Post on 01-May-2015
Test 03 - 1 / 63
Lezione 7i Test statistici
Test 03 - 2 / 63
Nella parte 1 e 2 …
test sull’ipotesi principale H0 con alternative H1, H2
test sull’ipotesi principale H0: prestazioni del
criterio decisionale
rischio di errore di 1 specie; fiducia del criterio decisionale
significatività del test
rischio di errore di 2 specie;
potenza del test
Test 03 - 3 / 63
parte 3Test sulla varianza
Test 03 - 4 / 63
formulazione di un test con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test 03 - 5 / 63
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se la variabile casuale X ha distribuzione normale si possono usare indifferentemente:
- la variabile
che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
- la variabile
che ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà.
formulazione di test con H0 sulla varianza
02
22n )1(
nS
n
02
22
n
n
SC
Test 03 - 6 / 63
1° test di ipotesi sulla varianza
rischio di errore di prima specie
Test 03 - 7 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
• Un costruttore di resistori vuole scoprire se la sua linea di produzione necessiti di una revisione in quanto il prodotto presenta una eccessiva dispersione.
• Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito che il prodotto è in tolleranza
• Il limite di accettabilità della varianza della X viene fissato al 2% del valore assunto dalla stessa X in corrispondenza del valore nominale della resistenza.
1. stabiliamo di operare con un campione di 30 resistori
Test 03 - 8 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test 03 - 9 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
2. Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da 100
una variabile casuale X che assume per ciascun resistore un valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla temperatura di 70 °C.
3. Il limite di accettabilità della varianza della X viene fissato al 2% del valore assunto dalla stessa X in corrispondenza del valore nominale della resistenza.
“Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito che il prodotto è in tolleranza”
3. Individuazione H0 : H0 : 2 2
0 = 2
Test 03 - 10 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test 03 - 11 / 63
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se la variabile casuale X ha distribuzione normale si possono usare indifferentemente:
- la variabile
che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
- la variabile
che ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà.
formulazione di test con H0 sulla varianza
02
22n )1(
nS
n
02
22
n
n
SC
Test 03 - 12 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
2. Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da 100
una variabile casuale X che assume per ciascun resistore un valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla temperatura di 70 °C.
3. Individuazione H0 : H0 : 2 2
0 = 2
5. come variabile campionaria
viene scelta la variabile n² :che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
02
22n )1(
nS
n
Test 03 - 13 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test 03 - 14 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,02 ( che comporta un “livello di fiducia” del 98% );
8. calcoliamo il valore critico della statistica campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,02);
utilizzeremo il “test unilaterale” (o “distribuzione ad una coda”) in quanto l’ipotesi principale può essere rifiutata solo se la varianza
della popolazione risulta minore di 20
Test 03 - 15 / 63
• utilizzando le tabella della distribuzione “chi quadro” in corrispondenza di 29 gdl e di una probabilità () dello 0,02
• oppure utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS
Excelper il quale la funzione da invocare è la
INV.CHI(probabilità;gradi_libertà) ,
risulta agevole individuare il valore critico cercato:
inf² = 15,574
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
Test 03 - 16 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
• il valore critico vale: inf² = 15,574
Test 03 - 17 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test 03 - 18 / 63
riassumendo:
regione di rifiuto di H0 :
Composto il campione si procede con la misurazione della resistenza di ciascun elemento.
Terminata la campagna sperimentale sul campione si determinano il valore della varianza campionaria corretta :
e quello della:
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
574,152 n
10,1230 S
95,152
10,1)130(2 n
Test 03 - 19 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
Dato che il risultato del test non ci permette
di rifiutare H0 con la fiducia richiesta (98%)
H0: 2 2
0 = 2
2inf
2 95,15 n
Test 03 - 20 / 63
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
Dato che il risultato del test non ci permette
di rifiutare H0 con la fiducia richiesta (98%)
H0: 2 2
0 = 2
2inf
2 95,15 n
Poiché il test si è concluso indicando che non è possibile
escludere che la varianza sia maggiore di quanto ritenuto
accettabile, il costruttore …
Poiché il test si è concluso indicando che non è possibile
escludere che la varianza sia maggiore di quanto ritenuto
accettabile, il costruttore sarà costretto ad intervenire sulla
linea di produzione con un intervento di manutenzione
straordinaria finalizzato alla riduzione della variabilità
dei resistori prodotti.
Test 03 - 21 / 63
Test sulla varianza con H0 e H1
Test 03 - 22 / 63
formulazione di test con H0 e H1 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test 03 - 23 / 63
2° test di ipotesi sulla varianza: H0 con H1
rischio di errore di seconda specie
Test 03 - 24 / 63
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
• Si è riprogettato un OpAmp in produzione da tempo e si è realizzata una preserie del nuovo dispositivo.
• Ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico della deviazione standard della corrente di offset sia passato dal 10% del valore tipico della corrente del “vecchio” progetto (50 nA) a meno del 8%.
Test 03 - 25 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 26 / 63
2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA.
Con questa variabile il valore tipico della corrente ha per immagine 50 pertanto i valori di ipotesi per la deviazione standard risultano 5 (10%) e 4 (8%)
3. H0 : ² < 0² 16 ;
4. H1 : ² = 1² = 25 ;
1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 27 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 28 / 63
1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.
2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA.
3. H0 : ² < 0² 16 ;
4. H1 : ² = 1² = 25 ;
5. come variabile campionaria viene scelta la variabile
Se la variabile X ha distribuzione normale allora la C2n
ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà: nel nostro caso 24 g.d.l..
02
22
n
n
SC
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 29 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 30 / 63
1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.
2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA.
3. H0 : ² < 0² 16 ;
4. H1 : ² = 1² = 25 ;
5. come variabile campionaria viene scelta la variabile
che, se la X è distribuita in modo normale, ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà.
6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% );
7. fissiamo il valore minimo della potenza contro H1 a 0,90(che comporta un valore di < 0,10 )
02
22
n
n
SC
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 31 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 32 / 63
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di prestabilito (0,05);
dalle tabelle troviamo che il quantile 0,95 corrispondente a 24 gdl
vale: Cn2 = 1,52
Come si valuta il rischio di errore di seconda specie ???
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 33 / 63
la determinazionedi e
usando la variabile casuale C2
Test 03 - 34 / 63
la determinazione di e con C2
Facciamo due considerazioni generali:
1)
2
22n
nS
C
• dal valore di desiderato si ricava il valore critico C2c
che individua la regione di rifiuto della H0
20
20
220
220
cnc
nc CS
SC
• dal valore critico C2c si ricava il corrispondente valore critico
per la varianza campionaria corretta:
Test 03 - 35 / 63
La seconda considerazione generale è la seguente:
2)
il valore assunto da C2n
per uno stesso valore della varianza campionaria corretta dipende dal valore ipotizzato per la varianza della popolazione.
21
221
20
220
2
22
n
n
nn
nn
SC
SC
SC
la determinazione di e con C2
Test 03 - 36 / 63
la determinazione di e con C2
di conseguenza: il valore critico assunto da C2n in corrispondenza del valore
critico S2nc per la varianza campionaria corretta
dipende dal valore ipotizzato per la varianza della popolazione.
21
22
1
20
220
2
22
nc
c
ncc
ncc
SC
SC
SC
Test 03 - 37 / 63
la determinazione di e con C2
dato che :
21
202
02
1
20
20
2
21
22
1
20
220
cc
cnc
ncc
ncc
CC
CS
SC
SC
21
202
02
1
cc CC
Test 03 - 38 / 63
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di prestabilito (0,05);
dalle tabelle troviamo che il quantile 0,95 corrispondente a 24 gdl
vale: C0c2 = 1,52
Ricaviamo quindi:
97,025
1652,1
21
202
02
1
cc CC
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
Test 03 - 39 / 63
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
dalle tabelle ricaviamo che il quantile 0,97 corrisponde ad un
rischio di errore di seconda specie > 0,50 !!!
Test 03 - 40 / 63
3° test di ipotesi sulla varianza
Test 03 - 41 / 63
Esercizio 3
Una nota impresa europea che costruisce cuscinetti a sfere acquista le
sfere da un fornitore del “far east”.
Il contratto prevede una certa percentuale di sfere fuori tolleranza che
devono essere scartate dal test di accettazione condotto dall’ufficio
“prove sugli acquisti”.
Su di una prima
fornitura parziale
viene condotto un
test per verificare che
la percentuale
prevedibile di scarto non superi il valore pattuito
Test 03 - 42 / 63
Esercizio 3
Si è definita sulla popolazione di sfere da cuscinetto una variabile
casuale X avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore
del diametro misurato in centimetri.
Un campione casuale costituito da 41 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della varianza campionaria corretta di 0,042.
Qualora la varianza della X per l’intera popolazione dovesse essere
maggiore di 0,03 si avrebbe uno scarto maggiore di quanto pattuito
con il fornitore e sarebbe necessaria una molto costosa
(avvocati, interpreti, prove sperimentali e documentali, …)
ricontrattazione della fornitura; si opera quindi con = 0,01 .
Test 03 - 43 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
Esercizio 3
Test 03 - 44 / 63
Esercizio 3
1. stabiliamo di operare con un campione di 41 sfere ;
3. individuazione H0
H0 : 2 2
0 = 0,03
5. come variabile campionaria per la conduzione del test viene scelta la variabile
che, se la X ha distribuzione normale, presenta una distribuzione di tipo C2 modificata di chi-quadro con 40 gradi di libertà.
02
22
n
n
SC
Test 03 - 45 / 63
Esercizio 3
6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,01 ( che comporta un “livello di fiducia” del 99% );
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria adottata che individua le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,01);
utilizzeremo il “test unilaterale” (o “distribuzione ad una coda”) in quanto l’ipotesi principale può essere rifiutata solo se la varianza
della popolazione risulta maggiore di 20
Test 03 - 46 / 63
• riassumendo:
regione di rifiuto di H0 :
• composto il campione si procede con la misurazione del diametro di ciascun elemento.
• terminata la campagna sperimentale sul campione si determinano il valore della varianza campionaria :
e quello della:
Esercizio 3
59,12 nC
042,0230 S
4,103,0
042,02 nC
Test 03 - 47 / 63
• riassumendo:
regione di rifiuto di H0 :
• dato che
non è possibile rifiutare l’ipotesi principale H0 con la fiducia richiesta ( = 0,01 ) .
H0 : 2 2
0 = 0,03
• l’impresa costruttrice di cuscinetti decide quindi di non agire contro il fornitore delle sfere non avendo dati sufficienti per motivare una ricontrattazione del prezzo.
Esercizio 3
59,12 nC
4,103,0
042,02 nC
Test 03 - 48 / 63
Test sulla varianza
Test 03 - 49 / 63
4° test di ipotesi sulla varianza
rischio di errore di prima specie
Test 03 - 50 / 63
Esercizio 4
• Un costruttore di strumenti vuole acquistare resistori da 10,0 k da un nuovo fornitore che propone prezzi interessanti, ma teme che il prodotto presenti una eccessiva dispersione.
• Il costruttore non vuole correre il rischio di acquistare un prodotto economico ma eccessivamente scadente e decide di condurre un test per verificare la varianza.
• Prendendo una X cha abbia un valore nullo per la resistenza di zero ohm, il limite che ritiene accettabile per la varianza è pari allo 2% della X corrispondente al valore nominale della resistenza.
• Il test deve essere condotto con una affidabilità del 95% e con un campione di 16 elementi.
Test 03 - 51 / 63
Esercizio 4
… non vuole correre il rischio di acquistare un prodotto economico ma eccessivamente scadente … limite accettabile per la varianza è pari al 2% del valore …
… affidabilità del 95% … campione di 16 elementi.
Gli elementi del campione di 16 resistori mostrano i seguenti valori :
9,0 k 9,4 k 9,6 k 9,8 k9,8 k 9,8 k 10,0 k 10,0 k
10,0 k 10,0 k 10,2 k 10,2 k10,2 k 10,4 k 10,6 k 11,0 k
Cosa conclude il costruttore ?
Test 03 - 52 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
formulazione del test di ipotesi
Test 03 - 53 / 63
Esercizio 4
1. Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da
10,0 kuna variabile casuale X che assume per ciascun resistore un valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla temperatura di 70 °C ed espressa in k
2. Individuazione H0 : H0 : 2 2
0 = 0,2
4. come variabile campionaria
viene scelta la variabile n² :che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
02
22n )1(
nS
n
Test 03 - 54 / 63
Esercizio 4
5. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% );
7. Nei dati del problema era detto di operare con un campione di 16 resistori;
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,05);
utilizzeremo il “test unilaterale” (o “distribuzione ad una coda”) in quanto l’ipotesi principale può essere rifiutata solo se la varianza
della popolazione risulta maggiore di 20
sup² = 24,996
Test 03 - 55 / 63
riassumendo:
regione di rifiuto di H0 :
composto il campione si procede con la misurazione della resistenza di ciascun elemento.
terminata la campagna sperimentale sul campione si determinano il valore della varianza campionaria corretta :
e quello della:
Esercizio 4
996,242 n
219,02 nS
4,162,0
219,0152 n
Test 03 - 56 / 63
Esercizio 4
Dato che il risultato del test non permette di rifiutare H0 con la fiducia richiesta (95%)
H0: 2 2
0 = 0, 2
Il costruttore di strumenti non può ancora affermare che il prodotto sia caratterizzato da una variabilità superiore a
quanto ritenuto accettabile anche se lo stimatore varianza campionaria corretta
ha un valore superiore al limite fissato.
2sup
2 4,16 n
Test 03 - 57 / 63
test di ipotesi sulla varianza
rischio di errore di prima specie
Test 03 - 58 / 63
Esercizio 5
• Un costruttore di componenti ha una linea di produzione che realizza OpAmp con una tensione di offset su cui è possibile definire una variabile casuale che presenta una deviazione standard pari a 240.
• Dopo un cambiamento nel processo produttivo un campione di 8 OpAmp ha dato un valore della deviazione standard campionaria corretta di 300.
• Con una significatività del 5% si vuole valutare se l’aumento della variabilità della tensione di offset è da considerarsi un fatto accidentale oppure se esso può essere considerato un fatto sistematico.
Test 03 - 59 / 63
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;
formulazione del test di ipotesi
Test 03 - 60 / 63
Esercizio 5
1. Il costruttore ha definito sulla popolazione degli OpAmp una
variabile casuale X che assume per ciascun OpAmp un valore pari quello della tensione di offset misurata in V
2. Individuazione H0 : H0 : 2 < 2
0 = 57600
4. come variabile campionaria
viene scelta la variabile Cn² :che ha distribuzione C2 modificata di chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
02
22n
nS
C
Test 03 - 61 / 63
Esercizio 5
5. fissiamo il livello per il rischio di errore di prima specie corrispondente alla significatività richiesta : = 0,05 ;
7. Nei dati del problema si parlava di un campione di 8 OpAmp;
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,05);
utilizzeremo il “test unilaterale” (o “distribuzione ad una coda”) in quanto l’ipotesi principale può essere rifiutata solo se la varianza
della popolazione risulta maggiore di 20
Csup² = 2,01
Test 03 - 62 / 63
riassumendo:
regione di rifiuto di H0 :
il campione aveva dato un valore della deviazione standard campionaria corretta di 300 pertanto la varianza campionaria corretta vale:
e :
Esercizio 5
01,22 nC
900002 nS
53,157600
900002 nC
Test 03 - 63 / 63
Esercizio 5
Dato che il risultato del test non ci permette di rifiutare H0 con la fiducia richiesta
(95%)
H0: 2 2
0 = 57600
Il costruttore di OpAmp non è in grado di affermare che l’aumento della deviazione è un fatto sistematico.
2sup
2 562,1 CCn