Titolo presentazione

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Milano, XX mese 20XX

Pressoflessione materiali non reagenti a trazione;Teoria approssimata della torsione e del taglio.

Esercitazioni del corso di Scienza delle CostruzioniCorso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis

Titolo presentazione

sottotitolo

Milano, XX mese 20XX

Pressoflessione in materiali non resistenti a trazione

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Pressoflessione in materiali non reagenti a trazioneM

acer

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el G

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Pressoflessione in materiali non reagenti a trazione

In una sezione di trave realizzata con materiale elastico, omogeneo e isotropo e soggetta a tenso/pressoflessione lo stato di sforzo in ogni punto può essere calcolato con la formula trinomia:

Nel caso di materiali non reagenti a trazione questa formula è ancora valida fintanto che i carichi esterni non inducono sforzi di trazione (risultante della compressione interna al nocciolo centrale d’inerzia). Tipici materiali non reagenti a trazione sono i terreni, la pietra, il calcestruzzo non armato, il vetro e i metalli BCC a bassa temperatura.

In caso contrario gli sforzi di trazione che la formula darebbe non sarebbero equilibrabili dal materiale che tenderebbe a fessurare e ridistribuire gli sforzi in altri modi.

Cerchiamo di formulare una relazione basata sull’equilibrio che ci consenta di stimare gli sforzi in una sezione parzializzata di materiale non reagente a trazione.

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Pressoflessione in materiali non reagenti a trazione

Consideriamo una sezione in materiale non reagente a trazione e soggetta a pressione fuori dal nocciolo centrale. La procedura operativa per il calcolo di una distribuzione di sforzo equilibrata è qui riportata

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Pressoflessione in materiali non reagenti a trazioneAnalisi di capacità portante semplificata per diga a gravità

Calcolare gli sforzi al piede della diga e valutarne l’ammissibilità strutturale sapendo che il massimo sforzo ammissibile in compressione sul calcestruzzo è pari a 8MPa.

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Pressoflessione in materiali non reagenti a trazionePasso 1: calcolo le risultanti di forza dovute alle spinte e ai pesi

Calcolo spinte idrauliche per metro di digaSpinta orizzontale S1

Spinta verticale S2

Pesi propri strutturali per metro di digaPeso delle costole laterali P1 e P3

Peso della spina centrale P2

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Pressoflessione in materiali non reagenti a trazionePasso 2: calcolo delle sollecitazioni rispetto al baricentro e degli sforzi

Calcolo della forza di compressione per metro di digaComponenti di compressione: S2, P1, P2, P3

Momento (positivo se «verso valle»)

Calcolo dell’eccentricità

Calcolo dello sforzo massimo in compressione

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Pressoflessione in materiali non reagenti a trazionePasso 3: analisi dei risultati

La verifica statica ha dato esito positivo ma attenzione: la parte reagente è solo 3(H/2-e)=1,14m mentre l’altra parte è fessurata.

Nella fessura che si crea entra l’acqua che crea una sottospintaidraulica tale da modificare anche in modo significativo il momento a valle e quindi invalidando il calcolo appena svolto che dovrebbe essere ripetuto in modo iterativo fino ad arrivare ad una soluzione convergente e totalmente equilibrata (pesi, spinte e sottospinte).

Questo esempio ha pertanto solo valenza accademica per mostrare un’applicazione della teoria della pressoflessione in materiali non reagenti a trazione. Nelle applicazioni reali si cerca sempre di far cadere la risultante nel nocciolo centrale d’inerzia ed evitare qualsiasi forma di fessurazione!

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Milano, XX mese 20XX

Fondamenti di torsione per profili sottili

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Torsione in profili sottili aperti: valore e andamento dello

sforzo tangenziale

Consideriamo un generico profilo costituito da rettangoli sottili affiancati come quello riportato in figura (dim. in mm) e soggetto ad un momento torcente Mt=1,5kNm

1. Compiliamo la tabella seguente inserendo lunghezza e spessore linee medie

2. Calcolo inerzia torsionale

3. Calcolo sforzo in ogni tratto di LM

Linea media Lunghezza Spessore

l [mm] t [mm]

1 200 9

2 150 6

3 120 8

4 90 5

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Linea media Lunghezza Spessore τ

l [mm] t [mm] [MPa]

1 200 9 161,4

2 150 6 107,6

3 120 8 143,5

4 90 5 89,7

Torsione in profili sottili aperti: valore e andamento dello

sforzo tangenziale

Consideriamo un generico profilo costituito da rettangoli sottili affiancati come quello riportato in figura (dim. in mm) e soggetto ad un momento torcente Mt=1,5kNm

4. Aggiorno la tabella con gli sforzi massimi in ogni tratto e calcolati al punto 3.

5. Calcolo della rotazione unitaria (es. G=80GPa)

Andamento dello sforzo da torsione nei profili aperti (andamento a

farfalla)

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

1. Calcoliamo l’area contenuta nella linea media

2. Calcolo dello sforo in ogni tratto attraverso la formula di Bredt

Torsione in profili sottili chiusi: valore e andamento dello

sforzo tangenziale

Consideriamo un generico profilo sottile chiuso costituito da rettangoli sottili affiancati come quello riportato in figura (dim. in mm) e soggetto ad un momento torcente Mt=10 kNm

Linea media Spessore τ

t [mm] [MPa]

1 14 6,0

2 16 5,2

3 20 4,2

4 12 6,9

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Milano, XX mese 20XX

Teoria approssimata del taglio (Jourawsky)

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

I passi per il calcolo dello sforzo tangenziale da taglio sono:

1. Calcolo della geometria di sezione (aree, baricentri, momenti d’inerzia);

2. Posizionamento di un sistema di ascisse che per ogni figura e dirette come il taglio esterno;

3. Calcolo dei momenti statici parziali S* in funzione delle ascisse locali;

4. Applicazione della formula di Jourawsky

Taglio in profili compatti

Consideriamo un generico profilo compatto soggetto ad un taglio Ty=50kN lungo l‘asse principale y.

Interpretazione del segno: se negativo concorde alla

normale uscente.

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 1: calcolo geometria della sezione

Calcoliamo le caratteristiche geometriche della sezione

Area della sezione

Coordinate del baricentro

Figura Base Altezza Ai x'i y'i

1 240 40 9600 120 20

2 60 120 7200 120 100

3 160 30 4800 120 175

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 1: calcolo geometria della sezione

Procediamo con il calcolo dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x-y

Figura Ixi Iyi Ixyi

1 37131852 46080000 0

2 11208889 2160000 0

3 42672593 10240000 0

Tot 91013333 58480000 0

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 2: posizionamento degli assi baricentrici e introduzione delle ascisse

Definisco un sistema di ascisse (ϵi) per ogni tratto omogeneo di sezione

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio

Tratto 1: b=240mmCalcolo funzioni A*, d* e S*:

Calcolo valori estremi di S*:

Calcolo valori estremi di τ:

Negativo: concorde alla normale uscente

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio

Tratto 2: b=60mmCalcolo funzioni A*, d* e S*:

Calcolo valori estremi di S*:

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio

Tratto 2: b=60mmCalcolo valori estremi di τ:

Negativo: concorde alla normale uscente

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio

Tratto 3: b=160mmCalcolo funzioni A*, d* e S*:

Calcolo valori estremi di S*:

Calcolo valori estremi di τ:

Positivo: disconcorde alla normale uscente

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili compattiRappresentazione grafica e controlli qualitativi

Si conservano i flussi di taglio alle interfacce?

- Interfaccia 1-2:

- Interfaccia 2-3:

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I passi per il calcolo dello sforzo tangenziale da taglio sono:

1. Calcolo della geometria di sezione (aree, baricentri, momenti d’inerzia);

2. Posizionamento di un sistema di ascisse che per ogni tratto e dirette come le linee medie;

3. Calcolo dei momenti statici parziali S* in funzione delle ascisse locali;

4. Applicazione della formula di Jourawsky

Taglio in profili sottili

Consideriamo un generico profilo sottile soggetto ad un taglio Ty=50kN lungo l‘asse principale y.

Interpretazione del segno: se negativo concorde alla

normale uscente.

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili sottiliPasso 1: calcolo geometria della sezione riferendoci a «linee medie espanse»

Calcoliamo le caratteristiche geometriche della sezione

Area della sezione

Coordinate del baricentro

Lin.med. Base Altezza Ai x'i y'i

1 300 12 3600 0 0

2 9 270 2430 0 135

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Procediamo con il calcolo dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x-y

Figura Ixi Iyi Ixyi

1 10698065 27000000 0

2 30547236 16403 0

Tot 41245301 27016403 0

Taglio in profili sottiliPasso 1: calcolo geometria della sezione riferendoci a «linee medie espanse»

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Procediamo con il calcolo dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x-y

Figura Ixi Iyi Ixyi

1 10698065 27000000 0

2 30547236 16403 0

Tot 41245301 27016403 0

Taglio in profili sottiliPasso 1: calcolo geometria della sezione riferendoci a «linee medie espanse»

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili sottiliPasso 2: posizionamento degli assi baricentrici e introduzione delle ascisse

Definisco un sistema di ascisse (ϵi) per ogni tratto di linea media

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Calcolo funzioni A*, d* e S*:

Calcolo valori estremi di S*:

Calcolo valori estremi di τ:

Taglio in profili sottiliPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio

Tratto 1: b=12mm (simm. Tratto 2)

Negativo: concorde alla normale uscente

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Calcolo funzioni A*, d* e S*:

Calcolo valori estremi di S*:

Calcolo valori estremi di τ:

Taglio in profili sottiliPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio

Tratto 3: b=9mm

Positivo: discorde alla normale uscente

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Taglio in profili sottiliRappresentazione grafica e controlli qualitativi

Verifica della continuità dei flussi di taglio ai nodi

Firma convenzione

Politecnico di Milano e Veneranda Fabbrica

del Duomo di Milano

Aula Magna – Rettorato

Mercoledì 27 maggio 2015

Pressoflessione materiali non reagenti a trazione;Teoria approssimata della torsione e del taglio.

Esercitazioni del corso di Scienza delle CostruzioniCorso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis