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TESI DI LAUREA
MODELLI DI OTTIMIZZAZIONE PER PROBLEMI DI SELEZIONE DI PORTAFOGLIO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BRESCIAFACOLTÀ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE
Relatore: Laureanda:
Prof.ssa Renata Mansini Ida Mendini
SELEZIONE DI PORTAFOGLIO
Allocazione di capitale detenuto da un soggetto economico in attività rischiose
Soluzione del problema
Numero troppo elevatodi variabili da
gestire
Conoscenzaincompleta del
sistema in cui si opera
Problema decisionale
Individuazione di un insieme di alternative
Criteri di selezione
Necessaria unamodellizzazione del problema
L’applicazione del criterio di massimizzazione della funzione
di utilità in condizioni di incertezza
I rendimenti possibili sono variabili stocastiche.
MODELLIZZAZIONE DEL PROBLEMA
FUNZIONE OBIETTIVO DEL PROBLEMA
CRITERIO DI TRADE-OFF
RISCHIO RENDIMENTO
minimizzazione massimizzazione
Cxr jj
j ρ≥∑
∑ =j
j Cx
jj ux ≤≤0
Le variabili decisionali del problema sono le frazioni di capitale xj , investite nel titolo j.
Soluzione concentrata
ijiP NN
Nσσσ
11 22 −+=
I vincoli possono essere di varia natura: Rendimento minimo atteso ex-ante
Capitale massimo da investire
Massima frazione di capitale investibile nell’azione j.
La soluzione del problema è il vettore x di N componenti:
Soluzione diversificata
→Poche componenti a valore ≠ da 0
Molte componenti a valore ≠ da 0
1. Panorama completo del problema di asset allocation.
2. Riformulare i modelli esistenti introducendo pesi in dipendenza del tipo
di azione e del tempo.
3. Ricerca di soluzioni alternative del problema più aderenti alla realtà.
4. Testare l’efficacia ed efficienza dei modelli formulati attraverso uno
studio computazionale su dati reali.
OBIETTIVI DELLA TESI
AD
(1993)
CLASSIFICAZIONE DELLA LETTERATURA ESISTENTE (1956-2001)Ricerca
bibliografica
Classificazione di un centinaio di pubblicazioni
Recenti sviluppi e tendenze delle future ricerche
N°
MINIMAX
(1998)
REGRET
(1993)MAD(1991) m-MAD
(2000)VARIANZA
(1952)SPREAD
(2001)
Classificazione misure di rischio secondo la teoria dell’utilità
FORMULAZIONE MATEMATICA DEL PROBLEMA
t ∀≥∑ Pjj
jt Mxr
Cxr jj
j ρ≥∑
Cxj
j =∑jj ux ≤≤0
t E min1 1
∀
−∑ ∑
= =
n
j
n
jjjjj xRExR
t min ∀∑T
yt
t
0)( ≥−+∑ jjj
jtt xrry
)()( max1 1
1
− ∑=
m
ii
i xx δλλ
λµ
∑ ∑= <
−
T
tt
yytttt ppyy
tt1''
:'''''''
'''
)( min
∑∑= =
n
j
n
iijji xx
1 1
min σ
modello Minimax
modello MAD
modello AD
modello m-MAD
modello di Gini
Modello Media-Varianza
max PM
UTILIZZO DI SMORZAMENTO
CV(σ/m) azioni
Nel caso di distribuzione stazionaria, dato un orizzonte temporale T, si assegna ai dati storici osservati lo stesso peso (pari ad 1/T).
Formulazione di nuovi pesi che permettono di considerare maggiormente i dati più recenti
Pesi in funzione delle azioni
Pesi in funzione del tempo
1 Tt
INCONVENIENTE: se l’orizzonte temporale T è molto lungo, l’influenza dei dati più recenti è la stessa di quelli passati.
MISURE DI RISCHIODATI
STORICI
INTRODUZIONE DI PESI
∑=
= T
tjt
jtjt
w
wp
1
∑=
=T
tjtp
1
1
−= ∑
22 )(
tjtjtjtj RpRRσ
∑=t
jtjtj pRRE )(
)()(),cov( iiji RRRR σσ ⋅⋅= P
tCV
CVwjt1
+=
)(1 tTCVawjt
−⋅
=
PROPRIETA’ DEI PESI
I pesi utilizzati rispettano la teoria dell’utilità e sono normalizzati(?):
tutti i pesi sono compresi tra 0 ed 1possono essere introdotti nelle definizioni di media varianza e covarianza:
1
1
T
Tt
t
Smorzamentoper i dati storici
Smorzamentoper le misure di rischio
N
pp
N
jjt
t
∑== 1
Mean Absolute deviationm-Mean Absolute deviationMinimaxGini mean differenceMedia geometrica
Effetto desiderato: ↑ CV ⇒ considero molti dati; ↓ CV ⇒ considero molto i dati più recenti.
FORMULAZIONE MATEMATICA dei MODELLI PESATI
Cxjj
ρ ≥∑ wj
r
Cxj
j =∑jj ux ≤≤0
t)(max
1
∀
− ∑∑=
m
1=ii
iN
jxPr it
wj
δ1λ
λ1
λ
∑ ∑= <
−
T
t yyttt
tt
yy1' :''
''''''
)(min t''t' pp
)(min1 1
j
n
j
n
iiji xx σσ p∑∑
= =
modello MinimaxP
modello MADP
modello ADP
modello mMADP
modello di Gini
Modello Media-Varianza
jt∀≥∑ Pjjt Mxr jtp
PM max
∑j
t)(min ∀− jjt xr wjr
tmin ∀∑ tPt
ty
0)( ≥−+ ∑ jj
jtt xry wrj
∑
∑
=
== T
tjt
T
tjtjt
wj
w
wrr
1
1
Smorzamento
LINEARE
ESPONENZIALE
Smorzamento
SISTEMA INFORMATICO
•Reperimento dati•Lettura risultati
Excel
•Archiviazione dati•Archiviazione risultati
•Grafici ed altri parametri•Creazione istanze da
inviare al solverExcel/VBA
•Risolve le istanze LP e QP
•Generazione delle soluzione
CPLEX
Scrive i risultati in file Excel Trasferisce al
solver istanze MPS
• Hardware:processore Intel® Pentium III, 800 MHZ, 256 M
Sistema Operativo: Windows® 2000.
Risultati ex-ante ed ex-postSoluzione dei modelli di programmazione deterministica sulla base delle quotazioni di 200 azioni della Borsa Valori di Milano per il periodo gen.1994-dic.1999.
Selezione dei dati che presentano continuità di quotazione sull’ orizzonte temporale T.
Calcolo degli input necessari alla formulazione del problema.
Dati ex-ante Dati ex-postT1
?T+1 T+n
•composizione portafoglio ottimo, percentuali e azioni scelte
•Delineazione frontiera efficiente mediante i valori di F.O., rendimento atteso dei problemi di MRP, MSP a ρ
variabile
•Verifica della bontà delle scelte effettuate ex-ante tramite il calcolo delle performance sui dati ex-post:
- rendimento medio - rendimenti cumulati - parametri statistici
Input dei problemi Verifica dei risultati
CREAZIONE ISTANZE
D2
D1
MINIMAXP-exp
MINIMAXP-lin
MINIMAX
Frontiera efficiente Minimax
0.20%0.30%0.40%0.50%0.60%0.70%0.80%
0.01500 0.01700 0.01900 0.02100 0.02300 0.02500
RischioRe
ndim
ento
ρ=50%
ρ=40%
ρ=30%
ρ=20%
ρ=10%
ρ=0
α=1α=0
D1=260 periodiD2=80 periodi
In totale 72 istanze ⇒ 72 portafogli efficenti
Per ogni modello 12 istanze
PESI LINEARI Confronto realizzato per ρ=40%
VALUTAZIONE EX-ANTE
VALUTAZIONE EX-POST
Azioni portenti 21A/20P
95
100
105
110
115
30/6/99 19/8/99 8/10/99 27/11/99Settimana
CAPI
TALE
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
8/7/99 27/8/99 16/10/99 5/12/99Settimana
Rend
imen
to
0.021490.007490.00950.0110.0173874.8%-1.47%0.41%PESATO
-0.024540.007500.008880.01000.0143854.03%-2.19%0.26%NORMALE
DDEVs Stds-MadMadDev. Std.MaxMinMediaRENDIMENTO
0%
2%4%
6%8%
10%12%
14%16%
18%
Zucch
iPre
mudar
Gaiana
Falkr
isRisa
namr
Finpa
r
0%2%4%6%8%
10%12%14%16%18%
Bpcrem
ona
Zucch
iPre
mudar
Gaiana
Risana
mr
Falkr
is
… …Percentuali scelte
Confronto realizzato per ρ=40%PESI ESPONENZIALI
-0.038520.01023-0.014710.018100.028206.52%-3.15%0.70%PESATO
-0.024540.00756-0.008880.01000.014384.03%-2.19%0.26%NORMALE
DDEVs Stds-MadMadDev. Std.MaxMinMediaRENDIMENTO
VALUTAZIONE EX-ANTE
Azioni portanti 21A/18P
Percentuali scelte
VALUTAZIONE EX-POST
80
90
100
110
120
30/6/99 19/8/99 8/10/99 27/11/99Settimana
CAPI
TALE
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
6/7/99 25/8/99 14/10/99 3/12/99Settimana
Rend
imen
to
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Jolly
ris
Gaiana
Garbo
li
Bcarig
e
Zucch
i
Finpa
rr
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Zucch
iPre
mudar
Gaiana
Falkr
isRisa
namr
Finpa
r
Distribuzione normale
LOGICA FUZZYProblematiche associate alle
ipotesi poco realistiche
Problema quadratico Problema lineare
Possibilità di introdurre stime Natura stazionaria dei dati
Portafoglio concentrato Portafoglio diversificato
Qualsiasi investitore Investitore avverso al rischio
Qualsiasi distribuzione possibilistica
Programmazione Matematica Fuzzy
Problema di ottimizzazione•Ambiguità sui parametri•Vaghezza di preferenza
Soluzioni del mondo reale
Modelli di programmazione matematica
Modelli di programmazione matematica fuzzy
Soluzione al modello matematico
Fase 1
Fase 2
Fase 3
Verifica
Modelli Fuzzy
∑=
N
jjj xs
1 min
∑=
=N
jjj xc
1ρ
∑=
=N
jjx
1
1
0≥jx
∑ ∑= =
⋅−−−n
j
n
jjjojj xshxc
1 1)1ln( max
∑=
=N
jjx
1
1
0≥jx
Trasformazione dei dati di input in numeri Fuzzy Normali
Minimum Spread Maximum Safety
1
0
jc js
ohUn numero fuzzy è un insieme di valori che presentano caratteristiche di continuità e normalità.
Soggetto a:Soggetto a:
Grado di possibilità
AmpiezzaMedia
Risultati sui modelli Fuzzy
8 0
9 0
1 0 0
1 1 0
1 2 0
1 3 0
1 4 0
1 5 0
1 6 0
30/ 6/ 99 20/ 7/ 99 9/ 8/ 99 29/ 8/ 99 1 8/ 9/ 99 8/ 1 0/ 99 28/ 1 0/ 99 1 7/ 1 1 / 99 7/ 1 2/ 99 27/ 1 2/ 99
S e tt im a na
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
7/7/99 27/7/99 16/8/99 5/9/99 25/9/99 15/10/99 4/11/99 24/11/99 14/12/99
Settimana
Rend
imen
to
80
100
120
140
160
180
30 /6 /99 20 /7 /99 9/8 /99 29 /8 /99 18 /9 /99 8/10 /99 28 /10/99 17 /11/99 7/12 /99 27 /12/99
Settimana
Capi
tale
Minimum Spread Fuzzy Maximum Safety Fuzzy
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
7/7 /9 9 27 /7 /99 16 /8 /99 5 /9 /9 9 25 /9 /99 15 /1 0 /99 4 /11 /99 24 /1 1 /99 14 /1 2 /99
Settimana
Rend
imen
to
Portafoglio concentratoPercentuali varibili a seconda di ρ
Portafoglio concentratoPercentuali varibili a seconda di ho
CONCLUSIONI
Aggiornato punto della situazione sulla conoscenza tecnico-scientifica del problema di asset allocation.
Formulazione matematica di nuovi pesi per le azioni, adattabili ad un vasto numero di modelli, che penalizzano i dati storici e le misure di rischio in funzione dell’istante diosservazione.
Gestione efficace dei dati in ingresso ai modelli di programmazione attraverso l’uso di moderni sistemi software (cplex, excel).
Il confronto quantitativo delle prestazioni ex-ante ed ex-post di modelli con uso dei pesi, ha portato conferme sulla validità delle ipotesi avanzate.
Formulazione matematica di modelli fuzzy per la selezione del portafoglio, che presentano riduzione di complessità computazionale e maggiore aderenza alle esigenze.
Effettuate prove computazionali sui modelli fuzzy