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1
Statistica – codice 30001
Soluzioni degli esercizi del libro di testo
P. Newbold, W.L. Carlson, B. Thorne, Statistica
Capitolo 6
2
CAPITOLO 6
6.6
L’area di competenza di una squadra di soccorso comprende un tratto di fiume lungo 4 km.
L’esperienza passata ha dimostrato che il luogo di intervento,misurato come distanza in km dal
punto più a nord, può essere misurato da una variabile uniforme nell’intervallo da 0 a 4 chilometri.
X = distanza dal punto più a nord
altrove
xxf
0
4025,0)(
a) Rappresentare graficamente la funzione di densità
0
0.25
0.5
0.75
1
4
f(x)
x
1)(:. dxxfBN
b) Determinare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione
41
4025,0
00
)(
x
xx
x
xF
0
1
4
F(X)
x
x
dxxfXFBN )()(:.
c) Probabilità che si verifichi un’emergenza entro un chilometro
1
25,0125,0)1()()1( FdxxfXP
d) Sede operativa si trova a metà del tratto del fiume
Y = distanza dalla sede
3
25,0125,0125,0)5,3()5,0(
125,05,325,01)5,3(1)5,3(1)5,3(
125,025,05,0)5,0()()5,0(
)5,3()5,0()5,1(
5,0
XPXP
FXPXP
FxfXP
XPXPYP
6.7
Sia X la variabile aleatoria che registra il “reddito di una famiglia di una certa regione”; X è una
variabile numerica, quantitativa continua.
“Reddito mediano uguale a 60000$” si traduce in P(X≤60000) = P(X≥60000) = 0,5 (si ricorda che
P(X≤x)=P(X<x), poiché X è una variabile continua). “Il 40% delle famiglie ha un reddito superiore
a 72000$” si traduce in P(X≥72000) = 0,4.
a. ) ) - P(X P(X) XP( 60000720007200060000
.1,05,0]4,01[60000720001 ) )]-P(X-P(X [
b. Sulla base delle informazioni disponibili circa la distribuzione di X, si può dire
che ) P(X 65000 è superiore a 5,060000 )P(X e inferiore 6,04,0172000 )P(X ;
quindi )P(X .6,0650005,0
6.8
All’inizio della stagione, un proprietario valuta 0,4 la probabilità di spendere complessivamente, nei
tre mesi invernali, meno di 380$ nel riscaldamento e 0,6 quella di spendere meno di 460$.
X=spesa in riscaldamento
a. Qual è la probabilità che la spesa sia compresa tra 380 e 460?
b. Senza ulteriori informazioni, cosa si può dire della probabilità che la spesa sia minore di 400$?
6.13
Sia X il numero di copie del libro vendute e Y la somma pagata dall’editore alla scrittrice.
Tra X e Y sussiste la seguente relazione : Y = 10000 + 1,5X. Si sa che E(X) = 30000 e σX = 8000.
Allora
$55000300005,110000)(5,110000)5,110000()( XEXEYE
$.1200080005,15,1)5,110000( XY X
6.16
Un agente di commercio ha uno stipendio di 6000$ più l’8% del valore delle ordinazioni che riceve.
Il valore delle ordinazioni può essere rappresentato da una variabile aleatoria con media 600.000$ e
deviazione standard 180.000$. Trovare media e deviazione standard dello stipendio.
X = vendite
Y = stipendio
E(X) = 600.000$
4
Y = 6.000+0.08X
V(Y)=V(6000+0.08X)=
6.17
Sfruttando la simmetria della distribuzione Normale standard e le sue tavole:
a. 8849,0)20,1()20,1 FP(Z
b. 0918,09082,01)33,1(1)33,1(1)33,1 FZPP(Z
c. 0446,09554,01)70,1(1)70,1(1)70,1()70,1 FZPZ PP(Z
d. 8413,0)1()1()1 FZPP(Z
e. 0233,08849,09082,0)20,1()33,1()20,1()33,1()33,120,1 FFZPZPZP(
f. 8403,0)9554,01(8849,0)]70,1(1[)20,1()20,170.1 FFZP(
g. 1141,08413,09554,0)1()70,1()70,11)170.1 FFZP(ZP(
6.18
Sfruttando la simmetria della distribuzione Normale standard e le sue tavole:
a. Se 70,0) zP(Z , allora 70,0)( zF . Nella tavola il valore F(z) più vicino a 0,7000 è 0,6985
che corrisponde a 52,0z ; quindi 52,0z .
b. Se 25,0) zP(Z , allora 25,0)( zF . Certamente z deve essere un valore negativo in quanto
corrisponde a un valore della funzione di ripartizione di Z inferiore a 0,5.
Poiché la tavola riporta solamente valori positivi di z, occorre sfruttare la simmetria della
distribuzione Normale standard e operare come segue: se 25,0)( zZP , allora 25,0)( zZP ,
ossia 25,0)(1 zZP , ossia 25,0)(1 zF , ossia 75,0)( zF .
Nella tavola il valore F(-z) più vicino a 0,7500 è 0,7486 che corrisponde a 67,0 z ; quindi
67,0z .
c. Se 20,0) zP(Z , allora 20,0)1 zP(Z , ossia 80,0) zP(Z , ossia 80,0)( zF .
Nella tavola il valore F(z) più vicino a 0,8000 è 0,7995 che corrisponde a 84,0z ; quindi
84,0z .
d. Se 60,0) zP(Z , allora z deve essere un valore negativo. Sfruttando la simmetria della
distribuzione Normale standard 60,0) zP(Z equivale a 60,0) zP(Z , ossia 60,0)( zF .
Nella tavola il valore F(-z) più vicino a 0,6000 è 0,5987 che corrisponde a 25,0 z ; quindi
25,0z .
6.19
Con l’ausilio della tavola della funzione di ripartizione della distribuzione Normale standard:
a. 1056,08944,01)25,1(1)25,1(64
5060)60
FZPZPP(X .
b.
)88,1()50,1()50,188,1(
64
5062
64
5035)6235 FFZPZPXP(
9031,0]9699,01[9332,0)]88,1(1[)5,1( FF .
5
c. 7357,0)63,0(64
5055)55
ZPZPP(X .
d. Se 20,0) xP(X , allora 20,064
50
xZP , ossia 20,0
64
501
xZP , ossia
80,064
50
xF .
Nella tavola il valore della funzione di ripartizione più vicino a 0,8000 è 0,7995 e
7995,084,0 F ; quindi si risolve 84,064
50
x da cui 72,566484,050 x .
e. Per un fissato valore k, un intervallo simmetrico rispetto alla media 50 di X si può rappresentare
come segue: [50-k , 50+k].
Poiché la probabilità su ciascuna coda vale 0,05/2 = 0,025, si ha 975,02
05,01)50 kP(X .
975,0)50 kP(X
975,0
64
5050
64
50 kXP
975,0
8
kZP 975,0
8
kF
Dalle tavole della distribuzione Normale standard F(z)=0,9750 quando z=1,96.
Allora deve essere 96,18
k , da cui 68,15k .
L’intervallo richiesto è ],;,[],;,[k]-k , [ 686532346815506815505050 .
6.25
Sia X il tasso di rendimento delle azioni e )2,7;2,12(~ NX .
a. 1401,08599,01)08,1(2,7
2,1220)20
ZPZPP(X
In 14,01 % delle società ha avuto un tasso di rendimento superiore al 20%.
b. 0455,09545,01)69,1(1)69,1(2,7
2,120)0
ZPZPZPP(X
Il 4,55 % delle società ha avuto un tasso di rendimento negativo.
c.
)]1(1[)39,0()39,01(
2,7
2,1215
2,7
2,125)155 FFZPZPXP(
493,0)8413,01(6517,0 .
Il 49,3 % delle società ha avuto un tasso di rendimento compreso tra 5% e 15%.
6.27
Un costruttore ritiene che i costi necessari per completare un particolare progetto siano distribuiti
normalmente, con media 500.000$ e deviazione standard 50.000$.
a. Qual è la probabilità che tali costi siano compresi tra 460.000$ e 540.000$?
X = costi
= P(z
6
b. Qual è il costo che ha probabilità 0,2 di non essere superato?
c. Determinate il più piccolo intervallo che, con probabilità 0,95, contenga i costi del progetto.
P( )=0,95
F(
- =0,95
Ci sono infiniti intervalli. Il più piccolo è quello centrato nella media.
6.33
Un’azienda può rifornirsi di materie prime da due diversi fornitori. Un esame delle precedenti
consegne indica che le percentuali di impurità seguono distribuzioni normali con i seguenti
parametri.
L’azienda vuole che il livello di impurità non superi il 5% e si rifornirà dal fornitore che, con
maggiore probabilità, è in grado di soddisfare la richiesta. Quale fornitore verrà scelto?
=1-0,9082=0,0918
Conviene rifornirsi dal fornitore A.
6.43
Dato un campione casuale di dimensione n=400 estratto da una popolazione distribuita secondo una
bernulliana con p=0,20.
a. Calcolate la probabilità che la percentuale di successi sia superiore a 0,25 nel campione estratto
Se
In questo caso
P
7
b. Calcolare la probabilità che la % di successi sia minore del 16%
=
c. Calcolare la probabilità che la 5 di successi sia compresa tra 17% e 24%.
= )-P )=F(2)-F(-1,5)=F(2)-1+F(1,5)=0,9772-1+0,9332=0,9104
d. Qual è la percentuale di successi che ha probabilità 0,15 di non essere superata?
e. Qual è la percentuale di successi che ha probabilità 0,11 di essere superata?
6.45
Si sa che il 10% dei pezzi prodotti da un processo produttivo è difettoso. Si scelgono 400 pezzi
dall’intera produzione.
X = numero di pezzi difettosi su 400
a. Qual è la probabilità che almeno 35 pezzi siano difettosi?
NB: approssimazione alla binomiale
1) Se n è grande e p molto piccolo (n>30;np<7)
si può approssimare ad una distribuzione di Poisson:
2) Se n è grande: np(1-p)>9
si può approssimare a una distribuzione normale:
Nel nostro caso .
8
b.
c.
d. Senza svolgere calcoli, determinate quale dei seguenti intervalli per il numero di pezzi difettosi
ha la maggiore probabilità:
(38;39) (40;41) (41;42) (44;45) (46;47)
NB: E(X)=40
L’intervallo è: (40;41)
6.49
I sacchi di prodotti chimici di una certa azienda hanno un contenuto di impurità che può essere
rappresentato da una distribuzione normale con media 12,2 e deviazione standard 2,8.
Scegliendo un campione casuale di 400 sacchi, qual è la probabilità che almeno 100 contengano
meno di 10 grammi di impurità?
X = contenuto di impurità
)
a. Calcolare la probabilità che un sacco contenga meno di 10 grammi
b. Y = numero di sacchi che contengono meno di 10 grammi su 400
)
6.61
Due variabili aleatorie, X e Y, sono distribuite normalmente. La prima ha media 100 e varianza 100
mentre la seconda ha media 200 e varianza 400. Il coefficiente di correlazione lineare tra le due
variabili è 0,5. Trovate media e varianza della variabile aleatoria: .
9
6.69
Si valuta che il numero di chilometri che un certo modello di automobile riesce a percorrere, con un
litro di benzina in autostrada, può essere rappresentato da una variabile aleatoria con media 15 e
scarto quadratico medio 2. Si scelgono in modo casuale 16 automobili di quel modello, ciascuna
con un litro di benzina e si guidano in autostrada. Trovate la media e lo scarto quadratico medio del
numero di chilometri percorsi totali.
X = numero di km percorsi da un’auto
Y = numero di km percorsi da 16 auto
Y = X1+..+X16
E(Y) = E(X1+..+X16) = 16 E(X) = 16*15 = 240
V(Y) = V(X1+..+X16) = (poiché le estrazioni sono indipendenti) = 16*V(X) = 64
6.71
Sia X la variabile “produzione giornaliera ”; )625;100(~ 2 XXNX .
Sia Y la variabile “vendita giornaliera”; )8;100(~ YYNY .
La correlazione tra X e Y vale 6,0),( YXCorrXY .
Sia R il ricavo totale giornaliero; allora Y R 10 .
Sia C il costo totale giornaliero; allora 2507 XC .
Sia G il guadagno totale giornaliero; allora 250710 XYCRG .
Si richiede di valutare )0()0()( GPCRPCRP .
La variabile G ha distribuzione normale con media E(G) e varianza V(G) così calcolate:
$50250100710010250)(7)(10)250710()( XEYEXYEGE
2222
22
$2022512071026257810
),(7102)(7)(10)250710()(
YXCovXVYVXYVGV
in quanto 2$12086256,0),(),( YXYXCorrYXCov .
Allora )20225;50(~ 2 GGNG e la probabilità richiesta vale
.6368,0)35,0()35,0(20225
500)0()(
FZPZPGPCRP
6.75
Sia X la variabile “offerta inferiore tra quelle proposte ”; )20;8(~UniformeX .
Pro memoria sulla distribuzione Uniforme(a,b), dove a=8 e b=20:
funzione densità
altrimenti 0
21x8 se 12
1
altrimenti 0
bxa se 1
)( abxf
10
funzione di ripartizione
20 xse 1
20x8 se 8 12
18 xse 0
b xse 1
bxa se 1
a xse 0
)( xaxab
xF
media 142
)(
ba
XE
varianza
1212
)(
2
ab
XV
a. 1667,081012
1)10( XP .
b. La consulente si aggiudica il contratto se le altre offerte proposte sono superiori alla sua offerta di
12 migliaia di dollari. Questo avviene con probabilità 66,67% in quanto
6667,0122012
1)12( XP .
c. Dalla risposta al punto b, la probabilità che la consulente si aggiudichi il contratto è 0,6667; in tal
caso il suo guadagno è pari a 12-10 = 2 (migliaia di dollari).
La probabilità che la consulente non si aggiudichi il contratto è 1-0,6667 = 0,3333; in tal caso il suo
guadagno è pari a 0 (migliaia di dollari).
Se ne deduce che il guadagno G è una variabile aleatoria avente la seguente funzione di probabilità:
Il guadagno atteso è pertanto:
3334,16667,023333,00)()(2
1
i
ii xpxGE (migliaia di dollari).
d. Sia y l’offerta della consulente. Ovviamente l’offerta deve essere compresa tra 8 e 20 e), qualora
la consulente si aggiudichi il contratto, tale da coprire i costi di realizzazione del progetto, pari a 10
(migliaia di dollari). Pertanto deve essere .2010 y
Analogamente alla soluzione del quesito a., la probabilità di aggiudicarsi il contratto è
yyXP 2012
1)( e quella di non aggiudicarselo è 8
12
1)( yyXP .
La funzione di probabilità della variabile guadagno G è la seguente:
E il guadagno atteso vale
12
20030)20(
12
1)10()8(
12
10)()(
22
1
yyyyyxpxGE
i
ii
Si tratta di determinare l’offerta y (compresa tra 10 e 20) che rende massimo il guadagno atteso:
occorre studiare E(G) come funzione di y. Si calcolano le prime due derivate:
12
302
12
20030)( 2
yyy
dy
d
dy
GdE
12
2
12
302)(2
2
y
dy
d
dy
GEd
G 0 2
P(G) 0,3333 0,6667
G 0 y-10
P(G) 812
1y y20
12
1
11
I valori candidati ad essere punti di massimo sono quelli che rendono nulla la derivata prima, ossia
si risolve 012
302
ye si ottiene y = 15 .
Poiché la derivata seconda è negativa, il valore y = 15 è un punto di massimo per la funzione E(G).
Se la consulente volesse fare un’offerta che massimizzasse il guadagno, dovrebbe proporre 15000 $.
6.85
Sia X la variabile “tempo di consegna ”; )4;20(~ XXNX .
a. 7888,0)8944,01(8944,0)25,125,1(4
2025
4
2015)2515(
ZPZPXP
b. 0062,09938,01)5,2(14
2030)30(
ZPZPXP
c. Sia Y la variabile aleatoria che vale 1 se una pizza è gratuita perché consegnata in ritardo e 0 se
non lo è. Allora )0062,0(~ pBernoulliY .
Siano 54321 ,,,, YYYYY le variabili aleatorie relative ai cinque giorni considerati; esse sono
indipendenti e distribuite come Y.
Sia 54321 YYYYYB il numero di pizze gratuite nei cinque giorni considerati; allora
)0062,0;5(~ pnBinomialeB .
La probabilità che lo studente riceva almeno una pizza gratuita è 3,06% in quanto
0306,09694,01)0062,01(0062,00
5101)1( 050
BPBP .
d. Poiché la distribuzione di X è normale, il più piccolo intervallo di tempo che contiene il 40%
delle consegne è quello simmetrico rispetto a X : occorre determinare un valore k tale che
4,0)2020( kXkP . Questa espressione equivale alle seguenti:
7,02/4,05,0)20( kXP ; 7,04
20)20(
kZP ; 7,0
4
kZP ; 7,0
4
kF
Dalla tavola della distribuzione Normale standard il valore F(z) più vicino a 0,7 è 0,6985,
corrispondente a z=0,52. Allora k/4=0,52 da cui k=2,08. L’intervallo richiesto è
].08,22;92,17[]08,220;08,220[]20;20[ kk
e. Essendo tutti intervalli equiampi, il più probabile è l’intervallo [19; 21] in quanto simmetrico
rispetto alla media di X. In ordine di probabilità (osservare il disegno per convincersene):
).2321()2018()2220()2119( XPXPXPXP
f. [21; 23].
12
6.86
Sia X la variabile “spesa annua dei soci”; );100(~ 2 NX ; è noto che .10,0)130( XP
Il valore di σ si determina come segue:
10,0)130( XP ; 10,0100130
ZP ; 90,0
100130
ZP ; 90,0
100130
F
Dalla tavola della distribuzione Normale standard il valore di F(z) che più si avvicina a 0,90 è
0,8997 e corrisponde a z=1,28; allora (130-100)/σ = 1,28 da cui σ = (130-100)/1,28 = 23,4375.
La probabilità richiesta è la seguente:
.0436,09564,01)71,1(1)71,1(4375,23
100140)140(
FZPZPXP
6.95
Sia X la variabile “prezzo di una azione A”; )16;10(~ 2 XXNX .
Sia Y la variabile “prezzo di una azione B”; )9;12(~ 2 YYNY .
La correlazione tra X e Y vale 3,0),( YXCorrXY .
a. Sia P la variabile “valore del portafoglio composto da 10 azioni A e 8 azioni B”.
La variabile P è definita tramite la seguente combinazione lineare di X e Y: YX P 810 .
Ne segue che P ha distribuzione normale con media E(P) e varianza V(P) così calcolate:
1961281010)(8)(10)810()( YEXEYXEPE
27526,38102981610
),(8102)(8)(10)810()(
22
22
YXCovYVXVYXVPV
in quanto 6,39163,0),(),( YXYXCorrYXCov .
b. Sia X1 la variabile “prezzo di una azione di tipo 1 ” :
)25;10(~ 2
111 NX e 2,0),( 1 YXCorr .
Sia P1 la variabile “valore del portafoglio composto da 10 azioni di tipo 1 e 8 azioni B”.
Allora YX P 810 11 ha distribuzione normale con media E(P1) e varianza V(P1) così calcolate:
1961281010)(8)(10)810()( 111 YEXEYXEPE
259638102982510
),(8102)(8)(10)810()(
22
1
2
1
2
11
YXCovYVXVYXVPV
in quanto 39252,0),(),( 111 YYXCorrYXCov .
Sia X2 la variabile “prezzo di una azione di tipo 2 ” :
)9;10(~ 2
222 NX e 6,0),( 2 YXCorr .
Sia P2 la variabile “valore del portafoglio composto da 10 azioni di tipo 2 e 8 azioni B”.
Allora YX P 810 22 ha distribuzione normale con media E(P2) e varianza V(P2) così calcolate:
1961281010)(8)(10)810()( 222 YEXEYXEPE
23404,5810298910
),(8102)(8)(10)810()(
22
2
2
2
2
22
YXCovYVXVYXVPV
in quanto 4,5996,0),(),( 222 YYXCorrYXCov .
Le due offerte P1 e P2 hanno lo stesso valore atteso del portafoglio P; entrambe le offerte sono
vantaggiose rispetto al portafoglio P in quanto hanno varianza inferiore rispetto alla varianza di P.
Il gestore sceglierà il portafoglio P2 in quanto ha minor varianza rispetto a P1 e P.