Sollecitazione di Taglio

In linea teorica si può avere solo sollecitazione di taglio,

ma in realtà essa si accompagna sempre a momento

flettente

x

y

T

T

Ciononostante, anche in presenza di taglio il momento flettente si calcola allo

stesso modo, in quanto esso fornisce, nel riferimento assiale (x-y) tensioni

normali, mentre il taglio dà tensioni tangenziali

Spesso, in I approssimazione, si considera il taglio

uniformemente distribuito sulla sezione resistente

T

A

Il calcolo della tensione di taglio su una sezione è in realtà

assai più complesso, esso varia sia secondo x che y (in forma

parabolica per una sezione rettangolare)

Sezione rettangolare:

Sezione circolare:

max

3

2

T

A

A

T

3

4max

La formula fornisce

le seguenti soluzioni

elementari

In modo più esatto, ma sempre approssimato (Jourawsky) , esso

viene mediato lungo la direzione dello spessore (z) con la formula b J

S T

dimostrazione

T

T

M M+dM

i

i

j

j

r

r

s

s

yx

xy

xy

b dx

x

y

Si considera di isolare un elementino assiale (lunghezza dx)

Si consideri l’equilibrio del parallelepipedo ii - rr - ss - jj in direzione x

Faccia sinistra (in x) agisce momento M - tensione massima

Faccia destra (in x+dx) agisce momento M+dM - tensione massima 1

0dx b dA iyx)jjii(A 1

Su di esso agiscono le tensioni normali x (dovute al momento su ii-rr e jj-ss) ed il

taglio yx sulla faccia ii-jj.

Ricordando che

1 y - yM dM M dM Tdx

y yJ J J J

Si ha

c.d.d. ( ) ( )

iyx i yx

A ii jj A ii jji i

Tdx T T Sy dA b dx y dA

J J b J b

Nella precedente Si è il momento statico della ii-rr rispetto all’asse neutro, J è invece il

momento d’inerzia dell’intera sezione

Pertanto, il taglio presenta, lungo y, un andamento dominato dal

momento statico – esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella

sezione baricentrica

Nel caso di sezione rettangolare, ad esempio, il momento statico si può calcolare come area

della parte sottesa alla corda ii per la distanza del suo baricentro dall’asse neutro

2

211 1 1 1

2

2 2 2 4

h yh b hS y b y y y

2

2

2 4yx

T hy y

J

Il valore massimo (y=0)

2 3

8 2yx

Th Ty

J A

taglio y

x

La formula di Jourawsky

è applicabile anche a

sezioni non regolari

Il tensore delle tensioni dovrà comunque

risultare sempre tangente al profilo esterno,

pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di

taglio di Jourasky un’altra componente xz

(antisimmetrica) che riorienti localmente le .

Tensioni ribaltate

Lo sforzo di taglio induce l’elemento a

variare di forma (ma non di volume)

secondo un angolo di scorrimento

Dato che esiste il semplice legame = / G tra scorrimento quest’ultimo sarà massimo al

centro e nullo al top / bottom

Le sezioni, inizialmente ortogonali all’asse,

si ingobbano

Tuttavia, lo scorrimento è uguale per ogni

fibra assiale, per cui non si instaurano (per

sezioni costanti) sollecitazioni o deformazioni

assiali (taglio puro senza flessione)

Lo spostamento tra due sezioni può essere valutato

mediante la deformazione (scorrimento) media

mediad dx media

T

GA

Fattore di taglio

Il lavoro di deformazione, in accordo al teorema di Clapeyron, è pari all’integrale, lungo la

linea, della metà della tensione di taglio per lo scorrimento medio

21

2L

TW dx

GA

od anche

2 2 2 2

i i

2 2 2 2

S 1 1 S

J 2 2 G JA Ai iL L L

T TW dW dA dx dA dx

b G b

A

A

dA b J

SA

A 2

i

2

2

i

i

i

T S

J b

Il fattore di taglio può essere

calcolato analiticamente

2 2

i

2 2

S 1

J 2 AiL L

TW dW dA dx

b G

Esempio: andamento del taglio in una sezione triangolare

G

T

h

b

y

0

i

yi

T Sy

J b

0 2 3 3y

h y h y h h yS y b y

h

2

0

2

2 3 3y

b h y yh y h yS y b y

h h

0y

h yb y b

h

3012

y

T h y yy

bh

3 231

12 2 9 36G

bh bh hJ bh

Il massimo del taglio si ha quando

y= h/2

2

3

hy

Ty

bh

2

03

1

13 36

y

b h y yy T

h yh bh bh

Sollecitazione di Torsione

È una sollecitazione che si verifica molto frequentemente, ad es. negli organi che

trasmettono potenza (assi e alberi), viti, albero di sterzo, …

La soluzione si presenta semplice solo nel caso di sezioni circolari (del resto

assai diffuse nella tecnica)

Sezioni piane restano tali ma ruotano

Lo stato di tensione è piano Ipotesi:

Lo scorrimento è 1CC

G

Perché tutti i punti di una sezione ruotino

del medesimo angolo, scorrimento e

taglio debbono crescere linearmente

max

L’equilibrio a torsione sull’intera sezione dà: 2

maxmax p J

Rt

A A

rM r dA dA

R

Grandezze locali nella sezione:

max

p p p p

; ; ; J J J J

t t t trM R M r M r M

r rG r G

Globalmente si possono considerare l’angolo di torsione globale e il lavoro di torsione

2

max

p p

1 ;

J 2 2 J

t tt

L M L M LW M

R G G

Angolo di torsione unitario

N.B. Non dipende da r

Ricordando infine che 4

pJ32

D max 3

16

D

tM

Lo stato di tensione indotto dalla torsione, nel riferimento assiale si compone di sole

Nel piano di Mohr si trovano i punti caratteristici (A-B) che corrispondono

all’assenza di sollecitazioni normali

A

B

A

B

123

Ruotando di 45° (90°) nel piano di Mohr,

si trova l’orientazione che annulla le

Esempio 1: Grippaggio

In un albero in acciaio di diametro d= 80 mm è fissata una massa volanica, anch’essa in

acciaio, con diametro D= 800 mm e spessore s= 50 mm. Mentre l’albero ruota a 60 giri/m, si

determina un grippaggio al cuscinetto destro. Calcolare la sollecitazione conseguente.

Massa ed inerzia polare del volano risultano:

2 27800 0.05 0.8 196 4 4

m s D kg

2

2115.68

2 2

DI m kg m

Trascurando la massa dell’albero, tutta l’energia cinetica si trasforma in energia elastica

immagazzinata nella torsione, una volta grippato il cuscinetto

2

21 2 600.5 15.68 309.6

2 60cE I J

Il lavoro di deformazione invece vale

21

2

torstors

p

MW L

G J

con

11102.1 10

8.077 102 1 2 1.3

EG Pa

4 6 44.02 10 32

pJ d m

Imponendo l’uguaglianza delle due energie:

221 1

2 2

tors

p

ML I

G J

10 6 2 60 8.077 10 15.68 4.02 1014177

60 1

p

tors

G I JM Nm

L

Di conseguenza, considerando che il momento sia applicato staticamente, ossia che non

si abbiano effetti dinamici dell’albero sovrapposti

2

max 3 3

16 16 14177141 /

0.08

torsMN mm

d

A questa sollecitazione massima, corrisponde una rotazione unitaria e totale pari a

5max2 2 1414.36 10 /

80770 80unit rad mm

G d

5 4.36 10 1000 0.044 2.448unit l rad

Esempio 2: Calcolo di sollecitazione mediante sovrapposizione di effetti

Calcolare tensore tensioni nel punto P

Azioni interne:

Piani

Verticali

Piani

Orizzontali

Si calcolano separatamente i contributi in P

• 1) Momento flettente dovuto a P1 P giace sul piano neutro e quindi

, 10

xMpa

• 2) Momento flettente dovuto a P2 P è sulle fibre compresse

2

, 2 3 3

32 32 3000 40056.59

60

f

x

MMPa

d

• 3) Sforzo normale dovuto a P2 P ha la sollecitazione di tutta sezione

2

, 3 2 2

4 4 30001.06

60x

PMPa

d

Sommando tutte le tensioni normali in P

, 1 , 2 , 30 56.59 1.06 = - 57.65 x x x x

MPa

Contributo di taglio in P

• 1) Azione tagliante dovuta a P1

P si trova proprio dove è massimo lo sforzo tangenziale

1

2 2

4 4 16 2000 0.94

3 d 3 60xy

PMPa

• 2) Azione del momento torcente imposto da P1

Si hanno sforzi tangenziali che sono massimi nelle fibre esterne (punto P)

3 3

16 16 2000 40018.86

d 60

tzy

MMPa

Tensione

risultante

A

B

A

A

B

2 2 257.65 3 18.86 3 0.94 66.28

eq VonMisesMPa

57.65 0.94 18.86

0.94 0 0

18.86 0 0

MPa

σ

Per sezioni non circolari problema più complesso, risolto nel passato mediante analogie:

Idrodinamica (Greenhill - 1871)

membranale (Prandtl - 1926)

Sezioni rettangolari

3

t

2

tMAX

G a b

M ;

b a

M

Andamento a (pseudo)-farfalla

2 3 ;

t tMAX

M M

a b G a b 3 3Rettangolari allungate:

i

3

iitors s h3

1J

Sottili semplicemente connesse:

tors

t

tors

MAXtMAX

G J

M ;

J

s M

Soluzione approssimata sezione

rettangolare qualunque: (n= b/a)

63.0n

n 3 ;

n

8.13

p

t

4

p

J G

Mq ;

A

J40q

Deformabilità sezioni “raccolte”

(St.Venant) (n= b/a)

Formula che approssima la precedente tabella

N.B. Il massimo si ha dove lo

spessore è massimo

Torsione nelle travi tubolari in parete sottile

Quando le sezioni sono sottili e chiuse, l’andamento della di torsione può pensarsi

costante e non a farfalla su ogni possibile taglio, si utilizzano le formule di Bredt

s G 4

c M ;

s 2

M2

tt

= area racchiusa sezione media

s = spessore (piccolo)

c = lunghezza linea media

Sezione costante:

i

i

i

2

t

MIN

tMAX

s

c

G 4

M ;

s 2

M

Sezione a spessore piccolo ma variabile:

Esempio: Trave a cassone

Una trave a cassone di lunghezza L, è soggetta a momento torcente Mt. Si determini:

1) Lo spessore minimo dei due piatti orizzontali, sapendo che la amm= 160 MPa

2) L’angolo di torsione sapendo che una estremità è libera e l’altra incastrata

In termini di , la sollecitazione ammissibile è

16092.4

3amm MPa

L’area sottesa dalla linea vale

2200 140 28000 mm

2

tMAX

MIN

M

s

325000 104.8

2 2 28000 92.4

tMIN

adm

Ms mm

Utilizzando ora la formula di Bredt per spessori non costanti si ha

35

2

25000 10 200 1402 2 1.12 10

4 4 80770 28000 4.8 10

t iunit

i

M crad

G s

5 21.12 10 3000 3.36 10 Tot unit L rad