Calcolo delle probabilita` 2009-2010

1. Analisi combinatoria2. Assiomi della probabilita`

Giovanni Pistonegiovanni.pistone polito.it

DIMAT Politecnico di Torino

v 1.0 9 ottobre 2010

Libro di testoCap. 1 e 2 di Sheldom M. Ross. Calcolo delle probabilita` 2a edizione.Apogeo, 2007. La 1a edizione e` altrettanto utilizzabile. Loriginaleinglese e` alla 8a edizione e si intitola A First Course in Probability.

Contare [Ross, 2007, 1.2]

Due insiemi A,B hanno lo stesso numero di elementi

#(A) = #(B)

se esiste funzione invertibile che trasforma luno nellaltro.

#(A) = n intero se A ha lo stesso numero di elementi di B = {1, 2, . . . , n};allora diciamo che A e` un insieme finito. Un insieme A e` numerabile se ha lostesso numero di elementi di N = {1, 2, . . . }.Se A B allora #(A) #(B).Se A,B sono disgiunti, cioe` A B = allora

#(A B) = #(A) + #(B).In generale:

#(A B) = #A+#B #(A B) .Il numero di un insieme prodotto cartesiano A B e`

#(A B) = #(A)#(B) .In generale: #(A1 An) = #A1 #An.

Contare le funzioni [Ross, 2007, 1.3]Siano A e B due insiemi finiti. Consideriamo le funzioni f : A B .

Il numero di funzioni di A in B e`

#(B)#(A) .

Se A = {1, . . . , n}, allora f (1), f (2), . . . , f (n) e` un campione ordinato conripetizione di n elementi estratti da B .

Applicazioni: Il numero di parole binarie lunghe n e` 2n; il numero disottoinsiemi di un insieme di numero n e` 2n.

Il numero di funzioni iniettive di A in B e` 0 se #(A) > #(B). Se#(A) #(B), allora il numero e`

#(B)(#(B) 1) (#(B)#(A) + 1) = #(B)!(#(B)#(A))! .

Se A = {1, . . . , n}, allora abbiamo i campione ordinati senza ripetizionedi n elementi estratti da B .

Se A = B , allora le funzioni iniettive si chiamano permutazioni e sono in

numero #(A)! .

Combinazioni e suddivisioni (partizioni)

Una combinazione di k oggetti presi da un insieme di n elementi e` unsottoinsieme di k elementi. Il numero di combinazioni e`

nk

. Se non e` nullo,

dato che si forma un sottoinsieme prendendo un campione ordinato di kelementi da n e poi trascurando lordine,

n

k

=

n (n 1) (n k + 1)k!

=n!

k!(n k)! .

Una suddivisione o partizione in k parti di un insieme S di numero#(S) = N e` una successione di insiemi A1, . . . ,Ak che sono disgiunti e lacui unione e` linsieme totale. Gli Ai possono essere vuoti. Il numero dipartizioni in k parti e` lo stesso delle funzioni S {1, . . . , k}, cioe` kN .Il numero di partizioni in k parti, di numerosita` rispettive n1, . . . , nk si indicacon il coeciente multinomiale

Nn1...nk

. Se non e` nullo, N

n1...nk

= N!n1!nk ! . Nota

nk

= nk nk

.

Valgono le formule 2n =n

k=0

nk

,nr

=n1r1+n1

r

,n+m

r

=r

k=0

nk

mrk, lo sviluppo del binomio, lo sviluppo del multinomio.

Applicazioni

Le parole binarie lunghe n con m uni e (n m) zeri sono nm. Tra esse,quelle che non contengono due uni consecutivi sono

nm+1m

.

Il numero di modi di mettere r oggenti indistinguibili in n scatole e`n+r1

r1.

E` anche il numero di soluzioni intere non negative dellequazionex1 + + xr = n, [Ross, 2007, 1.6].Il numero di modi di mettere r oggenti indistinguibili in n scatole in modoche nessuna scatola sia vuota e`

r1n1

. E` anche il numero di soluzioni intere

positive dellequazione x1 + + xr = n, [Ross, 2007, 1.6].Il numero di grafi con n vertici e` 2(

n2). Il numero di grafi con n vertici e r

archi e`(n2)

r

. [Grafo? Vedi en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory]

Probabilita` classicaLa probabilita` di A S e` il numero #(A)/#(S)

Spazio campionario ed eventi

Il primo componente di un modello probabilistico e` lo spazio campionario,cioe` lelenco di tutti i casi possibili. Lo indichiamo con S .

Il secondo componente di un modello probabilistico e` linsieme degli eventi,identificati con sottoinsiemi E ,F , S . Gli eventi possono essereassegnati tramite condizioni poste sui loro elementi o con operazioni logiche.

Levento impossibile e` quello privo di casi possibili, cioe` . Levento certo e`quello che contiene tutti i casi, cioe` S stesso.

Dati due eventi E ,F , possiamo formare levento unione E F e leventointersezione E F o EF . Se E F = , cioe` non ci sono casi in comune,diciamo che gli eventi sono incompatibili.

Consideriamo anche intersezioni ed unione di un numero n generico dieventi: ni=1Ei e ni=1Ei .Dato levento E , possimo considerare levento che contiene tutti i casi chenon stanno in E , cioe` levento complementare E c

Operazioni sugli eventi

Se tutti i casi di E stanno in F , allora E F . A volte si dice che E implicaF . Cio` equivale a E F = F ed anche a E F = E .Consideriamo anche infinita` numerabili di eventi En, n = 1, 2, . . . edefiniamo la loro intersezione e la loro unione: n=1En e n=1En.Unione e intersezione soddisfano proprieta` algebriche:

E F = F E E F = F E(E F ) G = E (F G ) (E F ) G = E (F G )

(E F ) G = (E G ) (F G )(E F ) G = (E G ) (F G )

(ni=1En)c = ni=1E ci (ni=1En)c = ni=1E ciQuelle evidenziate sono le formule di De Morgan

Probabilita`: assiomi

DefinizioneDato uno spazio campionario S e data una famiglia di eventi E (su cui si possonofare tutte le operazioni logiche sugli eventi), una misura di probabilita` e` unafunzione degli eventi che soddisfa i seguenti assioni.

A1 0 P (E ) 1.A2 P (S) = 1.

A3 Se gli eventi E1,E2, . . . sono incompatibili, allora

P (i=1Ei ) =i=1

P (Ei )

In particolare, ladditivita` vale per un numero finito di eventi incompatibili:

P (ni=1Ei ) =n

i=1

P (Ei )

Probabilita`: semplici proprieta`

Complemento P (E c) = 1 P (E ).Monotonia Se E F , allora P (E ) P (F ).

Unione P (E F ) = P (E ) + P (F ) P (E F ).

Unione di tre eventi

P (E F G ) = P (E ) + P (F ) + P (G ) singoli P (EF ) P (EG ) P (FG ) coppie+ P (EFG ) terne

Inclusione-escusione

P (ni=1Ei ) =n

k=1

(1)k1

I{1,2,...,n}:#(I )=kP (iIEi )

Esiti equiprobabili [Ross, 2007, 2.5]

In uno spazio campionario S finito, #S = N, supponiamo che tutti gli eventielementari siano equiprobabili, cioe`

P ({s}) = p s S .Si dice anche probabilita` uniforme o classica. Allora, per lassioma di additivita`,deve essere

1 = P (S) = P (sS {s}) =sS

P (s) =sS

p = Np

da cui segue p = 1/N. Per ogni altro evento A = sA {s}, dunque

P (A) =sA

1

N=

#A

#S

Viceversa, si puo` verificare che tale assegnazione verifica gli assiomi della

probabilita`.

Probabilita`: continuita` [Ross, 2007, 2.6]

Definizioni

Una successione di eventi e` crescente se E1 E2 E3 . In tal caso,definiamo limn Ei = i=1Ei .Una successione di eventi e` decrescente se E1 E2 E3 . In tal caso,definiamo limn Ei = i=1Ei .Nelluno e nellaltro caso, diciamo che la successione e` monoto`na.

Esempi: limn0, 1 + 1n

= limn

0, 1 + 1n

= [0, 1],

limn0, 1 1n

= limn

0, 1 1n

= [0, 1[.

TeoremaPer ogni successione di eventi monoto`na la probabilita` e` continua, cioe`

limnP (En) = P

limnEn

Esempi da [Ross, 2007, 2.5]

5a Se lanciamo due dadi, quale e` la probabilita` che la somma sia superiore a 7?

5b Se estraiamo 3 palline a caso da unurna che ne contine 6 bianche e 5 nere,quale e` la probabilita` che un sia bianca e le altre due nere? Varianti?

5c Una commissione di 5 persone viene estratta da un gruppo formato da 6uomini e 9 donne. Quale e` la probabilita` che nella commissione ci siano 3uomini e due donne? Quale e` la probabilita` che gli uomini siano inmaggioranza?

5f-g Quale e` la probabilita` della scala semplice e del full in 5 carte da poker conun mazzo da 52? E se si gioca con 7 carte?

5i Se in una stanza ci sono n persone, quale e` la probabilita` che siano nate ingiorni dellanno tutti diversi?

5j Giriamo una dopo laltra le carte di un mazzo da 52. Con quale probabilita`la carta dopo il 1o asso e` un 2 di fiori?

5m N persone depositano il loro cappello e ne riprendono uno a caso. Quale e` laprobabilita` che k abbiano il cappello giusto?.

5n Se i 20 componenti di 10 coppie si siedono intorno ad un tavolo rotondo,quale e` la probabilita` che tutte le coppie siano divise?

Soluzioni

5a Le coppie (d1, d2), d1, d2 = 1, . . . , 6 con d1 + d2 > 7 sono 1 + + 5 = 15, dunque P (E) = 15/36.5b #S =

113

= 165, #E =

61

52

= 60, dunque P (E) = 411 .

5c P (E1) =

63

92

155

. P (E2) =63

92

+64

91

+65

90

155

.5e Una scala e` individuata dalla carta iniziale e dalla sequenza dei semi delle carte sequenti, dunque le scale sono

(4 9) 44. Le scale reali sono individuate dalla carta iniziale. Dunque le scale semplici sono (4 9) (44 1). Laprobabilita` e` P (E) = (49)(4

41)525

= 92548 .5i Se E =compleanni tutti diversi,

P (E) =n(n 1) (365 n + 1)

365n= 1

1 +

1

365

1 +

n 1365

Se n = 44, P (E) = 0.06711463, vedi 1-2.R.

Soluzioni

5m Sia Ei =li-mo ha il cappello giusto e calcoliamo PNi=1Ei con la

formula di inclusione-esclusione. Gli addendi singoli sono N e hannoprobabilita` P (Ei ) =

(N1)!N! =

1N . Le intersezioni k-ple sono

Nk

e hanno

probabilita` P (iIEi ) = (Nk)!N! . Dunque

PNi=1Ei = N

k=1

(1)k1N

k

(N k)!

N!=

Nk=1

(1)k1 1k!

Notare che 1 P Ni=1Ei e1 = 0.3678794 se N .

LaTeX, R

Queste presentazioni sono scritte con LaTeX usando la classe beamer.cls.

R e` un programma di calcolo statistico con funzionalita` simili a Matlab.Vedi www.r-project.org. Lo usiamo come calcolatrice e per fare grafici. E`anche utilizzabile per tutte le operazioni che intervengono in statistica,tramite un linguaggio di tipo funzionale.

Antenne# Ross 1.1 problema delle antenneantenne