POLIGONI (CONVESSI)

Che cosa è un poligono?

Che cosa è un insieme convesso?

fine

POLIGONI (CONVESSI)

Che cosa è un insieme convesso?

fine

CONVESSI

fine

NON CONVESSI

CONVESSI

fine

NON CONVESSI

CONVESSI

fine

NON CONVESSI

CONVESSI

fine

NON CONVESSI

CONVESSI

fine

NON CONVESSI

CONVESSI

fine

NON CONVESSI

CONVESSO

fine

CONVESSO

Un insieme X di punti del piano(dello spazio)

con la seguente proprietà:

se A e B sono punti qualsiasi di Xil segmento AB è tutto contenuto in X

fine

NON CONVESSO

fine

NON CONVESSO

Un insieme X di punti del piano(dello spazio)

con la seguente proprietà:

ci sono almeno due punti A e B di Xper i quali il segmento AB

non è tutto contenuto in X

fine

TeoremaL’intersezione di due insiemi convessi è un insieme convesso.DimostrazioneIpotesi: 1) X è un insieme convesso2) Y è un insieme convessoTesiX Y è un insieme convessoN. B. X Y è l’insieme dei punti che stanno contemporaneamente in X e Y

fine

X

Y

X Y

Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.

fine

X

Y

Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.Poiché X è convesso, AB è tutto contenuto in X.Poiché Y è convesso, AB è tutto contenuto in Y.Allora AB è tutto contenuto in X Y .

A

B

fine

POLIGONI (CONVESSI)

Partiamo da:

ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)

DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE

fine

fine

Questo (modello di) fogliorappresenta il piano della geometria di Euclide

fine

fine

piano

fine

fine

retta

fine

fine

fine

fine

Semipiano 1

Semipiano 2

fine

Semipiano 1

Semipiano 2

I semipiani sono insiemi convessi

fine

fine

fine

angolo

POLIGONI (CONVESSI)

ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)

DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE

fine

POLIGONI (CONVESSI)

ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)

DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE

fine

Gli angoli (così definiti) sono insiemi convessi (Teorema)

POLIGONI (CONVESSI)

TRIANGOLOINTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON

PARALLELEdati A, B, C, si scelgono

S(A) semipiano di origine BC contenente AS(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C

fine

POLIGONI (CONVESSI)

TRIANGOLOINTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON

PARALLELEdati A, B, C, si scelgono

S(A) semipiano di origine BC contenente AS(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C

fine

I triangoli sono insiemi convessi(Teorema)

fine

fine

triangolo

POLIGONI (CONVESSI)

QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD(nell’ordine)

INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI

A B C D sono scelti in modo cheAB sono nello stesso semipiano di origine CDBC sono nello stesso semipiano di origine ADCD sono nello stesso semipiano di origine ABDA sono nello stesso semipiano di origine BC

fine

POLIGONI (CONVESSI)

QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD(nell’ordine)

INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI

A B C D sono scelti in modo cheAB sono nello stesso semipiano di origine CDBC sono nello stesso semipiano di origine ADCD sono nello stesso semipiano di origine ABDA sono nello stesso semipiano di origine BC

fine

I quadrangoli così definiti sono insiemi convessi (Teorema)

fine

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

POLIGONI (CONVESSI)

PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE(nell’ordine)

INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI

A B C D E sono scelti in modo cheABC sono nello stesso semip. di origine DEBCD sono nello stesso semip. di origine AECDE sono nello stesso semip. di origine ABDEA sono nello stesso semip. di origine BCEAB sono nello stesso semip. di origine CD

fine

POLIGONI (CONVESSI)

PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE(nell’ordine)

INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI

A B C D E sono scelti in modo cheABC sono nello stesso semip. di origine DEBCD sono nello stesso semip. di origine AECDE sono nello stesso semip. di origine ABDEA sono nello stesso semip. di origine BCEAB sono nello stesso semip. di origine CD

fine

I pentagoni così definiti sono insiemi convessi (Teorema)

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

fine

convessi

nonconvessi

POLIGONI (CONVESSI)DATI n VERTICI (in un dato ordine)

A1 A2 ……….An-1 An

diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).Per costruire un poligono convesso, consideron punti con la proprietà seguente:

ogni retta che contiene due vertici adiacentinon separa gli altri vertici,

cioè li lascia tutti nello stesso semipiano

fine

fine

E ripeto per tutti i vertici!

fine

E ripeto per tutti i vertici!

fine

E ripeto per tutti i vertici! Ho trovato 2 vertici che separano!

fine

POLIGONI (CONVESSI)DATI n VERTICI (in un dato ordine)

A1 A2 ……….An-1 An

diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).Per costruire un poligono convesso, consideron punti con la proprietà seguente:

ogni retta che contiene due vertici adiacentinon separa gli altri vertici,

cioè li lascia tutti nello stesso semipiano

fine

il poligono convesso A1 A2 ……….An-1 An

è costituito dall’intersezione di tutti isemipiani che hanno le seguenti proprietà:1) hanno come origine la retta per due vertici

adiacenti;2) contengono tutti gli altri vertici.

fine

POLIGONI (CONVESSI)DATI n VERTICI (in un dato ordine)

A1 A2 ……….An-1 An

diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).Per costruire un poligono convesso, consideron punti con la proprietà seguente:

ogni retta che contiene due vertici adiacentinon separa gli altri vertici,

cioè li lascia tutti nello stesso semipiano

fine

POLIGONI (CONVESSI)

Lato del poligono: ogni segmento che congiunge due vertici adiacenti Diagonale del poligono:ogni segmento che congiunge due vertici non adiacentiLe rette per i lati non separano i vertici.Le rette per le diagonali separano i vertici.

fine

acutangolo rettangolo ottusangolo

scaleno

isoscele

Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi

Triangoli

fine

acutangolo rettangolo ottusangolo

scaleno

isoscele

Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi

Triangoliequilatero

fine

Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi

Quadrangoli

Trapezi: quadrangoli con (almeno) due lati paralleli;Parallelogrammi: Quadrangoli con due coppie dilati paralleli.

Rettangoli: Parallelogrammi con 4 angoli congruenti (retti)Rombi: Parallelogrammi con 4 lati congruenti

Quadrati: Parallelogrammi con4 angoli congruenti (retti) e4 lati congruenti

fine

Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi

trapezi

rettangoli rombiquadrati

parallelogrammi

Quadrangoli

fine