Transcript of Ragionare per assurdo Liceo classico statale DAdda di Varallo Sesia 11 dicembre 2006.
- Slide 1
- Ragionare per assurdo Liceo classico statale DAdda di Varallo
Sesia 11 dicembre 2006
- Slide 2
- Cominciamo con Lucrezio Il brano che leggeremo tratto da:
Lucrezio (De rerum nat., I, 238-249) Copia del De rerum natura
eseguita da Girolamo di Matteo de Tauris per Sisto V, 1483. Roma,
Biblioteca Vaticana
- Slide 3
- Tesi T da dimostrare Huc accedit uti quidque in sua corpora
rursum dissolvat natura neque ad nihilum interemat res.
Dimostrazione Denique res omnis eadem vis causaque vulgo
conficeret, nisi materies aeterna teneret, inter se nexus minus aut
magis indupedita. Tactus enim leti satis esset causa profecto,
quippe ubi nulla forent aeterno corpore, quorum contextum vis
deberet dissolvere quaeque. At nunc, inter se quia nexus
principiorum dissimiles constant aeternaque materies est, incolumi
remanent res corpore, dum satis acris vis obeat pro textura
cuiusque reperta. Haud igitur redit ad nilum res ulla, sed omnes
discidio redeunt in corpora materiai.
- Slide 4
- Abbiamo letto unargomentazione che procede per reductio ad
absurdum. La sua struttura indicata qui a destra. I passi
dellargomentazione sono: lantitesi T la proposizione Q 1 la
proposizione Q 2 la proposizione Q 3 lipotesi (data per vera)
H
- Slide 5
- Ma ecco esattamente le parole di Lucrezio.
- Slide 6
- Passiamo adesso ad Aristotele I pitagorici scoprirono,
nonostante il loro motto fosse Tutto numero, che esistevano
grandezze radicalmente diverse dai numeri ordinari. Per esempio, la
lunghezza della diagonale di un quadrato non si pu esprimere come
multiplo della lunghezza del lato, e nemmeno come sua frazione di
numeri interi. In questo consiste lo scandalo degli irrazionali, la
cui esistenza fu tenuta segreta dalla setta dei pitagorici. Il
segreto fu poi svelato da Ippaso di Metaponto che, proprio per
questo tradimento, fu messo al bando dalla comunit. Anzi, gli
innalzarono un monumento funebre, perch fosse chiaro che per loro
Ippaso era morto. Il segreto non tarda a diffondersi, cos
Aristotele negli Analytica priora non solo lo riporta, ma ci
fornisce il bandolo di una dimostrazione. Si noti che erano stati i
pitagorici a introdurre il concetto di dimostrazione matematica!
Qui accanto: trad. latina (di Boezio) degli Analytica Priora,
1.46-2.2. Pergamena inglese del XIV secolo.
- Slide 7
- , , 23, 41a , , . , , , . , , . , . , , , . , . , . - . Niente
paura, non leggiamo questo brano (che semmai potr venire utile per
un lavoro interdisciplinare). Limitiamoci a rilevare le
considerazioni di metodo: la dimostrazione nasce dallimpossibilit
delle conseguenze dellantitesi. Per esempio, se la diagonale del
quadrato fosse commensurabile con il lato, i numeri dispari
sarebbero uguali ai pari ( , , ).
- Slide 8
- Lincommensurabilit della diagonale con il lato del quadrato,
cio lirrazionalit di si dimostra con la medesima procedura di
riduzione allassurdo che abbiamo considerato nel ragionamento di
Lucrezio. Lunica differenza che qui il ragionamento presenta una
biforcazione: si assume dapprima che m sia dispari, quindi si
perviene a una chiusura del discorso, indicata dal simbolo
(infatti, sarebbero vere simultaneamente le proposizioni H e H). A
unanaloga chiusura del discorso si perviene se si assume che m sia
pari. 1 2
- Slide 9
- Sviluppiamo il ragionamento di dimostrazione passo passo, in
base allo schema riportato nella schermata precedente, dove ogni
passo del ragionamento numerato progressivamente, da 1 a 6: il
passo 1 corrisponde alla fascia verdolina in alto, il passo 2
corrisponde alla fascia cilestrina sottostante ecc. Ecco dunque il
ragionamento: 1. Una proposizione P o vera o falsa, per il
principio del terzo escluso. In logica si scrive: P P dove il
simbolo significa oppure e il simbolo significa non. Dunque al
passo 1 del nostro ragionamento affermiamo: La proposizione P vera,
oppure P non vera. Questo un principio generale, e vale anche per
la tesi T che intendiamo dimostrare: T T. 2. A questo punto
affermiamo la nostra tesi T: affermiamo cio che 2 un numero
irrazionale. In altre parole, siano m e n sono due numeri interi e
positivi. Sar allora: m/n Questa relazione significa che non
possibile esprimere 2 come rapporto di due interi. In questo senso
si dice, appunto, che 2 non razionale (ratio in latino significa
rapporto). Poich per non siamo capaci di dimostrare la tesi T con
unargomentazione diretta, concediamo che sia vera la tesi opposta T
(antitesi), che cio 2 sia un numero razionale. Ci proponiamo di
verificare che laffermazione dellantitesi comporta logicamente una
conseguenza, o un insieme di conseguenze, in contraddizione con il
resto delle nostre conoscenze (con ipotesi che sono accettate come
vere). Dunque abbandoniamo (per il momento) la tesi T e
spostiamoci, nella schermata precedente, a destra della linea
spessa verticale, nel ramo dellantitesi T. Cio, sia 2 = m/n e,
conseguentemente, sia 2 = m 2 /n 2. 3. Il terzo passo del nostro
ragionamento fa nuovamente ricorso al principio del terzo escluso.
Perci nello schema tracciamo una seconda linea verticale (in tratto
pi sottile). Infatti, possiamo ipotizzare che m sia dispari, o che
sia pari. Chiamiamo queste due ipotesi, rispettivamente, Q e Q.
Ammettiamo che Q sia vera (m dispari) e sviluppiamo le conseguenze
di questa affermazione (nello schema, a sinistra della linea
verticale sottile). Lo stesso faremo in seguito per Q. 4. Dunque,
se m dispari, anche m 2 sar dispari. Questa proposizione
(chiamiamola H) conseguenza di quanto si affermato al passo 3,
applicando la ben nota propriet dei numeri, per cui il quadrato di
un numero dispari anchesso dispari. 5. Abbiamo visto per, al passo
2, che 2 = m 2 /n 2 : dunque m 2 = 2n 2 e, quale che sia il valore
di n, m 2 risulta in base al passo 2 pari. Cos affermiamo H. 6.
Dunque le proposizioni 4. e 5. sono in contraddizione, e questo
precisamente ci che significa il crocino () nellultima fascia
cilestrina del nostro schema. In altre parole, se m dispari,
lantitesi T non accettabile. Lo schema presentato nella schermata
precedente dovrebbe essere di per s eloquente, una volta chiarito
il significato dei simboli. Comunque, ecco una spiegazione diffusa
della biforcazione sinistra del ragionamento.
- Slide 10
- Fondamenti logici della dimostrazione per assurdo La
dimostrazione per assurdo era probabilmente gi conosciuta da
Pitagora. Parmenide, il fondatore della scuola di Elea, fu il primo
a farne uso in pubblico. Il suo discepolo Zenone, che Aristotele
indicher come linventore della dialettica, vi fece ricorso nei suoi
celebri paradossi. Parmenide in unillustrazione del Liber
Chronicarum (o Cronaca di Norimberga), del 1493, una delle pi
celebri opere iconografiche del XV secolo.
- Slide 11
- Fondamenti logici Nella dimostrazione per assurdo, dovendosi
dimostrare che una certa tesi T vera, si assume invece che sia vera
lantitesi, cio il contrario della tesi. Di qui si deduce una serie
di conseguenze contraddittorie o errate. E poich queste conseguenze
sono errate, ne risulta che sono errate le premesse a partire dalle
quali sono ricavate, in particolare lantitesi. Lo schema di
ragionamento sostanzialmente quello del modus tollens: il quale
ricordiamo una forma di sillogismo, cosiddetto ipotetico. 1 Cio,
tanto per intenderci, un sillogismo del tipo: Se Giulia felice,
allora sorride. / Giulia non sorride / Dunque Giulia non felice. Lo
schema generale del modus tollens il seguente: p q q p dove il
segno il simbolo logico di implicazione (se allora) e il segno il
simbolo logico di negazione. Una proposizione come p q dunque una
proposizione ipotetica, perci il modus tollens un sillogismo
ipotetico. Possiamo leggere lo schema del modus tollens in questi
termini: Se la proposizione p vera, allora vera anche la
proposizione q. Ma la proposizione q falsa. Allora falsa la
proposizione p. Dunque attraverso la negazione del conseguente q si
perviene alla negazione dellantecedente p. 1 Numerosissime sono le
variet di sillogismo. Rivestono particolare importanza com noto, i
sillogismi categorici (del tipo Tutti i greci sono mortali. /
Socrate greco. / Dunque Socrate mortale). In linea teorica,
possibile costruire 256 tipi di sillogismi categorici, combinando
opportunamente proposizioni: 1. universali affermative; 2.
universali negative; 3. particolari affermative; 4. particolari
negative. In realt quelli validi sono 24, gli altri sono fallaci.
Lo schema di ragionamento della riduzione allassurdo quello di un
sillogismo ipotetico
- Slide 12
- Fondamenti logici (segue) Nel ragionamento per assurdo
dallantitesi T si sviluppa una conseguenza H che in contraddizione
con unipotesi ritenuta vera o con unaltra conseguenza ottenuta da T
introducendo unipotesi ritenuta vera. Ma H vera. Dunque falsa
lantitesi che comporta H. Ecco lo schema del modus tollens adattato
alla dimostrazione per assurdo: T H H T Anche in questo caso la
negazione del conseguente (che qui H: la seconda premessa del modus
tollens, H, pu essere letta come (H)) comporta la negazione
dellantecedente (che qui T: la conclusione del sillogismo
ipotetico, T, pu esser letta come (T)) Sviluppo delle conseguenze
logiche dellantitesi
- Slide 13
- Sullarte di ragionare La dimostrazione per assurdo un modo di
ragionare. Ma i ragionamenti non sono soltanto dimostrazioni, e le
dimostrazioni non sono soltanto per assurdo. In questo intermezzo
vedremo come un ragionamento possa essere dimostrativo o
argomentativo e come quello argomentativo possa eventualmente
essere fallace o irrilevante. Frontespizio dellOpera omnia di
Giovanni Duns Scoto (Lione, 1639), contenente fra laltro due opere
fondamentali dello Pseudoscoto: In librum primum Priorum
Analyticorum Aristotelis Quaestiones e In librum secundum Priorum
Analyticorum Aristotelis Quaestiones. Allo Psuedoscoto viene
attribuito laforisma Ex absurdis sequitur quodlibet (v. Dante,
Par., VI, 19-21).
- Slide 14
- I modi di ragionare Ragionamento dimostrativo (premesse vere,
inferenze necessarie): diretto: sillogismo con premesse (e
conclusione) categoriche sillogismo disgiuntivo sillogismo
ipotetico (modus ponens, modus tollens) entimema polisillogismo
sorite ecc. indiretto: ragionamento per assurdo Ragionamento
argomentativo (premesse non sempre vere e/o inferenze non sempre
necessarie): pseudodeduttivo (fra questi, celebre il dilemma di
Protagora) a priori a posteriori (sono importantissimi fra questi,
nella scienza moderna, gli argomenti induttivi) ecc. Ragionamento
argomentativo fallace (premesse non sempre vere, inferenze
invalide). Ragionamento argomentativo razionalmente irrilevante: ad
baculum, ad verecundiam, ad misericordiam, ad iudicium, ad populum,
ad personam (questo , spesso, il modo di ragionare degli avvocati e
dei politici).
- Slide 15
- Unapplicazione moderna del principio di dimostrazione per
assurdo Il principio dinduzione matematica pu essere considerato un
assioma, o anche una conseguenza degli assiomi stabiliti da Peano
per descrivere la struttura dei numeri naturali. In particolare il
principio di induzione matematica (che non va confuso con il
ragionamento induttivo) pu essere dimostrato per assurdo. A
sinistra: curva di Peano in 3-D.
- Slide 16
- Principio o assioma dinduzione Se P(n) una proposizione
dipendente da n e si sa che: P(0) vera; lessere vera P(n) implica
la validit di P(n + 1); allora P(n) vera per ogni n naturale. Per
esempio, si dimostra in questo modo che: o anche che:
- Slide 17
- Dimostrazione per assurdo del principio dinduzione Abbiamo
visto che se P(n) una proposizione dipendente da n e che se valgono
le proposizioni 1) e 2): 1) P(0) vera; 2) lessere vera P(n) implica
la validit di P(n + 1); 3) allora P(n) vera per ogni n naturale.
Neghiamo la tesi e stabiliamo che esiste almeno un numero naturale
m tale che la proposizione P(m) sia falsa. In generale, si avr m =
m 0, m 1 . Poniamo cio lantitesi: 4) P(m) 5)Inoltre, se vi sono
parecchie proposizioni P(m 0 ), P(m 1 ) ecc. false, consideriamo
quella dipendente da m 0 minimo. Se la proposizione falsa una sola,
m = m 0. Sar in ogni caso: 5)P(m 0 ) [cio P(m 0 ) falsa: segue
dalla 5)] 6)P(m 0 1) [cio P(m 0 1) vera: segue dalla 5)]
Chiaramente m 0 non pu essere zero. Infatti, per la 1), P(0) vera.
Dunque, necessariamente, m 0 1 non un numero negativo, ma un numero
naturale. Ma se P(m 0 1) vera, deve anche essere vera P(m 0 ). una
conseguenza di quanto abbiamo ammesso con la 2): se vero
lantecedente, parimenti vero il conseguente (o anche successore,
come si dice). Dunque: 7)P(m 0 ) [Qui il discorso si chiude, perch
la 7) in contraddizione con la 5). Dunque la 4), dalla quale il
nostro ragionamento ha preso le mosse, falsa, ed vera la 3)].
c.v.d.