RECUPERO LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO … · } Applica la proprietà del prodotto di potenze con...

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der] Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi

Semplifica le seguenti espressioni.

RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONIIN N

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

{[10 � (2 � 2)] � [16 � (3 � 2)]} � 3 � (4 � 2).

{[10 � (2 � 2)] � [16 � (3 � 2)]} � 3 � (4 � 2) �

� {[10 � (…)] � [16 � (…)]} � 3 � (…) � Esegui le operazioni nelle parentesi tonde.

� {[…] � […]} � 6 � Esegui le operazioni nelle parentesi quadre.

� {… � …} � 6 � Esegui le operazioni nelle parentesi graffe

� … � 6 � … e scrivi il risultato

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

{[(24 � 6 � 3) � 5 � 3] � (9 � 2 � 15) � 3 � 10} � 2.

{[(24 � 6 � 3) � 5 � 3] � (9 � 2 � 15) � 3 � 10} � 2 �

� {[(24 � …) � 15] � (18 � …) � 3 � 10} � 2 �

� {[… � 15] � … � 3 � 10} � 2 �

� {… � … � 3 � 10} � 2 �

� {… � 3 � 10} � 2 �

� … � 2 �

[4 � (7 � 3) � 5 � (6 � 2)] � 3 � 10 [6]

[(2 � 4 � 7) � (2 � 8 � 2) � 5] � (6 � 2) � 5 [5]

(12 � 8 � 5) � 5 � (6 � 4 � 9 � 1) [1]

{[2 � (4 � 8)] � [16 � 4 � 2]} � 3 � (5 � 2) [12]6

5

4

3 [(12 � 3) � 4 � 2 � (3 � 1)] � 4 � 3 [7]

12 � (3 � 4) � (2 � 3) � 5 � [6 � (7 � 1 � 5)] [8]

{[(13 � 8 � 6) � 3] � (7 � 3 � 8 � 1)} � 2 [4]9

8

7

[5 � (5 � 4 � 4 � 4) �9] � {4 � (32 � 8 � 4) � [(6 � 4) � 12] � 4 � 4} [11]

[3 � (6 � 2)] � [(13 � 7 � 10) � 2] � 12 � [2 � (10 � 2)] � 3 [0]11

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco.

«Al triplo di a aggiungi il doppio della differenza tra b e a.» a � 4, b � 7. [18]

«Al quintuplo di a sottrai la somma tra il doppio di b e a.» a � 3, b � 2. [8]

«Moltiplica il doppio di a per la somma di a e b e poi sottrai il triplo di b.» a � 3, b � 2. [24]

«Dividi la somma di a e b per il doppio di a.» a � 1, b � 5. [3]

«Moltiplica la somma di a e b per il doppio di a e poi aggiungi il triplo di b.» a � 2, b � 1. [15]

«Dividi il doppio di a per la differenza tra a e b.» a � 3, b � 1. [3]

«Moltiplica la differenza tra a e b per il doppio della loro somma.» a � 4, b � 3. [14]

«Sottrai il doppio di b dal prodotto del quadruplo di a con b.» a � 3, b � 5. [50]

«Dividi la somma di a e del doppio di b per la differenza tra a e b.» a � 4, b � 2. [4]11

10

9

8

7

6

5

4

3

RECUPERODALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI IN N

COMPLETA1Traduci in espressione la frase: «Aggiungi b al doppio di a e poi sottrai il triplo di b».Calcola il valore dell’espressione per a � 4 e b � 2.

«doppio di a»: 2 � a «triplo di b»: … b Traduci le parti della frase.

2a … b … b Scrivi l’espressione.

2 � … � … � 3 � … � Sostituisci i valori di a e b.

8 � … � 6 � 4. Esegui i calcoli.

PROVA TU2Traduci in espressione la frase: «Sottrai b al triplo di a e poi aggiungi il quadrato di b».Calcola il valore dell’espressione per a � 2 e b � 3.

triplo di a : … quadrato di b : … … a … b � …

3 � … � 3 � … � … � 3 � … � 12.

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni.

(33)3 � (33)2 � [(36)2 � (33)4] [27]

{[(23)4 � (22)3] � (23)3} � (23 � 2)2 [2]

{[(34)5 � (35)4] � (34)2} � [3 � (32)3] [3]

66 � 46 � (32 � 82) � 84 [81]

[26 �66 � (32 � 42)] � 64 [16]

[(63 � 23 � 43)] � [(23)3 � (22)3] � 33 [8]

[(58 � 54)2 � (57 � 52)] � 512 � 15 [6]

(44 � 43)0 � 4 � 43 � 42 � (53 � 52) [3]

[(35 � 34) � 32]2 � [(46 � 44) � 4]2 � (32 � 42)3 [1]

(25 � 42)3 � 23 � [(63 � 32) � 25] � (22)3 � 20 [12]12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

RECUPEROESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN N

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

(23)2 � (22)2 � [(23)4 � (26)2] 5.

(23)2 � (22)2 � [(23)4 � (26)2] 5 �

� 26 � 2… � [2… � 2…] � Applica la proprietà della potenza di potenza.

� 2… � [2…] � Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.

� … � 1 � … Sviluppa le potenze ed esegui la moltiplicazione.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

[(26 � 24) � 3] � [(64 � 63) � (62 � 63)] � (22 � 1).

[(26 � 24) � 3] � [(64 � 63) � (62 � 63)] � (22 � 1) �

� [2… � 3] � [6… � 6…] � (4 � 1) �

� [… � 3] � 6… � 3 �

� … � … � 3 � …

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti numeri naturali.

5; 35; 21. [M.C.D.: 1; m.c.m.: 3 � 5 � 7 � 105]

40; 24; 8. [M.C.D.: 23 � 8; m.c.m.: 23 � 3 � 5 � 120]

18; 36; 45. [M.C.D.: 9; m.c.m.: 180]

15; 21; 25. [M.C.D.: 1; m.c.m.: 525]

9; 15; 63. [M.C.D.: 3; m.c.m.: 315]

16; 24; 36. [M.C.D.: 4; m.c.m.: 144]

8; 24; 48. [M.C.D.: 8; m.c.m.: 48]9

8

7

6

5

4

3

RECUPEROIL MASSIMO COMUNE DIVISORE E IL MINIMO COMUNE MULTIPLO

COMPLETA1Determina il M.C.D. e il m.c.m. di 9, 36, 96.

9 3 36 2 96 2 Scomponi in fattori primi.3 3 18 … 48 21 9 … 24 …

3 3 12 …1 6 …

3 31

9 � 3…

36 � 2… � 3… M.C.D.(9, 36, 96) � …

96 � 2… � 3 m.c.m.(9, 36, 96) � 2… � 3… � …

PROVA TU2Determina il M.C.D. e il m.c.m. fra 18, 24, 112.

18 2 24 2 112 29 3 12 2 56 23 … 6 … 28 …1 3 … 14 …

1 7 71

18 � 2 � 3…

24 � 2… � 3112 � 2… � 7

M.C.D. (18, 24, 112) � …m.c.m.(18,24,112)�2… �3… �…

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni.

[(� 2) � (� 3) � (6 � 3) � (� 3) � 2] [1]

[2 � (� 4) � 16 � (� 8) � 7] � (� 1) � 5 [� 6]

{[(� 10 � 4) � (� 3) � 3] � (� 8)} � (� 6 � 4) [� 4]

16 � [(� 8 � 6) � 2 � 16 � 2] � (� 2 � 1) [4]

(� 5 � 1) � (5 � 6) � 2 � 3 � [2 � 9 � (� 2 � 1)] [� 9]

(� 18) � 3 � 8 � 12 � (� 6) � (7 � 3 � 10) � 8 � 2 [� 11]

(�4 � 1) � (4 � 5) � 2 � 3 � [2 � 8 � (� 3 � 1)] [� 5]

{[(� 10 � 6) � (� 2) � 2] � 8} � 15 � [(� 4 � 6) � 2 � (15 � 3)] � (� 3) [� 3]

3 � 4 � {3 � [2 � (1 � 3) � 7] � (10 � 7) � (� 13 � 3)} [� 8]11

10

9

8

7

6

5

4

3

RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONIIN Z

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

(3 � 5) � {3 � [8 � (4 � 2) � 7] � (13 � 7) � (� 13 � 2)}.

(3 � 5) � {3 � [8 � (4 � 2) � 7] � (13 � 7) � (� 13 � 2)} �

� … � {3 � [8 � … � 7] � (…) � (� 11)} � Esegui le operazioni nelle parentesi tonde.

� … � {3 � [� 5](…) � 11} � Esegui le operazioni nelle parentesi quadre.

� … � {3 � (� …) � 11} � Moltiplica il numero in parentesi quadra con quello in parentesi tonda.

� … � {3 � … � 11} � Applica la regola dei segni.

� … � {…} � � 7. Esegui le operazioni nella parentesi graffa e scrivi il risultato.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

[7 � (� 12 � 7 � 6 � 8) � (� 3 � 7 � 4)] � (� 14 � 6) � (� 4).

[7 � (� 12 � 7 � 6 � 8) � (� 3 � 7 � 4)] � (� 14 � 6) � (� 4) �

� [7 � (…) � (…)] � (…) � (� 4) �

� […] � (…) � (� 4) �

� (…) � (� 4) �

� …

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

RECUPEROLE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

[(� 3)2]2 � {[(� 3)2]3 � [(� 3)2]2 � [(� 3)4]2}.

[(� 3)2]2 � {[(� 3)2]3 � [(� 3)2]2 � [(� 3)4]2} �

� (�3)4 � {(�3)… � (� 3)… � (� 3)…} � Applica la proprietà della potenza di potenza.

� (� 3)4 � {(� 3)… � (� 3)…} � Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base.

� (� 3)4 � (� 3)… � Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base due volte.

� (� 3)… � � 9. Calcola la potenza.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze:

[(� 21)3]2 � [34 � (� 3)2] � (� 7)5.

[(� 21)3]2 � [34 � (� 3)2] � (� 7)5 �

� (� 21)… � 3… � (� 7)5 �

� (…)… � (� 7)5 �

� � …

[(� 12)6 � (4)6]4 � (� 3)21 [� 27]

[(� 16)4 � 84]6 � (� 2)22 [4]

[214 � (� 7)4]3 � (� 3)9 [� 27]

{[(64)3 � (6)4]2 � 64}0 [1]

(43 � 42)2 � (� 3)3 � ( � 1 � 2)2 [19]

(� 32)4 � [(� 12 � 4)2 � (� 3)4] � 30 [8]8

7

6

5

4

3 {[23 � (10 � 8)2] � (6 � 4)3} � (� 2) [� 2]

{[(� 4)3]2 � [(� 4)2]3}0 � {[(� 6)3 � (� 3)3]} [� 7]

[(� 4)2]3 � [(� 4)2]2 � (� 44)2 [16]

[(� 2)3 � (� 2)2 � (� 2)4]3 � (32 � 3 � 1) [� 13]

(6 � 2)3 � 43 � (� 2 � 1)3 � (� 3) [� 1]

(4 � 5)3 � [(� 3)2 � (� 2)2 � 18]4 � (4 � 2)3 [ � 3]14

13

12

11

10

9

[(18 � 7 � 2)3 � 42]3 � (� 3 � 1)2 � 1 [3]

(23 � 22) � (� 5 � 5 � 3 � 13 � 3) � (22 � 32) � (� 6)2 [� 7]

[(� 4)4 � (� 4)3 � (� 4)6]2 � (23 � 22 � 9) � (44 � 42 � 20) [� 4]17

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15

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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Traduci in espressioni le seguenti frasi e poi calcola i valori delle espressioni per i valori di a e b indicati a fianco.

«Moltiplica la differenza tra a e b per il triplo della loro somma.» a � 4, b � � 3. [21]

«Sottrai il quadruplo di b dal prodotto del doppio di a con b.» a � 3, b � � 5. [� 10]

«Dividi la somma del doppio di a e di b per la somma tra a e b.» a � � 4, b � 2. [3]

«Al triplo di a aggiungi il quadrato del doppio di b.» a � � 3, b � 2. [7]

«Al doppio del quadrato di b sottrai il quadruplo di a.» a � 3, b � � 2. [� 4]

«Dividi il doppio della somma di a e b per il quadrato di b.» a � � 6, b � � 2. [� 4]8

7

6

5

4

3

RECUPERODALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI LETTERALI IN Z

COMPLETA1Traduci in espressione la seguente frase: «Aggiungi al triplo di a il doppio del quadrato di b e poi sot-trai il quadruplo di a».Calcola il valore dell’espressione per a � � 5 e b � � 2.

triplo di a: 3a Traduci le parti della frase.

quadrato di b: b…

doppio del quadrato di b: …b2

quadruplo di a: … a

3a � …b2 � … a Scrivi l’espressione.

3 � (…) � 2 � (…)2 � 4 � (…) � Sostituisci i valori di a e di b.

� � … � 2 � … � … � Esegui i calcoli.

� � … .

PROVA TU2Traduci in espressione la seguente frase: «Sottrai il quadrato di b al cubo di a poi aggiungi il quadratodella differenza tra a e b».Calcola il valore dell’espressione per a � � 2 e b � � 4.

cubo di a: a …; quadrato di b: b …; differenza tra a e b: … � …;

quadrato della differenza tra a e b: (a � b)….

a … � b … � (a � b)….

(� 2)… � (� 4)… � (� 2 � …)… �

� � … � … � 4 � …

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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero

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«Aggiungi il quadrato di b alla differenza tra il triplo di a e b». a � � 2, b � � 3. [6]

«Sottrai alla differenza tra a e il doppio di b il quadrato di a». a � � 2, b � � 4. [2]

«Dividi la somma tra a e il doppio di b per il quadrato di a». a � � 2, b � � 3. [� 2]

«Dividi il triplo di a per b, poi aggiungi il doppio di b». a � � 5, b � � 3. [1]

«Aggiungi al quadrato della somma di a con b il cubo della differenza tra a e b e poi sottrai a».

a � � 3, b � � 1. [65]

«Aggiungi al quadrato della differenza tra a e b il triplo del cubo di a».

a � 3, b � 1. [85]

«Sottrai al doppio del quadrato della somma tra a e b il quadrato di b».

a � 3, b � 2. [46]

15

14

13

12

11

10

9

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I NUMERI RAZIONALI Recupero

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RECUPEROLE ESPRESSIONI CONTENENTI SOMME ALGEBRICHE

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

� 3 � �2 � ��13� � �

32� � 2�� �

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12� � �

13��.

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� …��� �

1

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� � 3 � �…

6� � �

1

6� �

��� 18 �

6

… � 1�� Esegui le operazioni tra frazioni.

� � �…

6� �

� � �1

3�.

Esegui le operazioni tra frazioninelle parentesi tonde.

Togli le parentesi tonde cambiandoeventualmente i segni.

Esegui le operazioni tra frazioninella parentesi quadra.

2

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni.

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8

7

6

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4

3

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

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1

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

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3

…�� � �� �

…��� Esegui la sottrazione nella prima parentesi quadra.

� � �…

3� � �� �

…��� � �

3� � (� 7) � � �

7

3�. Trasforma la divisione in moltiplicazione.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

����3

4� � �

1

8�� � ��

1

8

3� � 1�� 4� � �� �

5

2��� 4� � �

3

2� � �

1

6

3�.

����3

4� � �

1

8�� � ��

1

8

3� � 1�� 4� � �� �

5

2��� 4� � �

3

2� � �

1

6

3� �

� ����… �

8

…�� � ��13 �

8

…��� 4� � �� �

5

2��� 4� � �

3

2� � �

1

6

3� �

� ���…

8� � �

8� � 4� � �� �

5

2��� 4� � �

3

2� � �

1

6

3� �

� ���…

8� � �

8

5� � 4� � �� �

2��� 4� � �

3

2� � �

1

6

3� �

� �… � �� �2

5��� 4� � �

3

2� � �

1

6

3� �

� �� … � 4� � �3

2� � �

1

6

3� �

� … � �3

2� � �

1

6

3� �

� … � �1

6

3� �

��… �

6

13�� …

Esegui le operazioni nelle parentesi tonde esemplifica in croce la prima moltiplicazione.

Esegui la prima moltiplicazione e semplificain croce nella seconda parentesi quadra.

2

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni.

��1

3� � �

6

5� � �� �

1

1

8

0���� 1 ��

2

3��

���1

1

2� � �

7

6� � 1� � ��

1

4

5� � �

2

3� � �

4

5��� ��

1

1

0��

��� �4

5� � �

1

9

0� � �

5

3�� � �� �

1

4

5��� ��

1

8��

��2

3� � ��

1

8� � ��

5

2� � �

4

9���� ��

4

3��

�� �2

3� � �

1

2�� � ��

4

3� � 1� �� �

1

2��

�� �1 � �1

4��� �

1

5� � ��

2

3

0��� � ��

3

7� � 1� �� �

1

3��

��3

4� � ���

2

7

0� � �

3

5� � 1� � �

3

5��� ��

1

1

5

6��

��1 � �1

2� � �

2

3�� � ��

3

4� � �

1

2��� � �� �

1

3�� [� 2]

���1

8� � �

1

2�� � ��

1

2� � �

3

4��� � ��

4

9� � ��

4

3� � 2�� ��

1

4

5��

��� �5

4� � 2�� �

2

3� � �

1

6��� � �2 � �

2

3��� 1� � ��

1

3� � 2�� �

4

3� �� �

1

3��12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

1

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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RECUPEROESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

���4

5� � �

1

9

0� � �

5

3�� � �� �

1

4

5���2

� �� �4

3

7��2

� �1

4� � 2.

���4

5� � �

1

9

0� � �

5

3�� � �� �

1

4

5���2

� �� �4

3

7��2

� �1

4� � 2 �

� ���24 � …

30

� …�� � �� �

1

4

5���2

� �� �4

3

7��2

� �1

4� � 2 � Esegui le operazioni dentro le parentesi tonde.

� ���…

30�� � �� �

1

4

5���2

� �� �4

3

7��2

� �1

4� � 2 � Trasforma la divisione in moltiplicazione.

� ��…

8��2

� �� �4

3

7��2

� �1

4� � 2 �

� ��…

…��2

� �1

4� � 2 � Calcola la potenza ed esegui le operazioni.

� �…

64� � �

1

4� � 2 � �

… � 1

6

6

4

� …�� � �

1

6

0

4

3�.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

��5 � �2

3����9 � �

1

2���2

���5

2��2

����3

2��4

���3

2��2�� �

9

4�.

��5 � �2

3����9 � �

1

2���2

���5

2��2

����3

2��4

���3

2��2�� �

9

4� �

����…3

� 2�����…�

2

1���2

���5

2��2

���3

2��…

� �9

4� �

���…

3� � �

2��2

���5

2��2

� �9

4� � �

9

4� �

���…

3� � �

1

2

7��2

���5

2��2

���…

3��2

���5

2��2

���…

3� � �

5

2��2

���…

3��2

� …

Esegui la moltiplicazione e applica la proprietàdel prodotto di potenze con lo stesso esponente.

2

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

1 � ���3

2��3�2

� ����3

2��2�1

� �� 1 � �1

3��4� [2]

���5

3��5

� ��5

3��2�2

� ��1 � �2

3��2�6

� 1 ��1

9

6��

��� �1

2� � �

3

4� � �

1

3��2

� �� 1 � �3

4��2� ��

1

9��

���1

5� � �1 � �

3

5��2

� �1

2��3

� ��3

4��3� [1]

��1 � �1

6��2

� ��5

6��3

� ��1

1

3

2� � �

1

4��3� ��

2

3

5

6��

��� �1

2� � �

1

4��2

� �� 1 � �1

2��2�� 2 ��

1

4��

���1

5� � �

1

2��3

� ��3

8� � �

5

4� � �

1

2��3� � �1 � �

1

5�� ��

1

2

6

5��

��2

3��2

� ���4

3��3

� ��4

3���� �� �

3

4��3

� ��� �3

4��3�2

� �� 1 � �1

4���4 �� �

1

2��

���4

5� � 2�4

� �� �3

5���4� � �( � 2)�4 � �� �

1

2��3��3

� 1 [� 1]11

10

9

8

7

6

5

4

3

1

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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RECUPEROLE ESPRESSIONI LETTERALI

COMPLETA1Traduci in espressione la seguente frase:

«Dividi la differenza tra i �4

9� del quadrato di a e i �

1

2

6

5� del quadrato di b per il quadrato dei �

2

3� di a».

Calcola il valore dell’espressione per a � � �4

9� e b � �

5

4� .

quadrato di a: a 2 �4

9� del quadrato di a: �

4

9� … Traduci le parti della frase.

quadrato di b : b 2 �1

2

6

5� del quadrato di b : �

25� b 2

�2

3� di a: �

2

3� a quadrato di �

2

3� di a: ��

2

3� a�…

��4

9� a 2 � �

25� b2� � ��

2

3� a�…

Scrivi l’espressione.

��4

9� � �� �

9

4��2

� �…

25���

5

4��…� � ��

2

3� � �� �

9���2

� Sostituisci i valori di a e b.

� ��4

9� � �

16� � �

1

2

6

5� � �

25�� � �� �

2��2

� ��…

4� � 1� � �

4� �

� ��9 �

4

…�� � �

4� � Esegui la sottrazione tra frazioni dentro la parentesi quadra.

� �5

4� � �

4� � �

5

4� � �

9� � �

5

9�. Trasforma la divisione in moltiplicazione.

PROVA TU2Traduci in espressione la seguente frase:

«Aggiungi ai �2

3� di a il cubo della differenza tra �

1

3� di a e i �

5

7� di b. Eleva il risultato ottenuto al numero

intero � 1».

Calcola il valore dell’espressione per a � � �9

4� e b � � �

1

7

0�.

�2

3� di a: �

2

3� a ; �

1

3� di a: �

1� a; �

5

7� di b: �

7� b ;

Eleva al quadrato i valori dentro le parentesi tonde ed esegui lamoltiplicazione tra frazioni nella seconda parentesi quadra.

Esegui le moltiplicazioni semplificando in croce ed elevaal quadrato il valore dentro la seconda parentesi quadra.

2

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco.

«Dividi il quadrato di �3

4� di a per il quadrato di �

1

3

6� di b.» a � �

1

3� , b � �

4

3� . [1]

«Dividi il quadrato della differenza dei �2

3� di a e �

1

4� di b per il cubo del doppio di a.» a � � �

3

4� , b � 2 .

�� �2

8

7��

«Calcola il doppio del quadrato della differenza fra la metà di a e i �2

3� di b.» a � � �

1

2� , b � � �

3

4� . ��

1

8��

«Dividi la somma tra i �4

9� del quadrato di a e i �

3

2� del quadrato di b per il doppio di a.»

a � � 3, b � �1

2� . �� �

3

4

5

8��

«Sottrai alla somma di a e b la terza parte del cubo di a.» a � � �1

2� , b � �

3

2� . ��

2

2

5

4��7

6

5

4

3

differenza tra �1

3� di a e i �

5

7� di b: �

1

3� a � �

7� b ;

cubo della differenza: ��1

3� a � �

7� b�…

.

L’espressione cercata è ��2

3� a ���

1

3� a � �

7� b�…��…

Calcoliamo il valore dell’espressione per a � � �9

4� e b � � �

1

7

0� :

��2

3� �� �

4�����

1

3��� �

9

4��� �

5

7��� �

10���3��…

��� �…

2� ��� �

4� � �

1��3��…

��� �…

2� ���� …

4

� 2��3��…

��� �…

2� � �

1���…

���� …

64

� 1���…

��� �…

64���…

��� �…

64��…

� …

3

I NUMERI RAZIONALI Recupero

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«Dividi il cubo dei �3

4� di a per il cubo dei �

1

3

4� di b poi moltiplica per i �

4

7� di b elevati al numero intero � 2.»

a � � �2

9�, b � �

1

4�. �� �

1

7��

«Dividi il quadrato della somma di �1

5� di a e �

1

3� di b per la quarta potenza dei �

2

5� di b e poi sottrai i �

2

9� di a.»

a � �1

2�, b � �

3

2�. ��

8

3��

9

8

1

GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero

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Dati gli insiemi A � {x � x è una lettera della parola «contadino»} e B � {x � x è una lettera della parola «appen-dino»}, determina A � B e A � B. Dai la rappresentazione per elencazione e mediante l’opportuno diagram-ma di Eulero-Venn.

Dati gli insiemi A � {x, y, z}, B � {x, y, z, t, v, u} e C � {z, t, l, m}, determina:

(A � C) � (B � C) e (A � C) � (B � C).

Dati gli insiemi A � {x � x � N e x è divisore di 24} e B � {x � x � N e 2 � x � 12}, determina A � B e A � Bper elencazione.

Dati gli insiemi A � {x � x � Z e � 2 � x � 2} e B � {x � x � N e x � 5}, determina A � B e A � B per elenca-zione e mediante l’opportuno diagramma di Eulero-Venn.

6

5

4

3

RECUPEROL’INTERSEZIONE E L’UNIONE

COMPLETA1

Dati gli insiemi A � {x � x � N e x è divisore di 15} e B � {x � x � N e x è divisore di 20}, rappresentaper elencazione gli insiemi A � B e A � B.

A � {1, 3, ………}

B � {1, 2, 4, …………}

A � B � {1, …}

A � B � {1, 2, 3, 4, ………………}

PROVA TU2

Dati gli insiemi A � {x⏐x � N e 7 � x � 12} e B � {x⏐x � N, x è dispari e x � 10}, determina gli insie-mi A � B e A � B mediante la rappresentazione per elencazione.

A � {7, 8, …, …, …}

B � {1, 3, …, …, …}

A � B � {…, …}

A � B � {1, 3, 7, 8, …, …, …, …}.

Rappresenta A per elencazione.

Rappresenta B per elencazione.

Scrivi A � B: l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A sia a B.

Scrivi A�B, cioè l’insieme degli elementi che appartengono ad A, oppure a B.

1

GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero

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RECUPEROPROPOSIZIONI E TAVOLE DI VERITÀ

COMPLETA1Date le proposizioni

A: «7 è un numero dispari»,B: «4 è divisore di 15»,C: «5 è un numero pari»,

attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegnaa ciascuna il valore di verità: (A ∧ B) ∧ C; B → C�; (A ∨ B�) ∧ C.

A: vera; B: …; C: … .

(A ∧ B) ∧ C: «7 è un numero dispari … 4 è divisore di 15 e ………».

A B C A ∧ B (A ∧ B) ∧ C

V … … F …

B → C�: «… 4 è divisore di 15, …

… non è un numero pari».

B C C� B → C�

… F V …

(A ∨ B�) ∧ C: «7 è un numero pari …

4 …… divisore di 15 …

5 è un numero pari».

A B B� C A ∨ B� (A ∨ B�) ∧ C

V … V … V …

Attribuisci il valore di verità ad A, B, C.

Scrivi a parole (A ∧ B) ∧ C.

Compila la tavola di verità.

Compila la tavola di verità.

Compila la tavola di verità.

Scrivi a parole (A ∨ B�) ∧ C.

Scrivi a parole B → C�.

PROVA TU2Date le proposizioni

A: «6 è il doppio di 2»,B: «5 è divisore di 12»,C: «M.C.D. (6, 10) � 2»,

attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegnaa ciascuna il valore di verità:

(A ∨ B) ∧ C�; A → (B ∧ C); (A��∧��B�) ∨ C.

2

GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero

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Date le proposizioni A: «2 è un numero primo», B: «6 è divisore di 10», C: «10 è multiplo di 5», attribuisci aciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valo-re di verità; (A ∧ B�) ∨ C; (A� ∨ B) ∧ C; A → C�.

Date le proposizioni A: «l’erba è verde», B: «il pentagono ha 6 lati», C: «il cubo ha 6 facce», attribuisci a cia-scuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valoredi verità; (A� ∧ B�) → C; A� ∨ (B → C); A ∧ (B� ∨ C�).

Costruisci le tavole di verità delle seguenti proposizioni composte:

A → B�; A� ↔ B; A��→��B�.

5

4

3

A: falsa; B: ……; C: …… .

(A ∨ B) ∧ C�: «6 è il doppio di 2 ……… 5 è divisore di 12, ……… M.C.D.(6, 10) ……… è 2».

A B C A ∨ B C� (A ∨ B) ∧ C�

F … … F F …

A → (B ∧ C ): «……… 6 è il doppio di 2, allora 5 è divisore di 12 ……… M.C.D.(6, 10) è 2».

A B C B ∧ C A → (B ∧ C )

F … … F …

(A��∧��B�) ∨ C: «………… che 6 è il doppio di 2 ……… 5 è divisore di 12 ……… il M.C.D.(6, 10) è 2».

A B A ∧ B A��∧��B� C (A��∧��B�) ∨ C

F … F … V …

1

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON I MONOMI

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

�1

4� ab � ab3 � ��� �

1

3� a2b2�3

� �2

9� a4b2�.

�1

4� ab � ab3 � ��� �

1

3� a2b2�3

� �2

9� a4b2��

� �1

4� ab � ab3 � �� �

2

1

7� a…b… � �

2

9� a4b2�� Esegui la potenza e calcola il prodotto degli esponenti.

� �1

4� a…b… � �� �

2

1

7� � �

2

9� a…b…�� Esegui la moltiplicazione, sommando gli esponenti, e la

divisione, calcolando la differenza degli esponenti.

� �1

4� a…b… � �� �

…� a2b4�� Semplifica in croce nella parentesi quadra.

� �1

4� a2b4 � �

…� a2b4 � Elimina la parentesi quadra.

��…

1

2

…� a2b4 � �

12� a2b4. Somma i termini simili.

PROVA TU2Calcola la seguente somma:

x 2 � (� x) � 3ab � (� 4x 2 ) � 5ab � x.

x 2 � (� x) � 3ab � (� 4x 2) � 5ab � x �

� x 2 � … � 3ab … 4x2 � 5ab � x �

� x 2 � … � 3ab … 4x2 � 5ab � x �

� (1 � …)x 2 � (� 3 � …) … �

� � …x 2 � … ab.

2

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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PROVA TU3Semplifica la seguente espressione:

(� 2ab2 )2 � 5a 6b � (� 10a 6b3).

(� 2ab 2)2 � 5a 6b � (� 10a 6b 3) �

� � … a 2b … � 5a 6b � (� 10a 6b 3) �

� … … a 2�…b …�1 � (� 10a 6b 3) �

� � … a …b … � (� 10a 6b 3) �

� � … � �1

1

0� a …�6 b …�… �

� � … a 2b ….

PROVA TU4Semplifica la seguente espressione:

�� �1

3� a 2b4�2

� �� �2

3� ab�3

���1

2� ab2� � (� 3b)3.

�� �1

3� a 2b 4�2

� �� �2

3� ab�3

���1

2� ab 2� � (� 3b)3 �

� � �1

9� a …b … � �� �

27� a …b …� ���

1

2� ab 2� � (� …b …) �

� �1

9� a …b … � … a…b … �

� ��1

9� � …�a…b … �

� �…

9� a…b ….

Semplifica le seguenti espressioni.

(� 3a2b2)2 � �1

2� ab(� 3ab)3 �� �

2

9� a4b4�

a2b2 � �3

5� a2b�� �

2

3� b � b � �

7

6� b� ��

1

2� a2b2�

�3ab � �5

6� ab � �

1

3� ab� � (25a) � �

1

2� b �� �

1

3� b�

(� 2a2b2 � 5a2b2 � 6a2b2) � �� �1

2� a2b � �

1

6� a2b� [9b]

(� 2b)4 � b2 � �7

4� a2b4 � �� �

1

2� ab�2

[9b2]

4ab � (� 4ab) � (� 2a2b)3 � (� 2ab)2 � 1 [� 2a4b]

�� �2

3� a2�2

� �� �2

3� a�3

� �4

3� a3b2 � �� �

1

3� ab�2 ��

2

2

1� a�11

10

9

8

7

6

5

3

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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�3

4� ax 2��

5

2� a � �

7

6� a� � �a2x � �

2

5� a2x��� �

2

3� x � x � �

7

6� x� ��

3

2� a 2x 2�

�� �4

3� a 4y 4 � �

1

2� a 4y 4� � ��

4

3� ay � �

1

4� ay� � �a 2y � �

1

3� a 2y� �� �

1

2

5

6� ay 2�13

12

1

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON I POLINOMI

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

x4 � ��1

3� x2 � y�(x2 � 3y).

x4 � ��1

3� x2 � y�(x2 � 3y) �

� x4 � ��…

…� x4 � x…y… � x2y � …y…�� Esegui la moltiplicazione.

� x4 � ��…

…� x4 � …y2�� Somma i monomi simili.

� x4 � �…

…� x4 … …y2 � Elimina le parentesi tonde.

� �2

3� x… � …y2. Somma i monomi simili.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

(2b � 3b2 � 1) � (3b � 5b2 � 1) � 2b(b � 1).

(2b � 3b 2 � 1) � (3b � 5b 2 � 1) � 2b(b � 1) �

� 2b � … � 1 � 3b … 5b 2 … 1 � 2b… � … �

� � … b � …

Semplifica le seguenti espressioni.

(a � 2b2) � (4b2 � 2a) � 2b(4 � 3b) [� 2a � 8b]

2a(a � b) � 2b(a � 3b) � 6b2 [2a2]

2b[a(a � b) � b(a � b) � a2 � b2] [4ab2]

ab�a � �1

4� b�� �

1

2� ab�a � �

1

2� b� ��

3

2� a2b�6

5

4

3�2

3� a2 � 2a�3b � a � �

a3� � �

b2�� [2a2 � 5ab]

[3a2 � (4a � 1)(a � 1)] � 2a(3a � 1) [a2 � a � 1]

(y2 � 3) � (5y2 � 1) � 2y (2y � 2) [� 4y � 4]

(6x � 2x 2 � 1) � (2x � 1)(x � 1) [3x]10

9

8

7

1

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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RECUPEROI PRODOTTI NOTEVOLI

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

(b � 2)(b � 2) � (b � 2)2.

(b � 2)(b � 2) � (b � 2)2 �

� (b… � …) � (b… � 4b � …) � Calcola il prodotto notevole e sviluppa il quadrato.

� …� � 4 � b…� � 4b � … � Togli le parentesi cambiando i segni ai termini del secondo polinomio.

� � … � 4 … . Somma i termini simili o elimina gli opposti.

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

(x � a)(x � a) � (x � 2a)2.

(x � a)(x � a) � (x � 2a)2 �

� (x … � a…) � (x 2 � … � 4a2) �

� x …� � a… � x 2� � … � … �

� � … a 2 � …

PROVA TU3Semplifica la seguente espressione:

(2t � 1)3 � (t 2 � 2t � 1)2.

(2t � 1)3 � (t 2 � 2t � 1)2 �

� (8t 3 � 3 � … � 1 � 3 � 2t � 1 � 1) � [t 4 � 4t 2 � … � 2 � t 2 � … � 2 � t 2 � (…) � 2 � … � ( � 1)] �

� (8t 3 � … t 2 � 6t � …) � (t 4 � 4t 2 � … � 4t … � 2t 2 � 4t) �

� 8t3 � … t 2 � 6t � …�� t 4 � 4t 2 � …�� 4t … … 2t 2 … 4t �

� … t 3 � t 4 � … t 2 � 10t.

Semplifica le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli.

(a � 2b)(a � 2b) [a2 � 4b2]

(a � 2)(a � 2) � 4 [a2]

��1

2� a � 3b���

1

2� a � 3b�� 3b2 ��

1

4� a2 � 6b2�6

5

4

2

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(3a � 2b)2 [9a2 � 12ab � 4b2]

(a � 2b)2 � 4ab [a2 � 4b2]

��1

2� a � b�2

� 2ab ��1

4� a2 � 3ab � b2�

(a � 3)(a � 3) � (a � 3)2 [� 6a � 18]

(2a � 1)2 � (2a � 2)(2a � 2) � 5 [4a]

(a � 2b2 � 3)2 [a2 � 4b2 � 9 � 4ab2 � 6a � 12b2]

�a2 � �1

2� ab � b2�2 �a4 � �

1

4� a2b2 � b4 � a3b � 2a2b2 � ab3�

��1

2� a � b � �

1

3��2 ��

1

4� a2 � b2 � �

1

9� � ab � �

1

3� a � �

2

3� b�

�2a � �1

2��3 �8a3 � �

1

8� � 6a2 � �

3

2� a�

(3a � 2b)3 [27a3 � 8b3 � 54a2b � 36ab2]

��1

2� a � �

2

3� b�3 ��

1

8� a3 � �

2

8

7� b3 � �

1

2� a2b � �

2

3� ab2�

(a � b)3 � (a � b)3 � 6ab2 [2a3]

(a2 � a � 3)2 � (a2 � a � 3)2 [� 4a3 � 12a2]

(t � 5)2 � (5 � 2t)(5 � 2t) � 10t [� 3t 2 � 50]

(2x � 1)2 � (x � 1)(x � 1) � (x � 2)(x � 2) [4x 2 � 4x � 4]

(a2 � a � 1)2 � (a � 1)3 � a3(a � 1) [5a � 4a2]

(x � 2)3 � (x � 3 � x 2)2 � (x3 � x4 � 1) [6x � x 2]23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

1

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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RECUPEROLA DIVISIONE FRA POLINOMICON LA REGOLA DI RUFFINI

COMPLETA1Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini:

(2b3 � 4b2 � 6b � 2) � (b � 1).

(2b3 � 4b2 � 6b � 2) � (b � 1)

� 2 � 4 � … …

� …

� 2 � 4 � … …

� … � 2 � … � …

� 2 … � 12 � 10

Q � � 2b… � … b � 12, La riga in basso rappresenta i coefficienti del quoziente Q.

R � … . Il numero in basso a destra rappresenta il resto R della divisione.

PROVA TU2Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini:

(2x3 � 5x 2 � 6x � 1) � (x � 2).

(2x3 � 5x 2 � 6x � 1) � (x � 2)

Q � 2x… � 9x � …;

R � … .

Esegui le seguenti divisioni di polinomi, applicando la regola di Ruffini.

(3a2 � 2a � 5) � (a � 3) [Q � 3a � 7, R � 26]

(t 4 � 2t 3 � t � 1) � (t � 1) [Q � t 3 � t 2 � t, R � 1]

(3x2 � 5x � 7) � (x � 3) [Q � 3x � 4, R � 5]5

4

3

Predisponi lo schema inserendo in alto solo icoefficienti del polinomio 2b3 � 4b2 � 6b � 2,dopo aver notato che questo è completo e ordi-nato. Separa il termine noto. In basso a sinistrascrivi il termine noto di b � 1 cambiato di segno.

Abbassa il primo termine, cioè 2, e moltiplicaloper � 1. Scrivi il risultato sotto al � 4. Poi calco-la la somma algebrica e scrivila in basso. Ripetiil procedimento sempre moltiplicando per � 1.

� 2 � 5 … � 1

� … … 18 …

� 2 � 9 … 25

2

I MONOMI E I POLINOMI Recupero

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(2x3 � 5x2 � 3x � 1) � (x � 2) [Q � 2x2 � x � 1, R � 3]

(2x4 � 5x3 � 2) � (x � 1) [Q � 2x3 � 3x2 � 3x � 3, R � � 1]

(2a4 � 6a2 � 2a � 1) � (a � 2) [Q � 2a3 � 4a2 � 2a � 2, R � 3]

(3b4 � 7b2 � 3b � 1) � (b � 2) [Q � 3b3 � 6b2 � 5b � 7, R � 13]

�c3 � c � �1

2�� � (c � 1) �Q � c2 � c � 2, R � �

3

2��10

9

8

7

6

1

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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RECUPEROLA SCOMPOSIZIONE MEDIANTERACCOGLIMENTO E PRODOTTI NOTEVOLI

COMPLETA1Scomponi il seguente polinomio:

b3 � 3b2 � 4b � 12.

b3 � 3b2 � 4b � 12 �

� b…(… � 3) � 4(… � …) � Raccogli parzialmente.

� (… � …)(… � 4) � Raccogli il fattore comune fra parentesi.

� (… � …)(… � 2)(… � 2). Utilizza la differenza di quadrati.

PROVA TU2Scomponi il seguente polinomio, raccogliendo a fattor comune:

3a3b � 27ab.

3a3b � 27ab �

� 3a … (a… � …) �

� 3a … (a � …)(a � …).

COMPLETA la seguente tabella.

POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE

x2 � 9 (x � …)(x � …) x2 � y 2 � 1 � 2xy � 2x � 2y (x … y � 1)…

a2 � 4a � 4 (a … 2)… y 3 � 8 (y � …)(y 2 � … � 4)

x 3 � 3x 2 � 3x � 1 (x � …)… x 2 � 5x � 6 (x � …)(x � …)

COMPLETA la seguente tabella.

POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE

9x2 � 4 …… 1 � 8a3 (1 � 2a)……………

8 � 12b � 6b2 � b3 (………)3 x 2 � 4xy � z 2 � 4y2 � 2xz � 4yz …………

4

3

2

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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�4

9� a2 � b2 ���

2

3� a � b���

2

3� a � b��

x 2 � 10x � 25 [(x � 5)2]

9a2 � 12ab � 4b2 [(3a � 2b)2]

a4 � 2a2 � 1 [(a2 � 1)2]

x3 � �3

2� x2 � �

3

4� x � �

1

8� ��x � �

1

2��3�

�1

8� x3 � �

2

1

7� y3

���1

2� x � �

1

3� y���

1

4� x2 � �

1

6� xy � �

1

9� y2��

4x2 � 4xy � 2ay � y2 � a2 � 4xa [(2x � y � a)2]

a2 � 36 [(a � 6)(a � 6)]

�2

1

5� a2 � �

4

4

9� b2 ���

1

5� a � �

2

7� b���

1

5� a � �

2

7� b��

�1

4� x2 � xb � b2 ���

1

2� x � b�2�15

14

13

12

11

10

9

8

7

6 4a2 � 2ab � �1

4� b2 ��2a � �

1

2� b�2�

4x2 � �4

3� xy2 � �

1

9� y4 ��2x � �

1

3� y2�2�

a3 � �2

8

7� ��a � �

2

3���a2 � �

2

3� a � �

4

9���

� x3 � 1 [(� x � 1)(x2 � x � 1)]

3a2 � 6a � 18 [3(a2 � 2a � 6)]

2x2 � xy � 12x � 6y [(2x � y)(x � 6)]

12a3 � 12a2 � 3a [3a(2a � 1)2]

a3 � a2b � 4a2 � 4ab � 4a � 4b [(a � b)(a � 2)2]

3a3y � 3b3y [3y(a � b)(a2 � ab � b2)]

2a3 � 4a2b � 6a2b2 [2a2(a � 2b � 3b2)]

2a � b � 4a2 � 2ab [(1 � 2a)(2a � b)]26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

COMPLETA la seguente tabella.

POLINOMIO SCOMPOSIZIONE

a2 � 6a � 9 (a …3)…

x 3 � 3x 2 � 3x � 1 (x … 1)…

a2 � b2 � 1 � 2ab � 2a � 2b (a … b … 1)…

x 3 � 27 (x � … )(x 2 … 3x � …)

x 2 � 3x � 2 (x � … )(x � … )

x 2 � x � 6 (x � … )(x � …)

Scomponi in fattori i seguenti polinomi.

5

1

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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RECUPEROLA SCOMPOSIZIONE MEDIANTEIL TEOREMA E LA REGOLA DI RUFFINI

COMPLETA1Scomponi in fattori il seguente polinomio, applicando la regola di Ruffini:

x3 � x2 � x � 3.

P(x) � x3 � x 2 � x � 3.P(1) � (1)3 � (1)2 � (1) � 3 � 0. Cerca tra i divisori di � 3 quello che annulla il polinomio

quando lo sostituisci alla x.

1 1 … � 3

1 … 2 3

1 2 … …

x3 � x 2 � x � 3 � (x � 1)(x… � 2 … � …). Scrivi il polinomio x 3 � x 2 � x � 3 come prodottodi (x � 1) e del quoziente della divisione.

PROVA TU2Scomponi in fattori il seguente polinomio, applicando la regola di Ruffini:

P(a) � a3 � a2 � 3a � 3.

P(a) � a3 � a2 � 3a � 3P(1) � (1)3 � (1)2 � 3(…) � 3 � … � 0P(� 1) � (� 1)3 � (…)… � 3(…) � 3 � …

1 … 3 …

� 1 � 1 0 …

1 … … 0

a3 � a 2 � 3a � 3 � (a � …)(1a 2 � … a � …) � (a � …)(a 2 � …).

Il polinomio è divisibile per (x � 1). Calcola il quoziente(x 3 � x 2 � x � 3) � (x � 1) mediante la regola di Ruffini.

Scomponi in fattori i seguenti polinomi, applicando la regola di Ruffini.

x 3 � 2x 2 � 3x � 6 [(x � 2)(x 2 � 3)]

a3 � 2a2 � 2a � 1 [(a � 1)(a2 � a � 1)]

x3 � 4x2 � 5 [(x � 1)(x2 � 5x � 5)]5

4

3 x2 � 7x � 12 [(x � 3)(x � 4)]

x3 � x2 � 2x � 8 [(x � 2)(x2 � x � 4)]

x4 � 8x � x3 � 8 [(x � 1)(x � 2)(x2 � 2x � 4)]8

7

6

1

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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RECUPEROLA SEMPLIFICAZIONE DELLE FRAZIONI ALGEBRICHE

COMPLETA1Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche:

a) ; b) .

a) �a2

abb

4

6

c3� �

C.E.: a � 0 ∧ … ∧ … Determina le condizioni di esistenza ponendo ogni fattore a denominatore � 0.

� ��…

b…

c3� Dividi numeratore e denominatore per i fattori comuni.

b)�x3 �

x3

3

x2

2

x2

3

xx� 1

��

��x(

(

2

x…

)3

)���

x(

(

)

)3

2

�� Scomponi in fattori numeratore e denominatore.

C.E.: x � … � 0 → x � … Determina le C.E.

� ��…

� 1� Dividi numeratore e denominatore per il fattore comune.

x(… � 1)2

��(… � 1)3\

a\b6/…

�a2\ b4c3

x3 � 2x2 � x��x3 � 3x2 � 3x � 1

ab6

�a2b4c3

PROVA TU2Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche:

a) �x

x4y

2y3z

5

2� ; b) .

a) �x

x4y

2y3z

5

2� �

C.E.: x � 0 ∧ … ∧ …

��x

x4…

2yy

5

3

z 2�� �x

y…

z 2� .

b) �

� �(2a � …)(… � 9b 2 � …)���

(4a 2 � …)…

8a 3 � 27b 3

���16a 4 � 72a 2b 2 � 81b 4

8a 3 � 27b3

���16a 4 � 72a 2b2 � 81b4

� �

C.E.: (2a � … � 0 → a � …) ∧ �… � 3b � 0 →→ … � �

3

2� b�

� �

� .… � 9b 2 � …

���(2a � …)… � (… � 3b)

(2a � …)(… � 9b 2 � …)���

(2a � …)… � (… � 3b)2…

(2a � …)(… � 9b 2 � …)���

(2a � …)… � (… � 3b)…

2

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche.

�3

1

5

0

aa

2

xx

2

y�; �

2ay2

y2by

� . �a � 0 ∧ x � 0, �7

2

axy

� ; y � 0, a � b��8x

x

2 �

8

aa2

� ; �a2 �

2a4

a �

4

4� . �x � a, 8(x � a); a � � 2, �

a �

2

2��

�a2 �

a3

2

a8

� 4� ; �

axx�2 �

2x2

x �

a �

1

2� . �a � 2; x � � 1, �

ax �

1

2��

�a2b

a�

2b9

b �

9b6ab

� ; �aa

2

2

1

4

6

ayy

2� . �b � 0 ∧ a � � 3, �aa

3

3� ; a � � 4y, �

a �

a4y��

�x2

x�2 �

12

7

xx

3

6

6� ; �

2b2

b�

3 �

6b2

7

18� . �x � 1 ∧ x � 6, �

xx

6

1� ; b � 3, �

b �

2

3��7

6

5

4

3

1

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:

�x � 1 � �2

xx�

1

2�� � ��x 2

x� x�� .

�x � 1 � �2

xx�

1

2�� � ��x 2

x� x���

� ��x…

� 1� � �

2

xx�

1

2�� ��

x(…

x� 1)�� Scomponi il denominatore x2 � x e scrivi x � 1 come frazione.

Campo di esistenza: Determina le C.E. delle frazioni che compaiono.

x � 1 � 0 → x � …; x � 0; x � 1 � 0 → x � …

� � � ��x (…

x� 1)��

��x2 � …

x�

2

1

x � …���

x(…

x� 1)�� Calcola i prodotti indicati ed elimina la parentesi tonda.

��x2 �

x2

x �

1

…���

x(…

x� 1)�� Somma i termini simili nella prima frazione.

��(x

x�

1

)…

���x(…

x� 1)�� �

xx�

1�. Scomponi x 2 � 2x � 1 e semplifica i numeratori

con i denominatori.

(x � 1)(…) � 2x � …���

x � 1

PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:

�a �

a1

� � �a �

1

1� � �

a2

2

a1

� .

�a �

a1

� � �a �

1

1� ��

a2

2

a1

��

� �a �

a1

� � �a �

1

1� ��

(a � …

2

)

a(a � …)��

C.E.:

a � 1 � … → a � …a � … � 0 → a � …

� �a(a …) � 1(a … 1) � 2a���

(a � 1)(… � 1)

� �

��(a

a�

2�

1)

2

(

a…

1

1)��

� �

��a…

1� .

(a � …)…���(a � 1)(… � 1)

a2 …� a � …� � 1 � 2a���

(a � 1)(… � 1)

2

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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PROVA TU3Semplifica la seguente espressione:

�x � 2 � �x �

5

2�� � �

xx

2

3

4� .

�x � 2 � �x �

5

2�� � �

xx

2

3

4� �

� ��x �

1

2� � �

x �

5

2�� ��

(x � …

x �

)(x3

� …)��

C.E.:

x � … � 0 → x � …x � 3 � 0 → x � …

� � � ��(x � …

x)

(x3

� …)��

��x 2 �

x�

2

� 5���

(x � …

x)

(x3

� …)��

��x

x

2

2

…���

(x � …

x)

(x3

� …)��

� � �

� (x � …)(x � …).

(x � …)(x � …)��

x � 3

(x � …)(x � …)��

x � 2

(x � 2)(x � …) � 5���

x � 2

PROVA TU4Semplifica la seguente espressione:

��4x2

y�

2 �

4x1

� 1��2

� (2x2 � x)�2 � (y3 � 1)3 .

��4x2

y�

2 �

4x1

� 1��2

� (2x2 � x)�2 � (y3 � 1)3 �

��(y �

(2x1)

(y1

)…

…)��

��(2x 2 �

1

…)…�� [(y � …)(y 2 � y � 1)]… �

� ��(y �

(2x1)

(y1

)…

…)��

��x …(2x

1

� 1)…�� (y � …)… (y 2 � y � 1)… �

C.E.: y � � … ∧ x � … ∧ x � �…

1�

� ��x …(2x

1

� 1)…�� (y � …)…… (y 2 � y � 1)… �

�(2x � 1)… (y � 1)(y 2 � y � 1)…

����x …(y � …)…

(2x � 1)……

���(y � 1)… (y � …)…

3

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero

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Semplifica le seguenti espressioni.

�4

1

b� � �

3

2

b� � �

12

1

b� �� �

3

1

b� ; b � 0�

�b

a�

b2

1� � �

aa�2b

1� ��aa

�2b2

b� ; a � 0 ∧ b � 0�

�2a

12b� � �

3a2

b2� ��3b6a

�2b

42

a� ; a � 0 ∧ b � 0�

x � �2

xx�

1

1� ��x

2 �

x �

x �

1

1� ; x � 1�

�a �

a1

� � �a �

2

2� � �

a �

1

1� ��a �

a2

� ; a � 2 ∧ a � 1��xx

2

1� � �

xx

1

2� � �

x �

1

1� ��x �

3

2� ; x �� 2 ∧ x �� 1�

��2

1

a2� � �2

1

b2�� � ��a1� � �

b1�� ��b2

aba

� ; a � 0 ∧ b � 0 ∧ a � � b��a � 1 � �

2

a�

2

1

a�� � �

2

1

a� ��a2

a1

� ; a � 1 ∧ a � 0��a � �

ba

2

�� ��1 � �ab�� [a � b; a � 0 ∧ a � b]

�1 � �4 �

aa

�� � ��a2� � 1� ��4

2

aa

� ; a � 0 ∧ a � 4 ∧ a � 2���aa

2

4

4� � a� � �

a1 �

a4

� [4; a � � 4 ∧ a � 1]

��a1� � �

a �

1

1�� � �1 � �

2aa� 1�� ��

a1� ; a � 0 ∧ a � � 1 ∧ a � � �

1

2��

�a � �a �

a1

�� � �1 � �a

2

a1

�� � ��a1

2� � �a2� � 1� [1 � a; a � � 1 ∧ a � 0]

��4

1

x 2� � �4

1

y 2�� � ��2

1

x� � �

2

1

y�� � 4xy [2(y � x); x � 0 ∧ y � 0 ∧ x � � y]18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

1

LE EQUAZIONI LINEARI Recupero

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RECUPEROLE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE

COMPLETA1Risolvi la seguente equazione numerica intera:

�3(x

4

� 3)�� �

3

2� (x � 2) � �

6 �

4

3x� .

�3x �

4

…�� �

3

2� x � … � �

6 �

4

3x� Esegui le moltiplicazioni.

m.c.m. (4, 2) � … Calcola il m.c.m. tra i denominatori.

… ��3x �

4

…�� �

3

2� x � …�� ��6 �

4

3x��… Elimina i denominatori moltiplicando

i due membri dell’equazione per il m.c.m.

3x � … � … � … � 6 � 3x Applica la regola del trasporto.

3x � … � 3x � 6 � … � … Riduci i termini simili.

… x � …

equazione … Determina la soluzione.

PROVA TU2Risolvi la seguente equazione numerica intera:

x �1 � �3

x��� (3x � 2)(3x � 2) � (3x � 1)2 � �

1

3� x (2 � x).

x � �x3

� � 9x … � … � 9x … � 6x � … � �2

3� x � �

1

3� x …

x � … x � �2

3� x � � … � …

3 ��3x � …

3

x � 2x���

� …

3

� …�� 3

� ��

x� � �

…�

x � � �…

…� .

2

LE EQUAZIONI LINEARI Recupero

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Risolvi le seguenti equazioni.

3(x � 2) � 9 � 7(x � 3) [x � 6]

�1

2�(x � 2) � 3(x � 1) � 2 � x [x � 0]

�(x �

2

3)���

(2 �

4

x)�� �

2 �

4

x� [x � 5]

2(3x � 2) � 2(4 � x) � 4(2x � 3) [impossibile]

(x � 1)(x � 1) � (x � 1)2 [x � � 1]

3 � (x � 2)(x � 2) � (x � 2)2 � 6x �x � � �5

2��

4(3 � x) � 4x � 4(3 � 2x) [indeterminata]

[x(x � 1) � (x � 2)2] � 2(x � 1) [x � 2]

(x � 2)(x � 1) � 2x (x � 2) � 1 � x 2 �x � �3

5��

�1

4� [x (x � 1) � (x � 2)2] � �

1

3� (x � 2) [x � 4]12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

1

LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero

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RECUPEROLE OPERAZIONI CON I SEGMENTI E CON GLI ANGOLI

COMPLETA1

Dati i segmenti AB, CD, EF in figura, disegna il segmento GH � �1

2� AB � �

2

3� CD � EF.

Disegna �1

2� AB.

Disegna �2

3� CD.

Disegna i due segmenti consecutivi �1

2� AB � �

2

3� CD

e ottieni il segmento LH.

Sottrai da LH il segmento EF e ottieni GH.

PROVA TU2

Dati i segmenti AB, CD, EF in figura, disegna il segmento MN � AB � �1

2� CD � �

1

3� EF.

A B C D E F

A B......

......

C D

L H

L H

......

E F

C D E FA B

A B

C D

E F

M......

M............

2

LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero

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Dati gli angoli � e � in figura, disegna l’angolo ottenuto dalla seguente espressione:

a) � � 3� � �1

2� �;

b) � �1

3� � � 2�.

Disegna due segmenti AB e CD.Disegna poi, se possibile:a) CD � AB, CD � AB;

b) �1

5� AB � �

1

3� CD;

c) �2

3� CD � �

3

7� AB.

Disegna un angolo acuto � e uno ottuso �.Disegna poi, se possibile:a) � � �, � � �;

b) �1

3� � � �

1

2� �;

c) �2

9� � � �

3

4� �.

Disegna due angoli � e �, con � � R^

.Disegna poi, se possibile:a) � � 3�;

b) 2� � �1

2� �;

c) � � 2�.

Dati gli angoli � � �2

3� R

^e � � �

3

4� P

^, allora:

a) � � � � … P^

;b) � � � � … R

^.

Disegna gli angoli.

Dati gli angoli �, � � �4

5� � e � � �

4

3� �, allora:

a) � � � � … �;b) � � � � … �.Disegna tre angoli che verifichino le relazioni precedenti.

8

7

6

5

4

3

α β

1

LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero

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RECUPEROI TEOREMI SUI SEGMENTI E SUGLI ANGOLI

COMPLETA1Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che AB sia il doppio di BC. Detto M il punto medio diAB, dimostra che AM è congruente a un terzo di AC.

Disegna i due segmenti, tenendo presenteche AB è il doppio di BC.

Traccia il punto medio di AB e indicalo con M.

Ipotesi 1. AB e BC adiacenti; Scrivi l’ipotesi.2. AB � 2 …;3. AM � … .

Tesi AM � �…

1� … . Scrivi la tesi.

Dimostrazione Scrivi la dimostrazione.AB � … � AC Utilizza l’ipotesi 1.AM � … Scrivi l’ipotesi 3.

da cui AB � … AM.

AB � 2 … Utilizza l’ipotesi 2.2BC � 2 … Applica la proprietà transitiva della congruenza.BC � … . Se sono congruenti i doppi di due segmenti,

sono congruenti anche i segmenti.Quindi

AM � … � … Sfrutta il risultato ottenuto insieme all’ipotesi 3.AM � MB � BC � … Somma i segmenti congruenti fra loro.

da cui

AM � BM � �…

1� … .

PROVA TU2Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che BC sia un quarto di AB. Detto M il punto me-

dio di AB, dimostra che AM è congruente a �2

5� AC.

Ipotesi 1. AB e BC adiacenti

2. BC � �1

4� …

3. AM � …

Tesi AM � �…

5� …

A B C

A B C......

A B C

...

A B C

2

LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero

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Considera due segmenti congruenti e adiacenti AB e BC. Indica con M il punto medio di AB. Dimostra che

MC � �1

2� (BC � AC).

Disegna un segmento BC e sul suo prolungamento dalla parte di C scegli il punto E tale che CE � �1

2� BC. Di-

mostra che BE � �3

2� BC.

Disegna due segmenti adiacenti AB e BC. Indica con M il punto medio di AB, con N il punto medio di BC econ O il punto medio di AC. Dimostra che MN � AO.

Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto O. Traccia per O le bisettrici degli angoli. Dimostra chetali bisettrici formano quattro angoli retti.

Gli angoli � e � sono adiacenti; � è congruente ad � e consecutivo di �. Dimostra che � e � sono opposti alvertice.

8

7

6

5

4

PROVA TU3

Sono dati tre angoli consecutivi aO^

b, bO^

c, cO^

d tali che aO^

c � bO^

d. Dimostra che aO^

b � cO^

d.

Ipotesi 1. aO^

b, bO^

c, … angoli ……;2. aO

^c � ….

Tesi aO^

b � ….

DimostrazioneaO

^c � … per ipotesi …;

aO^

c � cO^

b � bO^

d � cO^

b perché ……;aO

^b � ….

a

c

....

....

O

DimostrazioneAB � … � AC.

AM � �…

1� AB,

da cui AB � … AM.

BC � �…

1� AB,

da cui AB � … BC.

Pertanto

… AM � … BC,

da cui

AM � 2 … .

Quindi

AM � MB � …

AM � MB � BC � …,

da cui

2BC � … BC � BC � AC,

cioè

… BC � AC → BC � �…

1� AC.

Poiché AM � 2BC, allora

AM � �…

2� AC.

1

I TRIANGOLI Recupero

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RECUPEROI CRITERI DI CONGRUENZA

COMPLETA1

È dato il triangolo ABC di base AB. Prolunga AB, dalla parte di B, di un segmento BE � AB e prolunga CB,sempre dalla parte di B, di un segmento BF � CB. Dimostra che i triangoli ABF e CBE sono congruenti.

Ipotesi 1. ABC ……; Scrivi le ipotesi.2. BE � …;3. BF � ….

Tesi … � CBE. Scrivi la tesi.

DimostrazioneI triangoli ABF e …… hanno: Osserva gli elementi congruenti nei due triangoli ABF e CBE.

● AB � … per ……………; Utilizza l’ipotesi 2.● CB � … per ……………; Utilizza l’ipotesi 3.● AB

^F � … perché ………. Individua gli angoli opposti al vertice.

I triangoli sono ……… per il … criterio di congruenza. Applica uno dei criteri di congruenza.

A B

F

C

E

PROVA TU2

Dato un triangolo ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di B, di un segmento BD � BC e il lato CB di unsegmento BE � AB. Dimostra che i triangoli ABC e BDE sono congruenti.

Ipotesi 1. ABC ……;2. AB � …;3. CB � ….

Tesi ABC � ….

DimostrazioneI triangoli ABC e … hanno:

AB � … per …………;BC � … per …………;AB

^C � … perché ………….

I triangoli sono ……… per il … criterio di congruenza.

AB

C

D

E

2

I TRIANGOLI Recupero

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Sui lati a e b dell’angolo aO^

b prendi rispettivamente due punti A e B tali che OA � OB e successivamente al-tri due punti C e D (esterni ai segmenti OA e OB) tali che AC � BD. Unisci D con A e C con B e dimostrache il triangolo CBO è congruente al triangolo ADO.

Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto E. Sulla retta a traccia un segmento AB in modo che Esia il suo punto medio e, analogamente, sulla retta b traccia un segmento CD � AB in modo che E sia ancorail suo punto medio. Unisci A con C e B con D. Di che natura sono i due triangoli ACE e BDE? Sono con-gruenti? Motiva la risposta.

Date due semirette r e s di origine O, disegna la bisettrice dell’angolo di vertice O, da esse formato. Prendi ri-spettivamente su r e s due punti A e B tali che AO � OB e uniscili con un punto C della bisettrice. Dimostrache i triangoli BOC e AOC sono congruenti.

Disegna un triangolo ABC e le mediane AM e CN. Prolunga CB di un segmento BE � BM e prolunga AB diun segmento BL � AB. Indica con F il punto medio di BL. Dimostra che i triangoli NML e AFE sono con-gruenti.

Due triangoli ABC e A′BC sono situati da parti opposte del lato comune BC, e il lato BC è bisettrice degli angoliAB

^A′ e AC

^A′. Dimostra che AB è congruente ad A′B.

7

6

5

4

3