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Prof. Ing. GianLuca Gatto

Attuatori Elettrici

Richiami di Elettromagnetismo

Definizioni

Corrente elettrica: movimento di cariche elettriche positive e/o negative (conseguente alle forze su esse

agenti dovute all’azione del campo elettrico E).

Intensità di corrente (attraverso una sezione): somma della carica positiva che attraversa la sezione, in un

senso, e della negativa, in senso opposto, nell’unità di tempo.

Si assume convenzionalmente positivo il verso opposto a quello delle cariche negative.

Unità di misura dell’intensità di corrente: Amper (A) (definita attualmente in base all’entità dello sforzo

elettrodinamico (2x10-7 N/m) generato su due conduttori filiformi, rettilinei, paralleli e distanti 1 m, immersi

nel vuoto.

Dipendenza o meno dal tempo

•Corrente elettrica variabile nel tempo (regime variabile): intensità di corrente funzione del tempo ( i(t))

•Corrente elettrica costante nel tempo (regime stazionario) : intensità di corrente indipendente dal tempo (I)

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Prof. Ing. Gianluca Gatto

Attuatori Elettrici Richiami di Elettromagnetismo

Corrente elettrica e natura del mezzo

•Corrente nei metalli: corrente di conduzione dovuta al moto degli elettroni periferici degli atomi causato dalle forze agenti; in assenza di queste il moto, dovuto all’agitazione termica, è disordinato e ad esso corrisponde intensità di corrente nulla. •Corrente negli elettroliti: corrente di convezione dovuta al movimento degli ioni conseguenti alla dissociazione elettrolitica del mezzo, causato dalle forze agenti.

•Corrente nel vuoto: sussiste soltanto se in esso sono presenti cariche elettriche in moto, introdotte da opportune sorgenti (p.es. emissione termoelettronica)

•Corrente negli isolanti o dielettrici: sono praticamente assenti cariche elettriche libere e le forze elettriche (purchè non superino determinate intensità) non determinano evidente movimento complessivo delle stesse. Il vuoto privo di cariche rappresenta l’isolante perfetto

•Corrente nei gas: dipende dalla pressione; a pressione molto bassa, la conduzione è praticamente assente (come nel vuoto perfetto); a pressione più elevata (presenza di molte molecole del gas), in presenza del campo elettrico, eventuali elettroni vengono posti in moto e, quindi, collidono con le molecole del gas dalle quali si producono altri elettroni ed ioni (ionizzazione del gas per urto); pertanto, si ha una corrente di elettroni e di ioni in senso opposto;

•Corrente nei semiconduttori: Alcuni elementi tetravalenti (Ge e Si) hanno comportamento isolante a bassa temperatura e debolmente conduttore a temperatura ordinaria a causa della rottura dei legami di valenza per l’agitazione termica. Se nel loro reticolo cristallino vengono introdotte impurità (drogaggio) costituite da elementi pentavalenti (P, As,Sb), risulta un eccesso di elettroni liberi che facilitano il passaggio di corrente elettronica (conduzione di tipo N). Se gli elementi vengono drogati con elementi trivalenti (Al, B, In), si ottiene un difetto di elettroni (“buchi” o eccesso di cariche positive) che facilitano il passaggio della corrente di cariche positive (conduzione di tipo P).

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Attuatori Elettrici Richiami di Elettromagnetismo

Natura dei Generatori di Forza Elettromotrice (f.e.m.) •f. e. m. dovute a contatto tra metalli conduttori di elettroni (p.es. rame e zinco: il rame sottrae elettroni allo zinco e si carica negativamente, mentre lo zinco si carica ovviamente positivamente)

•f.e.m. dovute a contatto tra metalli conduttori di elettroni e conduttori elettrolitici; in questo caso si ha la conversione di energia chimica in elettrica (pila). La circolazione di corrente nella pila origina al suo interno una f.e.m. contraria (polarizzazione) che appare come una diminuzione di f.e.m. ai poli della pila. Il fenomeno della polarizzazione, dannoso per le pile viene sfruttato in opportune celle elettrolitiche (accumulatori) che attraversate da corrente (fase di carica) convertono energia elettrica in energia chimica (la f.e.m. di polarizzazione è opposta al verso della corrente) che viene poi restituita nella fase di scarica quando la differenza di potenziale ai morsetti dell’accumulatore, chiusi su un circuito elettrico, causa la circolazione di corrente. Ovviamente sia la quantità di carica, sia l’energia restituite sono rispettivamente inferiori a quelle somministrate nella fase di carica. L’insieme di più accumulatori tra loro collegati è denominato “batteria di accumulatori”. Ciò si rende necessario quando si richiede una f.e.m. maggiore di quella del singolo accumulatore (collegamento in serie di più accumulatori) e/o una corrente maggiore di quella del singolo accumulatore (collegamento in parallelo).

• f.e.m. termoelettriche generate da una catena di conduttori collegati tra loro mediante saldatura, con primo ed ultimo conduttore della stessa natura e con le saldature mantenute a temperature differenti; la circolazione di corrente tende ad uniformare le temperature delle saldature alle quali occorre pertanto somministrare energia termica che dà conto della conversione di energia termica in elettrica.

•f.e.m. fotoelettriche si originano per effetto dell’incidenza della luce sulla giunzione di materiali semiconduttori; nota applicazione è il generatore fotovoltaico nel quale l’energia della luce solare viene parzialmente convertita in energia elettrica.

•f.e.m. piezoelettrica si manifesta per effetto di azione meccanica su certi cristalli isolanti (p.es. quarzo)

•f.e.m. dovute a induzione elettromagnetica sono di notevole importanza nella conversione massiva di energia elettrica.

3

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Attuatori Elettrici

Corrente elettrica stazionaria o continua

• Legge di Joule:

Il coefficiente di proporzionalità R è definito resistenza elettrica (ohm, ). Nel caso di conduttore

omogeneo, filiforme, di lunghezza l e sezione costante S, il suo valore si calcola con la relazione:

essendo la resistività del materiale conduttore che dipende

dalla temperatura (°C). Per i metalli essa cresce linearmente con la temperatura per un ampio campo di

temperatura secondo la relazione: ,essendo la resistività a 0°C ed il coefficiente di

temperatura a partire da 0°C. Per es. nel caso del rame elettrolitico =0,016 e =0,0042. Sono in

uso anche gli inversi della resistenza 1/R=G, detta conduttanza e della resistivita 1/ detta conducibilità.

Dalla legge di Joule, essendo I t = Q ( A s = C) la carica elettrica che attraversa il conduttore, si ottiene la

relazione: (Volt)

Questa indica che V (Volt, V) rappresenta il lavoro svolto per spostare l’unità di carica attraverso il conduttore.

V prende il nome di f.e.m. o differenza di potenziale o tensione impressa ai capi del conduttore.

La stessa esprime, inoltre, la

• Legge di Ohm:

V = R I (V)

Il moto delle cariche lungo il conduttore è dovuto all’azione della tensione impressa alle sue estremità. La

Legge esprime che la tensione impressa ai capi del conduttore eguaglia la caduta di tensione (R I) nella

resistenza elettrica di questo dovuta alla circolazione della corrente I.

La potenza elettrica convertita in calore nel conduttore si esprime come: P = V I = (W)


(Joule)t I RW2

Watt)(I Rt

W P

2

)( S

l R m) (

l

SR

)1( 00 0 0

0 m)( 0

V RI tI

W

RV

2

2

RI

4

5


Attuatori Elettrici


La rappresentazione schematica del circuito elettrico costituito dal conduttore di resistenza R ( ) al quale è

impressa la differenza di potenziale(d.d.p.) Va – Vb = Vab tra le sue estremità a e b o, genericamente, la

tensione V prodotta dal generatore ideale G, è:

Si osservi che:

• I tratti a-a e b-b hanno resistenza nulla;

• Il resistore, che ha morsetti a e b ha una resistenza pari a 10 k , ed il generatore ideale di tensione Vab

possono essere rispettivamente indicati circuitalmente anche con i seguenti simboli:

nel quale l’eventuale presenza della freccia indica che il valore della resistenza può essere variato

opportunamente con l’ausilio di un cursore; in tal caso il resistore prende il nome di potenziometro

• La corrente I (delle cariche positive) circola dal morsetto a potenziale più elevato (+) , o positivo, del

generatore ideale di tensione Vab al morsetto a potenziale più basso (-), o negativo causando la caduta

di potenziale R I = Vab.


5

6


Attuatori Elettrici


Generatori in corrente continua(cc, dc) non ideali

Sono caratterizzati dal valore della tensione ai morsetti funzione della corrente erogata V= V(I) che esprime la

carattersitica volt-amperometrica del generatore;genericamente, il legame tensione-corrente non è lineare e,in

questo caso, la corrente che attraversa la resistenza di carico si determina risolvendo l’equazione che esprime

la legge Ohm: V(I)=R I, che graficamente corrisponde alla determinazione dell’intersezione tra la caratteristica

volt-amperometrica del generatore e la retta R I.

Quando la caratteristica V(I) del generatore è

lineare, quest’ultimo può essere rappresentato

come un generatore ideale di tensione a vuoto

V0 e resistenza interna Ri. In questo caso il cir-

cuito ed il grafico sono quelli indicati nelle figure

e la legge di Ohm si esprime come:

Infine, si noti, che, se è R=0, Il generatore eroga la corrente Icc=V /Ri

detta corrente di corto circuito del generatore, rappresentata graficamente

dall’intersezione della retta V(I) con l’asse delle ascisse V=0.

Richiami di Elettrotecnica

RR

VI

I R I RVV(I)

i

0c

cci0

6

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Attuatori Elettrici Resistori in serie. Sono così definiti quando sono attra- versati dalla stessa corrente, cioè: Pertanto, si ha: Quindi, i resistori in serie possono essere sostituiti da una resistenza equivalente:

I diagrammi rappresentano l’andamen-

to del potenziale lungo il circuito, consi-

derando i resistori costituiti da condut-

tori lunghi con sezione co-

stante Sk e resistività ; le pendenze degli andamenti del potenziale sono,

in questo caso, espresse come:

Dagli ultimi due termini si deduce la nota relazione scalare tra

il campo elettrico e la densità di corrente:

I resistori in serie possono essere impiegati per realizzare il partitore

di tensione resistivo con tensioni di uscita Vu < di quella di ingresso; il rapporto di

partizione è:

Questa relazione vale nel caso di funzionamento dell’uscita a vuoto.

Nel funzionamento dell’uscita sotto carico, la tensione di uscita

dipende, ovviamente, dalla corrente di carico.


e

1n

1 kk

1-n

1 k

1n

1 k1k

1n

1 k

R IRIIR

VVV V

kk1k lxx

k

k

k

k

k1k

S

I

dl

dV

l

VV

k

II III 1-n321

1n

1 ke RR

kkk G E

7

e

1n

i knin- iu R / R)/VV(V/VV/VV

8


Attuatori Elettrici

Prima legge (o principio) di Kirchhoff (ai nodi)

Più circuiti elettrici interconnessi costituiscono una rete elettrica che risulta, quindi, costituita da rami delimitati

da nodi. In uno di questi confluiscono, quindi, più rami. La prima legge esprime il concetto di continuità,

cioè la quantità di carica entrante in una superficie chiusa è uguale a quelle uscente nello stesso intervallo

di tempo. Quindi, la somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla. Correnti entranti ed

uscenti dal nodo hanno rispettivamente

segno opposto.

(1)

La legge, nel continuo, è espressa dalla no-

ta relazione:

In generale, quando la divergenza è nulla,

si dice che il campo `e solenoidale.

Nel caso della rete elettrica a lato, si espri-

me come:

ovvero


0I n

1 k

S

0ds nG)G(div

0IIIII 54321

54321 IIIII

8

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Attuatori Elettrici

Seconda legge (o principio) di Kirchhoff (alle maglie)

Nelle reti elettriche, possono essere individuati circuiti chiusi definiti maglie. La seconda legge di Kirchhoff è

una estensione della legge di Ohm: come nei circuiti semplici prima considerati, la somma algebrica delle

tensioni (o d.d.p.) in un circuito chiuso è nulla. Fissato arbitrariamente un verso di percorrenza della maglia

ed i versi delle correnti , si ha:

(2)

Nel caso pratico del circuito riportato nel disegno, si ha:

Vab+Vbc+Vcd+Vda=0 (3)

Questa si verifica facilmente poiché: Vij=Vi-Vj (i,j=a,b..,d). Inoltre è:

Vab = R1 I1 + V1; Vbc=0; Vcd = -R3 I3 - R5 I3; Vda = -V4 + R4 I4 .

Introducendo queste nella (3), si ha: R1 I1 + V1 - R3 I3 - R5 I3 -V4 + R4 I4 =0

Che si scrive anche come: V4 - V1 = R1 I1 - R3 I3 - R5 I3 + R4 I4

In conclusione, la somma algebrica delle tensioni dei generatori di tensione è uguale alla somma algebrica

delle cadute di tensione nelle resistenze che si incontrano percorrendo la maglia chiusa, cioè:

(4)

Si noti che le tensioni dei generatori sono positive quando sono dirette (verso -+) concordemente con il verso

di percorrenza fissato arbitrariamente, mentre le cadute di tensione nelle resistenze sono positive quando il

verso della corrente che le attraversa è concorde con il verso di percorrenza della maglia.

La relazione (2), nel continuo, esprime che la circuitazione del campo elettrico in un circuito chiuso l è nulla

(con correnti costanti), cioè:

(5)


kkk IRV

0V j i,

0dl tE

l

9

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Attuatori Elettrici

Resistori in parallelo.

Sono così definiti quando ad essi è applicata la stessa tensione (Vab=Va-Vb=V). Per la legge di Ohm si ha:

,

Il primo principio di Kirchhoff al nodo a in cui

confluisce Ic si esprime come:

La relazione dimostra che i resistori in parallelo possono essere sostituiti con un resistore di resistenza

equivalente Re che si calcola con la relazione:

(6)

Re risulta minore della più piccola delle Rk. Nel caso di due soli resistori si ha:


n....., 2, 1,k R

VI

k

k

e

n

1k

k

n

1

n

1k

n

1k

n

1 kcR

V

R

1

1

VGV

R

1V

R

VII

n

1k

e

R

1

1R

21

2c1

1

2

2

1

21

21e

RR

RII ;

R

R

I

I ;

RR

RR R

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Attuatori Elettrici

Studio dei circuiti a maglie

I principi di Kirchhoff consentono di trovare le grandezze incognite (tensioni e/o correnti) di un circuito elettrico

magliato, costituito da n nodi ed l lati. Si tratta di esprimere n-1 equazioni ai nodi (primo principio) ed l-(n-1)

equazioni alle maglie (secondo principio) linearmente indipendenti. Perché sia soddisfatta questa condizione

occorre individuare nella rete un percorso aperto (che non contenga maglie chiuse) che colleghi tutti i nodi.

Tale percorso viene definito albero della rete. Si esprimono n-1 equazioni ai nodi. Si scelgono, dunque, l-(n-1)

maglie che si appoggiano all’albero (contenedone almeno un lato) e si scrivono le rispettive equazioni alle

maglie, completando il sistema lineare di n equazioni (le resistenze devono essere costanti). Le ulteriori

equazioni che si possono ottenere, risultano combinazioni lineari delle precedenti n. La soluzione del sistema

di equazioni lineari può essere trovata con gli usuali metodi (sostituzioni successive, Kramer etc.). In forma

matriciale il sistema si esprime come:

(7)

[V] ed [I] rappresentano i vettori colonna delle tensioni e delle correnti, mentre [R] rappresenta la matrice (nxn)

delle resistenze (contenente n-1 righe di termini +-1 relative alle equazioni ai nodi). Se sono date le tensioni, le

correnti si trovano con l’ausilio della relazione: (8)

Le relazioni precedenti esprimono anche un modello matematico

idoneo allo studio degli n-bipoli lineari passivi che sono circuiti elettrici costituiti da sole resistenze alimentati

da generatori di tensione.


VRI

IRV

1

11

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Attuatori Elettrici

Il principio di sovrapposizione degli effetti costituisce un utile ausilio per lo studio delle reti lineari. La corrente

in un ramo qualunque della rete è uguale alla somma algebrica delle correnti nello stesso ramo dovute ai

rispettivi generatori della rete, agenti separatamente. Il principio si deduce facilmente dall’espressione di una

qualunque delle correnti della rel. 8. Per il circuito di Fig.1, alimentato con il solo generatore 1 (o 2)

(l’altro viene sostituito da un collegamento equipotenziale detto corto circuito), si ha:

(9)

Quindi:

Fig. 1

(10)

Il metodo delle correnti di maglia permette di calcolare le correnti scegliendo arbitrariamente correnti di maglia

ed applicando il principio di Kirchhoff alle maglie indipendenti:

(11)

Pertanto, si ha (cfr.Fig.1 e Fig.2):

(12) Fig.2


''

1

'

11

31

3

31

312

2

''

1

32

321

1'

1

III

R

RR

RRR

1VI ;

RR

RRR

VI

RR

)JJ(RJ RV

)JJ(RJ RV

213222

213111

;JJI ;JI ;JI 2132211

12

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Attuatori Elettrici

Il principio del generatore equivalente ( di tensione o di corrente) Permette di sostituire ad una rete lineare

comunque complessa, vista da due suoi morsetti, definita bipolo lineare attivo un generatore equivalente di

tensione (o di corrente), costituito da un generatore ideale di tensione (o di corrente) con in serie (in parallelo)

una resistenza Ri. Trattandosi di una rete lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il bipolo (1), visto dai morsetti a e b può essere inter-

pretato come un generatore di tensione con caratteri-

stica V(I)=Vo-Ri I. Se si inserisce tra i morsetti a-b, un

generatore ideale (V0) tale che I’k=0,si ottiene il bipolo

(3) che corrisponde al bipolo (2) a vuoto. Se si sostitu-

iscono ai generatori interni del bipolo dei corto circuiti

e si inserisce tra i morsetti a-b un generatore ideale

(Vo), si ottiene il bipolo(4). Si riconosce che (1) corri-

sponde alla sovrapposizione di (3) e (4).Infatti,

I”k +I‘k = Ik . In (4), la resistenza interna del bipolo,

vista dai morsetti a-b, è Ri. Pertanto, si ha:

(13)

Considerando che V0=Ri Icc, dalla (13) si ha:

(14)

a cui corrisponde il circuito del generatore equivalente di corrente

riportato nella fig.(5), dove il generatore ideale di corrente alimenta

con la corrente Icc le due resistenze in parallelo Ri ed Rk.


ik

0k

RR

VI

ik

icck

RR

RII

13

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Attuatori Elettrici

Massima potenza erogabile da un generatore

La potenza erogata è:

Eguagliando a zero la sua derivata rispetto a R1, si trova che il valore di questa che rende

massima la potenza è Ri ; quindi, la potenza massima erogabile è:

In queste condizioni il rendimento del generatore (VIc/V0Ic) è solo il 50% della potenza

generata; inoltre la variazione (caduta) di tensione da vuoto a carico è V0-V=V0/2.

Tali condizioni di adattamento della resistenza di carico non sono favorevoli nelle applicazioni di potenza, ma

risultano molto utili nell’elettronica e nelle comunicazioni.

Generatori in parallelo

Applicando il principio di Kirchhoff alla maglia contenente i due generatori e al nodo a

(o b) si ottiene:

Cioè, le correnti erogate hanno due componenti; una corrisponde alla ripartizione della

I nelle resistenze interne in parallelo, l’altra è la corrente di circolazione tra i generatori.

Ai due generatori se ne può sostituire uno equivalente caratterizzato da tensione a vuoto e resistenza interna:

Ponte di Wheatstone

E’ un circuito a ponte utilizzato per la misura di una resistenza incognita,quando siano

note le restanti tre. Quando, chiudendo i tasti t1 e t2, il galvanometro G non indica

passaggio di corrente, i punti a e b sono equipotenziali (Vab=0), le correnti sono quelle

indicate nel disegno e il ponte si dice in equilibrio. Allora si ha:

dalle quali, ricavando i rapporti tra le correnti I1 ed I2 ed eguagliando di ottiene:


2i1

12

01

2

ccRR

RVRIIVP

)(4R / VP i

2

0max

;RR

VVI

RR

RI ;

RR

VVI

RR

RI

i2i1

0201

i2i1

i12

i2i1

0201

i2i1

i21

)R/(RRRR );R)/(RRVR(VV i2i1i2i1ii2i1i102i2010

;IRIR ;IRIR 22132x11

3

21x

R

RRR

14

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Attuatori Elettrici

Cenni sulla misura della corrente, della tensione e della potenza.

Quando si vuole misurare la corrente, la tensione e la potenza

che una rete generatrice (G) fornisce ad un utilizzatore (R), si

impiegano gli strumenti di misura rispettivamente denominati

amperometro (A), voltmetro (V) e wattmetro (W).Il primo è col-

legato in serie con l’utilizzatore (dovendo essere attraversato

dalla corrente da misurare), il secondo in derivazione o in pa-

rallelo con l’utilizzatore (dovendo misurare la tensione ai suoi

morsetti), il terzo, dovendo misurare la potenza, pari al prodot-

to della tensione per la corrente, presenta un circuito ampero-

metrico ed uno voltmetrico che vengono rispettivamente colle-

gati in serie ed in derivazione con l’utilizzatore.Con riferimento

alla strumentazione tradizionale,l’amperometro presenta una

resistenza interna (Ra) che deve essere più piccola possibile

per limitare l’effetto della sua caduta di tensione (Ia Ra) sulla misura della tensione applicata all’utilizzatore; il

voltmetro presenta una resistenza interna (Rv) che deve essere più grande possibile per limitare l’effetto della

corrente Iv sulla misura della corrente che attraversa l’utilizzatore. Stesse considerazioni valgono per le

resistenze interne del wattmetro. Di ciò occorre tenere conto nell’inserzione degli strumenti a monte o a valle

dell’uno rispetto all’altro (l’utilizzatore si intende sempre a valle del generatore) per la valutazione degli errori

conseguenti. Gli strumenti tradizionali (e da quadro),sono basati sui principi magnetoelettrico o elettrodinamico:

l’ indice mobile, che indica il risultato della misura su una scala opportunamente graduata, è mosso dalle forze

dovute all’interazione tra le correnti (Ia, Iv) ed il campo magnetico generato dalle stesse o da un magnete

permanente. Questi strumenti sono, per loro natura analogici. Diversamente da questi, molti moderni strumenti di

misura sono digitali; con l’ausilio di un processore ( )opportunamente programmato, le grandezze da

misurare vengono acquisite (S&H),quantizzate e ,quindi, trattate con l’algoritmo di misura memorizzato nel

processore, per restituire il risultato della misura su un display numerico e/o su un sistema di controllo.

Richiami di Elettromagnetismo 15

Cμ P,μ

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Attuatori Elettrici

Dispersori sferici Una sfera conduttrice , immersa profondamente nel terreno di resistività , collegata al generatore di tensione V, tramite un conduttore isolato dal terreno, disperde la corrente I. Il polo negativo del generatore è collegato intimamente (resistenza nulla) al terreno a distanza infinita dalla sfera. Pertanto, i vettori densità di corrente e campo elettrico sono radiali (direzioni concentriche col centro della sfera e verso uscente da questo), mentre le superfici equipotenziali sono sfere concentriche. Su ognuna di queste superfici, detti vettori, presentano moduli costanti. Su quella di raggio r, la densità di corrente ed il campo elettrico (costanti in tutti suoi punti) risultano espressi come: . La differenza di potenziale tra la sfera conduttrice e quella di raggio r si esprime come: Assumendo che l’elettrodo negativo corrisponda alla sfera di raggio infinito e che i conduttori di collegamento abbiano resistenza trascurabile, il potenziale della sfera conduttrice, rispetto all’infinito è pari a V, cioè: La resistenza vista dai poli del generatore, ovvero la resistenza di terra del dispersore sferico profondo, è espressa come: Nel caso del dispersore semisferico superficiale (2), con analoghe considerazioni si deduce la resistenza di terra: Nella figura è anche riportato l’andamento del potenziale sulla superficie del terreno:


22r4

IG E;

r4

IG

r

1

r

1

4I dr

r

1

4I dr E)r(V

1

r

r 2

r

r 11

1r4IV)(V

1

tr4I

VR

1

tr2

R

.rr ,r2

ρIV(r) ;rr0 , VV(r) 11

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Ωm) (ρ1 1con m)(

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Attuatori Elettrici

Leggi fondamentali del campo elettrostatico

Si fa riferimento al campo elettrico dovuto alla presenza di cariche statiche.

• La circuitazione del vettore E è nulla:

• La forza agente su una piccola carica ‘q’ è espressa come (legge di Coulomb):

•

• Su una superficie carica si definisce la densità di carica; D=dQ/dA e come modulo del vettore spostamento che è legato al campo elettrico secondo la rel.:

(3); (4)

• La (4) rappresenta la costante dielettrica dell’isolante interposto, (o ed r indicano quella del vuoto e quella relativa).

• Il flusso del vettore spostamento attraverso una superficie aperta A coincide con la carica sulla stessa:

(5);

• Se la superficie A è chiusa e racchiude un elettrodo con carica Q si ha:

(6).

• Si può sempre definire una funzione potenziale scalare V tale che:

(7);

• le superfici equipotenziali sono ortogonali al campo elettrico (quindi, al vettore spostamento);dunque, le superfici degli elettrodi sono equipotenziali; inoltre, la d. di p. tra i punti 1 e 2 del campo è:

(8)


(1) ;0sdE

(2) ;q EF

E D

r0

A

AQAdD

QAdD

V gradE

2

12112 sdEdVVVV

17

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Attuatori Elettrici

Leggi fondamentali del campo elettrostatico

• Il campo di una carica puntiforme è radiale, le superfici equipotenziali sono sfere concentriche con la carica; pertanto, in base a (3) e (6)si ha la rel.(formalmente identica a quella del campo di corrente di una sfera conduttrice immersa profondamente nel terreno):

(9).

• Il potenziale sulla sfera di raggio r coincide con la differenza di potenziale tra questa e l’infinito, se per questo si assume potenziale nullo:

(10).

La 10 permette di calcolare il potenziale dovuto ad una qualunque distribuzione volumica di carica = dQ/dv

(11)

Unità di misura .

Carica: A s= C (Coulomb).

Campo elettrico V/m.

Costante dielettrica =D/E: C/(Vm)=F/m ,

F=C/V (Farad), misura della capacita di un condensatore.

Costante dielettrica del vuoto =8,85419 pF/m.


2r4

QE

r4

Q

r

11

4

QrdE)r(V

r

v r

dv

4

1V

0

17

19


Attuatori Elettrici

Condensatore piano. Il campo elettrico tra le armature di area S, distanti d,

con dielettrico interposto di costante dielettrica , è uniforme (trascurando

l’effetto dei bordi); la carica Q (+-)è distribuita uniformemente sulle armature:

(1)

Condensatore sferico. Il campo elettrico tra le armature concentriche (di raggio r1 ed r2 risp., con r1< r2) è radiale ed

è espresso dalla rel.(9)-17; la circuitazione del campo elettrico da r1 ad r2 fornisce la d. d. p. V tra le armature; il

rapporto tra la carica Q e la d.d.p. V fornisce la capacità del condensatore sferico:

(2)

Sfera isolata. La capacità di una sfera isolata di raggio r è (rel. (10)-17): C=Q/V= .

Condensatore cilindrico. Si esprime il campo elettrico tra due armature cilindriche coassiali (di raggio r1 ed r2 risp.,

con r1< r2, lunghe l) con l’ausilio della rel.(9)-17, si calcola la d.d.p. V tra le armature con l’ausilio della circuitazione

del campo elettrico, ed, infine si calcola la capacita del condensatore come segue:

(3)

Condensatori in parallelo. n condensatori sono collegati in parallelo quando ad essi è impressa la stessa

tensione V. Pertanto si ha:

(4)

Condensatori in serie. n condensatori sono collegati in serie quando presentano la stessa carica Q.

Pertanto si ha:

(5)

I condensatori in serie possono essere impiegati come partitore di tensione capacitivo.


d

S

V

QC V; CV

d

SQ ;

d

V E

S

QD

12

21

rr

rr4

V

QC

)r/rln(

l2

V

QC ;

r

rln

l2

Qdr )r(EV ;

lr2

Q)r(E

121

2r

r

2

1

n

1 ke

n

1 k

n

1 kkk .CV

QC ;CVQQ n;2,...., ,1k ,VCQ

n

1k

n

1 e

k

n

1 kkk

C

1

1C ;

C

1QVV n;2,...., 1,k ,C/QV

r4

20


Attuatori Elettrici

Dielettrico non omogeneo. Si considera il caso di un con condensatore piano con dielettrico costituito da due materiali con costanti dielettriche diverse ( 1, 2) (cfr.Fig.1).La superficie di separazio- ne tra i dielettrici è parallela alle armature ed è, quindi, equipotenziale: pertanto la tensione V si ripartisce tra i dielettrici (ai quali sono impresse risp. V1 e V2) come nei condensatori in serie (con uguali superfici S) i quali hanno capacità: Inoltre si trova: (1) Fig.1 Il campo elettrico è più grande nel mezzo con costante dielettrica più piccola. La capacità del condensatore è: (2) Sistema di n conduttori cilindrici (rettilinei e indefiniti) carichi. La carica Qk, singolarmente agente, genera i potenziali parziali sui conduttori: (3) Sovrapponendo gli effetti, si ottengono i potenziali totali: (4) . La rel.4 costituisce un sistema di equazioni lineari. Da essa possono essere calcolate le differenze di potenziale tra un conduttore ed i restanti. Per es., sottraendo dalla eq. i=1 le restanti, si ottiene il sistema lineare di n-1 equazioni: (5) Nell’ipotesi di assenza di altre cariche nelle vicinanze si ha: (6). Le rel.(5) e (6) costituiscono un sistema di equazioni lineari che, risolto rispetto alle cariche,ha soluzioni: (7). Ci,k è definita capacità parziale ed è la capacità tra i conduttori i e k, quando tutti i restanti sono equipotenziali con l’i-esimo. Si verifica che Ci,k= Ck,i. Campo elettrico tra due conduttori reali che alimentano un carico. A causa della corrente I e della resistenza distribuita lungo i conduttori che alimentano l’utilizzatore C, si ha una c.d.p. distribuita e una componente di campo elettrico lungitudinale (El) in modulo pari a dV/dl (gradiente di V lungo l). Tra due elementi paralleli di conduttore esiste un d.d.p. a cui corrisponde il campo trasversale(Et). Dalla composizione di queste due componenti risulta il campo complessivo E non ortogo- nale alla superficie del conduttore, come indicato nel punto p.


2. 1,k ,S/d C kkk

Vdd

E;Vdd

E;E

E

d/V

d/V );d/()d(V/V

1221

12

1221

21

1

2

2

1

22

11122121

)dd/()( SC 122121

n; 2,..., 1,i ,QvV k

p

k,i

p

k,i

n;2,....., 1,i ,QvVV k

n

1k

p

ki,

n

1k

p

ki,i

n;3,..., 2,i ,Q)vv(VV k

p

k,i

n

1k

p

k,1i1

.0Qn

1 k

n;2,..., 1,k ),VV(cQ ik

n

2i i,kk

21


Attuatori Elettrici

Carica e scarica del condensatore. Si considera il circuito (RC) indicato in fig.1; il condensatore è inizialmente

scarico. Quando si chiude il tasto t nella posizione 1, nel circuito circola la corrente Ic di carica del condensatore e

si ha: V=vab+vde=vR+vc; si ha:

(1)

Gli andamenti delle soluzioni (in valori relativi) sono indicate in fig.2, dove I=V/R.

Se si apre il tasto dopo la completa carica del condensatore,questo rimane carico

indefinitamente, se il dielettrico è perfetto.Quando si chiude il tasto t nella posizio-

ne 2, il condensatore si scarica (dq negativo), con la corrente is, sulla resistenza: Fig.1

(stesso risultato si ottiene ponendo, nell’eq. diff. relativa alla carica, V=0). Con la

condizione iniziale (t=0, vc=V)si ha:

(2)

Il bilancio energetico durante il tempo dt si ottiene moltiplicando l’equazione delle tensioni per Fig.2

Icdt, cioè: (3). Introducendo le soluzioni (1) ed integrando entrambi i membri tra t=0

e t=oo, si ha:

(4)

La rel.4 esprime che l’energia fornita dal generatore V nel processo di carica si ripartisce in parti uguali tra

quella persa per effetto Joule nella resistenza e quella immagazzinata nel condensatore (energia potenziale) che,

nel successivo processo di scarica, verrà restituita e dissipata nella resistenza. Il rendimento di carica è, dunque,

del 50%, indipendentemente dai valori della resistenza e della capacità.


.)/texp(R

V

dt

dvC

dt

dqi ; )/texp(1Q vCq ;)/texp(1Vv

:soluzionela dunque,,ha si;0 v,0 t:condizionela con trova si Vk costantela ),/texp(kV v;'k/t)v-ln(V-

:menbri i entrambi integrando ;dt

v-V

dv :ha si RC posto ;v

dt

dvRCV ;

dt

dv RC V ;Cdvdq ;

dt

dqRi RV

cccc

ccc

c

cc

ccRccR

)/texp(k v;'k/t)ln(v- :egrandoint ;dt

v

dv- ;

dt

dvRC

dt

dq-Ri Rv cc

c

ccsc

)./texp( Ii );/texp( Q)/texp(Cv q );/texp(Vv scc

;idtvdtRidtVi c

2

cc

2

CV

2

CVdt)/t2exp()/texp(

R

Vdt)/t2exp(

R

VdtViW

22

0

2

0

2

0c

22


Attuatori Elettrici

Forze nel campo magnetico. Sperimentalmente si è determinata la forza agente su un elemento di conduttore dl,

attraversato dalla corrente i, interessato dall’induzione B; se si introduce il versore dl orientato come la corrente i

la forza elementare sul conduttore è:

f esprime la forza per unità di lunghezza del conduttore. Poiché è i dl=i dl dt/dt= dq v, la forza agente sulla carica

dq in moto con velocità v:

Se il conduttore è rettilineo, lungo l ed il campo incide normalmente ad esso ed è uniforme

in tutti i suoi punti, la forza agente sul conduttore è semplicemente espressa come:

Circuiti magnetici. Il circuito magnetico rappresentato nella fig.2 è definito toro; nelle spire (N)

avvolte strettamente attorno al toro, circola la corrente i; all’interno del toro si stabilisce un

campo magnetico le cui linee sono circonferenza concentriche col toro e, quindi, questo

costituisce un tubo di flusso concatenato N volte con il circuito di eccitazione costituito

dalle N spire. Per la circuitazione (rel.(1) e (2) -22) si ha:

La rel. evidenziata è formalmente identica alla v=Ri, e, pertanto, viene definita

legge di Ohm dei circuiti magnetici. R, è definita riluttanza dl circuito magnetico

(il suo inverso è la permeanza), mentre Ni è la forza magneto-motrice (f.m.m).

Si consideri il circuito magnetico indicato in fig.3., costituito con materiale di permeabilità

molto maggiore di quella del mezzo circostante; ciò significa che esso si identifica con i

tubi di flusso generati dalla f.m.m. Ni. Nel nodo c, per la rel.(4)-22 si può scrivere una

relazione analoga al I° principio di Kirchhoff e, in base alla rel.(4)-25, si possono scrivere

relazioni analoghe a quelle del II° principio di Kirchhoff, cioè:

L’applicazione dei principi di Kirchhoff ai circuiti magnetici, analogamente al caso dei circuiti elettrici, consente di

determinare un sistema di equazioni utile per la soluzione del circuito. Nel caso non sia rispettata la condizione

sulle permeabilità, il precedente sistema di equazioni, risulta approssimato.


(1) ; )sin( Bidl/dFf ; )sin( dl BidF );Bld(iFd

(2) ; )Bv(dqFd

(3) l; BiF

(4) ;S

l1 , Ni S;/B Ni;r/2 B;B/ HNi;r2 H

(5) ;0 ;Ni ;0 2fc3f-e-d-c2fc1c-b-a-f321

23


Attuatori Elettrici

Permeabilità magnetica dei materiali. I materiali si distinguono in paramagnetici o diamagnetici rispettivamente

quando comunque, in pratica, si può assumere sempre il valore di

I materiali ferromagnetici presentano valori di permeabilità variabili (non biunivocamente) con il valore di H.

La caratteristica magnetica o curva di magnetizzazione B=f(H) è riportata nella fig, 1. I valori sono determinati

sperimentalmente facendo variare lentamente H (cioè la f.m.m. applicata al provino); Br è l’induzione residua e

Hc è il campo coercitivo. Nella fig.2 sono riportati i cicli di isteresi simmetrici per diversi valori di induzione max, fino a saturazione. Con riferimento alla rel. (5)-24 e alla fig. 3, si riconosce che l’energia persa per isteresi durante un ciclo completo è proporzionale all’area racchiusa dal ciclo. Nelle applicazioni si usano materiali ferromagnetici opportunamente legati e lavorati per ottenere cicli di isteresi stretti, cioè a basse perdite per isteresi.

Quando il ciclo viene percorso con frequenza >0, a causa delle tensioni indotte, nel materiale si hanno correnti

indotte dette correnti parassite che causano perdite per effetto Joule dette perdite per correnti parassite. Il ciclo di

magnetizzazione, a parità di vertici di quello di isteresi, risulta ingrossato, rispetto al precedente, perché porta in

conto anche l’energia dissipata per correnti parassite. Per ridurre queste perdite si ricorre alla laminazione dei

nuclei secondo piani paralleli alle linee di flusso in modo da limitare le correnti indotte. In tal modo gli elementi

costituenti i circuiti ferromagnetici sottoposti a variazione del campo magnetico, vengono realizzati con lamierini di

spessore (anche <1mm), tra loro isolati. Ogni tipo di lamierino è caratterizzato dalla Cifra di Perdita (W/kg) che

esprime la perdita di un kg di materiale sottoposto a magnetizzazione sinusoidale (f=50Hz) e BM= 1T.


; 1 ,1 rr H/m.1047

0

24


Attuatori Elettrici

Magneti permanenti. I materiali usati sono leghe speciali che presentano marcata isteresi con elevata forza

corcitiva (Hc):

1) Alnico (alluminio-nichel-cobalto) Br=1,2 T, Hc= 50 kA/m. 2) Ferriti (ossidi di ferro) Br=0,4,

Hc=250 kA/m. 3) Samario-cobalto (Sm2Co17) Br=1,1 T, Hc=750 kA/m. 4) Neodimio-ferro-boro (NdFeB) Br=1,3 T

Hc=950 kA/m.

1 e 2 sono materiali tradizionali; Le ferriti hanno elevata resistenza ohmica e, quindi, avendo basse perdite per

correnti parassite, possono essere impiegate in applicazioni ad alta frequenza.

Il calcolo del circuito magnetico si esegue impiegando la legge della circuitazione e la

continuità del campo magnetico. Nel caso della fig. 2 si ha:

La rel.(3) rappresenta l’equazione della retta O-P (cfr fig.2) ed è definita retta di lavoro.

Il punto P è definito punto di lavoro del magnete. L’induzione al traferro d si trova poi

con l’ausilio della rel.(2).


(3) ;H B

(2) 1) ,1( ;B

(1) ;0

p00p

p

--------

kHd

l

A

AH

A

AB

A

A

ABA

dHlHlHdHlHlH

p

p

p

dd

p

dd

p

d

ddp

dppgfegfedcbacbapp

25


Attuatori Elettrici

Coefficienti di auto e mutua induzione. Un circuito elettrico attraversato da corrente genera un campo magnetico

le cui linee di flusso sono concatenate col circuito stesso (flusso concatenato di autoinduzione). Se H insiste

su un mezzo a permeabilità costante, il flusso concatenato e la corrente sono proporzionali, cioè: .

L è denominato coefficiente di autoinduzione del circuito ed esprime il flusso concatenato per corrente unitaria.

L’unità di misura è .Se si considera il caso del circuito avvolto attorno

al toro (rel. (4)-25), per il flusso concatenato si ha: .

Si consideri il caso di due circuiti filiformi di N1 ed N2 spire risp., avvolte strettamente ed immerse in un mezzo a

permeabilità costante. Se nel circuito 1 circola la corrente i1, la f.m.m. i1N1 genera una distribuzione di campo

magnetico, (cfr. fig.1). Il flusso concatenato col circuito 1 è:

dove è il flusso del tubo delimitato dalle N1 spire. Indicando con il flusso del tubo

delimitato dalle N2 spire (< ), il flusso concatenato col circuito 2 (ma generato da 1) è

Definito flusso di mutua induzione ed è espresso come: .L21

(o M21) è definito coefficiente di mutua induzione e rappresenta il flusso concatenato col circuito 2 dovuto alla corrente di 1 A nel circuito 1.

Se si alimenta il circuito 2 con la corrente i2, essendo i1=0, il campo magnetico, diverso da

quello indicato in fig 1, è generato dalla f.m.m i2N2. Con considerazioni analoghe a quelle

svolte precedentemente si ha:

Se si considera il caso in cui circolano contemporaneamente le due correnti nei risp. circuiti,

si otterrà una distribuzione di campo uguale alla sovrapposizione dei campi parziali prima considerati, poiché la

permeabilità del mezzo è costante e la posizione reciproca dei circuiti immutata. La sovrapposizione degli effetti

vale anche per i flussi concatenati con i due circuiti, cioè:

Si dimostra la simmetria dei coefficienti di mutua induzione, cioè Mj,k=Mk,j. Le rel. (8) e (9), nel caso generale di n

circuiti, possono essere espresse come:

o anche in forma matriciale:


(1) ;i L

(3) ;N P/N Li; LiN P/N iN 22 22

(2) (H); Henrys A/Vsi/

(4) ;iLN 11 11111 1

1 1 1 2

(5) ;iMiLN 12112121221

(6) ;iLN 22 22 222 2 (7) ;iMiLN 21221212112

(8) ;iMiL 21211 1121 11 (9) ;iMiL 11 222 21 22 22

(10) n;2,..., 1,k , iL j

n

1j

j,kk

1 1

(11) ;iL j,k

26


Attuatori Elettrici

Conversione elettromagnetica dell’energia. Nella fig. 1 è rappresentato un elettromagnete

con circuito magnetico costituito da materiale di permeabilità elevata, rispetto a quella del mezzo

circostante. L’elettromagnete presenta un elemento mobile con un grado di libertà ( ).

Il circuito elettrico è concatenato col flusso che, attraversando un circuito magnetico la

cui geometria varia con , dipenderà da i e da . Il flusso concatenato

può essere rappresentato in funzione di i per due diversi valori di , come indicato nella fig.2.

In base alla rel.(2)-24, il bilancio energetico elementare per la struttura deformabile in esame,

(essendo v la tensione impressa al circuito di resistenza R) risulta espresso come:

La rel (1) esprime che l’energia fornita dal generatore, decurtata delle perdite per effetto Joule,

è convertita in energia magnetica (dWM) ed in energia meccanica (C d ). Se la trasformazione

elementare considerata avviene con flusso concatenato costante , si ha:


N),i(

(1) ; CdθdW ) (i,d i dtRividt M

2

)0),i(d(

(2) ; WW

C ;CddW0 tcosM

0dM

M

27


Attuatori Elettrici

Transitorio di inserzione di un circuito R-L. Si consideri un circuito costituito da un resistore R ed un induttore L in

Serie(cfr.fig.1). Se si alimenta il circuito col generatore di tensione V, chiudendo l’interruttore t nella pos. 1, circola

la corrente i. Applicando il principio di Kirchhoff alla maglia, si ha:

L’equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea ha la soluzione:

La costante di integrazione k si determina ponendo nella soluzione le condizioni iniziali

t=0, i=0. Quindi, si ha: ……………………………………………………………………….

L’andamento della corrente è indicato nella fig.2. La tangente nell’origine alla curva

ha pendenza V/L, come si può dedurre dalla re.(1) per Ri=0 ed interseca l’ordinata

V/R al tempo . Eseguendo il bilancio energetico durante il transitorio si ricava che

nel campo magnetico (o “nell’induttore” ) è immagazzinata l’energia:

Nella fig.(3), sono indicati gli andamenti delle potenze istantanee durante il transitorio;

poichè le energie sono proporzionali alle aree sottese tra le curve e l’asse t, l’energia

immagazzinata nell’induttore è rappresentata dall’area tratteggiata. Se, esaurito il tran-

sitorio, si apre l’intertuttore t, nel tempo di apertura la corrente è forzata a zero (con

conseguente elevata tensione indotta nell’induttanza) e l’energia immagazzinata si

estingue nell’arco elettrico ai contatti dell’interruttore (e nella resistenza R). Per evitare

questo inconveniente, si può estinguere la corrente (e l’energia WM) nel circuito che si

ottiene chiudendo il tasto t nella posizione 2. L’energia immagazzinata nell’induttanza

viene dissipata nella resistenza R. La corrente si estingue esponenzialmente:


(1) ;dt

diLRiV ;

dt

diL- e 0;Ri-eV ;0VVV bcab

(2) ;R

V)

texp(k)t(i ;

R

L ;

R

V)t

L

Rexp(kii)t(i pt

(3) ;e1R

V)t(i

t

(4) ;R

V L

2

1)(W ;R/Vi(t) , t);t(i L

2

1)t(W

2

M

2

M

(5) ; eR

V(t)i );/texp(k0i(t)i ;

dt

diLi R0 ;i Re

t

0t000

28


Attuatori Elettrici

Transitorio di inserzione del circuito R-L-C in serie. Il condensatore si suppone inizialmente

scarico. Si chiude il circuito portando il tasto nella pos.1. La corrente di carica del

condensatore attraversa il resistore e l’induttore. Per il principio di Kirchhoff alla

maglia chiusa si ha:

L’omogenea associata della eq. (1) viene derivata rispetto al tempo e si ottiene:

k1 e k2 sono le costanti di integrazione mentre sono le costanti di tempo che, risolvendo l’equazione

caratteristica della omogenea associata sono espresse come: . Si possono avere tre

tipi di soluzione generale nei rispettivi casi: Nel primo caso, le costanti di tempo sono

reali e distinte: la soluzione generale è di tipo aperiodico somorzato. Nel secondo, esse sono complesse

coniugate a cui corrisponde una soluzione di tipo pseudoperiodico smorzato. Nel terzo caso, esse sono reali e

coincidenti e la soluzione è di tipo aperiodico con somorzamento critico. La soluzione particolare si trova

sommando, alla soluzione transitoria trovata [It(t)=rel.(2) (*)], la soluzione di regime permanente Ip(t), cioè

i(t)= It(t)+ Ip(t). Nel caso inizialmente considerato (tasto in pos.1) le condizioni iniziali sono i(t)=0 e Vc=0 mentre

le soluzioni di regime permanente sono i(oo)=0 e Vc(oo)=V. Quando,esaurito il transitorio di inserzione, si porta il

tasto nella pos.2, le condizioni iniziali sono ovviamente coincidenti con quelle precedenti di regime permanente e

le condizioni finali, o di regime permanente (t=oo) sono i(oo)=0 e Vc(oo)=0. L’introduzione di queste condizioni

permette di determinare le funzioni i(t) ed io(t).

(*) Nel caso si radici coincidenti la soluzione è espressa dalla rel. (4).


(1) ;idtC

1

dt

diLRiV

;RiV ;dt

diLeV idt;

C

1 VV ;0VVVV dfcdcabdfcdab

(2) ;)exp(-t/ k)exp(-t/ ki(t) ;s LC

1 s;

R

2LT 0;i

22211

1-

0

2

02

2

dt

di

Tdt

id

21 e

(3) );T11/(T22

02,1

.1T ,1T ,1T 000

(4) ;)exp(-t/ k)exp(-t/ t ki(t) 21

29


Attuatori Elettrici

Regime sinusoidale stazionario. Si consideri la spira rotante nel campo uniforme

indicata nella fig.1, dove essendo T il periodo di rotazione. Il flusso

concatenato con la spira e la tensione indotta sono espressi risp. come:

Le grandezze sinusoidali possono essere rappresentate mediante

i corrispondenti vettori rotanti; pertanto valgono le seguenti operazioni:


(2) ;e VjeVm eeVm emV

tsin tsin S B dt

d-ev

(1) ;e e ee

tcos S B ; t ;cos S B

tj

Me

tj

M

tjj

M

tj

M

0M0b-a

tj

Me

tjj

Me

tj

eM

00

00

00

(9) ;e A

jdte Adte A

(8) ; e A j e dt

dAe A

dt

d

(7) ;e eZAe eA Zee AZ

(6) ;)eB/ A(eB/ eAZB /Ae B/ e A

(5) ;e eBAe eB eAe B Ae B e A

(4) ;e )B A(e Be Ae Be A

(3) ;e A Ke A K

tjMe

tj

Me

tj

Me

tj

Me

tj

Me

tj

Me

tj)j(

M

tjj

M

j tj

M

)j(

MM

j

M

j

MMM

tj

M

tj

M

tj2)j(

MM

tj2j

M

j

M

tj2

MM

tj

M

tj

M

tj

MMe

tj

M

tj

Me

tj

Me

tj

Me

tj

Me

tj

Me

AZAZ

BABA

BABA

,T/2

30


Attuatori Elettrici

Circuiti elementari.

-Circuito puramente resistivo:

Il bilancio delle potenze si esprime come: ( 3).

La potenza media nel periodo T , definita potenza attiva o reale, è:

Poiché RI è il valore efficace di v(t), si ha: P = V I ; (5). Nella

rappresentazione vettoriale, possono essere considerati vettori

di ampiezza pari al valore efficace invece dei valori massimi, cioè

la rel.(2) può essere scritta con i valori efficaci,(cfr.fig.4):

I vettori della rel.6 sono definiti vettori simbolici. Si noti

che la potenza attiva si esprime come:


(2) ;I RV ;R

V I ;eIe

R

V

;eIeeR

Vei(t) );t(i ReVe)t(v

(1) ;)tcos(I)tcos(R

Vi(t) i(t); R)tcos(V)t(v

MMM

M

tj

M

tjM

tj

M

tjMtj

M

MM

M

;)t(i R)t(i)t(v)t(p2

(4) efficace) (valore ;2

Idt)t(i

T

1I

(3) ;I Rt)dt(cosI T

1Rdt )t(i

T

1Rp(t)dt

T

1P

MT

0

2

2T

0

22

M

T

0

2T

0

(6) ;I RV

(7) ; I Vcos(0) I V)I

V(cos I VP

M

M

)T/2f2(

31


Attuatori Elettrici


-Circuito puramente induttivo:

XL è definita “reattanza induttiva o magnetizzante”

Il bilancio delle potenze si esprime come:

La potenza media (potenza attiva o reale) è:

Introducendo i valori efficaci nella rel.(2) si ha, analogamente alla rel.(6)-33

(cfr. fig.4),:

Il prodotto:

è definito potenza reattiva.


(2) ;IjXV ;L

Vj

Lj

V I ;eIe

Lj

V

;eIeeLj

Vei(t) ;

dt

di(t)LeVe)t(v

(1) ;)2

tcos(I );tsin(L

Vdt)tcos(

L

Vi(t) ;

dt

di(t)L)tcos(V)t(v

MLMMM

M

tj

M

tjM

tj

M

tjMtj

M

MMM

M

(4) ;0p(t)dt T

1P

T

0

(5) ;I jXV L

(3) );2

tcos(I)tcos(V)t(i)t(v)t(p MM

(6) ;IXI V/2)sin( I V)I

V(sin I VQ

2

L

32


Attuatori Elettrici


-Circuito puramente capacitivo:

XC è definita “reattanza capacitiva”.

Il bilancio delle potenze si esprime come:

La potenza media (potenza attiva o reale) è:

Introducendo i valori efficaci nella rel.(2) si ha, analogamente alla rel.(6)-33,(cfr.fig4):

Il prodotto:

è definito potenza reattiva.


(2) ;IjXICj

1V ; V Cj I

;eIeeV Cjedt

)t(dvCi(t) ;eVe)t(v

(1) ;)2

tcos(I )tsin(V Cdt

)t(dvCi(t) ;i(t)dt

C

1 )tcos(V)t(v

MCMMMM

tj

M

tj

M

tj

M

MMM

(4) ;0p(t)dt T

1P

T

0

(5) ;I jXV C

(3) );2

tcos(I)tcos(V)t(i)t(v)t(p MM

(6) ;IXI V/2)sin(- I V)I

V(sin I VQ

2

C

33


Attuatori Elettrici

Circuito RLC serie: Per Il principio di Kirchhoff alla maglia si ha:

Z è un operatore vettoriale (impedenza)che ha modulo e fase dipendenti da :

La rel(8) rappresenta la condizione di risonanza serie. E’ definito fattore di

merito del circuito la grandezza adimensionale:


(5) ;Z

V 2 e

Ze

V 2 e

Z

V 2 e 2ei(t)

(4) );cos( 2

)cos( 2i(t)

(3) ;arctang ;)( ;I

V

(2) ;Z

V I ;I )(

(1) );cos( )2

(cos1

)2

(cos)(cos

)]cos(Ii(t) [soluz. )(1)(

)( )cos()(

)-(

j

22

M

tjtjtjtj

CL

CLCL

MMMM

M

eeeeI

tZ

VtI

R

XZXXRZZZ

ZIjXRIXXjRIjXIjXIRV

tIZtIC

tLItRI

tdttiCdt

tdiLtiRtVtv

(8) 0; )(Z ,R)(Z 0,X-X , LC

1

(7) /2; )(Z ,)(Z

(6) /2;- )(Z ,)(Z 0

00CL0

(9) ;R

LQ 0

0

34


Attuatori Elettrici

Circuito RLC serie: Per le potenze si ha:

P rappresenta la potenza reale o attiva ( è il fattore di potenza) mentre pF(t) prende il nome di potenza fluttuante. Le potenze:

rappresentano risp. la potenza reattiva e la potenza apparente. Con riferimento alla fig.1, si ha:

L’operatore prende il nome di potenza complessa. In base alle rel.(2)-36

la potenza complessa si esprime anche come:

Nella fig.2 è riportato lo schema del circuito di misura della potenza reale e dei valori efficaci e della corrente e

della tensione. Il wattmetro presenta i morsetti amperometrici che sono

collegati in serie all’utilizzatore (come l’amperometro) e i morsetti

voltmetrici che sono collegati in parallelo all’utilizzatore o in derivazione,

come il voltmetro. Questo circuito di misura permette di misurare la

potenza apparente VI e di dedurre la potenza reattiva poiché:


(1) (t);p v(t)i(t)dtT

1 (t)p P)t2cos(VIcosVI

)t2cos()cos(2

IV)tcos(I)tcos(V)t(i)t(v)t(p

F

T

0F

MMMM

(3) ;QPVIP (2) ;VIsinQ 22

a

(5) ;PP ;QPm ;PPe

(4) ; PjQPsinjVIcosVIePVIeVIe)Ie )(e V(I V

a

j

a

j)(jj-j

(7) ;XI Q ,RI P:con

(6) ; jXIRII I)jXR(IVP

22

22

(8) ;VIsinQ );VI

P(arccos sin sin

VI

Pcos ;cosVIP

cos

P

35


Attuatori Elettrici

Circuito R-L-C parallelo. I tre componenti sono in parallelo poiché ad essi è

impressa la stessa tensione di valore efficace V. Al nodo N può essere

applicato il principio di Kirchhoff e, ai componenti la legge di Ohm:

Introducendo la rel.(2) nella (1) si ha:

Il diagramma vettoriale di fig.2 mostra la disposizione reciproca dei vettori.

La condizione di risonanza parallelo o antirisonanza si ha per:

In questa condizione, essendo le correnti nell’induttore e nel capacitore uguali ed opposte, il generatore eroga la

sola corrente IR, la potenza attiva è pari a VI mentre quella reattiva è nulla. Considerazioni analoghe possono

essere svolte per altri circuiti che presentano induttori e capacitori in parallelo tra loro.


(2) );C

1X L, (X ;IjXIjXI RV

(1) ;IIII );t(i)t(i)t(i)t(i

CLCLLR

CLRCLR

(3) ;111

1Z ;

111

CL

CLCL

jXjXR

jXjXRV

jX

V

jX

V

R

V

Z

VI

(4) 0; )(Z ,R)(Z 0,X-X , LC

100CL0

36


Attuatori Elettrici

Studio dei circuiti in regime sinusoidale stazionario.

Come nello studio delle correnti continue possono essere impiegati i principi di Kirchhoff: in luogo di tensioni e

correnti continue vengono introdotti i rispettivi vettori simbolici, mentre al posto delle sole resistenze (o condut _

tanze) vengono introdotte, le impedenze (o le inverse di queste dette ammettenze). Ai nodi ed alle maglie si ha:

rispettivamente. Nel caso di impedenze in serie ed in parallelo si ha rispettivamente:

Nel caso di circuiti complessi valgono le stesse considerazioni svolte nel caso dei circuiti in CC, cioè si scrivono le

equazioni ai nodi ed alle maglie in modo da ottenere un sistema di equazioni la cui soluzione, fornisce i vettori

simbolici (numeri complessi) che esprimono le grandezze cercate (tensioni e/o correnti).

Considerando, come esempio, il circuito indicato in fig.1, l’applicazione dei predetti principi consente di scrivere:

Impiegando la notazione matriciale, se sono date le tensioni, si trovano

facilmente le correnti procedendo come segue:


(4) ;1

1 (3); ;

1

1

n

kK

P

n

k Ks

Z

ZZZ

(2) ; IZV (1) ; 0 I kkkk k

k

Y

I

(7) ;0III

(6) ;I)ZZ(IZV

(5) ;IZIZV

321

343222

22111

(9) ;V Z I

(8) ;I Z V ;

I

I

I

1- 1- 1

ZZ Z- 0

0 Z Z

0

V

V

1-

3

2

1

432

21

2

1

37


Attuatori Elettrici

Regime periodico. La grandezza v(t) è periodica quando v(t)=v(t+nT), per n intero qualunque; T è il periodo. Lo

sviluppo in serie di Fourier della v(t) si esprime come:

Se la rel.(1) rappresenta la tensione impressa a un circuito elettrico che presenta un modello matematico lineare,

(cfr.rel(1)-33-37), può essere applicato il principio della sovrapposizione degli effetti: Si tratta di applicare al

circuito, una alla volta, le componenti di tensione (cause) espresse dalla rel.(1),

e di calcolare le rispettive correnti (effetti). La corrente nel circuito si

otterrà sommando le correnti trovate. Con riferimento alla fig.1:

Impiegando il metodo simbolico, si ha


(1) );tksin(V2V)t(v k

1k

k0

0 0 1

0 1 1 1 k

1

2 2

k

0 kk 1

220; i ( ) sin( ); i ( ) sin( ); (1)

( 0)

2 1 /; Z ( 1 / ) ; rctang( ); (2)

i(t) I 2 I sin( );

k

k k

k

k

k k

k

k k

V V VVI t t t k t

Z Z Z

V k L k CI R k L k C a

Z R

k t

(3)

0

2 2

k k

20; ; (5)

1 /I ( ) ( ) ; Z R j( 1 / ) rctang( ); (6)

k

k

k

k k k

VI I

Z

k L k Ce I m I k L k C a

R

38


Attuatori Elettrici

Applicazione della trasformata di Laplace. Si consideri un circuito R-L-C serie alimentato da un generatore di

tensione v(t). Applicando la L-trasformata di entrambi i membri dell’equazione differenziale Rel.(1)-31 si ottiene:

Della rel.(5) è evidente che considerando la F-trasformata si ottiene la relazione valida a regime

sinusoidale stazionario. Nella rel. (4) la G(s) è definita funzione di trasferimento (f.d.t.)e costituisce il legame tra

ingresso o causa (tensione) ed uscita o effetto (corrente): essa ha la forma di un rapporto tra polinomi in s con

grado del numeratore < o = a quello del denominatore, in quanto il sistema (come tutti i sistemi fisici) è causale,

cioè, risponde al principio causa-effetto. Le rel.(4) e (5) possono essere interpretate mediante diagrammi a blocchi

(cfr.fig.2) che sono orientati per il principio di causalità. Se, invece della corrente, si considera come uscita la

tensione vcd(t), si ha:

Il procedimento è molto utile per lo

studio della risposta dinamica e della

risposta in frequenza del sistema

ingresso-uscita considerato. Le

dimensioni della f.d.t. sono quelle del

rapporto uscita/ingresso.


(5) ;)j(V )j(G)(jI ;)j(Z

)j(V)(jI ;)V(j

Cj

1LjR

1)I(j js

(4) V(s); G(s) V(s)

LC

1

L

R ss

s/LI(s)

(3) ;I(s) )Cs

1sLR()s(I

Cs

1I(s) LsI(s) RV(s)

(2) I(s); L[i(t)]V(s);L[v(t)]

(1) ;dt)t(iC

1

dt

)t(diL)t(i R)t(v

2

),j(s

(3) ;

)LC/(1L

Rj

)j(V

)j(V)G(j ;

)LC/(1sL

Rs

s

)s(V

)s(VG(s)

(2) I(s) )sC

1sLR()s(V )1.(rel)t(v)t(v

(1) I(s); s L)s(V ;dt

diL)t(v)t(v

2

2

i

u

2

2

i

u

ii

ucdu

39


Attuatori Elettrici

Sistemi trifase. Questo sistema può essere immaginato costituito da tre sistemi monofase (cfr. fig.1) le cui

tensioni sinusoidali, sfasate nel tempo di T/3 e 2T/3 risp., ostituiscono una terna simmetrica di tensioni (fig.3)cioè:

I punti 0 e 0’ possono essere collegati tra loro con un solo conduttore (cfr.fig.2),

definito conduttore neutro nel quale circola la corrente Io, somma (vettoriale) delle tre correnti nelle impedenze.

Questo tipo di collegamento trifase è denominato a stella, sia per i generatori sia

per le impedenze di carico. Le tensioni dei generatori (impresse alle rispettive

impedenze) sono definite tensioni di fase (o stellate) mentre le tensioni tra i con-

duttori di linea sono definite tensioni di linea; le correnti di fase, in questo caso,

coincidono con le correnti di linea. Se le tre impedenze sono uguali il carico si dice

Equilibrato e le tre correnti costituiscono una terna simmetrica di correnti ; in questo caso,

frequente in pratica, Io=0 e il conduttore neutro può essere soppresso; 0 e 0’ risultano

equipotenziali anche nel caso di conduttore reale. Le tensioni di linea, dette anche tensioni

concatenate sono le differenze di potenziale tra i punti 1-2, 2-3 e3-1(fig.2); si ottengono:

La terna simmetrica delle tensioni di linea ha valore efficace pari

a volte quello delle tensioni di fase e risulta in anticipo di 30°

rispetto a quest’ultima (cfr. fig.4).


(3) ;e VeVV ;e VV ; V

(2) ;Vee 2)t(v ;Vee 2)t(v ;Vee 2)t(v

(1) );3/4tcos(V 2)t(v );3/2tcos(V 2)t(v );tcos(V 2)t(v

/3j4-

1

/3j2-

23

/3j2-

121

)3/4t(j

3

)3/2t(j

2

tj

1

321

(4) ;eV 3VVV ;eV 3VVV ; eV 3 VVV/6j

3131 3

/6j

2323 2

/6j

1212 1

3

40


Attuatori Elettrici

Anche i tre circuiti monofase indicati nella fi.1 a) possono essere collegati tra loro sopprimendo tre conduttori (1-1’,

2-2’ e 3-3’) e realizzando due triangoli (1-2-3) e(1’-2’-3’): questo tipo è definito collegamento a triangolo . Si noti

che applicando il principio di Kirchhoff alla maglia dei generatori (1-2-3), per la simmetria della tensioni, risulta

V1+V2+V3=0 (cfr.fig.1) e, dunque, tale collegamento può essere realizzato senza che si abbia una dannosa

circolazione di corrente nel triangolo 1-2-3. In questo caso, le tensioni di fase coincidono con le tensioni di linea,

mentre, per le correnti di linea si ha (cfr. fig.1-2):

La terna simmetrica delle correnti di linea ha valore efficace pari a volte quello

delle tensioni di fase e risulta in anticipo di 30° rispetto a quest’ultima.

Evidentemente, questo tipo di collegamento non prevede la presenza del

conduttore neutro. Nelle applicazioni si hanno anche collegamenti misti come

quelli di fig.3. Per comodità di calcolo, alla terna di impedenze a stella può essere

sostituita un terna di impedenze equivalenti collegate a triangolo e viceversa.

I valori delle impedenze equivalenti si trovano imponendo che, rispetto a ciascuna

coppia di morsetti, i comportamenti (elettrici) siano identici. La valutazione dei valori

delle grandezze del sistema trifase simmetrico ed equilibrato si esegue facendo riferimento ad una sola delle fasi

poiché le grandezze relative alle altre due fasi presentano gli stessi valori efficaci e sono sfasate nel tempo di 2T/3

e 4T/3, rispettivamente, rispetto alle grandezze valutate per la prima fase.


(1) ;eI 3III ;eI 3III ; eI 3 III/6j

3133 l

/6j

232 2 l

/6j

1211 l

3

41


Attuatori Elettrici

Cenni sulla misura della potenza attiva. Si fa riferimento al caso di sistema simmetrico ed equilibrato. I wattmetri r

s e t presentano le bobine amperometriche attraversate dalle rispettive correnti (valore efficace If) mentre le

bobine voltmetriche sono sottoposte alle tensioni di fase V1, V2 e V3, risp. (valore efficace Vf) (cfr. fig.1). Ciascun

wattmetro, misura la potenza attiva che transita nella fase in cui è inserito. Quindi, la potenza complessiva

assorbita dall’utilizzatore è pari alla sommadelle potenze delle singole fasi. Con riferimento alla grandezze di fase

Vf e If=I, ed alla tensione di linea V= Vf, si ha:

I terminali delle bobine voltmetriche dei wattmetri sono collegati al conduttore

neutro che, per la simmetria delle tensioni e l’equilibrio del carico, non è

attraversato da alcuna corrente: i punti O, O’ ed N sono equipotenziali. Quindi,

il centro stella (N) delle bobine voltmetriche dei wattmetri può essere isolato dal conduttore neutro, senza che

cambi il regime di correnti e tensioni. Se, come nel caso dei wattmetri u,v,e z il centro stella dei wattmetri viene

collegato ad uno qualunque dei conduttori di linea (conduttore 3 nel caso di fig.1), il wattmetro z risulta sottoposto

ad una tensione nulla e, quindi, indicherà una potenza nulla. Le bobine voltmetriche dei restanti (u e v) sono

sottoposte alle tensioni concatenate V13 e V23 che risultano volte più grandi e sfasate rispetto alle rispettive

tensioni di fase. Per questo tipo di inserzione dei wattmetri, che viene definita Inserzione Aron, la somma delle

indicazioni dei wattmetri corrisponde alla potenza attiva che transita nella linea trifase, infatti si ha (cfr fig.4-48):


3 ;sinVI3sinIV3Q

);P/Psin(arccossin;P/Pcos

(2) ;VI3IV3PPPP

(1) ;cosVI3cosI3

V3cosIV3cosIVcosIVcosIVPPPP

ff

aa

ff3a2a1aa

ff333222111321

3

3

(4) ;PcosVI3)6/cos(VI)6/cos(VI)I

Vcos(IV)

I

Vcos(IV

2

2323 2

1

1313 1

42


Attuatori Elettrici

Cadute di tensione: Nella applicazione è importante l’alimentazione di utilizzatori tramite linee. Queste sono

realizzate con materiale conduttore a bassa resistività (rame o alluminio). A causa della circolazione di corrente,

nelle linee si verificano cadute di tensione e dissipazione di potenza. Quindi, l’utilizzatore è alimentato con una

tensione diversa (in genere minore) da quella esistente all’inizio della linea. Pertanto, è importante la valutazione

sia delle cadute sia del rendimento di trasmissione della potenza. Si osservi che gli utilizzatori sono provvisti di

una targa sulla quale sono indicati quanto meno i valori nominali della tensione, della frequenza e della potenza,

che, con certe tolleranze, devono essere rispettati per il corretto e sicuro funzionamento dell’apparecchio. Le

cadute di tensione si ottengono applicando il principio di Kirchhoff alla maglia considerata. Nel caso trifase c) si

noti che i punti O ed O’ sono equipotenziali (sistema simmetrico ed equilibrato). l è lunghezza (andata) della linea:

a)

b)

Nella fig.2 è rappresentato il diagramma vettoriale in cui le cadute sono

esagerate per comodità di rappresentazione.

Da questo si deduce un’espressione approssimata

molto usata in pratica:


(4) ;V

IR2V

V

V

P

pP

P

P ; I2Rp ;IRIV PVI;P

(3) ;)/VV-V(100V% (2); ;IR2V-VV );VIR);RR2 V/(I ;S/l(R );1( ;IRIRIRV

lulu2

ll

2

uuu

uluuuulllul

(8) ;cosV

IR2cosV

cosV

cosV

P

pP

P

P ;IR2p ;cosIV P;VIcosP

(7) );ZZ2

Z-100(1V% (6); );)X()R()XX2()RR2((IV-VV

;I)jXR(IZV );ZZ/(2VI ;LjRZ ;S/l(R (5) ;IZI)LjR(2V

luulu2

lluuu

ul

u2

u

2

u

2

ul

2

ulu

uuuuulllllull

)9( ;V/)QXPR(2

I)sinXcosR(2bcabVVV

uu1u1

llu

43


Attuatori Elettrici

c)

In questo caso, il diagramma vettoriale differisce da quello della fig.2 solo per le cadute nella linea che risultano

dimezzate rispetto a quelle del caso monofase, poiché il conduttore di ritorno (neutro) che congiunge i punti O ed

O’, non essendo attraversato da corrente, è superfluo e viene omesso (cioè i centri stella sono equipotenziali). La

relazione approssimata per il calcolo della caduta di tensione, in questo caso, si esprime come:

Rifasamento degli utilizzatori. Si consideri un utilizzatore alimentato da un

generatore, tramite una linea monofase(fig.1 a)).La potenza dell’utilizzatore

è: . Osservando il diagramma vettoriale di fig.2,

Si nota che quando il fattore di potenza del carico è piccolo, cioè lo

sfasamento della corrente rispetto alla tensione è grande, il valore efficace

della corrente Iu è grande. Consegue che sia la caduta di tensione in linea

(e nel generatore) sia le perdite per effetto Joule negli stessi sono elevate,

rispetto a quelle che si potrebbero avere se, lasciando inalterata la corrente

dell’utilizzatore si riuscisse a ridurre la componente reattiva Ir della corrente nella linea e

nel generatore. Ciò è possibile(fig.1 b)) collegando una batteria di condensatori in parallelo

all’utilizzatore.Infatti,(fig.2) la corrente nella linea è in questo caso pari a I’ somma vettoriale

di Iu ed Ic. La potenza della batteria e la capacità necessaria per ottenere un assegnato

fattore di potenza , si ottengono come segue (Vu=cost):


(13) ;cosV/)IRcosV()cosV/()cosV(P/)pP(P/P ;IR3p ;cosIV3 P;VIcos3P

(12) );ZZ/Z-100(1V% (11); );ZZZ(IV-VV );I)jXR(IZV

);ZZ/(VI ;LjRZ ;S/l(R (10) ;IZI)LjR(V

luulu

2

lluuu

uluuuluuuuu

ulllllull

)14( ;V/)QXPR(I)sinXcosR(bcabVVV uu1u1llu

(15) ;IVcosIVP auuuuu

'cos

(4) ;V

QC ;CVIVQ (3) ;)]P'( gtan)( g[tanQ );2( ;P/Q)(gtan

P/QQ(V

V

cosI

IsinII/'sin'I)'(gtan);1( ;P/Q

cosI

sinII/I)(gtan

2

u

c2

ucucuucucu

u)cu

u

u

uu

cuuauu

uu

uuaru

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