbito) da uno qualunque dei tre quark.

pν pν (1) μμ

Z0

μν μν

p pu (d)ud (u)

u (d)ud (u)

RISOLUZIONE

p p

μν μν

Z0

5

μμ νν ee (2)

Perchè si conservi in ogni vertice il numero leptonico occorre che l'elettrone e il positrone convergano nello stesso vertice e il neutrino e l'antineutrino muonici anche. Deve trattarsi pertanto di una annichilazione e come tale il bosone mediatore deve essere neutro. Trattandosi nel vertice iniziale di un elettrone e un positrone, l'annichilazione potrebbe produrre sia un bosone Z0 sia un fotone . Tuttavia poichè nel vertice finale devono essere prodotti neutrini il bosone mediatore può solo essere uno Z0.

e

e

Annichilazione di leptoni

Z0

μν

μν

6

N.B. Se il processo avesse avuto neutrini elettronici nello stato finale, cioè fosse stato:

ee νν ee

ci sarebbe stato anche un altro diagramma possibile con scambio di corrente carica, se in un vertice convergono l'elettrone e il neutrino e nell'altro il positrone e l'antineutrino. In tal caso perchè un leptone negativo si trasformi in uno neutro deve aver emesso un

bosone negativo W- (o, il che è equivalente, aver assorbito un bosone positivo W+).

e

e

Annichilazione di leptoni

Z0

eν

eν

e

e

eν

eν

W

7

nμ pν (3) μ

Per la conservazione del numero leptonico ad ogni vertice, devono convergere nello stesso vertice l'antineutrino muonico entrante e il muone positivo uscente. Pertanto una leptone neutro si trasforma in leptone carico positivamente e ciò è possibile solo per

emissione di un bosone negativo W- (oppure, il che è equivalente, assorbimento di un bosone positivo W+).

W+

μν μ

p nu du

u dd

8

ESERCIZIO

Stimare l'ampiezza di decadimento relativa tra i due processi:

π K D(2)

π K D(1)0

-0

e disegnare i diagrammi di Feynman corrispondenti.

N.B. I D0, D+, D- sono mesoni con charm.

Scriviamo le varie particelle in termini di quark costituenti (per completezza diamo anche la composizione dei mesoni D carichi e di tutti i kaoni):

RISOLUZIONE

d d - u u π d u π d u π

s d K s d K

s u K s u K

d c D d c D

u c D u c D

0

00

00

9

π K D(1) -0

d u s u u c

Tra la composizione del D0 e quella del K- c'è in comune l' u, mentre l'altro quark del

D0, il charm, può trasformarsi nell'altro quark del K-, lo strange, e questa transizione è resa possibile dal mixing tra doppietti generato dall'angolo di Cabibbo. Invece tra la

composizione del D0 e quella del + non c'è nessun quark identico. Pertanto costruiremo

una transizione in cui l' anti-up del D0 rimane anti-up nel K-, mentre il charm del D0 si

trasforma in strange del K-. Nella transizione una particella neutra (il D0 ) si trasforma

in particella carica (il K-) e pertanto il processo deve avvenire con emissione di un bosone positivo W+; ciò è comprensibile anche a livello dei quark, perchè nella trasformazione di un c in s si ha la seguente differenza di carica:

qc = +2/3 qs=-1/3 qc - qs = +2/3 + 1/3 = +3/3 = +1

u uc s 0D K -

W+

d

u

π

10

π K D(2) 0

d u s u u c

Questa volta tra la composizione del D0 e quella del K- non vi è nessun quark in

comune, mentre tra la composizione del D0 e quella del - c'è in comune l'antiquark u.

Pertanto costruiremo una transizione in cui l' anti-up del D0 rimane anti-up nel -,

mentre il charm del D0 si trasforma in down del -, transizione che è resa possibile dal mixing tra doppietti generato dall'angolo di Cabibbo. Nella transizione una particella

neutra (il D0 ) si trasforma in particella carica (il -) e pertanto il processo deve avvenire con emissione di un bosone positivo W+; ciò è comprensibile anche a livello dei quark, perchè nella trasformazione di un c in d si ha la seguente differenza di carica: qc = +2/3 qd=-1/3 qc - qd = +2/3 + 1/3 = +3/3 = +1

u uc d 0D

K

W+

s

u

π

11

'

'

'

b

t

θ cos s sinθ d

c

s

c

sinθscosθd

u

d

u

cccc

Ricordiamo adesso la struttura dei doppietti di quark delle interazioni deboli:

Per quanto riguarda il primo vertice delle reazioni (1) e (2), quando un c si trasforma in s la costante di accoppiamento g delle interazioni deboli sarà moltiplicata per un fattore cos C , mentre quando un c si trasforma in d la costante di accoppiamento g sarà moltiplicata per un fattore sin C :

Per quanto riguarda invece il secondo vertice delle reazioni (1) e (2), quando un u si trasforma in un d, la costante di accoppiamento g sarà moltiplicata per un fattore cos C , mentre quando un u si trasforma in un s, la costante di accoppiamento g sarà moltiplicata per un fattore sin C .

C

C

θ sin g d c (2)

θ cos g s c (1)

C

C

θ sin g s u (2)

θ cos g d u (1)

12

u uc s 0D K -

W+

d

u

π

Cθ cos g

u uc d 0D

K

W+

s

u

π

Cθ sin g

Le sezioni d'urto del processo (1) e del processo (2) saranno in rapporto tra loro come:

)1( )2(

400θ sin

θ cos

θ sin

θ cos

C4

C42

C2

C2

Cθ cos g Cθ sin g

13

ESERCIZIO

Calcolare l'energia cinetica totale di un K0 con impulso p = 30 MeV/c e confrontare il risultato ottenuto per l'energia cinetica classica con quella relativistica. Commentare il risultato. RISOLUZIONELa formula relativistica che lega energia totale, massa e impulso è:

MeV9.498 MeV248904 MeV248004 MeV900

cc

MeV 498 c

c

MeV 30)mc((pc) E

222

22

2

2222

L'energia cinetica è la differenza tra l'energia totale e quella di massa:

MeV9.0cc

MeV 498- MeV9.498mc- E T

2

22

L'energia cinetica calcolata classicamente è:

MeV9.0 MeV996

MeV900

cc

MeV 498 2

c c

MeV 30

m 2

p T

2

22

2

2

class

14

I due risultati coincidono in quanto il kaone non è relativistico e pertanto anche il calcolo classico è una buona approssimazione di quello relativistico. Infatti nel caso non relativistico l'espressione realtivistica dell'energia cinetica si può così approssimare:

2

222

2

2222

αx1

22

22

22

1x conx1

22

22222222

α

m

p

2

1)mc(

)mc(

(pc)

2

1)mc()mc(

)mc(

(pc)

2

11 )mc(

)mc( 1)mc(

(pc))mc()mc()mc((pc)mc- E T

Quest'ultima coincide proprio con la formula classica dell'energia cinetica.

15

ESERCIZIO

Dati due fasci collidenti di protoni e antiprotoni di uguale energia E = 1000 GeV:

1) calcolare l'energia nel centro di massa 2) quale sarebbe l'energia nel centro di massa se gli antiprotoni collidessero su un bersaglio fisso di protoni? 3) quale energia dovrebbero avere gli antiprotoni inviati su un bersaglio fisso di protoni per produrre la stessa energia nel centro di massa dei due fasci collidenti?

RISOLUZIONE

1) Le due particelle hanno i seguenti impulsi (uguali in modulo e opposti in direzione):

GeV 6.31GeV) 1000( GeV 1GeV) 1000(mEp p 2222p

2p

2

p

2

p

e quindi i seguenti quadri-impulsi:

pppppp p- ,Ep p ,Ep

L'energia disponibile nel centro di massa è:

GeV 0002 E2

E4pp E2ppEEpp

p

2p

2

pp

2

p

2

pp

2

pp

2

pp

s

s

16

3) Se i protoni fossero un bersaglio fisso avremmo:

0 ,mp p ,Ep

ppppp

L'energia nel c.m. sarebbe allora:

GeV 44.7m E2

GeV 2000 GeV 1 GeV 1000 2 m E2 m E2m 2m E2mm

p m E2mE0pmEpp

pp

2pppp

2ppp

2p

2p

2ppp

2p

2p

2

p

2

pp

2

pp

s

s

4) Per creare un'energia nel centro di massa uguale a quella dei due fasci collidenti e cioè s = 2000 GeV, gli antiprotoni su bersaglio fisso dovrebbero avere un'energia tale che:

! ! ! GeV 102GeV 12

GeV104 E GeV 2000m E2 GeV 0002m E2 6

26

p2

pppp

s

17

ESERCIZIO

Stabilire quali di questi processi sono proibiti e quali sono permessi. Specificare la natura dell'interazione dei processi consentiti e le leggi di conservazione violate nel caso di processi proibiti:

π d )4(

ν μ )3(

ν p μ (2)

γ )1(-

μ

μ0

0

RISOLUZIONE

conservatastranezza 1- 1- S stranezza

conservato barionico numero 0 1 1 Bbarionico numero

conservatacarica 0 0 0 Q carica

s d u s d u N.B. γ )1(

00

La massa della è 1193 MeV e quella della è 1116 MeV. Il decadimento è permesso dal punto di visto energetico, è permesso dalle leggi di conservazione ed è elettromagnetico in quanto coinvolge un fotone.

18

conservata nonstranezza 0 1- 0 0 S stranezza

conservato leptonico numero 1 0 0 1 μ L di leptonico numero

conservato barionico numero 0 1 1 0 Bbarionico numero

conservatacarica 0 0 1 1- Q carica

ν p μ (2) -

μ

μ0

Il processo è permesso, non conserva la stranezza, è dunque possibile per interazione debole.

conservatastranezza 0 1- 1- S stranezza

conservato leptonico numero 1 1 0 0 μ L di leptonico numero

conservato barionico numero 0 0 1 1 B barionico numero

conservatacarica 0 1 0 1 Q carica

ν μ )3(

μ

μ

La massa della + è 1189 MeV, quella della è circa 1116 MeV e quella del + è 105 MeV. Pertanto, il decadimento è energeticamente proibito, in quanto la massa della e del + insieme sono più elevate di quella della . Il decadimento non è possibile anche se tutte le altre leggi di conservazione sarebbero state rispettate.

19

conservato non barionico numero 1 0 2 0 Bbarionico numero

conservata noncarica 1 1 1 1 Q carica

π d K)4(

La reazione non è permessa per nessun tipo di interazione perchè viola sia la carica sia il numero barionico.

20

ESERCIZIO

Sia dato un muone con un' energia E= 10 GeV nel sistema del laboratorio:

1) qual è la sua velocità?

2) qual è la sua vita media nel sistema del laboratorio, sapendo che nel sistema in cui esso è a riposo la sua vita media è t = 2.2 s?

3) quale distanza percorre nel laboratorio prima di decadere?

RISOLUZIONE

1) La velocità di una particella relativistica (o il suo , che è equivalente) è dato da:

19999.0GeV 7.5

GeV 7.499

E

pc β

GeV 7.499 GeV 013.0250.56

GeV 113.0GeV) 5.7(mc E pc :dove E

p β

22222

La velocità del muone (v = c) è quindi prossima a quella della luce.

21

2) Sappiamo che la vita media di una particella in un sistema di riferimento in cui è in moto è dilatata rispetto a quella che essa ha nel sistema in cui essa è a riposo e il fattore di dilatazione è dato dal fattore di Lorentz :

ms 0.155 μs 155.54 70.7 μs 2.2 γτ τ'

7.70(0.9999)-1

1

β-1

1 γ:dove γτ τ'

22

3) La distanza che il muone percorrerà nel laboratorio sarà data da:

m 10 466.57 s 10 155.54 m/s 10 3 0.9999 τ c β τ v L 2-68

22

•W.E. Burcham & M. Jobes: Nuclear and particle physics. Longman Scientific & Technical ( disponibile in biboteca)

•Hans Fraunfelder & Ernest M. Henley: Subatomic Physics. Prentice Hall

•P. Povh K. Rith C. Scholz F. Zetsche: Particelle e nuclei. Bollati Boringhieri.

•D. Prosperi, M. De Sanctis M.A. Incicchitti. Dispense: "Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare" Parte 1a (cap. 1-cap.8); Parte 2a (cap. 9-14)

Il sito di tutte le dispense di Roma 1 è:http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/home.htmlLe dispense del Prof. Prosperi si trovano nella categoria 4, a cui si accede direttamente con l'indirizzo:http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/web_disp/d4/index.html

•D. Prosperi, "Corso di Istituzioni di Fisica Nucleare-Appunti delle lezioni tenute dal Prof. D. Prosperi nell' A.A. 1983-84"- I parte (cap 1-4); II parte (cap 5-7) (senza indice)

23

Lezione n. 1 -Ordini di grandezza - Unità di misura Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte-cap. 1); Burcham-Jobes (par. 1.5); Frauenfelder-Henley (par. 1.1, 1.2)

Lezione n. 2-n. 3 -Caratteristiche fondamentali delle particelle: massa, carica, spin, momento magnetico: Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte: par. 6.1.1, 6.1.2); Frauenfelder-Henley (par. 5.1, 5.2, 5.3) -Classificazione in bosoni mediatori, leptoni, mesoni, barioni, quark: Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte: par. 6.3, 6.4); Burcham-Jobes (cap.7); Frauenfelder-Henley (par. 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.10)

Lezione n. 4 -Cenni di relatività ristretta e cinematica relativistica: Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte-cap. 3); Burcham-Jobes (cap.1 o 2)

Lezione n. 5 -Formulazione covariante dell' elettromagnetismo: Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (II parte: 10.2.1, 10.2.2)

24

Lezione n. 6 -Richiami di meccanica quantistica -Range delle interazioni Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte-par. 6.2.2) -Acceleratori a bersaglio fisso e a fasci collidenti Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte-cap. 3); Frauenfelder-Henley (par. 2.6) -Vita media di uno stato -Larghezza di uno stato Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte-par. 6.1.5); Frauenfelder-Henley (par. 5.7) -Potere risolutivo di una particella Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (parte I-par. 2.1.1); Frauenfelder-Henley (par. 2.1)

Lezione n. 7-8 -Spettroscopia (cenni) Prosperi (I parte-par. 2.1, 2.2, 2.3)

Lezione n. 9-10-11-12 -Simmetrie Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (parte I-cap. VIII), Burcham-Jobes (cap. 8); Frauenfelder-Henley (cap. 7, cap. 8, cap.9); Perkins (cap. 3) -In particolare per la diffusione pione-nucleone della lezione 11_12 Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (parte II-par. 13.2.1, 13.2.2)

25

Lezione n. 13-14-15-16 -L'equazione di Klein-Gordon, l'equazione di Dirac Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (II parte-cap.IX), Burcham-Jobes (par. 11.4)

Lezione n. 17 -Elementi di teoria dei campi Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (II parte- cap. X, che però è molto più dettagliato di quanto abbiamo fatto nel corso)

Lezione n.18 -Diagrammi di Feynman Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte: par. 6.2, II parte: 11.4.1, 11.4.2, 11.4.3)

26

Lezione n.19-20-21 -Decadimento beta Burcham-Jobes (par. 5.2); Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte-par. 6.1.3 ii); II parte-par. 12.2.1); Prosperi (I parte, par. 6.3 A)- E)); -Interazioni deboli Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (II parte-par. 12.3); Burcham-Jobes (par. 11.1, 11.2, 11.3, 11.5, 11.6, 11.9, 11.10); Povh-Rith-Scholz-Zetsche (cap. 10); Perkins (cap.7); Frauenfelder-Henley (cap. 11, solo alcune parti) -Esperimento di M.me Wu Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte: par. 8.10.3) -Misura dell'elicità del neutrino: Prosperi-De Sanctis-Incicchitti (I parte: par. 8.10.2) -Modello Standard: Burcham-Jobes (cap. 13, cap.14); Povh-Rith-Scholz-Zetsche (par. 11.2, cap.12)