Circuiti elettriciin regime stazionario

Componenti

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 31-1-2007)

2

Bipoli resistivi

● Equazioni caratteristica di un bipolo resistivo

● Bipolo comandato in tensionel’equazione può essere posta nella forma

● Bipolo comandato in correntel’equazione può essere posta nella forma

● Bipolo bilaterale

caratteristica simmetrica rispetto all’originescambiando i terminali il comportamento non cambia

● Bipolo inerte

caratteristica passante per l’origine

( ) 0,f =iv

( )vgi =

( )ihv =

( ) ( ) 0,f0,f =−−⇔= iviv

( ) 00,0f =

3

Esempi

comandato in i e in v comandato in i

comandato in v non comandato né in i né in v

4

Componenti attivi e passivi

● Un componente resistivo si dice passivo se per ogni condizione di funzionamento (cioè per ogni insieme di tensioni e di correnti ai terminali compatibile con le sue equazioni caratteristiche) la potenza assorbita dal componente risulta non negativa

● Un componente resistivo si dice attivo se esiste almeno una condizione di funzionamento compatibile con le sue equazioni caratteristiche per cui la potenza assorbita risulta negativa ( potenza erogata positiva)

Un componente attivo è un componente in grado di fornire energia al circuito in cui è inserito

5

Bipoli resistivi passivi

● Se la tensione e la corrente sono orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore

pa = vi > 0 per i punti compresi nel 1° e nel 3° quadrante

pa = vi < 0 per i punti compresinel 2° e nel 4° quadrante

● Per un bipolo resistivo passivo in ogni condizione di funzionamento deve risultare pa ≥ 0La curva caratteristica deve essere interamente contenuta nel 1°e nel 3° quadrante (assi inclusi)

6

Componenti equivalenti

● Due componenti si dicono equivalenti se impongono gli stessi vincoli alle tensioni e alle correnti ai loro terminali, cioè se hanno le stesse equazioni caratteristiche

● L’equivalenza riguarda esclusivamente il comportamento ai terminali, i fenomeni che avvengono all’interno di componenti equivalenti possono essere diversi

● Se si sostituisce un componente con un componente equivalente, le equazioni dei circuito non cambiano

le tensioni e le correnti non cambiano

● Un insieme di componenti collegati tra loro che interagisce con la parte restante dei circuito mediante un certo numero di terminali (terminaliesterni) costituisce a sua volta un componente (non elementare)

● Il concetto di equivalenza può essere esteso anche ai componenti non elementari

● Anche in questo caso l’equivalenza riguarda solo le tensioni e le correnti ai terminali esterni, non le grandezze relative ai terminali interni

7

Generatore indipendente di tensione

● Equazione: v = VG

● Potenza erogata: può variare da −∞ a + ∞Il generatore indipendente di tensione è un componente attivo

SimboliCurva caratteristica

8

Generatore indipendente di corrente

● Equazione: i = IG

● Potenza erogata: può variare da −∞ a + ∞Il generatore indipendente di corrente è un componente attivo

SimboliCurva caratteristica

9

Resistore

● Equazione: v = Ri R = resistenza (ohm, Ω)i = Gv G = conduttanza (siemens, S) (G = 1/R)

(v e i orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore)

● Potenza assorbita: pa = vi = Ri2 = Gv2

Se R ≥ 0 (G ≥ 0) il resistore è passivo

Simbolo Curva caratteristica

10

Cortocircuito

● Equazione: v = 0

● Potenza assorbita: pa = vi = 0Il cortocircuito è un componente passivo

● Il cortocircuito può essere considerato un caso particolare

di generatore indipendente di tensione con VG = 0

di resistore con R = 0

Simboli

Curva caratteristica

11

Circuito aperto

● Equazione: i = 0

● Potenza assorbita: pa = vi = 0Il circuito aperto è un componente passivo

● Il cortocircuito può essere considerato un caso particolare

di generatore indipendente di corrente con IG = 0

di resistore con G = 0 (R = ∞) Curva caratteristica

Simboli

12

Generatori dipendenti

12

1 0

riv

v

==

12

1 0

ii

v

α==

12

1 0

vv

i

μ==

12

1 0

gvi

i

==

Generatore di tensionecontrollato in tensione

Generatore di tensionecontrollato in corrente

Generatore di correntecontrollato in tensione

Generatore di correntecontrollato in corrente

13

Generatori dipendenti

● I generatori dipendenti sono componenti a due porte ideali utilizzati prevalentemente come elementi di circuiti equivalenti di componenti multipolari

● Le costanti μ r g α sono dette parametri di trasferimentoμ e α sono adimensionalir ha le dimensioni di una resistenzag ha le dimensioni di una conduttanza

● Potenza assorbita:

una delle grandezze relative alla porta 2 (v2 per i generatori di corrente, i2 per i generatori di tensione) può assumere valori arbitrari (dipendenti solo dal circuito in cui il componente è inserito)la potenza assorbita può variare da −∞ a + ∞i generatori dipendenti sono componenti attivi

{ 222211

0

ivivivpa =+=

=

14

Esempio

Normalmente la porta 1 di un generatore dipendente non viene rappresentata negli schemi

15

Bipoli in serie

● Bipoli collegati in serie: un terminale del primo bipolo e un terminale del secondo bipolo sono uniti in un nodo a cui non sono collegati altri componenti

21 vvv +=LKV

21 iii ==LKI

∑=

=N

kkvv

1

LKV

),,1( Nkii k K==LKI

16

Bipoli in parallelo

● Bipoli collegati in parallelo: ciascuno dei terminali di un bipoloè collegato a uno dei terminali dell’altro

21 iii +=

21 vvv ==

∑=

=N

kkii

1

),,1( Nkvv k K==

LKV

LKI

LKV

LKI

17

Resistori in serie

● N resistori in serie equivalgono a un resistore con resistenza

∑=

=N

kkvv

1

),,1( Nkii k K==

),,1( NkiRv kkk K==

iRiRiRv S

N

kk

N

kkk =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑== 11

∑=

=N

kkS RR

1

Relazionicostitutive

LKI

LKV

18

Resistori in parallelo

● N resistori in parallelo equivalgono a un resistore di conduttanza

∑=

=N

kkii

1

),,1( Nkvv k K==

),,1( NkvGi kkk K==

vGvGvGi P

N

kk

N

kkk =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑

== 11

∑=

=N

kkP GG

1

Relazionicostitutive

LKV

LKI

19

Resistori in parallelo

● In termini di resistenze si ha

● Nel caso particolare di due resistenze in parallelo, la resistenza equivalente è

∑=

== N

k k

PP

RG

R

1

111

21

21

21

111

RR

RR

RR

RP +=

+=

20

Partitore di tensione

● Problema: dati N resistori in serie, nota la tensione totale v e le resistenze Rk determinare le tensioni dei resistori

● La tensione v si suddivide in parti direttamente proporzionali alle resistenze

∑=

== N

kk

S R

v

R

vi

1

vR

RiRv N

kk

jjj

∑=

==

1

∑=

N

kk

j

R

R

1

Fattore di partizione

),,1( Nj K=

21

Partitore di corrente

● Problema: dati N resistori in parallelo, nota la corrente totale i e le resistenze Rk determinare le correnti dei resistori

● La corrente i si suddivide in parti direttamente proporzionali alle conduttanze (inversamente proporzionali alle resistenze)

∑=

== N

kk

P G

i

G

iv

1

iG

GvGi N

kk

jjj

∑=

==

1

∑=

N

kk

j

G

G

1

Fattore di partizione

),,1( Nj K=

22

Partitore di corrente

● Caso particolare di due resistori in parallelo

iRR

Ri

RR

Ri

GG

Gi

21

2

21

1

21

11 11

1

+=

+=

+=

iRR

Ri

21

12 +

=

23

Generatore di tensione e resistore in serie

RiVvVv

RiVvVv

RiVvVv

RiVvVv

GRG

GRG

GRG

GRG

−−=−−=+−=+−=

−=−=+=+=

d)

c)

b)

a)

Equazioni caratteristiche

24

Generatore di tensione e resistore in serie

Curve caratteristiche

25

Modello di un generatore reale di tensione

● La tensione di un generatore ideale di tensione non dipende dalla corrente

● Per un generatore reale la tensione è praticamente costante solo se il valore assoluto della corrente è piccolo

● Per modellare un generatore reale si può utilizzare un circuito equivalente formato da un generatore ideale con un resistore in serie

● La caratteristica tende a quella di un generatore ideale al tendere a zero della resistenza

RiVv G −=

26

Potenza disponibile

● Potenza erogata dal bipolo

● Al variare di i la potenza è massima se

● In queste condizioni la tensione è

● La massima potenza erogabile (potenza disponibile) è

RiVv G −=

2RiiVvip Ge −==

22020 ccG

Ge i

R

ViRiV

di

dp==⇒=−⇒=

22GG

G

V

R

VRVv =−=

R

Vp G

e 4

2

max =

27

Potenza erogata al variare dei carico

● Potenza erogata da un generatore reale collegato a un resistore di carico RC

● La potenza è massima per RC = R

22

)( C

CG

C

G

C

CGe RR

RV

RR

V

RR

RVvip

+=

+⋅

+==

RRR

Vpp C

Gee =⇔==

4

2

max

28

Generatore di corrente e resistore in parallelo

GvIiIi

GvIiIi

GvIiIi

GvIiIi

GRG

GRG

GRG

GRG

−−=−−=+=+=−=−=

+−=+−=

d)

c)

b)

a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

RG

1

Equazioni caratteristiche

29

Generatore di corrente e resistore in parallelo

Curve caratteristiche

30

Modello di un generatore reale di corrente

● La corrente di un generatore ideale di corrente non dipende dalla tensione

● Per un generatore reale la corrente è praticamente costante solo se il valore assoluto della tensione è piccolo

● Per modellare un generatore reale si può utilizzare un circuito equivalente formato da un generatore ideale con un resistore in parallelo

● La caratteristica tende a quella di un generatore ideale al tendere a infinito della resistenza

RvIi G /−=

31

Trasformazione dei generatori

● I due bipoli sono equivalenti se sono verificate le condizioni

iRVv VG −= iRiRvR

vii IGI

IG −=⇒−=

RRR IV ==

GG RIV =

32

Trasformazione dei generatori

● L’equivalenza vale solo per il comportamento ai terminalia parità di v e i (cioè di potenza erogata dal bipolo) le potenze erogate dai generatori (e quelle assorbite dai resistori) in genere sono diverse

potenza erogata dal bipolo per v = v0 e i = i0

potenza erogata dal generatore di tensione

potenza erogata dal generatore di corrente

33

Altri collegamenti tra generatori e resistori

GVv = GIi =

Il bipolo equivale al sologeneratore di tensione VG

Il bipolo equivale al sologeneratore di corrente IG

34

Collegamenti tra generatori

● N generatori indipendenti di tensione in serie equivalgono a un unico generatore di tensione

● N generatori indipendenti di corrente in parallelo equivalgono adun unico generatore di corrente

∑=

==N

kGkGS VvV

1

∑=

==N

kGkGP IiI

1

35

Collegamenti tra generatori

GVv = GIi =

Il bipolo equivale al sologeneratore di tensione VG

Il bipolo equivale al sologeneratore di corrente IG

36

Collegamenti non ammessi

● Generatori ideali di tensione in parallelo

se le tensioni sono diverse il collegamento viola la LKV

se le tensioni sono uguali le correnti dei generatori sono indeterminate

● Generatori ideali di corrente in serie

se le correnti sono diverse il collegamento viola la LKI

se le correnti sono uguali le tensioni dei generatori sono indeterminate

37

Prima formula di Millman

∑=

= N

kk

eq

GR

1

1

Gk

N

kkeq VGI ∑

=

=1

∑

∑

=

== N

kk

Gk

N

kk

eq

G

VGV

1

1

38

Prima formula di Millman

● Più in generale, per un bipolo formato da bipoli dei tipi a, b e c collegati in parallelo, procedendo come nel caso precedente si ottiene

A = insieme dei valori di k per cui il bipolo k è di tipo aB = insieme dei valori di k per cui il bipolo k è di tipo bC = insieme dei valori di k per cui il bipolo k è di tipo c

∑∪∈

=

BAkk

eq GR

1

∑∑∑

∪∈

∈∈

+=

BA

CA

kk

kGk

kGkk

eq G

IVGV

39

Prima formula di Millman

● Se i terminali A e B sono lasciati aperti (i = 0), la tensione vAB coincide con la tensione del generatore equivalente

La tensione tra i due nodi di un circuito formato da bipoli dei tipi a b e c collegati in parallelo può essere determinata per mezzo della prima formula di Millman

40

Seconda formula di Millman

∑=

=N

kkeq RR

1

Gk

N

kkeq IRV ∑

=

=1

∑

∑

=

== N

kk

Gk

N

kk

eq

R

IRI

1

1

41

Seconda formula di Millman

● Più in generale, per un bipolo formato da bipoli dei tipi a, b e c collegati in serie, procedendo come nel caso precedente si ottiene

A = insieme dei valori di k per cui il bipolo k è di tipo aB = insieme dei valori di k per cui il bipolo k è di tipo bC = insieme dei valori di k per cui il bipolo k è di tipo c

∑∪∈

=BAk

keq RR∑

∑∑

∪∈

∈∈

+=

BA

CA

kk

kGk

kGkk

eq R

VIRI

42

Seconda formula di Millman

● Se i terminali A e B sono collegati in cortocircuito (vAB = 0), la corrente i coincide con la corrente del generatore equivalente

In un circuito costituito da una sola maglia formata da bipoli dei tipi a b e cla corrente comune a tutti i bipoli può essere determinata per mezzo della seconda formula di Millman

43

Trasformazione triangolo-stella

BCACAB

BCACC

BCACAB

BCABB

BCACAB

ACABA

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

++=

++=

++=

3

RRRR

RRRR

CBA

BCACAB

===

⇓===

Caso particolare:

44

Trasformazione stella-triangolo

A

CBCABABC

B

CBCABAAC

C

CBCABAAB

R

RRRRRRR

R

RRRRRRR

R

RRRRRRR

++=

++=

++=

RRRR

RRRR

BCACAB

CBA

3===⇓

===

Caso particolare:

45

Equivalenza stella-triangolo - dimostrazione

● Per ricavare le condizioni di equivalenza si impone che le resistenze equivalenti valutate tra tutte le coppie di terminali (con il terzo terminale isolato) nei due casi siano uguali

Per la stella ciascuna resistenza equivalente corrisponde alla serie delle due resistenze che collegano la coppia di terminali

Per il triangolo ciascuna resistenza equivalente corrisponde al parallelo della resistenza che collega la coppia di terminali con la serie delle altre due resistenze

46

Equivalenza stella-triangolo - dimostrazione

● Imponendo che le tre resistenze equivalenti siano uguali si ottiene

ΣΣ

ΣΣ

ΣΣ

+=++

+=+

+=++

+=+

+=++

+=+

R

RR

R

RR

RRR

RRRRR

R

RR

R

RR

RRR

RRRRR

R

RR

R

RR

RRR

RRRRR

BCACBCAB

BCACAB

ACABBCCB

BCACACAB

BCACAB

BCABACCA

BCABACAB

BCACAB

BCACABBA

)(

)(

)(

)( BCACAB RRRR ++=Σ