Università degli Studi di Pavia

Dipartimento di Ingegneria Idraulica e Ambientale

SISTEMI DI CONDOTTE:

La verifica idraulica

Carlo Ciaponi

Posizione del problemaPosizione del problema

Rete esistente di cui è nota la geometria

E’ prefissata l’erogazione (approccio DDA: Demand Driven Analysis)

SCOPO:

calcolare le pressioni nei nodi al fine di accertare che assumano valori conformi ai

requisiti richiesti

DatiDati

- dati relativi alla rete: L, N, M

- dati relativi ai lati: li, Di, ai, bi, di (i = 1,L)

- dati relativi ai nodi: H1, Qj, zj (j = 1,N)

IncogniteIncognite

-incognite relative ai tronchi: qi (i = 1,L)

il numero delle incognite è L

-incognite relative ai nodi: Hj (j = 2, N)

il numero delle incognite è N-1

EquazioniEquazioni

- equazioni di continuità ai nodi:

0=+∑ ji Qq (1)

in numero pari a N-1

- equazioni del moto per i tronchi:

a

2N1N qrsHHH =−=∆ (2)

in numero pari a L

- equazioni di continuità ai nodi:

0=+∑ ji Qq (1)

in numero pari a N-1

- equazioni del moto per i tronchi:

a

2N1N qrsHHH =−=∆ (2)

in numero pari a L

Bilancio fra:

n° equazioni e n° incognite

Bilancio fra:

n° equazioni e n° incognite

NUMERO INCOGNITE = L + N -1

NUMERO EQUAZIONI = L +N-1

IL PROBLEMA

E’ IDRAULICAMENTE DETERMINATO

Occorre risolvere il sistema non lineare di equazioni

Metodi di risoluzioneMetodi di risoluzione

Metodi del bilanciamento delle portate

individuano come incognite fondamentali le portate

circolanti nei tronchi

si riconducono alla classica impostazione di Hardy

Cross (1936)

Metodi dei carichi ai nodi

individuano come incognite fondamentali le quote

piezometriche ad ogni nodo della rete

Metodo del bilanciamento

delle portate (H.Cross)

Metodo del bilanciamento

delle portate (H.Cross)

1a FASE:

determinazione delle portate qi circolanti (L)

2a FASE:

calcolo delle quote piezometriche Hj nei nodi (N-1)

PROBLEMA:

Posso risolvere la 1a fase con le sole equazioni di continuità ?

Numero incognite = L

Numero equazioni = N-1

Grado di indeterminazione = L – (N-1) = M

Reti ramificateM = 0

Reti ramificateM = 0

Il problema è determinato: le portate qi sono determinate

univocamente dalle equazioni di continuità

Reti a maglieM ≠≠≠≠ 0

Reti a maglieM ≠≠≠≠ 0

Il problema è indeterminato: esistono infinite configurazioni

di portate qi che soddisfano le equazioni di continuità

Principio di unicità della quota

piezometrica in un nodo

Principio di unicità della quota

piezometrica in un nodo

322113 −− ∆−∆−= HHHH

344113 −− ∆−∆−= HHHH

∑ =∆=∆−∆−∆+∆ −−−− 041343221 HHHHH

Ricerca delle portate

circolanti

Ricerca delle portate

circolanti

)1(0 −=+∑ NQq ji

)M(0qrsHa

iiii ==∑∑∆

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross -1

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross -1

Si assume una distribuzione di portate qi di primo tentativo

che soddisfi la continuità ai nodi.

In generale, per ogni maglia:

)1(oqrsa

iiii ≠∑

Per soddisfare le equazioni di bilanciamento dei carichi (1),

occorre introdurre una portata correttiva ∆∆∆∆q, costante per

tutti i tronchi della stessa maglia, in modo che:

)2(oqrsa

i

*ii

*i =∑

ki*i qqq ∆+=

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross - 2

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross - 2

N.B. qi è affetta da segno (si)

N.B. ∆qk è affetta da segno

N.B. qi* è affetta da segno (si*)

Problema: come esprimere il valore assoluto di qi* in funzione

di qi e di ∆qk ?

Soluzione: sommando o sottraendo al valore assoluto di qi il

valore di ∆qk a seconda che siano concordi o discordi:

kii*i qsqq ∆+=

ki*i qqq ∆+=

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross -3

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross -3

[ ] 0......qqsaqrs k

1a

ii

a

ii

*

i =+∆+−

∑

La condizione di bilanciamento diventa:

)3(0qsqrsa

kiii

*

i∑ =∆+

Linearizzando la (3) mediante uno sviluppo in serie

arrestato ai termini di primo ordine si ottiene:

[ ] 0......qqsaqrs k

1a

ii

a

ii

*

i =+∆+−

∑

∑∑

∑∑

−−−=−=∆

1a

ii

a

iii

1a

ii

*

i

a

ii

*

i

k

qra

qrs

qass

qrsq

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross -4

Procedura di calcolo

Metodo di H. Cross -4

∑∑

∑

∑∆

∆−=

∂

∆∂

∆−=∆

i

i

i

i

i

kS

H

q

H

Hq

∑

∑−

−=∆

i

1a

ii

a

iiii

k

qra

qrs

q

Sviluppo in serieSviluppo in serie

......qq2

)1a(aqqaq)qq( 22a1aaa +∆

−+∆+=∆+ −−

1a

a

qa

qq

−−=∆

arrestando ai termini di primo ordine si ottiene:

Formule risolutive:

tronchi di solo trasporto

Formule risolutive:

tronchi di solo trasporto

aqrsH =∆

1aqraS

−=∆

Formule risolutive:

tronchi con erogazione distribuita

Formule risolutive:

tronchi con erogazione distribuita

( )121

1

2

1

1

+−

−=∆

++

aqq

qqrH

aa

21

a

2

a

1

qq

qqrS

−

σ−=∆

(σ = + 1 se q1 e q2 hanno segno concorde; σ = -1 in caso contrario)

Formule risolutive:

tronchi fittizi

Formule risolutive:

tronchi fittizi

0

.cos

=∆

=∆

S

tH

Formule risolutive:

impianti di pompaggio in linea

Formule risolutive:

impianti di pompaggio in linea

( )

−

−

−+−=∆ 1

12

121 QPq

QPQP

HTHTHTH

12

12

QPQP

HTHTS

−

−=∆

Alimentazione plurimecon serbatoi

Alimentazione plurimecon serbatoi

?Q?Q

datoHdatoH

21

21

==

==

Alimentazione plurimecon impianti pompaggio

Alimentazione plurimecon impianti pompaggio

?Q?Q

)Q(fHdatoH

21

221

==

==

EsempioEsempio