1 Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Introduzione allanalisi fattoriale Ogni comportamento...

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Analisi Fattoriale Lezione – 1

Definizione

Introduzione all’analisi fattorialeIntroduzione all’analisi fattoriale

Ogni comportamento (dinamica) non elementare è Ogni comportamento (dinamica) non elementare è presumibilmente frutto dell’intervento di più fattori presumibilmente frutto dell’intervento di più fattori (struttura latente) che, ognuno con un suo specifico (struttura latente) che, ognuno con un suo specifico contributo, ne determinano qualche aspetto (Luccio, contributo, ne determinano qualche aspetto (Luccio, 1996)1996)

La STRUTTURALa STRUTTURA LATENTELATENTE

L’analisi fattoriale rappresenta un corpo di metodi L’analisi fattoriale rappresenta un corpo di metodi statistici atto ad ottenere una maggiore statistici atto ad ottenere una maggiore comprensione delle complesse e ambigue relazioni comprensione delle complesse e ambigue relazioni tra grandi numeri di variabili misurate in modo tra grandi numeri di variabili misurate in modo impreciso. (Comrey and Lee, 1995)impreciso. (Comrey and Lee, 1995)

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Definizione

Scopi dell’Analisi FattorialeScopi dell’Analisi Fattoriale

• Trovare costrutti teorici adeguati Trovare costrutti teorici adeguati per spiegare le correlazioni per spiegare le correlazioni osservate in un insieme di variabili.osservate in un insieme di variabili.

• Esaminare la validità di una teoria Esaminare la validità di una teoria rispetto al numero ed alla natura dei rispetto al numero ed alla natura dei costrutti fattoriali eventualmente costrutti fattoriali eventualmente osservati tra le variabili sotto osservati tra le variabili sotto indagineindagine

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Definizione

Passi Fondamentali dell’Analisi FattorialePassi Fondamentali dell’Analisi Fattoriale

• Selezione delle variabili sotto indagineSelezione delle variabili sotto indagine

• Calcolo della matrice di correlazione tra le variabiliCalcolo della matrice di correlazione tra le variabili

• Estrazione dei fattori (non ruotati)Estrazione dei fattori (non ruotati)

• Rotazione dei FattoriRotazione dei Fattori

• Interpretazione della matrice dei fattori ruotati.Interpretazione della matrice dei fattori ruotati.

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Definizione

Esempio di Matrice delle Correlazioni (R)Esempio di Matrice delle Correlazioni (R)

Nome VariabiliNome Variabili II IIII IIIIII IVIV VV VIVII - r12 r13 r14 r15 r16

II – r21 r23 r24 r25 r26

III- r31 r32 r34 r35 r36

IV – r41 r42 r43 r45 r46

V - r51 r52 r53 r54 r56

VI - r61 r62 r63 r64 r65

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Definizione

Matrice delle Correlazioni (R)Matrice delle Correlazioni (R)

Quando la matrice delle correlazioni contiene coefficienti elevati, ciò indica che le variabili sono correlate tra di loro, o si sovrappongono in ciò che misurano.

Ad esempio per la correlazione che caratterizza l’altezza è il peso potrebbe essere “postulato” un costrutto fattoriale latente chiamato <<Grandezza>>. La correlazione tra altezza e peso potrebbe allora essere spiegata dal fatto che entrambe condividono una relazione con il fattore ipotetico della Grandezza.

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Analisi Fattoriale

Analisi FattorialeAnalisi Fattoriale

L'analisi fattoriale nasce come un L'analisi fattoriale nasce come un tentativo di dare una rappresentazione tentativo di dare una rappresentazione efficiente ma NON conservativa dei efficiente ma NON conservativa dei dati, ovvero di rappresentare la dati, ovvero di rappresentare la variabilità contenuta nella matrice R variabilità contenuta nella matrice R utilizzando un numero di costrutti utilizzando un numero di costrutti latenti (fattori) molto inferiore al latenti (fattori) molto inferiore al numero di variabili misurate.numero di variabili misurate.

( m < n )( m < n )

Lezione – 2

Modello Fondamentale

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Il modello dell’Analisi FattorialeIl modello dell’Analisi Fattoriale

Il modello statistico dell’analisi Il modello statistico dell’analisi fattoriale parte dall’assunto fattoriale parte dall’assunto fondamentale che il punteggio fondamentale che il punteggio standardizzato in una variabile può standardizzato in una variabile può essere espresso come somma ponderata essere espresso come somma ponderata del punteggio nei fattori comuni, del del punteggio nei fattori comuni, del punteggio in un fattore specifico, e punteggio in un fattore specifico, e del punteggio in un fattore di errore.del punteggio in un fattore di errore.

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ikieikismkimkikiik EaSaFaFaFaZ ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= ...2211



Equazione di ThurstoneEquazione di Thurstone

Zik : Il punteggio standardizzato per la persona k nella variabile i

ai1 : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore comune 1

ai2 : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore comune 2

aim : La saturazione fattoriale della variabile i nell’ultimo fattore comune

ais : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore specifico S

aie : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore di errore E.

F1k : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore comune 1

F2k : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore comune 2

Fmk: Il punteggio standardizzato del soggetto k nell’ultimo dei fattori comuni

Sik : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore specifico i

Eik : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore di errore i

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Definizione

Matrice delle Correlazioni (R)Matrice delle Correlazioni (R)Nome VariabiliNome Variabili II IIII IIIIII IVIV VV VIVI

I - r12 r13 r14 r15 r16

II – r21 r23 r24 r25 r26

III- r31 r32 r34 r35 r36

IV – r41 r42 r43 r45 r46

V - r51 r52 r53 r54 r56

VI - r61 r62 r63 r64 r65

Matrice Simmetrica

rij = rji

L’analisi fattoriale rappresenta una maniera di L’analisi fattoriale rappresenta una maniera di considerare queste interrelazioni ipotizzando considerare queste interrelazioni ipotizzando l’esistenza di “l’esistenza di “Fattori Latenti” Fattori Latenti” o o “Costrutti “Costrutti Fattoriali”Fattoriali” che spiegano i valori nella matrice che spiegano i valori nella matrice delle correlazioni tra le variabili.delle correlazioni tra le variabili.

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• I punteggi ZZ, FF, SS ed EE nell’equazione sono tutti punteggi standardizzati (M = 0, D.S. = 1).

• Ogni valore aa nell’equazione è una costante numerica, o peso, chiamata saturazione fattoriale [-1.0, 1.0].

• Il punteggio ZZ viene ottenuto empiricamente come un normale punteggio in una variabile.

•I valori aa vengono trovati nello stesso processo di analisi fattoriale.

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Equazione di ThurstoneEquazione di Thurstone•L’equazione di Thurstone può essere rappresentata schematicamente in forma matriciale per tutti i valori di i e k simultaneamente (ad esempio, per tutte le variabili e tutti i soggetti).

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nNnn

N

N

zzz

zzz

zzz

...

............

...

...

21

22221

11211

1 2 … N1 2 … N

11

22

......

nn

VariabiliVariabiliSoggettiSoggetti

= Z= Z

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Matrice AMatrice Auu

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nensnmnn

esm

esm

aaaaa

aaaaa

aaaaa

...

..................

...

...

21

2222221

1111211

1 2 … m 1 2 … n 1 2 … n1 2 … m 1 2 … n 1 2 … n

11

22

……

nn

FattoriFattori

VariabiliVariabili

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Equazione di Equazione di ThurstoneThurstone

Matrice FMatrice Fuu

1 2 … N1 2 … N

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nNnn

N

N

nNnn

N

N

mNmm

N

N

EEE

EEE

EEE

SSS

SSS

SSS

FFF

FFF

FFF

...

............

...

...

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

1121112…

m

12…

n

12…

n

FattoriFattori

SoggettiSoggetti

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Equazione di ThurstoneEquazione di Thurstone•Le tre matrici precedenti possono essere combinate nella seguente equazione matriciale:

Z = AZ = Au u FFuu

Ciò implica che la matrice Z dei punteggi nelle variabili può essere ricavata moltiplicando la matrice delle saturazioni fattoriali Au per la matrice dei punteggi fattoriali Fu.

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L’equazione Fondamentale

Equazione FondamentaleEquazione Fondamentale

Se volessimo riprodurre il punteggio nella variabile 3 per la persona 7, la terza riga della matrice Au dovrebbe essere moltiplicata con la settima colonna della matrice Fu. Questa operazione darebbe il seguente risultato:

...0...000 7473732717 +⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+ nS SSSaSS

...... 732732173137 ++++= mmFaFaFaz

7473732717 0...000 nE EEEaEE ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+

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Dato che l’analisi fattoriale procede dalla matrice di correlazione tra le variabili osservate, si riportano innanzi tutto le formule della correlazione tra due variabili i i e j j (standardizzate) e della varianza di un insieme di variabili standardizzate.

∑=

=⋅⋅=

Nk

kjkikij zz

Nr

1

1

CorrelazioneCorrelazione

∑=

=⋅=

Nk

kiki z

N 1

21σ

VarianzaVarianza

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Le condizioni di OrtogonalitàLe condizioni di Ortogonalità

Il modello dell'analisi fattoriale prevede dei Il modello dell'analisi fattoriale prevede dei vincoli sulla struttura dei fattori latenti, vincoli sulla struttura dei fattori latenti, specifici e di errore, che possono essere specifici e di errore, che possono essere descritti come condizioni di ortogonalità (ovvero descritti come condizioni di ortogonalità (ovvero di indipendenza statistica). Tali vincoli sono di indipendenza statistica). Tali vincoli sono espressi dalle seguenti condizioni:espressi dalle seguenti condizioni:

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1

2

, =⋅= ∑=

=

Nk

kikFF F

Nr

ikik ∑=

==⋅=

Nk

kikF F

Ni1

2 0.11

σ

0),(1

1),(, =⋅⋅= ∑

=

=jkjk

Nk

kjkikESFF ESFF

Nr

jkjkjkik

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Fattori Ortogonali (Definizione)Fattori Ortogonali (Definizione)

L’ortogonalità di due fattori implica la loro L’ortogonalità di due fattori implica la loro indipendenza lineare, in altri termini non indipendenza lineare, in altri termini non esiste una relazione (causale o spuria) che esiste una relazione (causale o spuria) che lega la variabilità osservata nelle due lega la variabilità osservata nelle due “dimensioni” rappresentate dai fattori.“dimensioni” rappresentate dai fattori.

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FF11 FF22

SS11

EE11

Z1 Z2

SS22

EE22

FF33

aa1111

aa2121 aa1212aa2222 aa1313

aa2323

aa1S1S

aa2S2Saa1E1E

aa2E2E

UNICITA’ della variabile Z1

L’ortogonalità riguarda anche l’indipendenza statistica dei L’ortogonalità riguarda anche l’indipendenza statistica dei fattori latenti con i fattori specifici e di errore, in quanto fattori latenti con i fattori specifici e di errore, in quanto calcolati sui residui di varianza non spiegata dagli altri fattori calcolati sui residui di varianza non spiegata dagli altri fattori comuni.comuni.



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Equazione fondamentaleEquazione fondamentaleVolendo a questo punto riprodurre la correlazione fra due variabili i e j secondo l’equazione di Thurstone:


jkjeikjsmkjmkjkjjk EaSaFaFaFaZ ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= ...2211

∑=

=⋅⋅=

Nk

kjkikij zz

Nr

1

1

riordinando i termini e applicando tutte le semplificazioni che derivano dalle condizioni di ortogonalità dei fattori , sostituendo zero a tutte le correlazioni tra i fattori diversi (latenti, specifici e di errore) e 1 alle varianze dei fattori, l’equazione risultante risulta semplificata come segue:

jmimjijiij aaaaaar +++= ...2211

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Equazione fondamentaleEquazione fondamentale


L’equazione risultante implica che la correlazione tra le variabili i e j corrisponde alla somma dei prodotti delle loro saturazioni nei fattori comuni soltanto. Tutti i prodotti tra i fattori specifici e di errore si annullano fintanto che i fattori sono ortogonali (cioè non correlati tra loro).

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E rappresenta la diagonale della parte sinistra della matrice Au (che differisce solo in questo dalla matrice di correlazione) ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nensnmnn

esm

esm

aaaaa

aaaaa

aaaaa

...

..................

...

...

21

2222221

1111211



ComunalitàComunalità


Nel caso in cui i sia uguale a j, la correlazione è quella di una variabile con se stessa dovuta alla varianza dei soli fattori comuni, avendo omesso la varianza dei fattori specifici.

Tale quantità e definita COMUNALITA’COMUNALITA’..

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Rappresentazione MatricialeRappresentazione Matriciale

Quando nella diagonale vengono inseriti dei valori uguali ad 1.0 al posto delle comunalità la matrice delle correlazioni è rappresentata con il simbolo

RRu u

se nella diagonale principale vengono inserite le comunalità, la matrice delle correlazioni è rappresentata con il simbolo

R

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Usando il formalismo matriciale è possibile rappresentare la matrice delle correlazioni tra tutte le variabili (RRuu)) con la seguente equazione:

)'(1

ZZN

Ru ⋅⋅=

Moltiplicando una riga i della matrice Z per una colonna j della matrice Z’ si ottiene una somma di prodotti tra variabili standardizzate. Dividendo questa somma per N, l’espressione risultante è un coefficiente di correlazione tra le variabili i e j.

NN = Numero di soggetti (righe) della matrice Z = Numero di soggetti (righe) della matrice Z

ZZ = Matrice dei punteggi standardizzati per tutti i = Matrice dei punteggi standardizzati per tutti i soggetti (righe) in tutte le variabili (colonne)soggetti (righe) in tutte le variabili (colonne)

ZZ’= Trasposta della matrice Z’= Trasposta della matrice Z

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)'(1

ZZN

Ru ⋅⋅=

Richiamando la formulazione matriciale dell’equazione fondamentale di Thurstone:

Z = AZ = Au u ∙ F∙ Fuu

Cioè la matrice dei punteggi standardizzati nelle variabili è uguale alla moltiplicazione tra la matrice completa delle saturazioni fattoriali e la matrice completa dei punteggi fattoriali. Si ottiene che:

)'()(1

uuuuu FAFAN

R ⋅⋅⋅⋅=

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''

uuu

uu AN

FFAR ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

⋅=

Utilizzando la proprietà che la trasposta del prodotto di due matrici è uguale al prodotto delle loro trasposte in ordine inverso, e ricollocando la posizione del divisore N costante, la precedente può essere riscritta come:

)'()(1

uuuuu FAFAN

R ⋅⋅⋅⋅=

La matrice prodotto in parentesi quadra rappresenta la matrice delle correlazioni tra i punteggi fattoriali.

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''

uuu

uu AN

FFAR ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

⋅=

Nel caso di fattori indipendenti (ortogonali) le correlazioni fra fattori diversi (fuori dalla diagonale principale della matrice) sono per definizione uguali a 0, mentre le correlazioni dei fattori con se stessi (sulla diagonale principale), rappresentando una varianza di una variabile standardizzata sono per definizione tutti uguali ad 1. Questo tipo di matrice viene definito

MATRICE IDENTITA’

Matrice delle correlazioni Matrice delle correlazioni tra i punteggi fattorialitra i punteggi fattoriali

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Matrice FMatrice FuuFFuu’/N’/N

1 1 2 2 3 … 3 … m m 1 2 3 … 1 2 3 … nn 1 2 3 … 1 2 3 … nn

11223 3 … …

mm

11223 3 … …

nn

11223 3 … …

nn

1

...

1

1

1

0

0

0

1

...

1

1

1

0

0

0

1

...

100

010

001

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Matrice IdentitàMatrice Identità

)44(1000

0100

0010

0001

x

Matrice Identità di ordine 4Matrice Identità di ordine 4

La matrice identità (I) ha sempre valori uno nella La matrice identità (I) ha sempre valori uno nella diagonale principale e valori zero in tutte le altre diagonale principale e valori zero in tutte le altre celle. celle.

La matrice identità è l’equivalente dello scalare 1 La matrice identità è l’equivalente dello scalare 1 nell’algebra scalare. Quindi moltiplicare una matrice nell’algebra scalare. Quindi moltiplicare una matrice per la matrice identità equivale a lasciare la prima per la matrice identità equivale a lasciare la prima invariata. invariata.

= I= I

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Riformulazione dell’equazione matricialeRiformulazione dell’equazione matriciale

Dove RDove Ruu è la matrice delle correlazioni tra le variabili è la matrice delle correlazioni tra le variabili con valori 1 nella diagonale principale e Acon valori 1 nella diagonale principale e Auu è la matrice è la matrice completa delle saturazioni fattoriali, che include i completa delle saturazioni fattoriali, che include i fattori comuni, specifici e di errore. La matrice Rfattori comuni, specifici e di errore. La matrice Ruu è è simmetrica per cui:simmetrica per cui:

RRuu = R = Ruu’’

''

uuu

uu AN

FFAR ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

⋅= 'uuu AIAR ⋅⋅== 'uuu AAR ⋅==

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I valori della matrice AI valori della matrice Auu rappresentano le correlazioni rappresentano le correlazioni tra le variabili e i fattori. Queste correlazioni sono tra le variabili e i fattori. Queste correlazioni sono chiamate saturazioni fattoriali nel modello dei fattori chiamate saturazioni fattoriali nel modello dei fattori ortogonali, il quale richiede che i fattori siano ortogonali, il quale richiede che i fattori siano ciascuno ad angolo retto rispetto agli altri (cioè non ciascuno ad angolo retto rispetto agli altri (cioè non correlati). La matrice A rappresenta solo la parte dei correlati). La matrice A rappresenta solo la parte dei fattori comuni della matrice Afattori comuni della matrice Auu. .

Da quanto visto finora è chiaro che solo i fattori Da quanto visto finora è chiaro che solo i fattori comuni entrano nella determinazione degli elementi di R comuni entrano nella determinazione degli elementi di R al di fuori della diagonale principale. Per gli al di fuori della diagonale principale. Per gli elementi sulla diagonale, tuttavia, ovvero per gli elementi sulla diagonale, tuttavia, ovvero per gli elementi:elementi:

RRijij dove dove i = ji = ji fattori specifici e di errore forniscono un i fattori specifici e di errore forniscono un contributo.contributo.

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Tutti gli elementi sulla diagonale della matrice RTutti gli elementi sulla diagonale della matrice Ruu sono sono uguali ad 1, che equivale anche alla varianza di ogni uguali ad 1, che equivale anche alla varianza di ogni variabile standardizzata. Questa varianza può essere variabile standardizzata. Questa varianza può essere divisa come segue:divisa come segue:

1 = h1 = hiiii22 + u + uiiii

22

Dove:Dove:

hhiiii2 2 = a= ai1i1

22 + a + ai2i222 + … + a + … + aimim

22 - Comunalità - Comunalità

uuiiii22 = a = aisis

22 + a + aieie22 - Unicità- Unicità

Comunalità ed UnicitàComunalità ed Unicità

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L’equazione fondamentale dell’analisi L’equazione fondamentale dell’analisi fattoriale così come è stata formulata fattoriale così come è stata formulata da Thurstone (1947) stabilisce che la da Thurstone (1947) stabilisce che la matrice delle correlazioni tra le matrice delle correlazioni tra le variabili può essere scomposta nel variabili può essere scomposta nel prodotto di una matrice di fattori per prodotto di una matrice di fattori per la sua trasposta.la sua trasposta.

Equazione fondamentale dell’analisi FattorialeEquazione fondamentale dell’analisi Fattoriale

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RRuu = A = AuuAAuu’’ riproduce la matrice delle riproduce la matrice delle correlazioni con valori 1 sulla correlazioni con valori 1 sulla diagonale, utilizzando una matrice di diagonale, utilizzando una matrice di saturazioni Asaturazioni Auu che contiene i fattori che contiene i fattori comuni, specifici e di errore.comuni, specifici e di errore.

R = AR = AA’ A’ riproduce la matrice delle riproduce la matrice delle correlazioni R con i valori delle correlazioni R con i valori delle comunalità nella diagonale principale al comunalità nella diagonale principale al posto degli 1.Tutti gli altri elementi posto degli 1.Tutti gli altri elementi delle matrici R ed Rdelle matrici R ed Ruu sono identici sono identici

Equazione fondamentale dell’analisi FattorialeEquazione fondamentale dell’analisi Fattoriale

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Dalla forma Analitica alla forma MatricialeDalla forma Analitica alla forma Matriciale


Considerando tutti i valori di i e j simultaneamente, quindi rappresentando in matrici il sistema costituito dalle n equazioni del tipo della precedente (forma analitica), otteniamo la seguente equazione matriciale:

R = AR = A A’ A’

L’equazione implica che la matrice delle correlazioni (RR) con le comunalità (h2) nella diagonale principale può essere rappresentata come il prodotto della matrice delle saturazioni nei fattori comuni moltiplicato per la sua trasposta.

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Equazione fondamentaleEquazione fondamentale

Riassumendo:Riassumendo:

Per spiegare le correlazioni tra le Per spiegare le correlazioni tra le variabili sono necessari solo i fattori variabili sono necessari solo i fattori

comuni.comuni.

Per spiegare la varianza totale delle Per spiegare la varianza totale delle variabili sono necessari i fattori variabili sono necessari i fattori

comuni, specifici e di errore.comuni, specifici e di errore.

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Estrazione dei fattori

Estrazione dei FattoriEstrazione dei Fattori

Dopo aver calcolato la matrice delle correlazioni RR, il passo successivo consiste nel determinare quanti costrutti fattoriali sono necessari per spiegare l’insieme dei valori di RR.

Tutti i metodi di estrazione fattoriale finiscono con una colonna di numeri (vettore), uno per ciascuna variabile, che rappresentano le saturazioni (o pesi) delle variabili in quel fattore.

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La procedura che va sotto il nome di Estrazione dei FattoriEstrazione dei Fattori consiste nell’estrarre fattori dalla matrice di correlazione fino a che non rimanga più nessuna porzione apprezzabile di varianza da spiegare, cioè finche le correlazioni residue sono prossime allo zero (e quindi di importanza trascurabile).

39

Analisi Fattoriale


Dopo che il primo fattore è stato estratto, “l’effetto” di questo fattore (nel determinare le correlazioni osservate nei dati) viene rimosso dalla matrice delle correlazioni RR per produrre la matrice delle correlazioni residue rispetto al primo fattore.

Lezione – 4


40

Analisi Fattoriale


Esempio:

Supponendo che un ipotetico primo fattore estratto abbia saturazioni di -.7 per una variabile (i) e di .8 per un’altra variabile(j). Moltiplicando -.7 per .8 abbiamo -.56, che rappresenta la correlazione tra queste due variabili dovuta SOLTANTOSOLTANTO al primo fattore. Sottraendo -.56 al valore rij otteniamo la correlazione residua rispetto al primo fattore.

Lezione – 4


41

Analisi Fattoriale

Estrazione dei FattoriEstrazione dei FattoriUna volta che i fattori necessari per spiegare le correlazioni nella matrice R R sono stati estratti, i valori delle correlazioni tra variabili e fattori vengono sistemati in una tabella definita “Matrice delle Saturazioni non Ruotate”.

41.40.11.26.41.7

48.09.46.22.46.6

57.02.37.26.61.5

50.17.36.27.51.4

61.10.14.65.40.3

56.08.12.63.38.2

68.05.01.67.48.1

2

−−

−−−−−

−−−−

hIVIIIIIIFattoriFattori

VVaarriiaabbiillii

SSQSSQ 1.55 1.52 .52 .221.55 1.52 .52 .22

Lezione – 4


42

Analisi Fattoriale


Il primo fattore risulta il più grande dei quattro estratti e l’ultimo ovviamente il più piccolo

La varianza totale spiegata dalla varianza totale spiegata dalla soluzione fattoriale (SSQ) per ogni soluzione fattoriale (SSQ) per ogni fattore è rappresentata dalla Somma dei fattore è rappresentata dalla Somma dei quadrati delle saturazioni fattoriali.quadrati delle saturazioni fattoriali.

L’ultima colonna (hL’ultima colonna (h22) contiene le ) contiene le comunalità delle variabili, che è comunalità delle variabili, che è calcolata come somma dei quadrati delle calcolata come somma dei quadrati delle saturazioni nei fattori.saturazioni nei fattori.

41.40.11.26.41.7

48.09.46.22.46.6

57.02.37.26.61.5

50.17.36.27.51.4

61.10.14.65.40.3

56.08.12.63.38.2

68.05.01.67.48.1

2

−−

−−−−−

−−−−

hIVIIIIIIFattoriFattori

VVaarriiaabbiillii

SSQSSQ 1.55 1.52 .52 .221.55 1.52 .52 .22

Lezione – 4


43

Analisi Fattoriale


Se la comunalità per una variabile raggiunge il valore di 1.0, questo significa che il punteggio nella variabile potrebbe essere perfettamente predetto da una combinazione pesata dei punteggi che rappresentano i soli fattori estratti. In altri termini tutta la varianza di questa variabile può essere spiegata dai punteggi che rappresentano la posizione di ogni soggetto nei fattori comuni estratti dall’analisi fattoriale.

Lezione – 4


44

Analisi Fattoriale


D’altro canto se una variabile avesse comunalità uguale a 0 le saturazioni di tutti i fattori per quella variabile sarebbero uguali a 0 e la variabile non avrebbe nulla in comune con nessuno dei fattori.

Lezione – 4


1 Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Introduzione allanalisi fattoriale Ogni comportamento...

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