Post on 15-Feb-2019
1
Rinforzo a flessioneEsempi numerici
2
• Il rinforzo a flessione è necessario per elementistrutturali soggetti a momento flettente di calcolomaggiore della corrispondente resistenza
• Il rinforzo a flessione mediante materiali compositiè eseguito mediante applicazione di uno o piùlamine ovvero uno o più strati di tessuto al lemboteso dell’elemento da rinforzare
Rinforzo a flessione
3
La rottura a flessione si ha per:
• Raggiungimento della massima deformazione plastica nel calcestruzzo compresso, εcu
• raggiungimento di una deformazione massima nel rinforzo in FRP, εfd, calcolata come:
fufd a f,max
f
min ,εε η εγ
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
− ηa : fattore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP)
− εfu : deformazione ultima del rinforzo
− γf : coefficienti parziali per materiali e prodotti
− εf,max : deformazione massima per delaminazione
Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente
4
Rinforzo a flessione:Deformazione massima nel rinforzo
0.950.750.85
Carbonio/EpossidicaVetro/Epossidica
Aramidica/Epossidica
Esposizione interna
0.850.650.75
Carbonio/EpossidicaVetro/Epossidica
Aramidica/Epossidica
Esposizione esterna (ponti colonne parcheggi)
0.850.500.70
Carbonio/EpossidicaVetro/Epossidica
Aramidica/Epossidica
Ambiente aggressivo (centrali chimiche e centrali di trattamento delle acque)
ηaTipo di fibra/resinaCondizione di esposizione
− ηa : fattore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP)
5
Rinforzo a flessione:Deformazione massima nel rinforzo
1.501.20Lamine e tessuti FRP
APPLICAZIONE TIPO BAPPLICAZIONE TIPO AMATERIALE/PRODOTTO
Applicazione tipo A: sistemidi rinforzo prefabbricati in condizioni di controllo diqualità ordinario, applicazione di tessuti a mano con elevato controllodi qualità
Applicazione tipo B: applicazione ditessuti a mano in condizione diqualità ordinario, applicazione diqualsiasi sistema di rinforzo in condizioni di difficoltà ambientaleo operativa
− γf : coefficienti parziali per materiali e prodotti
6
Rinforzo a flessione:Deformazione massima nel rinforzo
− εf,max : deformazione massima per delaminazione intermedia (Modalità 2)
fddf,max cr
f
fkE
ε = ⋅
- kcr : coefficiente pari a 3- Ef : Modulo Elastico FRP - ffdd : tensione di progetto nel rinforzo
f Fkfdd
ffd c
21 EftΓ
γ γ=
⋅
7
Rinforzo a flessione:Tensione di progetto nel rinforzo
− ffdd : tensione di progetto nel rinforzo
ΓFd : Valore di progetto energiaspecifica di frattura b ck ctm0.03Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅
[forze in N , lunghezze in mm]
fck : Valore caratteristico resistenza a compressione calcestruzzo
fctm : Valore medio resistenza a trazione del calcestruzzoγc : coefficiente parziale del calcestruzzo (fornito da Normativa vigente)
f Fkfdd
ffd c
21 EftΓ
γ γ=
⋅
8
Rinforzo a flessione:Tensione di progetto nel rinforzo
kb : Fattore di tipo geometrico
f
fb
f
2 1 0 33
1400
bbbk per .b b
−= ≥ ≥
+
se bf/b<0.33 nella formula si usa bf/b = 0.33b : larghezza della trave
bf : larghezza rinforzo
b ck ctm0.03Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅
[lunghezze in mm]
9
Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente
x = ξ d
εfd
d
dh
b
d
Af
t
As1
As2
εs2 σs2
εy,dσs1σf
2
1
M
εcu σc
1
2
ε0
εc0
f
bf
εs >εyd
εco
εcu
εo εfd
εs2 x =ξ d σs2
σc
fyd
σf
Αs2
Αs1
d h
b Af
bf
Zona 1: Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite diprogetto nelle fibre
Zona 2: Rottura per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio tesosnervato
10
Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente
x = ξ d
εfd
d
dh
b
d
Af
t
As1
As2
εs2
εy,d
2
1
εcu
1
2
ε0
εc0
f
bf
εs >εyd
εco
εcu
εo εfd
εs2 x =ξ d
Αs2
Αs1
d h
b Af
bf
Zona 1:
• FRP:f fdε ε=
c fd o cu( )
( )x
h xε ε ε ε= + ⋅ ≤
−
2s2 fd o( )
( )x dh x
ε ε ε −= + ⋅
−
s1 fd o
d x( )( h x )
ε ε ε −= + ⋅
−
• Cls lembo compresso:
• Acciaio compresso:
• Acciaio teso:
E’ superfluo verificare l’entità della deformazione dell’acciaio teso:
I valori usuali della deformazione limite delle fibre εfd, e del calcestruzzo, εcusono tali da escludere in genere l’attingimento della deformazione limite dell’acciaio
11
Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente
x = ξ d
εfd
d
dh
b
d
Af
t
As1
As2
εs2
εy,d
2
1
εcu
1
2
ε0
εc0
f
bf
εs >εyd
εco
εcu
εo εfd
εs2 x =ξ d
Αs2
Αs1
d h
b Af
bf
Zona 2:
• FRP:
• Cls lembo compresso:
• Acciaio compresso:
• Acciaio teso:
( )cuf 0 fdh x
xεε ε ε= ⋅ − − ≤
c cuε ε=
s1 cu
d xx
ε ε −= ⋅
2s2 cu
x dx
ε ε −= ⋅
Non viene raggiunta la deformazione limite nelle fibre
12
Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente
x = ξ d
εfd
d
dh
b
d
Af
t
As1
As2
εs2 σs2
εy,dσs1σf
2
1
M
εcu σc
1
2
ε0
εc0
f
bf
εs >εyd
εco
εcu
εo εfd
εs2 x =ξ d σs2
σc
fyd
σf
Αs2
Αs1
d h
b Af
bf
In entrambe le zone il momento resistente Mu e x si calcolano:
u cd s2 s2 2 f f 1M b x f ( d x) A ( d d ) A dψ λ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅
Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa
Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave
cd s2 s2 s1 yd f f0 b x f A A f Aψ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅
13
• I coefficienti adimensionali ψ e λ rappresentano, rispettivamente, l’intensità del risultante degli sforzi di compressione e la distanza di quest’ultimo dall’estremo lembo compresso, rapportati nell’ordine a b⋅x⋅fcd ed a x.
• Nelle zone 1 e 2 l’entità della deformazione esibita dalle barre d’acciaio in trazione è sempre superiore a quella di progetto, εyd
Le tensioni di lavoro dell’acciaio sono sempre pari a fyd
• Per evitare che allo stato limite ultimo l’acciaio teso sia in campo elastico, il coefficiente adimensionale ξ=x/d non deve eccedere il valore limite ξlim
Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente
culim
cu yd
εξε ε
=+
14
Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni
5,00 5,00
8,00
204
5010 40
IMPERMEABILIZZAZIONEMASSETTO
INTONACO
Carichi Permanenti
kN/m1.9TOT
kN/m0.15Impermeabilizzazione
kN/m0.15Intonaco
kN/m0.38Massetto
kN/m0.35Pignatte
kN/m0.5Soletta
kN/m0.4Travetto
Sovraccarichi AccidentalikN/m0.25Copertura non praticabile
1.5*Sovraccarichi Accidentali2.70 kNm 0.37kN/m1.4*Carichi Permanenti
15
Rinforzo a Flessione: Condizioni di carico
Msd = 7.4 kNm
16
Rinforzo a Flessione
Calcestruzzo:Rck = 20 Mpafcd = 11.0 Mpa
Dati: Sezione non rinforzata
Acciaio:fyk = 440 MpaEs = 210 Gpafyd = 374 Mpaεyd = 0.00182Geometria:
b = 500 mmh = 200 mmd = 30 mm
As1 = 1Φ10 =79 mm2
As2 = 2Φ10 =157 mm2
4016
0
100
500
Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa
Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave
cd s1 s1 s2 s20 b x f A Aψ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅
u cd s1 s1 1 s2 s2 2 9 7M b x f ( d x) A ( x d ) A ( d d ) . kNmψ λ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
24 6x . mm=
17
Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni
5,00 5,00
8,00
205
5010 40
PAVIMENTOMASSETTO
INTONACO
kN/m0.30Pavimento
Carichi Permanenti
kN/m2.2TOT
kN/m0.15Impermeabilizzazione
kN/m0.15Intonaco
kN/m0.38Massetto
kN/m0.35Pignatte
kN/m0.5Soletta
kN/m0.4Travetto
Sovraccarichi AccidentalikN/m1.0Copertura non praticabile
1.5*Sovraccarichi Accidentali3.1 kN/m 1.5kN/m1.4*Carichi Permanenti Msd = 11.1 kNm
18
4016
0
100
500
50
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
19
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di kb
b = 100 mmbf = 50 mm
bf / b = 0.5f
bf
2 = 1.15 > 1
1400
OK
bbk b
−=
+
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpafctm = flessione = 0.27 x (Rck )^(2/3) = 2.0 Mpaγc = 1.6
b ck ctm0.03 0.2Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =
20
Calcolo di ffdd
kc = 3γRd = flessione = 1.00Ef = 170000 Mpatf = spessore totale rinforzo = 1 x 1.4 = 1.4 mmΓFd = 0.20
f Fkfdd
ffd c
21 434Ef MPatΓ
γ γ= =
⋅
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
21
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di εfd
fua
f
0.0144εηγ
=
fufd a f,max
f
min , 0.0026εε η εγ
⎧ ⎫= =⎨ ⎬
⎩ ⎭
ηa = 0.95εfu = 0.018γf = 1.2 (Applic. Tipo A)
fddf,max cr
f
0 0026fk .E
ε = ⋅ =kcr = 3ffdd = 434 MpaEf = 170000 Mpa
22
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibrex = profondità asse neutro = 29.7 mmξ = x/h = 0.149ψ = 0.6745λ = 0.3765σs2 = 374 Mpaσf = 434 Mpa
Mu = 14.9 kN m
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
23
Rinforzo a Flessione: Travetto Solaio
Mu = 14.90 kN m
Mu = 9.70 kN m Sezione originale:
Sezione rinforzata:
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a flessione pari al 53% dellacapacità originaria
24
4016
0
100
500
50
Rinforzo a Flessione (2): Calcolo del Momento Ultimo
25
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di kb
b = 100 mmbf = 50 mm
bf / b = 0.5f
bf
2 = 1.15 > 1
1400
OK
bbk b
−=
+
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpafctm = flessione = 0.27 x (Rck )^(2/3) = 2.0 Mpaγc = 1.6
b ck ctm0.03 0.2Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =
26
Calcolo di ffdd
kc = 3γRd = flessione = 1.00Ef = 230000 Mpatf = spessore totale rinforzo = 1 x 0.166 = 0.166 mmΓFd = 0.20
f Fkfdd
ffd c
21 1467Ef MPatΓ
γ γ= =
⋅
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
27
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di εfd
fua
f
0.0166εηγ
=
fufd a f,max
f
min , 0.0063εε η εγ
⎧ ⎫= =⎨ ⎬
⎩ ⎭
ηa = 0.95εfu = 0.021γf = Applic. Tipo A= 1.2
fddf,max cr
f
0 0063fk .E
ε = ⋅ =kcr = 3ffdd = 1467 MpaEf = 230000 Mpa
28
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibrex = profondità asse neutro = 26.35 mmξ = x/h = 0.1317ψ = 0.6228λ = 0.3681σs2 = 374 Mpaσf = 1467 Mpa
Mu = 11.7 kN m
Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
29
Rinforzo a Flessione (2): Travetto Solaio
Mu = 11.70 kN m
Mu = 9.70 kN m Sezione originale:
Sezione rinforzata:
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a flessione pari al 21% dellacapacità originaria
30
Rinforzo a Flessione: Trave
500
300
2Ø16
4Ø16
Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa
Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave
cd s2 s20 b x f Aψ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
u cd s2 s2 2 132 00M b x f ( d x) A ( d d ) . kNmψ λ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − =
Calcestruzzo:Rck = 20 Mpafcd = 11.0 Mpa
Acciaio:fyk = 440 MpaEs = 210 Gpafyd = 374 Mpaεyd = 0.00182
Geometria:b = 300 mmh = 500 mmd = 30 mm
As1 = 2Φ16 =402 mm2
As2 = 4Φ16 =804 mm2
89 40b . mm=
Msd = 123.08 kNm
31
Rinforzo a Flessione: Esempi NumericiTrave
Msd = 184.9 kNm
500
300
2Ø16
4Ø16
2 strati
32
Calcolo di kb
b = 300 mmbf = 300 mm
bf / b = 1.0f
bf
2 = 0.76 < 1
140
[ ]
0
1
bbk b
−=
+
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpafctm = flessione = 0.27 x (Rck )^(2/3) = 2.00 Mpaγc = 1.6
b ck ctm0.03 0.17Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Rinforzo a Flessione: Trave
33
Calcolo di ffdd
kc = 3γRd = flessione = 1.00Ef = 390000 Mpatf = spessore totale rinforzo = 2 x 0.329 = 0.658 mmΓFd = 0.17
f Fkfdd
ffd c
21 893Ef MPatΓ
γ γ= =
⋅
Rinforzo a Flessione: Trave
34
Calcolo di εfd
fua
f
0.0090εηγ
=
fufd a f,max
f
min , 0.0023εε η εγ
⎧ ⎫= =⎨ ⎬
⎩ ⎭
ηa = 0.95εfu = 0.011γf = 1.2 ( Applic. Tipo A)
fddf,max cr
f
0 0023fk .E
ε = ⋅ =kcr = 3ffdd = 893 MpaEf = 390000 Mpa
Rinforzo a Flessione: Trave
35
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibrex = profondità asse neutro = 181 mmξ = x/h = 0.3616ψ = 0.8095λ = 0.4160σs2 = 374 Mpaσf = 893 Mpa
Mu = 197.8 kN m
Rinforzo a Flessione: Trave
36
Mu = 197.8 kN m
Mu = 132.0 kN m Sezione originale:
Sezione rinforzata:
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a flessione pari al 50% dellacapacità originaria
Rinforzo a Flessione: Trave
37
Rinforzo a TaglioEsempi numerici
38
Rinforzo a TaglioCalcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:
{ }Rd,max cd wdrd min V ;V +V =127kNV =
53wdV kN=74cdV kN=
Resistenza biella compressadi calcestruzzo:
Somma contributo calcestruzzo piùcontributo armatura a taglio
,max 0,30Rd cd wV f b d= ⋅ ⋅ ⋅( )0,90 sin coswd sw ywd
dV A fs
α α= ⋅ ⋅ ⋅ +
0,60cd ctd wV f b d δ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
,max 373RdV kN=
39
Rinforzo a Taglio: Trave tipo U-Jacket50
0300
300
40
Rinforzo a TaglioCalcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:
{ }Rd Rd,ct Rd,s Rd,f Rd,maxmin ,V V V V V= + +
contributo del calcestruzzo
contributo dell’armatura trasversale di acciaio, “da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”
contributo del rinforzo di FRP
resistenza della biella compressa di calcestruzzo, “da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”.
Rd,ctV
Rd,sV
Rd,fV
Rd,maxV
41
fRd,f fed f
Rd f
1 0,9 2 (cot cot ) wV d f tp
θ βγ
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
γRd coefficiente parziale per modello di resistenza pari a 1,20 (CNR Punto 3.4.1 Tabella 3.3)d altezza utile della sezionehw larghezza della membratura resistente a tagliotf spessore del rinforzo di FRPβ angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse dell’elementoθ angolo di inclinazione delle fessure da taglio rispetto all’asse dell’elemento
(in mancanza di determinazione più accurata, si può assumere θ= 45°)wf larghezza delle striscepf passo delle strisce
I valori di wf e di pf devono essere misurati ortogonalmente alla direzione delle fibre e, nel caso di strisce poste in adiacenza o di fogli, il rapporto è pari ad 1,0.
Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket
42
Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket
[tensione di progetto del rinforzo]{ }fed fdd
w
e sin113 min 0,9 ;
f fd h
l β⎡ ⎤⋅= ⋅ − ⋅⎢ ⎥⋅⎣ ⎦
f Fkfdd
ff,d c
21 Eft
Γγ γ
⋅ ⋅= ⋅
⋅
b ck ctm0.03Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅
f w
sin( )min{0,9 ; }sin
b b d h θ βθ+
= = ⋅ ⋅nel caso di rinforzi continui, essendo hw l’altezza dell’anima della trave.
f fe
ctm
[lunghezze in ]2E tl mm
f⋅
=⋅
Punto 4.3.3.3: “Nel caso di disposizione ad U ed in avvolgimento, gli spigoli della sezione dell’elemento da rinforzare a contatto con il materiale composito devono essere arrotondati, in modo da evitare il tranciamento del rinforzo. Il raggio di curvatura,dell’arrotondamento deve essere non minore di 20 mm.”
43
Calcolo di kb
bf = b = min(423;300)=300f
bf
2 =0.76<1
1400
1][
bbk b
−=
+
Calcolo di ΓFd
fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpafctm = flessione = 0.27 x (Rck )^(2/3) = 2.00 Mpaγc = 1.6
b ck ctm0.03 0.17Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Rinforzo a Taglio
44
Calcolo di ffdd
kc = 3γRd = Taglio = 1.20
γfd = (Applic. Tipo A) = 1.20Ef = 390000 Mpatf = spessore totale rinforzo = 1 x 0.329 = 0.329 mmΓFk = 0.17
f Fkfdd
ffd c
21 421Ef MPatΓ
γ γ= =
⋅
Rinforzo a Taglio
45
f fe
ctm
1852E tl mm
f⋅
= =⋅
f Fkfdd
ff,d c
21 421Ef MPat
Γγ γ
⋅ ⋅= ⋅ =
⋅
{ }e
fed fddw
sin11 3373 min 0,9 ;
lf f MPad hβ⎡ ⎤⋅
= ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥⋅⎣ ⎦
{ }Rd min 373;205 205V kN= =
Rinforzo a Taglio
Rd,ct 74V kN=
{ }Rd Rd,ct Rd,s Rd,f Rd,maxmin ,V V V V V= + +
Rds 53V kN= Rd,max 373V kN=Rd,f 78V kN=
fRd,f fed f
Rd f
1 0,9 2 (cot cot ) 78wV d f t kNp
θ βγ
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
46
Vrd= 205 kN m
Vrd = 127 kN m Sezione originale:
Sezione rinforzata:
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a taglio pari al 62% dellacapacità originaria
Rinforzo a Taglio
Tale valore è superiore a quello consentito dalla norma che prevede un valore di incremento massimo di resistenza pari al 60% di quello della sezione non rinforzata.