Vettori - Capitolo 3 HRW1 Vettori Quando si misura una grandezza fisica, a volte è sufficiente...
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Vettori - Capitolo 3 HRW 1
Vettori
Quando si misura una grandezza fisica, a volte è sufficiente considerare soltanto un numero, altre volte un semplice valore numerico non è sufficiente.
Massa, Lunghezza Grandezze scalari
Velocità, spostamento Grandezze Vettoriali
Quanto Veloce Modulo
In che direzione Direzione
Con che verso Verso
Una grandezza vettoriale è quindi caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso. Graficamente si indica con una freccia la cui lunghezza indica il modulo, la direzione della freccia indica la direzione della grandezza vettoriale ed il suo orientamento il verso.
modulo
direzione
Verso
K
Vettori - Capitolo 3 HRW 2
Rappresentazione numerica
Identico ragionamento in tre dimensioni
X
Y
Dando le due componenti
K = (kx,ky)
Dando il Modulo e l’angolo
K = (|K|, )
In due Dimensioni
kx = |K| Cos () |K| = (kx2+ky
2)1/2
ky = |K| Sen () = Atan (ky/kx)
),,( zyx KKKK ),,( KKKK r
22KyxkkModulo
Vettori - Capitolo 3 HRW 3
I Versori
Definisco 2 (3) vettori (nello spazio a 2 (3) dimensioni) con
• Modulo = 1
• Direzione = asse x, asse y, (asse z)
• Verso = Quello delle coordinate Positive
1
i
j
)2,3(
23
k
jikk
Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare,sferica, o in qualsiasi altra rappresentazione
13
k
Rappresentazione numerica
Vettori - Capitolo 3 HRW 4
Poiché è possibile sommare/sottrarre/moltiplicare le grandezze vettoriali anche per i vettori deve essere possibile definire delle
operazioni di somma e prodotto
Poiché un vettore matematicamente non è altro che un elemento di un campo vettoriale allora le operazioni tra i vettori non sono altro che quelle
definite dalla matematica per i campi vettoriali.
Ho un tipo di somma (ovviamente è somma algebrica):
Vettore + Vettore Vettore
Posso avere quattro diversi tipi di prodotto
1) Prodotto semplice
Scalare * Vettore Vettore
2) Prodotto Scalare
Vettore • Vettore Scalare
3) Prodotto Vettoriale
Vettore Vettore Vettore
4) Prodotto Tensoriale
Vettore Vettore Matrice
Vettori - Capitolo 3 HRW 5
Operazioni con i Vettori
Somma di Vettori:Metodo Grafico
Metodo Algebrico
La somma di vettori posso farla componente per componente (se espressi in rappresentazione cartesiana)
A( 3,2) + B(2,-3) = C
C = A+B = (3+2, 2-3) = ( 5,-1)
Nota: La somma di due vettori A(a1,a2) e B(b1,b2) ha modulo pari a:
|A+B| = |C| = (|A|2 + |B|2 + 2|A||B|Cos(a-b))1/2
+= =
Vettori - Capitolo 3 HRW 6
Prodotto semplice ha come risultato un vettore
• V (a,b) oppure V(|v|,)
• 4 V = V’ (4a, 4b) = V’(4|v|,)
Prodotto Scalare ha come risultato uno scalare
A(a1,a2) , B(b1,b2) A(|a|,a) , B(|b|,b)
C = A= (a1*b1 + a2*b2 ) C = A*B = |a||b|Cos (a-b)
Geometricamente è il prodotto tra il modulo del primo vettore con la proiezione del secondo lungo la direzione del primo
Ovviamente:
• Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali e nullo !
• Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli
• A * B = B * A Infatti Cos (a- b) = Cos (b- a)
Vettori - Capitolo 3 HRW 7
Prodotto Vettoriale ha come risultato un vettore
A(a1,a2) , B(b1,b2) oppure A(|a|,a) , B(|b|,b)
C = A x B = A B
Modulo |C| = |a||b| Sen (a - b)
Direzione Ortogonale al piano individuato da A e B
Verso Regola Mano Destra
A
BC B
A
C
Con le dita della mano destra far girare il vettore A verso il vettore B, il pollice indicherà la direzione del vettore C
Ovviamente:
• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo• A x B = - B x A
Vettori - Capitolo 3 HRW 8
Prodotto Vettoriale in 3 dimensioni
A(xa,ya,za)B(xb,yb,zb)
X
Y
Z
A
B
C
babac
abbac
babac
xyyxz
xzxzy
yzzyx
BAC
i j k
xa ya za
xb yb zb
EsempioA(1,1,1) B(2,2,0) C = A BCx = - 2Cy = +2Cz = 0 022
111
kji
Vettori - Capitolo 3 HRW 9
Alcuni esempi sui vettori
Somma ?Differenza ?Prodotto Scalare ?Prodotto Vettoriale ?
Rappresentazione Polare ?
Somma ?Differenza ?Prodotto Scalare ?Prodotto Vettoriale ?
Rappresentazione Cartesiana ?
Vettori - Capitolo 3 HRW 10
Vettori - Capitolo 3 HRW 11
Obiettivi generali degli esercizi svolti in aula:
Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle componenti e dalle componenti al vettore;
Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore).