Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e InformaticaCanale 2 (S. Amerio, L. Martucci)Padova, 05 aprile 2014

Soluzioni della prima prova di accertamento

Fisica Generale 1

Problema 1

Due corpi di massa m1 = 1 kg e m2 = 2 kg sono collegati tramite un filo inestensibile e privo dimassa come in figura. Il corpo m2 e anche collegato ad una parete rigida tramite una molla dicostante elastica k = 10 N/m. Il piano su cui poggia m2 e liscio. Sul corpo m1 agisce, oltre allaforza peso, una forza ~F di modulo 10 N diretta verso il basso.

1. Il sistema e inizialmente in equilibrio. Determinare tutte le forze agenti su m1 e m2

(modulo, direzione e verso) e l’allungamento della molla L.

2. All’istante t = 0 s la forza ~F cessa di agire. Determinare la legge oraria di m2, supponendoche il filo rimanga in tensione.

3. Per quale valore massimo di F il filo rimane sempre in tensione?

Soluzione:

1. Introduciamo il sistema di riferimento in figura con la base di versori ux,uy. Sul corpo

m1 agiscono la forza ~F = −F uy = −10 Nuy, la forza peso Fg1 = −m1guy = −9.8 Nuy e

la tensione ~T1 = T1uy. Sul corpo m2 agiscono la forza elastica ~Fel = −kLux, la tensione~T2 = T2ux, la forza peso ~Fg,2 = −m2guy e la reazione vincolare ~N = Nuy. Dato che ilfilo e ideale, T1 = T2 = T . Imponiamo le condizioni di equilibrio (T −m1g − F )uy = 0,

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(T − Fel)ux = 0, (N − m2g)uy = 0. La reazione vincolare risulta ~N = 19.6 Nuy, latensione T = m1g + F = 19.8 N, l’allungamento della molla L = m1g+F

k = 1.98 m e infine

la forza elastica ~Fel = −19.8Nux.

2. Possiamo scrivere ~a1 = aux e ~a2 = −auy, usando sistema di riferimento in figura. Per idue corpi valgono le equazioni

T −m1g = −m1a , T − kx2 = m2a

avendo scelto x2 = 0 cm come posizione di riposo della molla. L’accelerazione e

a ≡ d2x2dt2

≡ d2

dt2(x2 −

m1g

k) = − k

m1 +m2(x2 −

m1g

k)

la cui soluzione ex2(t) =

m1g

k+A sin(ωt+ φ)

dove ω =√

km1+m2

. Imponendo le condizioni iniziali x2(0) = L = m1g+Fk e v2(0) = 0 si

ottiene

x2(t) =m1g

k+F

kcosωt = [0.98 + cos(1.8t s−1)] m

3. Il massimo valore della forza Fmax per cui il filo resta teso e quello per cui si annulla latensione T nel punto di massima compressione. La tensione in funzione di x2 e data daT = m1

m1+m2(kx2 +m2g). Imponendo T (xmin

2 ) = 0, dove xmin2 = 1

k (m1g − F ), si ottiene

Fmax = g(m1 +m2)

Sostituendo i valori numerici otteniamo Fmax = 29.4 N.

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Problema 2

Un corpo di massa m = 1 kg parte con velocita iniziale nulla dal punto A e scivola lungo unpiano inclinato scabro (µd = 0.1, angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale θ = 30◦). Infondo al piano inclinato il corpo prosegue lungo una guida circolare liscia di raggio R = 20 cm.

1. Determinare la velocita nel punto B se il punto A si trova ad una quota h = 40 cm

2. Determinare l’altezza h minima affinche il corpo arrivi in C

3. Determinare l’altezza h minima affinche il corpo arrivi in D

4. Il corpo viene poi riportato nel punto A lasciato nuovamente scivolare. Determinare lavelocita nel punto B se il punto A si trova ad una quota h = 40 cm e il sistema e montatosu un vagone che si muove verso destra con accelerazione costante ~a = a0ux = 3m/s2ux.

Soluzione

1. Utilizziamo la formula Em,B − Em,A = Wad con Wad = −Fadh/ sin θ = −µdNh/ sin θ =−µdmgh cot θ. Poiche Em,A = mgh e Em,B = 1

2mv2B, ricaviamo

vB =√

2gh(1− µd cot θ)

Sostituendo i valori numerici, otteniamo vB = 2.5 m/s.

2. Utilizzando Em,C − Em,A = Wad, dove Em,C = 12mv

2C +mgR, si ottiene

h =1

1− µd cot θ

(R+

v2C2g

)La condizione da imporre e vC ≥ 0 e quindi l’altezza minima corrisponde a vC = 0:

hmin =R

1− µd cot θ

Sostituendo i valori numerici, otteniamo hmin = 24 cm.

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3. Seguendo la stessa procedura utilizzata per il quesito 2, si ottiene

h =1

1− µd cot θ

(2R+

v2D2g

)La condizione da imporre e ora v2D/R ≥ g e quindi l’altezza minima e data da:

hmin =5R

2(1− µd cot θ)

Sostituendo i valori numerici si ottiene hmin = 60 cm.

4. Utilizziamo il sistema di riferimento non inerziale solidale con il vagone. Bisogna quinditenere conto della forza di trascinamento ~Ft = −ma0ux, alla quale si puo associareun’energia potenziale ma0x, che si somma a quella della forza peso. Quindi Ep,B−Ep,A =mg(h+a0 cot θ). Il modulo della reazione vincolare e’ ora dato da N = m(g cos θ−a0 sin θ)e quindi il lavoro della forza d’attrito e dato da Wad = µdmh(a0 − g cot θ). Proseguendocome per il quesito 1, otteniamo

vB =√

2h[g(1− µd cot θ) + a0(µd + cot θ)]

Sostituendo i numeri: vB ' 3.3 m/s.

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