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CAPITOLO 8. FLUSSI VISCOSI

8.1 Flusso laminare o turbolento

Il movimento di un fluido pu presentarsi, non contemporaneamente, in

due modalit che differiscono per diversi aspetti. Tali modalit sono

definite flusso laminare e flusso turbolento.

Dal punto di vista della fenomenologia, nel flusso laminare, che si instauranormalmente per velocit pi basse (parit di altre condizioni), le

particelle fluide hanno un moto relativamente ordinato, come se si

muovessero su sottili lamine senza interagire tra di loro se non a livello

molecolare (figura 8.1). Le forze viscose tra particelle sono pertanto dovute

alleffetto della viscosit del fluido, che tiene conto proprio di tali

interazioni.

Nel caso turbolento, anche se mediamente il flusso stazionario, le

particelle presentano un moto nel quale si pu individuare una velocit

media nel tempo, con una componente aggiuntiva variabile

stocasticamente in modulo direzione e verso. Cio

() = + ()Dal punto di vista fenomenologico, se si tracciasse la posizione delle

particelle con un inchiostro, la turbolenza renderebbe non individuabile la

traiettoria, in quanto il sottile getto si disperderebbe, come mostrato infigura 8.1b.

Il flusso turbolento si presenta quando le velocit delle particelle, e quindi

le forze di inerzia, sono pi elevate. Le interazioni tra le particelle in

questo caso sono dovute anche ad urti casuali tra le stesse, proprio per la

presenza della componente fluttuante, e le forze viscose sono maggiori che

nel caso laminare, in quanto generate non solo dalla viscosit (a livello

molecolare) ma anche dagli scambi di quantit di moto (urti tra particelle).

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Figura 8.1. Regimi di flusso; a), flusso laminare; b), flusso turbolento

Uno tra i pi importantiparametri adimensionali che permettono di stabilire

la caratteristica dei flussi reali il Numero di Reynolds (Osborne

Reynolds, 1883). Tale parametro si costruisce a partire da alcune variabili

termo fluidodinamiche relative al flusso ed al sistema:

= Dove:

la densit del fluido il modulo della velocit media del fluido

una caratteristica dimensione geometrica del sistema la viscosit dinamica del fluido

Si pu dimostrare che il numero di Reynolds rappresentativo del

rapporto tra le forze dinerzia e forze viscose

( )

==

2

3

dy

dV

aF

sitalla viscodovuteforze

inerziad'forzeRe

L

LVL

Si ha infatti:

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( )

2

3

dL

LdL

dV

Ldt

dV

dL

dVdt

L

dL

dV

dL

dVdt

L

dL

dVdtV

dtdL

dV

dtdL

dVVL

===

Dove dd 3 proporzionale alle forze (volumiche) dinerzia, e ddL2

proporzionale alle forze superficiali viscose.

Dye

Dye streakQ = VA

Fig. 8.2. Visualizzazione delle linee di flusso mediante tracce di inchiostro (dye)

Si consideri ora il flusso allinterno del condotto mostrato in Fig. 8.2. Con

riferimento al solo flusso allinterno del condotto (fluidodinamica interna),

si definiscono in generale tre diversi regimi di flusso, che si presentano

per campi diversi del numero di Reynolds:

Flusso laminare, < 2100 2300 Flusso di transizione, > 2100 e < 4000 Flusso turbolento, > 4000

In questo particolare caso, il numero di Reynolds definito utilizzando

come lunghezza di riferimento il diametro del condotto:

=

8.2 Flusso Completamente Sviluppato

Le considerazioni precedenti vanno per fatte in particolari situazioni del

flusso in un condotto, esaminate brevemente in questo paragrafo.

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Considerando di nuovo il flusso proveniente da un contenitore, nel quale

il livello di fluido e mantenuto costante, verso il condotto rettilineo

mostrato in Fig 8.3, appena allimbocco del condotto, il profilo di velocitpresenter valori uniformi di velocit lungo tutti i punti di una linea

diametrale. Procedendo lungo il condotto nel verso del moto, le particelle

di fluido attaccate alla parete, e quindi con velocit nulla, faranno sentire il

loro effetto anche verso linterno del condotto, modificando il profilo di

velocit in quella sezione e dando origine al cosiddetto strato limite, cio ad

una zona prossima alla parete che risente del fatto che le particelle fluide

tendono ad aderire alla superfici solide, rallentando la loro velocit fino a

zero e modificando il profilo di velocit nelle zone vicine. Il concetto di

strato limite verr meglio analizzato nel Capitolo 10.

I profili di velocit valutati in sezioni pi a valle si modificheranno ancora,

aumentando la zona di strato limite, fino a che questultimo interesser

lintera sezione. Esister infine una sezione ad una distanza 2dallimbocco, a partire dalla quale il profilo di velocit, pur non uniforme,

si ripeter uguale nelle diverse sezioni a valle.

Fig. 8.3. Strato limite allingresso di un condotto

p p

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Si pu riassumere il tutto dicendo che il flusso allimbocco di un condotto

rettilineo presenta una zona per la quale il profilo di velocit (e quindi lo

spessore dello Strato Limite) varia con la distanza dallimbocco, edunaltra pi a valle dove il profilo di velocit e lo spessore dello Strato

Limite non variano pi con la distanza dallimbocco, che viene definita

zona di flusso completamente sviluppato. Occorre chiarire immediatamente

che nella zona di flusso completamente sviluppato si potr presentare un

flusso turbolento o laminare a seconda del numero di Reynolds tipico

della situazione fluidodinamica e definito da = /. In tutti e due icasi il profilo di velocit non varia nelle diverse sezioni a valle, ma il

profilo di velocit laminare diverso da quello turbolento.

Trattandosi di flussi reali, man mano che si procede nel verso del flusso, la

pressione statica nel condotto diminuisce, come mostrato in figura 8.3 , a

causa degli attriti viscosi che generano le cosiddette perdite di carico. Nella

parte vicina allimbocco le perdite di carico hanno un andamento non

lineare, mentre nella zona di flusso completamente sviluppato il gradiente

di pressione, d

/d

, costante e la diminuzione di pressione

direttamente proporzionale allavanzamento lungo il condotto.

Per semplicit, lanalisi che verr condotta nel seguito sar sempre riferita

a quella zona dei condotti dove il flusso completamente sviluppato.

8.3 Profilo di velocit nei condotti con flusso completamente sviluppato

In questo paragrafo si vuole verificare la possibilit di valutare in maniera

analitica landamento del profilo di velocit (e quindi dello spessore distrato limite) per il flusso in un condotto a sezione circolare.

Unespressione analitica pu essere ricavata solo a partire dalle equazioni

di conservazione della fluidodinamica, in particolare a partire dalla

equazione della quantit di moto, che come noto rappresenta una forma

diversa della equazione di Newton (seconda legge della Dinamica).

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a)

b)

Fig. 8.4. a) Elementino fluido e b), forze agenti su di esso

Si consideri il flusso allinterno del condotto circolare, laminare oturbolento, e si esamini un elementino (Volume di Controllo infinitesimo)

di lunghezza L e coassiale al condotto (fig. 8.4a), mettendo in evidenza le

forze agenti su esso (fig. 8.4b). Esse sono:

Le forze di pressione agenti sulle superfici frontali e lateralidellelemento

Le forze tangenziali dattrito sulle superfici laterali dellelemento Le forze volumiche di gravit Le forze dinerzia

Il problema comunque semplificato dalle seguenti ipotesi:

leffetto dovuto alla gravit trascurabile, in quanto lanalisi effettuata su un condotto ad asse orizzontale

Il flusso stazionario, pertanto laccelerazione locale nulla, cio

= 0

2 r ( )1

21

p r ( )2

1 p p r

( )2

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Laccelerazione convettiva nulla, in quanto il flusso completamente sviluppato ed il profilo di velocit non varia lungo

= 0 Dalle due ipotesi precedenti si ottiene che anche laccelerazione

Lagrangiana o sostanziale dellelemento nulla, e quindi sono

nulle le forze dinerzia

dd = 0

Osservando che le pressioni statiche sulla superficie laterale sono dirette

normalmente alla superficie, applicando allelemento di lunghezza L la

seconda legge di Newton (o anche lequazione di conservazione della

Quantit di Moto), e proiettando lungo la direzione , si ha: = = 0

Ovvero

( ) 02212

1 = rlrpprp

Da cui si ricava

=

2 (8.1)

dove rappresenta la tensione tangenziale viscosa.Dal momento che e non sono funzioni della coordinata radiale ,neanche il secondo membro dipender da e tenendo conto che nonvaria nemmeno lungo

(flusso completamente sviluppato), si pu

scrivere

= costante = 1

Pertanto

= 1 + 2Il valore delle costanti pu essere ricavato ragionando come segue:

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Per = 0, (asse del condotto), le tensioni tangenziali sono nulle. Civale sia per i flussi turbolenti, sia per quelli laminari. Per questi

ultimi si ha

= 0 = = 0in quanto il gradiente di velocit secondo il raggio nullo, per la

simmetria del profilo di velocit. Si deduce che 2 = 0

Fig. 8.5. Andamento del profilo di velocit in un flusso laminare completamente

sviluppato. Confronto con un flusso ideale

Per = /2, (parete del condotto), le tensioni tangenziali sonoquelle di parete (in inglese wall)

= 2 = = cost

Da cui 1 = 2 e le tensioni tangenziali varieranno linearmentelungo il raggio (vedi figura 8.5), e avranno equazione

= 2 (8.2)Sostituendo la (8.2) nella (8.1), si ottiene lespressione delle perdite di

carico in un flusso laminare o turbolento, completamente sviluppato, in un

condotto a sezione circolare:

=

2

(8.1)

( )2

wD =

Profilo

laminare

Profilo

ideale

CV 2CV V=

( )r

r

( )0 0 =

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= 4 (8.3a)O anche, in termini di altezze

= =

4 (8.3b)

Un prosieguo dellanalisi del profilo di velocit del flusso in un condotto

non pu prescindere dal trovare una espressione degli sforzi tangenziali

che sia in qualche modo legata alle altre variabili del flusso, ad esempio

alla velocit. Si visto nei precedenti capitoli, dedicati alle Equazioni di

Navier-Stokes ed al legame costitutivo sforzi- velocit di deformazione,

che una tale relazione possibile in via esatta solo per i flussi laminari, e

solo per essi possibile determinare una forma analitica del profilo di

velocit.

8.4 Profilo di velocit nei condotti con flusso laminare

Lipotesi fondamentale che permette di risolvere il problema quella di

considerare il fluido come Newtoniano, per il quale cio sia definibile una

serie di relazioni che legano in modo lineare le componenti del tensore

degli sforzi viscosi alle componenti del tensore velocit di deformazione.

Tali relazioni si riducono, nel caso del flusso in un condotto a sezione

circolare, a quella relativa allunica componente = dd (8.4)

La (8.4) si pu riscrivere,

dd =

(8.5)

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Al fine di trovare il profilo di velocit, necessario integrare tale

espressione, e ricavare una espressione del tipo = (). Pertanto,ricavando la tensione tangenziale dalla (8.1)

= 2

(8.6)

E sostituendo la (8.6) nella (8.5) si ottiene

dd =

2 (8.7)

Per ricavare il profilo di velocit, si integra la (8.7) tra un punto sulla

parete ed un punto generico

()= dd d =

2 d =

4 2 + 3 (8.8)

Con 3 una generica costante, che si pu determinare ricordando che unfluido viscoso aderisce perfettamente alla parete (L. Prandtl, 1904), dove

presenta velocit nulla. Pertanto

= = 2 () = 424 + 3 = 0Dalla precedente si trova

3 = 162Sostituendo il valore della costante 3 nella espressione (8.8), si ottiene ilprofilo di velocit per un flusso laminare completamente sviluppato,

Newtoniano, in un condotto a sezione circolare

() = 162 1

2

2 = 162 1

2 (8.9)Si osserva come la relazione analitica trovata rappresenti una parabola

avente valore massimo sullasse del condotto. Tale valore massimo dato proprio dal termine che moltiplica la parentesi quadrata

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120

= 162

La portata volumica nel condotto pu essere ricavata dallintegrazione

della velocit nella sezione retta del condotto. Si ha, cio

rdrR

rVrdrruudAQ

R

c

Rr

r

===

=

= 0

2

0122)(

Si ottiene il seguente risultato, legato alla velocit massima del profilo di

velocit

2

2cVRQ

=

(8.10)

Per definizione, la velocit media del flusso in un condotto quella che si

ottiene dividendo la portata per la sezione utile retta del condotto. Si ha

l

pDV

R

VR

R

Q

A

QV cc

3222

2

2

2

2

=====

(8.11)

Dalla (8.11) si osserva che la velocit media pari alla met della velocit

massima del profilo.

Ricapitolando i risultati globali, ottenuti con lanalisi precedente relativa al

flusso laminare completamente sviluppato in un condotto a sezione

circolare, si ha

Velocit media, = 32 Portata volumica, = 128 , (formula di Poiseuille, 1799,-1869)

Esprimendo le perdite di carico in funzione delle altre grandezze,

1284D

lQp

=

2

32

D

lVp

=

Per tubi orizzontali, in regime di flusso laminare, la portata direttamente

proporzionale alla caduta di pressione. Per fluidi che scorrono in tubi che

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121

non sono orizzontali (figura 8.6), si pu dimostrare che valgono le

seguenti relazioni:

= 2 = ( )

128 (8.12) = ()2

32

Fig. 8.6. Forze agenti su un elemento di fluido in un condotto inclinato

8.5 Equazione dellenergia nei flussi completamente sviluppati

Nel capitolo 7 stata introdotta lEquazione dellEnergia in forma

Meccanica.

+22

+

= + (8.8)

La (8.8) scritta in termini di prevalenze, o energie specifiche. Dividendo

per laccelerazione di gravit ambo i membri della (8.8), si ottiene una

analoga espressione dellequazione, ma in termini di altezze

Q

Wsin

W

21 rp

( ) 21 rpp

r2

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122

+22g

+

= + (8.13)

Tenendo in conto che il profilo di velocit lungo il condotto non

uniforme, e che pertanto la velocit media inferiore a quella massima, si

introducono dei coefficienti di riduzione del contributo cinetico, 1 e 2, ela (8.13) diventa:

+ 1

22g

+

+ 2

22g

+

= + (8.14)

In generale, i coefficienti 1 e 2 sono inferiori ad uno, ma se il flussofosse ideale (perfetto, non viscoso), il profilo di velocit in ogni sezione

sarebbe uniforme (i vettori di velocit nella sezione avrebbero uguale

direzione , modulo e verso) e la (8.14) diventerebbe lequazione di

Bernoulli, con

1 = 2 = 0

= 0

Essendo il flusso completamente sviluppato, se il diametro di ingresso

uguale a quello duscita, si pu dimostrare che si ha

1 12

2 = 2222

E supponendo che nel condotto non vi sia una macchina che ceda o

prelevi lavoro meccanico al fluido ( = 0) +

+ =

1 2 + (1 2) =

Considerando la (8.12a), relativa alle perdite di carico per tubi inclinati,

essa pu essere riscritta come segue

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= 2

(8.15)

Osservando che si ha

=

1 2 + (1 2)

Si ottiene dalla (8.15) la seguente espressione delle perdite di carico in

termini di altezze

=2

(8.16)Valutando la (8.16) in prossimit della parete ( = /2, = )

= 4 (8.17)

La (8.17) esattamente uguale alla (8.3b), precedentemente ricavata per la

valutazione delle perdite di carico in condotti ad asse orizzontale. La

grandezza rappresenta la sforzo tangenziale viscoso in prossimit dellaparete, legato direttamente alla viscosit e alle forze di taglio nel fluido, ed

direttamente responsabile del valore delle perdite di carico nel condotto.

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8.6 Perdite di carico nei condotti. Perdite distribuite

E possibile mediante lanalisi dimensionale trovare un metodo empirico-analitico per determinare le perdite di carico nei condotti, purch il flusso

sia: turbolento, incomprimibile e completamente sviluppato.

Per esempio lequazione di DarcyWeisbach una delle espressioni pi

impiegate per calcolare le perdite di carico nei tubi lisci:

= 22 [] (8.18)

La (8.18) scritta in termini di altezze, e va utilizzata nellequazione

dellenergia quando gli altri termini sono espressi anche essi in questa

forma. In essa,

la lunghezza del tratto di condotto a diametro costante chegenera le perdite

il diametro del condotto la velocit media del flusso nel condotto , = /(2/4)

la densit media del flussoIl coefficiente adimensionale il cosiddetto fattore dattrito di Darcy. Sidimostra che , in generale, una funzione del numero di Reynolds delflusso e del rapporto /, tra la rugosit superficiale e il diametro delcondotto

= ,

Il fattore dattrito legato alla tensione tangenziale sulla parete dallarelazione

= 422

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Se lequazione dellenergia scritta in termini di pressioni, vale per le

perdite di carico una espressione analoga

= 22

[] (8.19)

Si noti come la (8.19) differisca dalla (8.18) solo per il fatto che al termine

2/2 (altezza cinetica di riferimento), si sostituisce il terminedove:

Per condotti a sezione non circolare si introducono i cosiddetti raggio

idraulico e diametro idraulico cosi definiti:

Rh=A/, Dh=4A/; dove A larea del condotto e il perimetro

bagnato.

-------------

E importante osservare che sostituendo nella formula di Darcy

lespressione per le perdite di carico gi ricavata nel capitolo precedente, siottiene, il valore del fattore dattrito per flusso laminare:

2

32

D

lVp

= , perdite di pressione per flusso laminare:

D

lamfRe

64= fattore

dattrito.

8.7 Il diagramma di Moody

Il diagramma di Moody, mostrato in Figura, la rappresentazione grafica

della seguente formula di Colebrook, che esprime analiticamente le

perdite di carico nei condotti a sezione circolare:

120

37

251

f f

D= +

. log .

.

Re

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8.8 Perdite concentrate (o perdite minori)

Questo tipo di perdite e dovuto a molti elementi addizionali (giunzioni,gomiti, T, valvole etc.) presenti nella stragrande maggioranza dei circuiti

fluidici. Il metodo pi comunemente utilizzato per valutare queste perdite

consiste nello specificare un coefficiente di perdita Kc definito come segue:

22

22 Vg

V

cc

phK

==

da cui si ricava il termine di perdita:

g

VKh cc

2

2

= o laltra forma equivalente2

2VKp cc

=

I valori di Kc dipendono dalla geometria del sistema. I vari casi sonoriportati su tabelle specifiche.

8.9 Espressione semplificata dellEquazione dellEnergia per flussi reali.

Lespressione trovata per le perdite di carico, per flussi turbolenti,

stazionari, incomprimibili, isotermi, quasi-monodimensionali,

completamente sviluppati, consente di ricavare una forma molto semplice

dellEquazione dellEnergia:

scL gHhhggzVp

gzVp

++++=++ g22

2

2

221

2

11

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in cui i termini relativi alle perdite sono:

=i

iiiL

D

VLf

g

h2

2

1perdite distribuite

= 2

2

1icc Vk

gh

iperdite di carico concentrate

Mentre lultimo termine rappresenta la prevalenza della macchina inserita

tra la sezione 1 e la sezione 2 del circuito.

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10.9 Calcolo di verifica e di progetto di reti di condotti (da completare)

Il calcolo di progetto o di verifica di una rete di condotti si presenta moltospesso nei progetti di ingegneria. I principi di base sono concettualmente

gli stessi che si applicano per il dimensionamento di un circuito semplice,

con laggiunta di alcune regole per agevolare i calcoli che, a seconda della

complessit della rete, possono essere lunghi e laboriosi e talvolta bisogna

procedere per successive iterazioni. Per questa ragione sono stati

sviluppati dei codici di calcolo che semplificano notevolmente il lavoro. Le

regole da tener presente possono essere cosi riassunte:

La somma algebrica delle portate in ogni nodo deve essere zero;

Il valore della pressione totale in ogni nodo deve essere lo stesso, il che

significa che le perdite di carico in una maglia (circuito chiuso) deve essere

zero;

Le perdite di carico continue e concentrate in tutti i rami devono

soddisfare le equazione dellEnergia.

Applicando queste regole si ottiene una serie di equazioni ai nodi e alle

maglie che in generali si risolvono con metodi numerici.

[ vedi F.M. White a pag.375 ]