Campo elettrostatico e campo elettrico stazionario

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione dell’11-11-2010)

2

Campo elettrostatico

● Equazioni fondamentali per il campo elettrostatico

● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo

0ˆ

dltE

VS

ˆ dVdS cnDc D

0 E

0E

ED

3

Potenziale elettrico

● Il campo elettrico è irrotazionale può essere espresso come gradiente di un potenziale V

● Scelto arbitrariamente un punto di riferimento O, il potenziale in un punto P è

l’integrale è valutato su una linea arbitraria che collega il punto P al punto O

rappresenta il versore tangente alla linea

VE

O

P

P

O

PˆˆVV(P) dldlV tEt

t̂

4

Equazioni di Poisson e di Laplace

● Si considera una regione , delimitata da una superficie S (eventual-mente all’infinito) e sede di un mezzo lineare isotropo omogeneo

● Si assume che in sia presente una distribuzione di carica con densitàvolumetrica c

● Dalle equazioni fondamentali si può ricavare un’equazione che consente di determinare il potenziale nota la distribuzione di carica

● Come caso particolare, se la densità di carica è nulla in tutta la regione , si ha

C

Cc VV

V02

ED

D

EE

0V2

Equazione di Poisson

Equazione di Laplace

5

Equazioni di Poisson e di Laplace

● Affinché la soluzione dell’equazione di Poisson o di Laplace sia univocamente determinata occorre associare all’equazione delle opportune condizioni al contorno

● In particolare si possono avere:

Condizioni di Dirichletè assegnato il valore del potenziale in tutti i punti della superficie di contorno del dominio

Condizioni di Neumannè assegnato il valore della derivata normale del potenziale in tutti i punti della superficie di contorno del dominio

n̂Vn

V

(Questo equivale ad assegnare la componente

del campo elettrico normale alla superficie S)

6

Campo e potenziale di una carica puntiforme

● Si considera una carica puntiforme q situata in un mezzo lineare isotropo omogeneo

● Per ragioni di simmetria il campo elettrico è uniforme sulle superfici sferiche aventi centro nel punto in cui è

collocata la carica è ortogonale a tali superfici (che quindi sono equipotenziali) ha intensità dipendente solo dalla distanza r dalla carica

● Dalla legge di Gauss si ottiene

● Assumendo uguale a zero il potenziale all’infinito,il potenziale in un punto P a distanza r dalla caricapuò essere valutato integrando E su una retta passante per q

rErD ˆ4

4ˆ2

2

r

qqrEdS

S

r

q

x

qdx

x

qdxxEr

rrr

444)()V(

2

7

C

P

Q

rPQ

d

● Si considera una distribuzione di carica con densità c situata, tutta al finito, in un mezzo lineare isotropo omogeneo

● La carica contenuta in un elemento di volume infinitesimo dcentrato nel punto Q, è assimilabile ad una carica puntiforme dq c(Q)d

● Tale carica produce nel generico punto P il potenziale

(assumendo uguale a zeroil potenziale all’infinito)

Potenziale di una distribuzione volumetrica di cariche

PQ4

(Q)V(P)

r

dd c

8

C

P

Q

rPQ

d

Potenziale di una distribuzione volumetrica di cariche

● L’equazione che lega il potenziale alla densità di carica è lineare

Si può valutare il potenziale dovuto all’intera distribuzione di carica sommando i contributi dei singoli elementi di volume

c = regione in cui c ≠ 0

L’integrale è valutato facendo variare il punto Q all’internodel volume c

cc

dr

dr

cc

PQPQ

(Q)

4

1

4

(Q)V(P)

9

Conduttori in regime elettrostatico

● Dato che deve valere la condizione E 0 si ha

Il campo elettrico può essere diverso da 0 solo in un mezzo isolante ( 0)

All’interno di un conduttore ( 0) il campo elettrico è nullo il potenziale è costante

La superficie esterna di un conduttore è una superficie equipotenziale la componente tangente del campo elettrico è nulla il campo elettrico all’esterno del conduttore è normale alla

superficie

00

00

E

E

10

Conduttori in regime elettrostatico

● Per una generica superficie chiusainterna al conduttore, dalla legge diGauss si ottiene

La densità di carica all’interno delconduttore è nulla

● Se all’esterno il campo elettrico è diverso da 0, sulla superficie del conduttore risulta

Sulla superficie del conduttore si deve avere una densitàsuperficiale di carica

0ˆ1 dSqS

nE

esternoall'

internoall'

222

1

ˆ

0

nD

D

D

222 EDc

1n̂

2n̂

S

0, 11

0, 22

11

Campo all’esterno dei conduttori

● Si considera un sistema costituito da conduttori carichi separati da un mezzo isolante (dielettrico)

● Si assume C 0 all’esterno dei conduttori

● Si possono avere solo linee di campo che vanno da un conduttore a un altro (1) da un conduttore all’infinito (2)

● Non è possibile che una linea di campo si richiuda su se stessa (3) colleghi due punti dello stesso

conduttore (4)

1

2

4

3

12

Campo all’esterno dei conduttori

● Lungo una linea di campo E è sempre diretto come il versore tangente

L’integrale di E su una linea di campo non può annullarsi (altrimenti si dovrebbe avere E 0 in tutti i punti della linea)

● Integrando su 3 si ottiene

● Integrando su 4, dato che i con-duttori sono equipotenziali si ha

Linee del tipo di 3 o 4 non possono essere linee di campo

3

0ˆ dltE

0V(B)V(A)ˆ

4

dltE

0ˆ EtE

1

2

4

3

A

B

13

12

0E0E

● Si considera un conduttore con una cavità

● Si assume che all’interno della cavità la densità di carica sia nulla

● Ragionando come nel caso precedente si dimostra che non possono esistere linee di campo

chiuse (1)

che collegano due punti del conduttore (2)

Il campo elettrico all’interno della cavità deve essere nullo (anche in presenza di un campoall’esterno)

Il conduttore si comporta comeuno schermo elettrostatico

Schermi elettrostatici

14

Proprietà delle superfici corrispondenti

● Si considerano due conduttori separati da un dielettrico linearenel quale la densità di carica è nulla

● Si considera inoltre un tubo di flusso di D che ha origine sul conduttore 1 e termina sul conduttore 2

● Sulle superfici terminali S1 e S2 D è discontinuo, quindi devono essere presenti due distribuzioni superficiali di carica (c1, c2)

Si può dimostrare che le cariche sulle superfici S1 e S2 sono uguali e opposte

Q

dS

Q

dSS

c

S

c

21

2211

15

Proprietà delle superfici corrispondenti

● Si forma una superficie chiusa unendo alla superficie laterale del tubo di flusso e due superfici 1 e 2 interne ai conduttori

● Il flusso di D attraverso questa superficie è nullo (D è nullo all’interno dei conduttori ed è tangente alla superficie laterale)

Quindi risulta

QdSdSdSdSS

c

S

c

S

c

S

c 2121

22112211 0

16

Flusso di D e carica

● All’esterno dei conduttori si ha D 0, quindi il flusso di D ha lo stesso valore attraverso ogni sezione trasversale S del tubo

● Si può verificare che, con i versi di riferimento indicati nella figura, il flusso di D coincide con la carica totale su S1

● Per dimostrarlo è sufficiente applicare la legge di Gauss alla superficie chiusa formata da 1, S e dal tratto della superficie laterale del tubo compreso tra S1 ed S

QdSdSS

c

S

1

11n̂D

17

Tensione

● Le superfici S1 e S2 sono equipotenziali (e quindi ortogonali alle linee di campo di E e di D)

● La tensione tra due sezioni terminali del tubo di flusso può essere espressa come

● dove P1 e P2 sono due punti arbitrari di S1 e S2 e è una linea arbitraria che unisce i due punti

12

ˆ)V()V( 2112 dlPPv tE

18

Capacità

● Si definisce capacità C (unità di misura farad, F) del tubo di flusso il rapporto tra il valore assoluto della carica sulle sezioni terminali e la differenza di potenziale tra i conduttori

● La capacità dipende solo dalla geometria del sistema e dalle proprietàdel mezzo interposto tra i conduttori

12

ˆ

ˆ

12 dl

dS

V

QC S

tE

nD

19

Analogia tra campo elettrostaticoe campo di corrente stazionario

● Il campo elettrostatico all’interno del dielettrico e il campo di corrente stazionario in una regione in cui non sono presenti campi impressi sono governati da equazioni simili

La definizione di capacità di un tubo di flusso di D è analoga alla definizione di conduttanza di un tubo di flusso di J

12

ˆ

ˆ

12 dl

dS

V

QC S

tE

nD

12

ˆ

ˆ1

12 dl

dS

V

i

RG S

tE

nJ

ED

E

D

0

0

EJ

E

J

0

0Campo

elettrostatico

Campo dicorrente

stazionario

Capacità Conduttanza

20

Analogia tra campo elettrostaticoe campo di corrente stazionario

● Per la capacità e per il suo reciproco (detto anche elastanza) si possono fare affermazioni simili a quelle fatte riguardo alla conduttanza e alla resistenza di un tronco di tubo di flusso di J

● In particolare, per dimostrare che la capacità dipende solo dalle proprietà del mezzo e dalla geometria del tubo di flusso, si può ripetere il procedimento utilizzato per la resistenza

● Inoltre si può osservare che, a parità di configurazione geometri-ca, le espressioni della resistenza di un tubo di flusso di J e del reciproco della capacità di un tubo di flusso di D sono identiche, a parte la sostituzione di con

21

Espressioni della capacità

● Per calcolare la capacità, conviene valutare l’integrale di E su una linea di campo e l’integrale di D su una superficie equipotenziale

● Nel caso di un tubo di flusso filiforme, seguendo un procedimento analogo a quello visto per la resistenza si ottiene

( A(x) area sella sezione S(x) )

● Questa espressione può essere utilizzata anche nei casi in cui si può riconoscere che D e sono uniformi nella sezione per ragioni di simmetria

● Se l’area della sezione è costante si ha

ll

xS

l

xS

xAx

dx

dSxEx

dxxE

dSxD

dxxE

C 00

)(

0

)(

)()()()(

)(

)(

)(1

l

AC

A

l

C

1

22

Condensatore

● Condensatore: sistema formato da due conduttori (armature) disposti in modo tale che tutte le linee di campo uscenti da un conduttore terminino sull’altro

Le cariche totali sulle superfici dei conduttori sono uguali e opposte

● Si definisce capacità del condensatore il rapporto

Q valore assoluto della carica

V potenziale del conduttorecon carica +Q

V potenziale del conduttorecon carica Q

1V 2V

Q Q

21 VV

QC

23

Esempio - condensatore a facce piane parallele

● Armature piane parallele di area S

● Distanza tra le armature d piccola rispetto alle dimensioni lineari delle armature

● Se si trascurano gli effetti di bordo, si può assumere che il campo elettrico tra le armature sia uniforme

d

SC d

S

E

24

Esempio - condensatore sferico

● Il campo si sviluppa tra due superfici sferiche concentriche

● Il campo ha andamento radiale ed èuniforme su ogni superficie sferica Sconcentrica con le armature

ei

r

r

r

r rrr

dr

rS

dr

C

e

i

e

i

11

4

1

4

1

)(

112

ei rr

C11

4

ri

re

S(r)

25

Esempio - condensatore cilindrico

● Il campo si sviluppa tra due superficicilindriche coassiali

● Se si prescinde dagli effetti di bordoalle estremità del cilindro, il campo haandamento radiale ed è uniforme suogni superficie cilindrica coassialecon le armature

i

e

r

r

r

r r

r

hhr

dr

rS

dr

C

e

i

e

i

ln2

1

2

1

)(

11

i

e

rr

hC

ln

2rire

h

26

Campo elettrico stazionario

● Equazioni fondamentali per il campo elettrico stazionario

● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo

All’interno dei conduttori il campo elettrico può essere determinato studiando il campo di corrente

All’esterno dei conduttori ( 0) le equazioni coincidono con quelle del campo elettrostatico

0ˆ

dltE

VS

ˆ dVdS cnDc D

0 E

EJ

ED

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Densità di carica nei conduttori

● All’interno di un conduttore in condizioni stazionarie i vettori D Ee J soddisfano le equazioni

● Se il conduttore è omogeneo si ottiene

All’interno di un conduttore omogeneo la densità volumetrica di carica è sempre nulla

● A differenza del caso elettrostatico, in presenza di correnti stazionarie questa proprietà vale solo se il mezzo è omogeneo

c D

JE

ED

0 J

0

JJ

Ec

28

Interfaccia tra due mezzi conduttori

t1E t2E

n2En1E

n1J n2J

t1Jt2J

1J

1E 2E

2J

1E

2E

1J

2J

tt

nn

EE

JJ

21

21

2

2

1

1

2211

tt

nn

JJ

EECondizioni di continuità:

linee di flusso di J

1 2

29

Interfaccia tra due mezzi conduttori

● La condizione di continuità per la densità di corrente richiede che sia verificata la relazione

In generale la componente ortogonale di D non può essere continua

Sulla superficie di separazione tra due mezzi aventi conducibilitàdiversa deve essere presente una distribuzione superficiale di carica con densità c tale che

nn EE 2211

nnnnc EEDD 112212

30

Interfaccia tra un conduttore e un dielettrico

● Nel dielettrico ( 0) la densità di corrente è nulla

Dalle condizioni di continuità deriva che nel conduttore J deve essere tangente alla superficie

● Nel conduttore E è parallelo a J, quindi è tangente alla superficie

La superficie del conduttore non è equipotenziale

Dato che la componente tangente di E deve essere continua, nel dielettrico E non è ortogonale alla superficie di separazione

EC

EDt

EDEDn

0

0

J

0J

31

Interfaccia tra un conduttore e un dielettrico

● Nel conduttore E e D sono tangenti alla superficie

La componente di D normale alla superficie di separazioneè discontinua

Sulla superficie del conduttore deve essere presente una distribuzione di carica con densità

EC

EDt

EDEDn

0

0

J

0J

DnDDnc ED

32

Campo elettrico all’esterno di conduttori percorsi da corrente

● Si assume c 0 all’esterno dei conduttori

● Come nel caso del campo elettrostatico, il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace

● In questo caso le condizioni alcontorno sono diverse dato chei conduttori non sono equipotenziali

● A differenza di quanto avvienenel caso elettrostatico, sono presenti anche linee di campoche collegano due punti dello stesso conduttore

0V2

33

Proprietà delle superfici corrispondenti

● Si considera un tubo di flusso di D che inizia e termina sulla superficie di un conduttore omogeneo percorso da corrente

● Si assume che all’esterno del conduttore sia c 0

● Anche in questo caso vale la proprietà delle superfici corrispondenti: le cariche sulle superfici terminali sono uguali e di segno opposto

● La proprietà deriva dal fatto che è nullo il flusso di D attraverso la superficie chiusa formata dalla superficie laterale del tubo di flusso e dalle due superfici 1 e 2 interne al conduttore (e quindi la carica totale racchiusadalla superficie deve essere nulla)

Q

dS

Q

dSS

c

S

c

21

2211

34

Proprietà delle superfici corrispondenti

● Il flusso di D attraverso la superficie laterale è nullo perchè D ètangente alla superficie

● Per dimostrare che il flusso di D attraverso 1 e 2 è nullo si osserva che è nullo il flusso di J attraverso la superficie chiusa formate da 1 e S1 e la superficie chiusa formata da 2 e S2 (dato che J è solenoidale)

● J è tangente alle superfici S1 e S2 deve essere nullo il flusso di Jattraverso 1 e 2

● Il conduttore è lineare e omogeneo D è proporzionale a J

Quindi anche il flusso di Dattraverso 1 e 2 è nullo