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Corso di Matematica – Vettori nel Piano e nello Spazio

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ing. L. Balogh

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Vettori nel Piano e nello Spazio Caratteristiche di un vettore

Componenti di un vettore 2D e 3D

Vettore applicato all’origine

Vettore definito da due punti

Operazioni unarie sul vettore

Lunghezza di un vettore

Vettore unitario (versore)

Operazioni lineari tra vettori

Somma e sottrazione

Fattore moltiplicativo

Combinazioni lineari

Indipendenza lineare

Base di vettori

Piano: due vettori non collineari

Spazio: tre vettori non complanari

Sistema ortonormato

Equazione vettoriale della retta

Equazione vettoriale del piano

Prodotto scalare

Proprietà fondamentale del prodotto scalare

Angolo compreso fra due vettori

Proiezione ortogonale di un vettore su un altro

Prodotto vettoriale e vettore normale

Proprietà fondamentale del prodotto vettoriale

Vettore normale e area compresa tra i due vettori

Equazione cartesiana del piano

Posizioni reciproche: Intersezioni e distanze (punto, retta e piano)


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Vettori nel Piano e nello Spazio

Caratteristiche di un vettore

Un vettore possiede le seguenti caratteristiche:

• Orientamento (Direzione e Verso)

• Lunghezza

Gode inoltre della proprietà di

• Equipollenza (Libertà di traslazione)

Componenti di un vettore 2D e 3D Per definire un punto lungo una retta basta indicarne la distanza da un punto scelto come origine,

in un piano cartesiano occorrono due coordinate mentre nello spazio tridimensionale, un punto

può essere definito attraverso tre coordinate di un sistema ortonormato.

Sistema ortonormato 2D Sistema ortonormato 3D

� = �� es: � = �52�

es: � = � 4−63 �

Si usa anche la notazione

� = �� = ��

� = �� = ��

y

P

O

x

Px

Py

x

y

z

v

P

O

Px

Py

Pz


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Punto Vettore o Vettore applicato all’Origine Punti e vettori sono due entità ben differenti tra loro, se infatti un punto è un oggetto senza

dimensione, il vettore ha invece delle caratteristiche ben definite di orientamento e di lunghezza.

Tuttavia, a volte si rischia di confondere i due concetti in quanto un vettore applicato all’origine ha

le stesse componenti delle coordinate del punto di arrivo del vettore. Per convenzione, le

coordinate di un punto sono scritte in orizzontale, mentre le componenti di un vettore sono scritte

in verticale.

Vettore applicato all’origine con arrivo in A

2D

Se il punto A ha coordinate

� = (��, ��)

il vettore applicato all’origine con arrivo in A avrà componenti

�� = ��

3D

Se il punto A ha coordinate

� = (��, ��, ��)

il vettore applicato all’origine con arrivo in A avrà componenti

�� = ��

Vettore definito da due punti Dati due punti dello spazio A e B, si può definire un vettore che abbia come estremi i due punti

considerati, occorre definire quale dei due è il punto di applicazione (coda) e quale dei due il punto

di arrivo (testa). Se A è il punto di applicazione, allora il vettore � �� sarà calcolato testa meno coda:

Vettore Definito da due punti A e B

�!�� = �!��– ��

2D

Dati i Punti

� = (��, ��) $ ! = (!�, !�)

si ottiene il vettore

�!�� = �!�� − �� = �!�!�� — �� = �!� − ��!� − ��


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Esempio, Dati i Punti

� = (−1,1) ' = (4,3)


� �� = ( �� − (�� = �43� — �−11 � = �4 − (−1)3 − 1 � ⟹ � �� = �52�

3D

Dati i Punti

� = (��, ��, ��) $ ! = (!�, !�, !�)


�!�� = �!�� − �� = �!�!�!�� — �� = �!� − ��!� − ��!� − ��

Esempio, Dati i Punti

� = (3,2, −1) ' = (7, −4,2)


� �� = ( �� − (�� = � 7−42 � — � 32−1� = � 7 − 3(−4) − 22 − (−1)� ⟹ � �� = � 4−63 �


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Operazioni unarie sul vettore

Lunghezza di un vettore

La lunghezza (o modulo o norma o valore assoluto) di un vettore rappresenta la distanza che

intercorre tra i due estremi (applicazione e punto di arrivo)

Lunghezza del vettore

2D

Dato il vettore +�� = �+�+�� , la sua lunghezza vale ‖+��‖ = -+�� + +��

Esempio, dato il vettore /� = �52�

La sua lunghezza vale ‖/�‖ = -50 + 20 = √29

3D

Dato il vettore

+�� = �+�+�+�� , la sua lunghezza vale: ‖+��‖ = -+�� + +�� + +��

Esempio, dato il vettore

/� = � 4−63 �

la sua lunghezza vale: ‖/�‖ = -40 + (−6)0 + 30 = √61

Vettore unitario (versore)

Il vettore unitario (o versore) del vettore v è quel vettore che possiede il medesimo orientamento

del vettore v, ma la cui lunghezza vale una unità.

Vettore unitario

+3�� = +��‖+��‖

2D

Dato il vettore

+�� = �+�+��


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il suo versore vale

+3�� = +��‖+��‖ ⟹ +3�� = -+�� + +��+�� + +�� ∙ �+�+��


/� = �52�

il suo versore vale

/5�� = 1√29 ∙ �52� ⟹ /5�� = √2929 ∙ �52� =6785√29292√2929 9:

;

3D

Dato il vettore

+�� = �+�+�+��

il suo versore vale

+3�� = +��‖+��‖ ⟹ +3�� = -+�� + +��++��+�� + +�� + +�� ∙ �+�+�+��


/� = � 4−63 �

il suo versore vale

/5�� = 1√61 ∙ � 4−63 � ⟹ /5�� = √6161 ∙ � 4−63 � =67778 4√6161− 6√61613√6161 9

:::;


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Operazioni lineari tra vettori

Somma e sottrazione

La somma e la sottrazione sono operazioni che si svolgono tra vettori, e il risultato è un altro

vettore.

Addizione - regola del parallelogramma Sottrazione – regola del parallelogramma

Addizione e sottrazione – metodo grafico (valido per 2D e 3D)

Somma e sottrazione per componenti

2D

Dati i vettori

<�� = �<�<�� , =�� = �=�=��

la loro somma vale

<�� + =�� = �<�<�� + �=�=�� = �<� + =�<� + =��

la loro sottrazione vale

<�� − =�� = �<�<�� − �=�=�� = �<� − =�<� − =��

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

ar

br

barr +

ar

br

br

−

barr −

ar

br

cr

er

fr

dr

ar

br

cr

dr

fr

er

fedcbarrrvrr +++++


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Esempio, dati i vettori

>� = � 3−2� , ?�� = � 1−7�

la loro somma vale

>� + ?�� = � 3−2� + � 1−7� = � 3 + 1−2 + (−7)� = � 4−9�


>� − ?�� = � 3−2� − � 1−7� = � 3 − 1−2 − (−7)� = �25�

3D

Dati i vettori

<�� = �<�<�<�� , =�� = �=�=�=��

la loro somma vale

<�� + =�� = �<�<�<�� + �=�=�=�� = �<� + =�<� + =�<� + =��


<�� − =�� = �<�<�<�� − �=�=�=�� = �<� − =�<� − =�<� − =��


>� = � 3−25 � , ?�� = � 1−7−6�

la loro somma vale

>� + ?�� = � 3−25 � + � 1−7−6� = � 3 + 1−2 + (−7)5 + (−6) � = � 4−9−1�


>� − ?�� = � 3−25 � − � 1−7−6� = � 3 − 1−2 − (−7)5 − (−6) � = � 2511�


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Fattore moltiplicativo

Il fattore moltiplicativo (o moltiplicazione per uno scalare, da non confondere con il prodotto

scalare) è un’operazione che si svolge tra un vettore e un numero reale, il risultato è un vettore.

2D

Dato il vettore

+�� = �+�+��

Il vettore moltiplicato per k numero reale vale

@+�� = @ �+�+�� = �@+�@+��


/� = �24�

Il vettore moltiplicato per 3 vale

3/� = 3 �24� = �3 ∙ 23 ∙ 4� = � 612�

3D

Dato il vettore

+�� = �+�+�+��

Il vettore moltiplicato per k numero reale vale

@+�� = @ �+�+�+�� = �@+�@+�@+��

Dato il vettore

/� = � 24−3�

Il vettore moltiplicato per -3 vale

−3/� = A � 24−3� = � (−3) ∙ 2(−3) ∙ 4(−3) ∙ (−3)� = � −6−129 �

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y


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Applicazioni lineari

Le applicazioni o combinazioni lineari sono un insieme di operazioni di somma svolte tra vettori e

di operazioni di moltiplicazioni scalare applicate sui vettori:

• Operazioni di somma tra vettori;

• Operazioni di moltiplicazione sui vettori.

Indipendenza lineare

Dei vettori si dicono linearmente indipendenti se nessuno di questi può essere espresso come una

combinazione lineare degli altri.

Base di vettori

1. Piano: due vettori non collineari;

2. Spazio: tre vettori non complanari.

Sistema ortonormato

Un sistema ortonormale è una base di vettori ortogonali tra loro, in particolare, il piano cartesiano

e lo spazio cartesiano sono sistemi ortonormali.

Equazione vettoriale e equazione parametrica della retta

Per poter definire una retta occorrono (2D/3D):

• Due punti

Con due punti si può ricavare un vettore e disporre così di un punto e un vettore

direzione B� = ( �� − (�� = �BCB0�.

Oppure (2D)

• Un punto e una pendenza D = E�E�

Oppure (2D)

• Un punto e un vettore normale F�� = �<=� = �−G�G� � ∝ �−D� �

Oppure (2D/3D)

• Un punto e un vettore direzione G�� = �G�G�� ∝ � �D�

Equazione vettoriale della retta

r: �I�� = �� + @ ∙ G��

Nello spazio si preferisce l’utilizzo della forma

parametrica.

Equazione parametrica della retta

2D

r: JI� = �� + @G�I� = �� + @G� K

3D

r: LI� = �� + @G�I� = �� + @G�I� = �� + @G�K

Equazione cartesiana della retta Nel piano si preferisce l’utilizzo della forma cartesiana


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2D

Implicita <� + =� + M = N

F�� = �−G�G� � = �<=�

Esplicita � = D� + O

Esempi

2D

Sono dati i due punti A e B appartenenti alla retta r, si trovi la sua equazione.

� = � 2−3� , = �41�

Per esprimere l’equazione vettoriale di una retta, occorre disporre di almeno un punto e un

vettore direzionale. Siccome si dispone di due punti, è possibile trovare un vettore di

direzione e poi basta scegliere un punto di ancoraggio, indifferentemente tra A o B.

� �� = �24�

L’equazione della retta sarà perciò: P: J � = � + �@� = −� + R@K

Attribuendo a k vari valori, si possono trovare altrettanti punti della retta.

Per verificare che il punto B (o un altro punto) appartiene alla retta, basta inserire il punto

nelle variabili x e y ∈ T ⟺ V 4 = 2 + 2A1 = −3 + 4AK

Si risolve in una delle due equazioni rispetto al parametro k e lo si inserisce nell’altra

equazione, se l’uguaglianza sussiste, allora il punto appartiene alla retta, altrimenti è ad essa

esterno. 4 = 2 + 2A ⟹ @ = � ⟹ 1 = −3 + 4 ∙ �

Uguaglianza verificata, pertanto, ∈ T.

Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana della retta

Occorre risolvere una delle due equazioni rispetto al parametro k e inserire l’equazione

risultante (con la variabile) nell’altra equazione. Bisogna poi risolvere rispetto a zero per

avere l’equazione cartesiana implicita o rispetto a y per quella esplicita.

P: J � = � + �@� = −� + R@K


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W = 2 + 2A ⟹ @ = � − �� ⟹ X = −3 + 4 ∙ � − ��

� = �� − Y ⟺ �� − � − Y = N

Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica della retta

Per costruire l’equazione parametrica, occorre sempre chiedersi “cosa serve”, quali elementi

costituiscono l’equazione parametrica. In questo caso la risposta è “un punto e un vettore”.

Siccome con due punti appartenenti alla retta si può costruire il vettore di cui si necessita,

basterà estrarre dall’equazione due punti a scelta, attribuendo alla variabile indipendente

due valori appunto, si provi ad esempio ad attribuire i valori del punto A.

3D

Sono dati i due punti A e B appartenenti alla retta r, si trovi la sua equazione.

� = � 2−3−2� , = � 41−5�

Per esprimere l’equazione vettoriale di una retta occorre disporre di almeno un punto e un

vettore direttore. Siccome si dispone di due punti, è possibile trovare un vettore di direzione

e poi basta scegliere un punto, indifferentemente tra A o B.

� �� = � 24−3�

L’equazione della retta sarà perciò:

P: L � = � + �@� = −� + R@� = −� − �@K

Attribuendo a k vari valori, si possono trovare altrettanti punti della retta.

Per verificare che un punto appartiene alla retta, basta inserire il punto nelle variabili x e y,

ad esempio, per il punto B:

∈ T ⟺ L 4 = 2 + 2A1 = −3 + 4A−5 = −2 − 3AK

Si risolve in una delle tre equazioni rispetto al parametro k e lo si inserisce nelle altre due

equazioni, se l’uguaglianza sussiste per entrambe le equazioni, allora il punto appartiene alla

retta, altrimenti, se anche una sola uguaglianza dà esito negativo, allora il punto non

appartiene alla retta. 4 = 2 + 2A ⟹ @ = � ⟹ V 1 = −3 + 4 ∙ �−5 = −� − � ∙ �K

Uguaglianze verificate, pertanto, ∈ T.

Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana della retta

Per la retta non esiste una vera e propria equazione cartesiana per lo spazio, esiste

un’equazione con una doppia uguaglianza che tuttavia non viene tratta in questo corso.


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Equazione vettoriale e equazione parametrica del piano

Per poter definire un piano occorrono:

• Tre punti

Con tre punti si possono trovare due vettori e disporre così di un punto e due vettori.

Oppure:

• Due punti e un vettore

Con due punti si può trovare un vettore e disporre così si un punto e due vettori

Oppure:

• Un punto e due vettori

Equazione vettoriale del piano

r: �I�� = �� + Z ∙ 3�� + [ ∙ +��

Equazione parametrica del piano

r: LI� = �� + Z3� + [+�I� = �� + Z3� + [+�I� = �� + Z3� + [+�K

Un piano può essere definito anche attraverso un punto e un vettore normale. Su questo principio

si basa l’equazione cartesiana, trattata più avanti e preferibile rispetto all’equazione parametrica.

Un’ulteriore tecnica che permette di trovare l’equazione cartesiana del piana consiste nell’inserire

i tre vettori linearmente indipendenti dello spazio in una matrice e ricavarne il determinate, regola

questa basata sulle proprietà del prodotto misto (più avanti).

Esempi

3D

Sono dati i tre punti A, B e C appartenenti al piano \, si trovi la sua equazione.

� = � 2−3−2� , = � 41−5� , ] = � 3−76 �

Per esprimere l’equazione vettoriale di un piano, occorre disporre di almeno un punto e due

vettori linearmente indipendenti. Siccome si dispone di due punti, è possibile trovare un

vettore di direzione e poi basta scegliere un punto, indifferentemente tra A o B.

� �� = � 24−3� , �] �� = � 1−48 �

L’equazione del piano sarà perciò:

\: L � = � + �Z + [� = −� + RZ − R[� = −� − �Z + _[K


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Attribuendo a Z e [ vari valori, si possono trovare altrettanti punti del piano.

Per verificare che un punto appartiene al piano, basta inserire il punto nelle variabili x e y, ad

esempio, per il punto B:

∈ \ ⟺ L 4 = 2 + 2` + a1 = −3 + 4` − 4a−5 = −2 − 3` + 8aK

Si prendono due equazioni (tralasciandone una), si risolve quest’ultimo sistema rispetto ai

parametri Z e [. Questi valori vanno poi inseriti nella terza equazione. Se l’uguaglianza

sussiste, allora il punto appartiene alla retta, altrimenti il punto non appartiene alla retta.

V 4 = 2 + 2` + a1 = −3 + 4` − 4a ⟹ VZ = �[ = NKK −5 = −2 − 3` + 8a ⟹ −5 = −2 − 3 ∙ � + 8 ∙ N

Uguaglianza verificata, pertanto, ∈ \.

Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana del piano

Occorre risolvere due equazioni rispetto ai parametri Z e [, e inserire l’equazione risultante

(con le variabili) nella terza equazione. Bisogna poi risolvere rispetto a zero per avere

l’equazione cartesiana.

J W = 2 + 2` + aX = −3 + 4` − 4aK ⇢ c` = 112 (4W + X − 5)a = 16 (2W − X − 7) K

d = −2 − 3` + 8a ⟹ d = −2 − 3 ∙ 112 (4W + X − 5) + 8 ∙ 16 (2W − X − 7)

Risolvendo si trova l’equazione cartesiana del piano:

�N� − �e� − �� − �� = N

Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica della retta

Per costruire l’equazione parametrica, occorre sempre chiedersi “cosa serve”, quali elementi

costituiscono l’equazione parametrica. In questo caso la risposta è “un punto e due vettori”.

Siccome con tre punti appartenenti al piano si puossono costruire i vettori di cui si necessita,

basterà estrarre dall’equazione tre punti a scelta, attribuendo per tre volte a due variabili dei

valori a scelta, e calcolando la il valore della terza.

Esempio, trovo tre punti (Q, R e S) edl piano: f = g 00− 12112 i , j = � 0− 121190 � , k = g1212000 i


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Prodotto scalare

Il prodotto scalare è un’operazione che si svolge tra due vettori, il risultato è un numero reale.

2D

Dati i vettori <�� = �<�<�� , =�� = �=�=��

il loro prodotto scalare vale <�� ∙ =�� = <�=� + <�=�

Esempio, dati i vettori >� = � 3−2� , ?�� = � 1−7�

Il loro prodotto scalare vale >� ∙ ?�� = 3 ∙ 1 + (−2) ∙ (−7) = 17

3D

Dati i vettori

<�� = �<�<�<�� , =�� = �=�=�=��

Il loro prodotto scalare vale

<�� ∙ =�� = <�=� + <�=� + <�=�


>� = � 3−25 � , ?�� = � 1−7−6�

Il loro prodotto scalare vale >� ∙ ?�� = 3 ∙ 1 + (−2) ∙ (−7) + 5 ∙ (−6) = −13

Proprietà fondamentale del prodotto

scalare

<�� ∙ =�� = ‖<��‖ ∙ l=��l ∙ Mmn(o)

Angolo compreso tra due vettori

Mmn(o) = <�� ∙ =��‖<��‖ ∙ l=��l

Se il prodotto scalare di due vettori non nulli è uguale a zero, i due vettori sono ortogonali tra loro. <�� ∙ =�� = 0 ⟺ <�� ⊥ =�� = 0


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Proiezione ortogonale di un vettore su un altro

Ricavo della proiezione ortogonale <q�� del vettore <�� sul vettore =��

Dalla trigonometria, ricaviamo la (1)

l>q��l = ‖>�‖ ∙ rst(u)

Dalla proprietà del prodotto scalere,

ricaviamo la (2) ‖<��‖ ∙ Mmn(o) = <�� ∙ =��l=��l

Unendo assieme la (1) e la (2), otteniamo

l<q��l = <�� ∙ =��l=��l

Il vettore <q��può essere ricavato

moltiplicando il modulo della propria

lunghezza per il versore di =��

>q�� = l>q��l ∙ ?5��

Quindi vale

<q�� = <�� ∙ =��l=��l ∙ =3��

Ossia

>q�� = >� ∙ ?��l?��l ∙ ?��l?��l

E per finire

Proiezione ortogonale <q�� del vettore <�� sul vettore =��

<q�� = <�� ∙ =��l=��l0 ∙ =��

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


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Esempi

2D

Sono dati i due vettori A e B, si trovi l’ampiezza dell’angolo compreso.

>� = �18� , ?�� = �84�

Per trovare l’angolo tra i due vettori, si applica la formula Mmn(o) = <�� ∙ =��‖<��‖ ∙ l=��l

cos(u) = RN√yz ∙ R√z ; cos(u) = 2 · √1313 ; u = arccos �2 · √1313 � o = zy. ��°

Per priettare il vettore <�� sul vettore =��, si applica la formula

<q�� = <�� ∙ =��l=��l0 ∙ =�� ; <q�� = RN_N ∙ �_R� ; <q�� = �R��

3D

Sono dati i due vettori A e B, si trovi l’ampiezza dell’angolo compreso.

>� = � 3−25 � , ?�� = � 1−7−6�

Per trovare l’angolo tra i due vettori, si applica la formula Mmn(o) = <�� ∙ =��‖<��‖ ∙ l=��l

cos(u) = −��√�_ ∙ √_y ; cos(u) = − 13 · √8171634 ; u = arccos �− 13 · √8171634 � o = �N�. �R°

Per priettare il vettore <�� sul vettore =��, si applica la formula

>q�� = −1386 ∙ � �−Y−y� ; <q�� = RN_N ∙ � �−Y−y� ; <q�� =6778

− 138691863943 9::;


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Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un’operazione

2D L’operazione di prodotto vettoriale non può essere

risultato è un vettore non appartenente al piano dei due vettori originari.

3D

Dati i vettori

Il loro prodotto vettoriale

<��


Il loro prodotto vettoriale vale

>� � ?�� = � 3−25

Proprietà fondamentale del prodotto

vettoriale

l<�� =��l = ‖<��‖ ∙ l=��l ∙

Area del parallelogramma costruito sui due

vettori � = l<�� =��l = ‖<��‖ ∙ l=��l


prodotto vettoriale

Un piano può essere univocamente definito attraverso un vettore normale al piano

punto, che funga, quest’ultimo, da ancoraggio.

Le componenti di questo vettore normale saranno i parametri cartesiani dell’equazione del piano

Il termine noto G dell’equazione si ricava invece inserendo le variabili

appartenente al piano (B = −(>W

Vettori nel Piano e nello Spazio

- 17 –

Il prodotto vettoriale è un’operazione che si svolge tra due vettori, il risultato è un vettore normale

L’operazione di prodotto vettoriale non può essere definita in due dimensioni, in quanto il


<�� = �<�<�<�� , =�� = �=�=�=��

vale

� =�� = �<�<�<�� =�=�=�� = � <�=� − <�=�−<�=� + <�=�<�=� − <�=� �

>� = � 3−25 � , ?�� = � 1−7−6�

vale

� 325 � � � 1−7−6� = �(−2) ∙ (−6) − 5 ∙ (−7)−3 ∙ (−6) + 5 ∙ 13 ∙ (−7) − (−2) ∙ 1 � =Proprietà fondamentale del prodotto

l n�F(o)

parallelogramma costruito sui due

l �l ∙ n�F(o)

Equazione cartesiana del piano ricavabile attraverso il vettore normale ottenuto dal

Un piano può essere univocamente definito attraverso un vettore normale al piano

punto, che funga, quest’ultimo, da ancoraggio.

Le componenti di questo vettore normale saranno i parametri cartesiani dell’equazione del piano<� + =� + M� + G = N

dell’equazione si ricava invece inserendo le variabili W, X, d del punto dato (>W + ?X + rd)).

tra due vettori, il risultato è un vettore normale

definita in due dimensioni, in quanto il


�

� � 4723−19�

ricavabile attraverso il vettore normale ottenuto dal

Un piano può essere univocamente definito attraverso un vettore normale al piano stesso e ad un

Le componenti di questo vettore normale saranno i parametri cartesiani dell’equazione del piano del punto dato


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3D

Dato il vettore normale F�� = �<=M�

E il punto

� = ��

Il piano normale a F�� e passante per � ha equazione

<� + =� + M� + G = N

Il termine noto si ricava inserendo le componenti del punto nelle variabili del piano G = −(<�� + =�� + M��)

O equivalentemente G = −F�� ∙ ��

Esempio, dato il vettore normale

�� = � 6−84 �

E il punto

� = �−531 �

Il piano \, normale a �� e passante per �, ha equazione 6W − 3X + 4d + B = 0

Il termine noto B, si ricava inserendo le componenti del punto � nelle variabili (W, X, d) del

piano B = −(6 ∙ (−5) + (−8) ∙ 3 + 4 ∙ 1) = 50

Il piano \ ha dunque equazione 6W − 8X + 4d + 50 = 0

L’equazione può ancora essere ridotta, dividendo per due ogni monomio, l’equazione del

piano \ è perciò 3W − 4X + 2d + 25 = 0

Osservazioni:

1. Se il vettore �� = � 6−84 � è normale al piano, allora lo sarà anche il vettore �C�� = � 3−42 � che dunque può essere utilizzato in modo equivalente.

2. Per ricavare il termine noto B dell’equazione cartesiana del piano, in pratica si è

svolta l’operazione di prodotto scalare tra �� e (��, quindi vale B = −�� ∙ (��.


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Prodotto Misto

Il prodotto misto è un’operazione che si svolge fra tre vettori, il risultato è un numero reale.

Il nome “misto” sta ad indicare che tra questi tre vettori, due di loro sono moltiplicati

vettorialmente, originando così un vettore, e quest’ultimo viene moltiplicato scalarmente con il

terzo, dando così come risultato un numero reale. �<�� , =�� , M�� = �<�� =�� ∙ M�� = <�� ∙ �=�� M�� = G$��<�� , =�� , M��

Il risultato è uno scalare, il cui valore assoluto non dipende dall'ordine né dei tre vettori né delle

due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori

(oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori).

Proprietà del prodotto misto

�<�� , =�� , M�� = �=�� , M�� , <�� = �M�� , <�� , =�� = −�<�� , M�� , =�� = −�=�� , <�� , M�� = −�M�� , =�� , <��

Volume del parallelepipedo rettangolo costruito sui tre vettori

��<�� , =�� , M�� = �m�3D$ �<P<��$�$��$Gm

�y ��<�� , =�� , M�� = �m�3D$ �$�P<$GPm

2D L’operazione di prodotto misto non può essere svolta in due dimensioni, in quanto il


3D

Dati i vettori

<�� = �<�<�<�� , =�� = �=�=�=�� , M�� = �M�M�M��

Il loro prodotto misto vale

�<�� , =�� , M�� = G$� �<� =� M�<� =� M�<� =� M��

Per la risoluzione del determinante di una matrice occorre conoscerne la relativa

matematica, che per esigenze viene già in parte anticipata in questo capitolo


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G$� �<� =� M�<� =� M�<� =� M�� = <� ∙ G$� �=� M�=� M�� − <� ∙ G$� �=� M�=� M�� + <� ∙ G$� �=� M�=� M�� = = <� ∙ (=� ∙ M� − =�M�) − <� ∙ (=� ∙ M� − =� ∙ M�) + <� ∙ (=� ∙ M� − =� ∙ M�) = = <�=�M� − <�=�M� − <�=�M� + <�=�M� + <�=�M� − <�=�M�

Si può giungere allo stesso risultato utilizzando la regola di Sarrus

G$� �<� =� M�<� =� M�<� =� M�� = �<� =� M�<� =� M�<� =� M�� K<� =�<� =�<� =�� = = <�=�M� + =�M�<� + M�<�=� − <�=�M� − =�M�<� − M�<�=�

Si può facilmente verificare che i due risultati sono equivalenti.

Il calcolo del prodotto misto e quindi del determinante di una matrice può sembrare

macchinoso in un primo momento, poi però appare subito di semplice esecuzione, e

soprattutto è facile realizzare un programma al calcolatore che esegua questi calcoli, ad

esempio con un foglio di calcolo.


>� = � 3−25 � , ?�� = � 64−1� , r� = �−321 � Il loro prodotto misto vale

�>� , ?�� , r�� = B'� � 3 6 −3−2 4 25 −1 1 � = = 3 ∙ B'� � 4 2−1 1� − (−2) ∙ B'� � 6 −3−1 1 � + 5 ∙ B'� �6 −34 2 � = = 3 ∙ (4 ∙ 1 − (−1) ∙ 2) − (−2) ∙ �6 ∙ 1 − (−1) ∙ (−3)� + 5 ∙ �6 ∙ 2 − 4 ∙ (−3)� = = 3 ∙ 6 + 2 ∙ 3 + 5 ∙ 24 = �RR

O calcolandolo in modo equivalente con Sarrus:

�>� , ?�� , r�� = B'� � 3 6 −3−2 4 25 −1 1 � = � 3 6 −3−2 4 25 −1 1 � K 3 6−2 45 −1� = = 3 ∙ 4 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 5 + (−3) ∙ (−2) ∙ (−1) − 5 ∙ 4 ∙ (−3) − (−1) ∙ 2 ∙ 3 − 1 ∙ (−2) ∙ 6 = = 12 + 60 − 6 + 60 + 6 + 12 = �RR


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ing. L. Balogh

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Applicazioni del prodotto misto

3D

Per verificare se tre vettori sono linearmente indipendenti, cioè se formano una base per lo

spazio, il loro prodotto misto deve essere differente da zero. Se il prodotto misto di tre

vettori è uguale a zero infatti, significa che detti vettori sono complanari.

La spiegazione è presto fatta, se il prodotto misto rappresenta il volume del parallelepipedo

rettangolo costruito sui tre vettori, allora, se il volume vale zero, significa che i tre vettori

giacciono sullo stesso piano.

�<�� , =�� , M�� = N ⟺ <�� , =�� , M�� nmFm MmD��<F<P� (��F$<PD$F�$ G��$FG$F��)

Per ricavare l’equazione cartesiana di un piano, dati un punto e due vettori, occorrerà

costruire due matrici 3x3, la prima con inseriti un vettore di variabili e i due vettori del

piano, la seconda invece, per il termine noto, composta dal vettore punto del piano

applicato all’origine e dagli altri due vettori del piano.

Esempio, dato il punto appartenente al piano gamma e due suoi vettori paralleli

� = �112� , �� = �−214 � , /� = � 31−1�

Il termine noto del piano varrà:

B = −det �1 −2 31 1 12 4 −1� = 5

L’equazione cartesiana priva del termine noto varrà:

\ = det �W −2 3X 1 1d 4 −1� = − 5W + 10X − 5d

L’equazione in definitiva vale: − 5W + 10X − 5d + 5 = 0

Dividendo tutto per − 5 si ha: \: W − 2X + d − 1 = 0


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ing. L. Balogh

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Posizioni reciproche: Intersezioni e Distanze

• Punto – punto

• Punto – retta

• Punto – piano

• Retta – retta

• Retta – piano

• Piano – piano

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