09-Elementi-1D_V1

Elemento asta

F1 F2

x

lelemento ha 2 nodi

Identificazione della adatta formulazione dellelemento I)

Scelta di insieme di funzioni con le quali si descriver il campo interno di spostamenti

(mediante loro combinazione lineare) II)

Un solo spostamento interno u definito

Lelemento ha

complessivamente 2 gdl

La combinazione lineare estesa a due

funzioni interpolanti

x xu 21

2

1

2

1

21 x1 xx xu ;

La compatibilit e garantita dal fatto che la connessione con altri elementi limitata ai nodi

Sono possibili traslazioni rigide ( 2=0 ) e deformazioni costanti e quindi lelemento completo

Calcolo funzioni di forma, che legano gli spostamenti interni con quelli nodaliIII)

Si pu particolareggiare la u(x) ai 2 nodi estremali x=0 x=L

L u

u

212

11

L1

01A Au

Linversione agevole anche

direttamente sul sistemaL

uu

u

122

11

L1L1

011

A

L

x

L

x1xN

1AN x

Funzioni di forma

2

1

u

u xxu N

Esplicitare legame campo deformazioni interne - spostamenti nodaliIV)

L

x1xN1

L

xxN2

Il legame differenziale molto semplice: x d

xu dx

2

1

u

u

L

1

L

1 x uB Costante su tutto lelemento

Applicare principio lavori virtuali (od altro principio variazionale) per determinare K

V) Esplicitare legame campo tensioni interne - spostamenti nodali

VI)

A calcolo avvenuto, ricavare tensioni e deformazioni in base soluzioneVII)

2

1

u

u

L

1

L

1 E x uBD

L

0Vdx AEL1L1

L1

L1dV

e

B D BK T

11

11

L

AE K Che coincide con quella analitica

L

uuEx 12

L

uux 12

Elemento asta a 3 nodi con sezione variabile

F1 F3

x

F2

lelemento ha 3 gdl

L

xAAxA 10

2321 x x xu

2

3213

2

3212

11

L L u

4

L

2

L u

u

invertendo

32123

3212

11

uu2uL

2

uu4u3L

1

u

242

LL4L3

00L

L

1

2

2

1 A

T

2

2

22

2

2

2

2

x2Lx

x4Lx4

x2Lx3L

L

1

242

LL4L3

00L

L

1 xx1x

1

AN

Per vedere se c completezza agli spostamenti rigidi basta verificare che

22222

n

1i

i x2Lxx4Lx4x2Lx3L L

1 1 xN

O.K.

T

2

2

2

x4L

x8L4

x4L3

L

1

242

LL4L3

00L

L

1 x210x

1

ALB

dx xALA x4Lx8L4x4L3 x4L

x8L4

x4L3

L

E 10

L

05

K

1011 A3A14L 6

E k Ad esempio:

Esempio sul metodo di Galerkin

Si considera unasta caricata con il peso proprio

Lequilibrio di un elementino lungo dx si scrive

0dx pdx

dx

Ad

px

0pdx

duEAd

Volendo scegliere un polinomio approssimante lo spostamento, esso deve almeno essere

di II grado per poter esprimere le derivate

21 2 3v x x x

Determiniamo le condizioni su affinch siano rispettate le condizioni al contorno

v 0 0 01 x L

d v0

dx L 2 32

Il metodo prevede di utilizzare come peso la funzione approssimante

cui il termine del polinomio si riferisce (lunica incognita 3):

L

0

dvd EA p x dx 0

dx

L L

0 0

dvd EA x dx p x dx 0

dx

Lequazione di equilibrio, scritta per la funzione approssimante, deve essere mediata

con una funzione peso (x) :

2x x

Se si sfrutta lintegrazione per parti, come detto in precedenza, si pu richiedere a v la sola

continuit C0 invece della C1

LL L

0 00

d xdv dvEA dx EA x p x dx 0

dx dx dx

Considerando:

2 3 3

d v x2 x 2 x L

dx

L L

L2 2

3 3 0

0 0

EA 2 x L 2x dx EA 2 x L x p x dx 0

03

L p

2

L

3

L EA 4

333

3

EA 2

p 3

A E

L p2

p x

v x x L u xEA 2

Coincidente con la soluzione esatta

2 22 3 3 3v x x x 2 Lx x

2x x

L L

2 3

3 0

0

x LEA 2 2x 0 p x 0

3 2

Elemento trave di Eulero-Bernoulli

lelemento ha 2 nodi


Allinterno sono definiti uno spostamento ed una rotazione

M2

F1x F3 M4

y,w

T 2211 ww f



Lelemento ha

complessivamente 4 gdl

La combinazione lineare estesa a quattro

funzioni interpolanti

1

2 2 3

11 12 13 14

3

4

w x x x x x 1 x x x

Lelemento Hermitiano, le rotazioni sono

le derivate delle frecce:

1

2 2

21 22 23 24

3

4

x x x x x 0 1 2x 3x


Il coefficiente ( 1 ) consente di descrivere il moto rigido traslatorio

Il coefficiente ( 2 ) consente di descrivere il moto rigido rotatorio (ma solo per piccole

rotazioni rigide!)

Il coefficiente ( 3 ) consente di descrivere uno stato di deformazione (curvatura) costante

lungo lelemento


Si pu particolareggiare la (x) ai 2 nodi estremali x=0 x=L

2

4322

3

4

2

3212

21

11

L3L2

LLLw

w

2

32

L3L210

LLL1

0010

0001

A

4

3

2

1

2

32

x3x210

xxx1

x

xw

2323

22

L1L2L1L2

L1L3L2L3

0010

0001

1A

4 x 2dimx N

1AN x

2

32

14

3

3

2

2

13

2

32

12

3

3

2

2

11

L

x

L

xxN

L

x2

L

x3xN

L

x

L

x2xxN

L

x2

L

x31xN

2

2

24

3

2

223

2

2

22

3

2

221

L

x3

L

x2xN

L

x6

L

x6xN

L

x3

L

x41xN

L

x6

L

x6xN

N1i(x)

N2i(x)


Per lelemento trave si prende la curvatura come rappresentativa della deformazione,

un solo valore quindi definito

2

2

x d

wd xx fC

Confondere la curvatura con la derivata II vuol dire considerare piccole rotazioni

(derivata I trascurabile)

x62x 43

Pertanto la curvatura varia linearmente

x x x f Bf AC 1-

232232 L

x6

L

2

L

x12

L

6

L

x6

L

4

L

x12

L

6x B

Che si possono ottenere anche dalle derivate II delle N1i(x)


Per lelemento trave si prende il momento flettente come rappresentativo dello stato

tensionale, quindi un solo parametro

x xMx fBD J ED

Quindi le tensioni seguono lungo lasse landamento lineare, come noto questo

compatibile per carichi concentrati ma non distribuiti

Applicare principio lavori virtuali (od altro principio variazionale) per determinare KVI)

L

0

V

dxJ ExxdV xx

e

B BB D BK TT

Che di nuovo coincide con quella analitica

L 4L 6L 2L 6

L 612L 612-

L 2L 6L 4L 6

L 612-L 612

L

J E

22

22

3K


xx fB x EJx fB

(x) non costante sullasse, ma essendo lineare, i valori massimi e minimi sono certamente

in corrispondenza ai nodi

Per calcolare i carichi equivalenti al peso si ricorda che

Pervenendo allo stesso risultato ricavato analiticamente

ee V

V

dV

0

qx dV P N R N F

T

Vol

T

Vol

T

22

12

L q

2

L q

12

L q

2

L q

F Vol

Per calcolare i carichi equivalenti alla temperatura si ricorda che

Pervenendo allo stesso risultato ricavato analiticamente

ee V

0

VdV Dx dV P B B F

T

0

T

0

T

h

J E T 20

h

J E T 20

TF

Elemento trave di Timoshenko (1)

M2

F1x F3 M4

y,w

Rispetto alla trave di Eulero-Bernoulli, le sezioni rimangono ancora piane, ma non pi ortogonali

allasse neutro, anche qui la soluzione solo approssimata ma si considera una deformabilit a taglio

La numerazione non cambia

rispetto precedente

T

T

Carico a sbalzo applicato

Deformazione per solo effetto taglio

Deformazione per solo flessione

Linclinazione complessiva linea elastica data dalla somma delle due

xxdx

xdw

Il momento flettente ed il taglio si possono correlare agli angoli con le

J E

M

dx

xd

A G

F x

Risulta quindi chiaro che la curvatura non pi la derivata II freccia

lelemento ha 2 nodi


Allinterno sono definiti lo spostamento w e la

rotazione flessionale , ora indipendenti

T 2211 ww f



Lelemento ha complessivamente 4 gdl4 sono le coordinate generalizzate

che si possono utilizzare

Ora per le due grandezze sono indipendenti e quindi si possono utilizzare solo funzioni per

spostamenti e rotazioni lineari

x100

00x1

xx00

00xx

x

xw

4

3

2

1

2221

1211


1 consente le traslazioni rigide, 2 e 3 consentono le rotazioni rigide (anche se solo

piccole rotazioni sono consentite)

Pi avanti si verificher possibilit di descrivere deformazione costante


Si pu particolareggiare la (x) ai 2 nodi estremali x=0 x=L

L

Lw

w

432

212

31

11

L100

00L1

0100

0001

A

L10L10

0010

0L10L1

0001

1A

434

13

212

11

wwL

1

wwL

1

w

11 21

12 22

x x 0 0x

0 0 x x

1 1N A A

2221

1211

N0N0

0N0NxN

LxxNxN

Lx1xNxN

2212

2111

Le funzioni di forma sono uguali a quelle dellelemento asta


Per la trave di Timoshenko non basta pi un solo valore, la curvatura, ma ne occorrono

due: curvatura dovuta a flessione, angolo dal taglio

Come si vede questo modello prevede una curvatura costante mentre la beam di Eulero la

consentiva variabile linearmente

x x f B

LxL1Lx1L1

L10L10x B

xdxd

fAC1-

Lo scorrimento a taglio

si pu ricavare dalla: dx

dw

x

dx

d

432

4

21121

21

L

xww

L

1

L

1

dx

d

Langolo di taglio invece varia linearmente!


Anche in questo caso il vettore che rappresenta le tensioni interne fatto di due termini:

momento flettente e forza di taglio

x GA0

0J E

xF

xM fB

E evidente che questo elemento non funziona molto bene fisicamente, avendo un M costante

ed un taglio F variabile con x

Miglioramenti consistenti si avrebbero utilizzando 3 nodi e quindi funzioni di forma

quadratiche

Applicare principio lavori virtuali (od altro principio variazionale) per determinare KVI)


eV

dV xx B D BK

T

x x fB

1010

0000

1010

0000

L

J EflessK

x x fBD

(x) non costante sullasse, ma essendo il momento costante ed il taglio lineare, i

valori massimi e minimi sono certamente in corrispondenza ai nodi

Per semplicit consideriamo separatamente le rigidezze dovute a flessione ed a taglio

3L216L21

21L21L-

6L213L21

21L-21L

L

A GtaglioK

tagliofless KKK

Effetto di locking trave Timoshenko

Il locking, o irrigidimento eccessivo della trave, si verifica quando si utilizza la formulazione

di Timoshenko per una trave snella

Si riesamina lespressione della deformazione generalizzata

21121

21

L

xww

L

1

L

1

dx

d

Se la trave molto lunga, la

curvatura assume valori molto

pi grandi del taglio

In pratica il termine di taglio (variabile con x) rimane vicino a 0, mentre la curvatura dovrebbe

assumere valori consistenti, ma vedendo le due precedenti espressioni lannullarsi del I

comporta anche lannullarsi della II

Un modo rapido di superare lostacolo consiste nel modificare la matrice B

2

wwL

1

L

1

dx

d

2121

21

Ora i valori sono entrambi costanti e lannullarsi

delluno non pregiudica lannullarsi dellaltro

La limitazione della curvatura rende lelemento molto pi rigido che nella realt, e tanto pi

quanto la snellezza alta

In alternativa si pu operare una integrazione ridotta, ossia un numero di punti di integrazione

allinterno dellelemento tale da non consentire lintegrazione esatta relativamente allordine del

polinomio interpolante

II formulazione elemento trave di Timoshenko (2)

In sostanza si modifica lespressione gi utilizzata per definire lo scorrimento a taglio

costante, moltiplicandola per un fattore z/(1+ z)

z

z2121

12ww

L

1

con

2z L G A

J E 12

Con questa posizione si pu sviluppare lelemento collegando i gdl mediante derivazione ed

utilizzando quindi polinomi di grado pi elevato

2

432

3

4

2

321

x 3x 2dx

xdwx

x x x xw

Se ora si effettuano tutti i passaggi del procedimento, inclusa la sostituzione di si arriva a

definire le funzioni di forma:

2

4322

3

4

2

3212

21

11

L3L2

LLLw

wLinversa

2213

214

21

2

213

12

11

L2Lww 2

L32Lww 3

w

z

2

2

z14

z

3

3

2

2

z13

z

2

2

z12

3

3

2

2

11

1

1

L

x

L

x

L

x1

2 xxN

1

1

L

x2

L

x3

L

xxN

1

1

L

x

L

x2

L

x1

21 xxN

1

1

L

x2

L

x3

L

x1 1xN

z

z2

2

24

z

3

2

223

z

z2

2

22

3

2

221

1

1

L

x

L

x3

L

x2xN

1

1

L

x6

L

x6xN

1

1

L

x1

L

x3

L

x41xN

1

1

L

x6

L

x6xN

2323

22

L1L12L1L12

L232L13L234L13

2L21L

0001

1A

z

z2121

12ww

L

1

Sostituendo la

1AN

2

32

3x2x10

xxx1

z

z

1

Non difficile verificare che se z 0 si ricade nella trave di Eulero

Le funzioni di forma N1i si discostano poco da quelle di Eulero

Le funzioni di forma N2i al crescere delleffetto del taglio tendono a quelle lineari della

prima trave di Timoshenko

t = 0 trave di Eulero-Bernoulli t = trave di Timoshenko

Per quanto riguarda le deformazioni, le possiamo anche ricavare direttamente dalle funzioni di forma:

dx

d

dx

d

dx

d

i2i1

i2

2i

1if

NN

N

fB

B

z

2

z14

z

3213

z

2

z12

z

3211

1

1

L

x6

L

2xB

1

1

L

x12

L

6xB

1

1

L

x6

L

4xB

1

1

L

x12

L

6xB

z

z24

z

z23

z

z22

z

z21

12

1xB

1L

1xB

12

1xB

1L

1xB

Si noti che si ottenuto una curvatura variabile linearmente ed uno scorrimento da taglio costante

La matrice di rigidezza che cos si ricava perfettamente uguale a quella calcolata analiticamente

L 4L 6L 2L 6

L 612L 612-

L 2L 6L 4L 6

L 612-L 612

1 L

J E

2

z

2

z

2

z

2

z

z

3K

Questultimo modello in grado di evitare il locking in quanto al crescere di L il fattore z tende

comunque a zero

Altre formulazioni sono possibili e sono disponibili nei vari codici di calcolo

09-Elementi-1D_V1

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