Vibrazioni di una trave soggetta

a vincolo bilaterale di incastro

Calcolo dei modi di vibrazione Impostazione matrice del sistema omogeneo

In[2]:= (*Analisi preliminare: modi propri di vibrazione*)(*Autovalore =4=2a2,a2= EJS *)(*Soluzione generale dell'equazione agli autovalori d4zdx4=z*)Z[x_] = A Sinh[ x] + B Cosh[ x] + C Sin[ x] + D Cos[ x];(*Imponendo che in x=0 si annullino spostamento e rotazione,ossia Z[0]=Z'[0]=0, si ottiene D=-B,C=-A*)(*Funzione che verifica le condizioni sull'estremo x=0*)z[x_] = A (Sinh[ x] - Sin[ x]) + B (Cosh[ x] - Cos[ x]);(*Matrice dei coefficienti del sistema omogeneo di equazioni lineari,che si ottiene imponendo spostamenti e rotazioni nulle all'estremo x=L della trave*)

M = Az[L] Bz[L]Az'[L] Bz'[L] ;Print["Determinante"]m = Simplify[Det[M]]

Determinante

Out[6]= 2 (-1 + Cos[L ] Cosh[L ])

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Calcolo della funzione determinante in funzione di In[7]:= (*Posto L= gli autovalori si ottengono annullando il determinante m,

ossia trovando gli zeri della funzione f=Cos[]Cosh[]-1*)Clear[f, df](*Divido tutto per 1+Sinh[]0 per rendere il grafico pi leggibile*)f[_] = Cos[] Cosh[]1 + Sinh[] - 11 + Sinh[] ;df[_] = f[];Print["Determinante di M in funzione di =L "]Plot[f[], {, 0, 25}, AxesLabel {"", "Det[M]"}]

Determinante di M in funzione di =L

Out[11]=

5 10 15 20 25

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Det[M]

2 vibraz.trave.incastro.nb

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Applicazione del metodo di Newton per il calcolo approssimato degli autovaloriIn[12]:= (*Determinazione degli zeri di Det[M] col metodo delle tangenti di Newton*)(*0=valore di prima approssimazione*)0 = 5.;(*Variabile di appoggio*)00 = 0;(*Valore fittizio di 1 per rendere

falso il test del While alla prima iterazione*)1 = 0 + 1;(*Iterazione e stampa delle approssimazioni successive*)WhileAbs[1 - 00] > 10-6, 1 = 0 - f[0]df[0] ;Print[1];00 = 0;0 = 1(*Grafico automodi di vibrazione*)(*Si pone A=-1 e si ricava B dalla condizione z[L]0*)

Bsol = Solve z[L] /. -> 0L , A -1 0, B;zvibr[x_] = z[x] /. Bsol[[1]] /. -> 0L , A -1;(*zvibr[x_]=-Sinh 0L x-Sin 0L x+ (Sinh[0]-Sin[0])(Cosh[0]-Cos[0]) Cosh 0L x-Cos 0L x*)Print["Modo di vibrazione corrispondente"]Plot[zvibr[x] /. L 1, {x, 0, 1}]

4.723154.730044.73004Modo di vibrazione corrispondente

Out[19]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

vibraz.trave.incastro.nb 3

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Assegnazione dei primi sei modi di vibrazione (necessaria per le successive simulazioni)In[38]:= (*Assegnazione modi di vibrazione e autovalori*)[1] = 4.730040744862704`;0 = [1];

z[1, x_] =- Sinh 0L x - Sin 0L x + Sinh[0] - Sin[0]Cosh[0] - Cos[0] Cosh 0L x - Cos 0L x ;

[2] = 7.853204624095838`;0 = [2];z[2, x_] =

- Sinh 0L x - Sin 0L x + Sinh[0] - Sin[0]Cosh[0] - Cos[0] Cosh 0L x - Cos 0L x ;[3] = 10.995607838001671`;0 = [3];z[3, x_] =

- Sinh 0L x - Sin 0L x + Sinh[0] - Sin[0]Cosh[0] - Cos[0] Cosh 0L x - Cos 0L x ;[4] = 14.137165491257464`;0 = [4];z[4, x_] =

- Sinh 0L x - Sin 0L x + Sinh[0] - Sin[0]Cosh[0] - Cos[0] Cosh 0L x - Cos 0L x ;[5] = 17.27875965739948`;0 = [5];z[5, x_] =

- Sinh 0L x - Sin 0L x + Sinh[0] - Sin[0]Cosh[0] - Cos[0] Cosh 0L x - Cos 0L x ;[6] = 20.42035224562606`;0 = [6];z[6, x_] =

- Sinh 0L x - Sin 0L x + Sinh[0] - Sin[0]Cosh[0] - Cos[0] Cosh 0L x - Cos 0L x ;

4 vibraz.trave.incastro.nb

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In[56]:= Table[Plot[z[i, x] /. L 1, {x, 0, 1}], {i, 1, 6}]

Out[56]= 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

,0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

,0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

,

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

,0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

,0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

Vibrazioni forzate

vibraz.trave.incastro.nb 5

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