Le onde elastiche stazionarie

PitagoraSamo 570 - 495 a.C.

4.e Le onde elastiche stazionarie

Jean Baptiste Joseph FourierFrancia, 1768 – 1830

Allievo di Laplace e Lagrange, Fourier diede un contributo decisivo all’analisi funzionale. Le serie di Fourier e le trasformate di Fourier sono strumenti essenziali allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, come ad esempio le equazioni delle onde e l’equazione di diffusione del calore.

Pitagora e i suoi allievi diedero un impulso straordinario alla teoria dei numeri e alla teoria del suono. A Pitagora è attribuito il primo studio sistematico delle onde eccitate sul monocordo e la scoperta delle armoniche semplici.

Le onde stazionarie su una corda

pistoncino estremo fissoCorda elastica

In figura: due foto di una corda elastica sollecitata da un pistoncino che oscilla trasversalmente.

Sollecitando una corda tenuta tra due estremi fissi è facile stabilire su di essa onde stazionarie, o armoniche.

Le possibili armoniche su una corda sono un insieme discreto.Per eccitare la ciascuna armonica si deve far vibrare la corda a una certa precisa frequenza caratteristica, detta frequenza di risonanza.

fenomenologia4.e Le onde elastiche stazionarie

Le onde stazionarie su una corda

Le armoniche sono caratterizzate da un numero crescente di nodi e ventri.Le armoniche più alte corrispondono a frequenza maggiori.

I nodi sono punti fissi.Le particelle nel nodo sono ferme.

Le particelle tra i nodi oscillano.Le particelle nei ventri hanno ampiezza massima di oscillazione.

fenomenologia4.e Le onde elastiche stazionarie

Le onde stazionarie su una corda

Le armoniche sulla corda sono soluzioni dell’equazione di D’Alambert.

Le armoniche soddisfano queste condizioni al contorno: in ogni istante, gli estremi della corda sono fermi.

( ) ( ) 0tL,u;0tL,u ==−

Le armoniche sono la somma o la differenza tra due onde monocromatiche di pari ampiezza, una progressiva e una regressiva:

( ) ( )txkitxki eAeAu ω−−ω− ±=

L’onda progressiva ha numero d’onda positivo

L’onda regressiva ha numero d’onda negativo

Le armoniche possono essere interpretate come un’onda che viene continuamente riflessa avanti e indietro dalle pareti fisse poste agli estremi della corda.

Teoria

4.e Le onde elastiche stazionarie

Le onde stazionarie su una corda

( ) ( ) ( )

( )

( ) tωi

tωi

tixkixkitxkitxki

exksenu

exkcosu

eeeAeAeAu

−

−

ω−−ω−−ω−

∝

∝

±=±=

Le onde stazionarie sono caratterizzate da questa speciale proprietà: sono ottenute moltiplicando una funzione della sola variabile x per una funzione della sola variabile t.

-L 0 L

t

x In una serie di foto consecutive, l’onda stazionaria mantiene sempre la stessa forma, data dalla funzione cos(kx) , ma l’ampiezza è cambia nel tempo perché il valore di cos(ωt) è inizialmente 1, poi decresce fino ad annullarsi, poi diventa negativo, ecc.

( )uReReReRe

somma

differenza

Teoria

4.e Le onde elastiche stazionarie

Le regole di quantizzazione per le armoniche su una corda

Condizioni al contorno: ( ) ( ) 0tL,u;0tL,u ==−

( )( ) ( )

( )( ) ( ) π=⇒==−∝

π+π=⇒==−

∝

mLk0LksenLksen

xksenu

m2

Lk0LkcosLkcos

xkcosum ∈ Z

Perché siano soddisfatte le condizioni al contorno, k può assumere solo valori discreti.Si dice che i valori di k sono quantizzati :

L2

πk;knk oon ==

2L = lunghezza totale della corda

Circonferenza goniometrica

Teoria

4.e Le onde elastiche stazionarie

La lunghezza d’onda della prima armonicaè il doppio della lunghezza della fune

L4

cn

L4

cn2

n

L4;

L2

nk nnnn =ν

π=ω=λ

π= ;;;;;;;;

L4

c

L4

c2L4;

L2k oooo =ν

π=ω=λπ= ;;;;;;;;

k, ω e ν crescono in proporzione a n

λ varia in proporzione inversa a n

La prima armonica è associata al pedice 0

C’è sempre un numero intero di mezze lunghezze d’onda

Le regole di quantizzazione per le armoniche su una corda

Teoria

4.e Le onde elastiche stazionarie

La sovrapposizione di onde stazionarie

4.e Le onde elastiche stazionarie

In base al principio di sovrapposizione, la combinazione lineare di due soluzioni dell’equazione di D’Alambert è una soluzione dell’equazione di D’Alambert

La combinazione lineare di due o più onde stazionar ie è una soluzione dell’equazione di D’Alambert

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )nnn

txkin

nnn

ucu

eAtxu

txuctxu

nn

ReReReReReReReRe

,,,,

,,,,,,,,

∑

∑

=

=

=

ω−

I coefficienti cn sono numeri complessi

Non si perde di generalità prendendo A costante

Formalismo reale

La sovrapposizione di onde stazionarie

4.e Le onde elastiche stazionarie

La combinazione lineare di due onde stazionarie NON E’ un’onda stazionaria

Ciò è dovuto al fatto che due onde stazionarie diverse oscillano a frequenza diversa. In figura è mostrata una sequenza di “foto” di una corda sollecitata dalle prime due armoniche insieme:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t2cosxk2senAtcosxkcosAuuu oooo21 ω+ω=+= ReReReReReReReReReReReRe

0 ∆t 2∆t 3∆t

4∆t 5∆t 6∆t 7∆t 8∆t

o2t

ωπ=∆

u1

u2

U1+u2

4.d Le onde elastiche stazionarie.Esercizi e complementi.

Le regole di quantizzazione per le armoniche in una canna semiaperta

Le particelle d’aria sono ferme sul fondo: ( ) 0tL,u =−

La pressione alla bocca è costante epari alla pressione atmosferica: 0x

u

tL

=∂∂

,,,,

Il cambiamento delle condizioni al contorno determina un cambiamento delle regole di quantizzazione.

La canna ospita un numero intero di mezze lunghezze d’onda, più un quarto di lunghezza d’onda.

Questa condizione si realizza, ad esempio, quando si soffia in una bottiglia facendola suonare.Molti strumenti musicali a fiato sono invece basati su canne aperte, o su canne aperte su terminali conici, o su canne forate, il che complica la determinazione delle armoniche.

fenomenologia

Le proprietà fenomenologiche delle onde elastiche monocromatiche

Su un corpo corpo elastico si stabilisce un’onda stazionaria corrispondente alla prima armonica.La lunghezza d’onda è il doppio della lunghezza del corpo; la frequenza è data da:

λ=ν c

c = velocità delle onde sul corpo

Il corpo percuote l’aria alla frequenza n, generando un’onda di pressione alla stessa frequenza. La lunghezza d’onda però è diversa, perché l’aria ha una diversa velocità di propagazione:

λ=ν

=λc

cc ariaariaaria

Infine, l’aria percuote il timpano alla stessa frequenza, determinando la sensazione del suono. A un’onda monocromatica pura corrisponde una nota pura.

L’accordatura della chitarraAgendo sul cavicchio, si modifica la tensione T della corda e, di conseguenza, la velocità delle onde trasversali, visto che

ρ= TS

c S = sezione della corda, ρ = densità

A parità di λ, la frequenza delle armoniche cambia.

Se ne può così accordare la frequenza a quella prevista dalla scala tonale.

4.d Le onde elastiche stazionarie.Esercizi e complementi.