Vettori - Capitolo 3 HRW 1

Vettori

Quando si misura una grandezza fisica, a volte è sufficiente considerare soltanto un numero, altre volte un semplice valore numerico non è sufficiente.

Massa, Lunghezza Grandezze scalari

Velocità, spostamento Grandezze Vettoriali

Quanto Veloce Modulo

In che direzione Direzione

Con che verso Verso

Una grandezza vettoriale è quindi caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso. Graficamente si indica con una freccia la cui lunghezza indica il modulo, la direzione della freccia indica la direzione della grandezza vettoriale ed il suo orientamento il verso.

modulo

direzione

Verso

K

Vettori - Capitolo 3 HRW 2

Rappresentazione numerica

Identico ragionamento in tre dimensioni

X

Y

Dando le due componenti

K = (kx,ky)

Dando il Modulo e l’angolo

K = (|K|, )

In due Dimensioni

kx = |K| Cos () |K| = (kx2+ky

2)1/2

ky = |K| Sen () = Atan (ky/kx)

),,( zyx KKKK ),,( KKKK r

22KyxkkModulo

Vettori - Capitolo 3 HRW 3

I Versori

Definisco 2 (3) vettori (nello spazio a 2 (3) dimensioni) con

• Modulo = 1

• Direzione = asse x, asse y, (asse z)

• Verso = Quello delle coordinate Positive

1

i

j

)2,3(

23

k

jikk

Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare,sferica, o in qualsiasi altra rappresentazione

13

k

Rappresentazione numerica

Vettori - Capitolo 3 HRW 4

Poiché è possibile sommare/sottrarre/moltiplicare le grandezze vettoriali anche per i vettori deve essere possibile definire delle

operazioni di somma e prodotto

Poiché un vettore matematicamente non è altro che un elemento di un campo vettoriale allora le operazioni tra i vettori non sono altro che quelle

definite dalla matematica per i campi vettoriali.

Ho un tipo di somma (ovviamente è somma algebrica):

Vettore + Vettore Vettore

Posso avere quattro diversi tipi di prodotto

1) Prodotto semplice

Scalare * Vettore Vettore

2) Prodotto Scalare

Vettore • Vettore Scalare

3) Prodotto Vettoriale

Vettore Vettore Vettore

4) Prodotto Tensoriale

Vettore Vettore Matrice

Vettori - Capitolo 3 HRW 5

Operazioni con i Vettori

Somma di Vettori:Metodo Grafico

Metodo Algebrico

La somma di vettori posso farla componente per componente (se espressi in rappresentazione cartesiana)

A( 3,2) + B(2,-3) = C

C = A+B = (3+2, 2-3) = ( 5,-1)

Nota: La somma di due vettori A(a1,a2) e B(b1,b2) ha modulo pari a:

|A+B| = |C| = (|A|2 + |B|2 + 2|A||B|Cos(a-b))1/2

+= =

Vettori - Capitolo 3 HRW 6

Prodotto semplice ha come risultato un vettore

• V (a,b) oppure V(|v|,)

• 4 V = V’ (4a, 4b) = V’(4|v|,)

Prodotto Scalare ha come risultato uno scalare

A(a1,a2) , B(b1,b2) A(|a|,a) , B(|b|,b)

C = A= (a1*b1 + a2*b2 ) C = A*B = |a||b|Cos (a-b)

Geometricamente è il prodotto tra il modulo del primo vettore con la proiezione del secondo lungo la direzione del primo

Ovviamente:

• Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali e nullo !

• Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli

• A * B = B * A Infatti Cos (a- b) = Cos (b- a)

Vettori - Capitolo 3 HRW 7

Prodotto Vettoriale ha come risultato un vettore

A(a1,a2) , B(b1,b2) oppure A(|a|,a) , B(|b|,b)

C = A x B = A B

Modulo |C| = |a||b| Sen (a - b)

Direzione Ortogonale al piano individuato da A e B

Verso Regola Mano Destra

A

BC B

A

C

Con le dita della mano destra far girare il vettore A verso il vettore B, il pollice indicherà la direzione del vettore C

Ovviamente:

• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo• A x B = - B x A

Vettori - Capitolo 3 HRW 8

Prodotto Vettoriale in 3 dimensioni

A(xa,ya,za)B(xb,yb,zb)

X

Y

Z

A

B

C

babac

abbac

babac

xyyxz

xzxzy

yzzyx

BAC

i j k

xa ya za

xb yb zb

EsempioA(1,1,1) B(2,2,0) C = A BCx = - 2Cy = +2Cz = 0 022

111

kji

Vettori - Capitolo 3 HRW 9

Alcuni esempi sui vettori

Somma ?Differenza ?Prodotto Scalare ?Prodotto Vettoriale ?

Rappresentazione Polare ?

Somma ?Differenza ?Prodotto Scalare ?Prodotto Vettoriale ?

Rappresentazione Cartesiana ?

Vettori - Capitolo 3 HRW 10

Vettori - Capitolo 3 HRW 11

Obiettivi generali degli esercizi svolti in aula:

Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle componenti e dalle componenti al vettore;

Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore).