Sistemi del I° e del II° ordine

Ing. Giuseppe FedeleDip. Elettronica, Informatica e SistemisticaUniversità degli Studi della Calabria

Email: fedele@si.deis.unical.itTel : 0984-494720

Sistemi del I° ordine

Considerando un ingresso causale e trasformando secondo Laplace l’equazione differenziale che modella il sistema con condizioni iniziali nulle, si ottiene la relazione tra le trasformate di Laplace dell’uscita forzata e dell’ingresso:

Esempio: circuito RC

Esempio: circuito RC

Trasformando secondo Laplace l’equazione differenziale con condizioni iniziali nulle (v0=0, il condensatore è supposto inizialmente scarico) si ha:

La funzione di trasferimento del sistema ha m=0 zeri e n=1 polo, il sistema è del primo ordine (infatti tale è l’ordine dell’equazione differenziale che lo descrive).

Esempio: sistema meccanico

quindi la risposta all’impulso vale

Sistemi del I° ordine

Calcoliamo ora la risposta al gradino del sistema.

Sistemi del I° ordine

Sistemi del I° ordine

Sistemi del I° ordine

15.0

1)(

ssG

15.1

1)(

ssG

25.0

1p

667.05.1

1p

Im

Re-0.667-2

Sistemi del I° ordine

15.0

1)(

ssG 2

5.0

1p

Im

Re2

Sistemi del I° ordine

Tempo di assestamento

Tempo di assestamento

Tempo di assestamento

Tempo di assestamento

Tempo di assestamento

Errore alla risposta al gradino

Mappa poli-zeri

Risposta alla rampa

Errore alla risposta alla rampa

Sistemi del I° ordine

td : tempo di ritardo – tempo necessario perché la risposta raggiunga il 50% del valore finale

tr : tempo di salita – tempo necessario perché la risposta passi dal 10% al 90% del valore finale

Sistemi del I° ordine

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

djp 1 djp 2

Posizioni:

2221 dn pp Pulsazione naturale

n

p

1Re

Coefficiente di smorzamento

(quantità positiva per poli conparte reale negativa)

np 1Re

cosRe 1 np

0cos1- ,2

,0Re se

1cos0 ,2

,0Re se

1

1

p

p

np 1Re

cosRe 1 np

Sistemi del II° ordine

cosnn

cos

10 Per poli stabili.

Sistemi del II° ordine

22

2

2)(

nn

n

sssG

)(sGs

EsU )( )(sY

22

2

11sin

1)( arctgte

EEty n

tn 10

Sistemi del II° ordine

10

1

1

n

E

Sistemi del II° ordine

tneE

Ety

221

)(

tneE

Ety

211

)()()()( 21 tytyty

Sistemi del II° ordine

tnEeEty )(2

tnEeEty )(1

Sistemi del II° ordine

Verifica risposta al gradino

Sistemi del II° ordine

Verifica risposta al gradino

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

Consideriamo come tempo di assestamento quello in cui gliesponenziali entrano nella fascia:

05.011 tne

05.0 tne

Fissato TAAA

n TT

305.0ln

Poiché pn Re

05.0ln tn

AT

p05.0ln

Re

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

21

1

A

generalità di perdere senza 1

1

1

2

2

E

arctg

n

22

2

11sin

1

11)( arctgtety n

tn

tAety tn sin1)(

Sistemi del II° ordine

tAety tn sin1)(

0cossin)( tAeteAtydt

d ttn

nn

0cossin

tteAn

tn

n

0cos1sin 2 tteA tn

n

21ttg

21ttg

Sistemi del II° ordine

nnarctgt

21

nt

ntn 21 21

n

nt

Istanti in cui si ha un massimoo un minimo.

21max 1

ey211

n

t

Sistemi del II° ordine

21100

eS Massima sovraelongazione

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

Sistemi del II° ordine

21100

eS

Sistemi del II° ordine

tAety tn sin1)(

1)( rTy 0sin r

t TAe n

0sin rT

0sin rT

kTr

2

2

1

1

n

r

arctgkkT

Sistemi del II° ordine

2

2

1

1

n

r

arctgkT