EQUAZIONE CARTESIANA DI UN CONO

Un cono di vertice V e direttrice la curva C e’ la superficie formata da tutte le rette passanti per V eincidenti C (rette generatrici).

Una funzione f(x, y, z) si dice omogenea di grado k se si ha f(tx, ty, tz) = tk(x, y, z) per ogni scelta dit, x, y, z.

Esempi

Un monomio di grado k e’ una funzione omogenea di grado k.Un polinomio in x, y, z e’ una funzione omogenea se e solo se e’ una somma di monomi dello stesso

grado. Per esempio f(x, y, z) = x2 + 2yz − z2 e’ una funzione omogenea di x, y, z di grado 2, mentref(x, y, z) = x2 + 2y(z − 1)− (z − 1)2 non e’ una funzione omogenea di x, y, z.

Teorema

Se f e’ una funzione omogenea di x, y, z, la superficie S : f = 0 e’ un cono di vertice O; viceversa, se Se’ un cono di vertice O, si ha S : f = 0, dove f e’ una funzione omogenea di x, y, z.

Infatti se P0 = (x0, y0, z0) e’ un punto della superficie S : f(x, y, z) = 0, esso e’ tale che f(x0, y0, z0) = 0;d’altra parte un punto P variabile sulla retta che passa per O e per P0 ha coordinate P = (tx0, ty0, tz0);quindi, se f e’ una funzione omogenea di x, y, z, le coordinate di P verificano l’equazione di S per ogni valoredel parametro reale t, ne segue che S e’ una superficie costituita da infinite rette passanti per O, cioe’ uncono di vertice O.

Il viceversa si ottiene a partire dalla definizione di cono, con lo stesso ragionamento.

Corollario

Se f e’ una funzione omogenea di X = x− x1, Y = y− y1, Z = z− z1, la superficie S : f = 0 e’ un conodi vertice il punto V (x1, y1, z1); viceversa, se S e’ un cono di vertice V = (x1, y1, z1), si ha S : f = 0, dove fe’ una funzione omogenea di X = x− x1, Y = y − y1, Z = z − z1.

Esempio

S : x2+2y(z−1)−(z−1)2 = 0 e’ un cono di vertice V (0, 0, 1); infatti, ponendo X = x, Y = y, Z = z−1,l’equazione di S diventa: X2 + 2Y Z − Z2 = 0, che e’ omogenea in X, Y, Z.

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