TESI DI LAUREA

MODELLI DI OTTIMIZZAZIONE PER PROBLEMI DI SELEZIONE DI PORTAFOGLIO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BRESCIAFACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE

Relatore: Laureanda:

Prof.ssa Renata Mansini Ida Mendini

SELEZIONE DI PORTAFOGLIO

Allocazione di capitale detenuto da un soggetto economico in attività rischiose

Soluzione del problema

Numero troppo elevatodi variabili da

gestire

Conoscenzaincompleta del

sistema in cui si opera

Problema decisionale

Individuazione di un insieme di alternative

Criteri di selezione

Necessaria unamodellizzazione del problema

L’applicazione del criterio di massimizzazione della funzione

di utilità in condizioni di incertezza

I rendimenti possibili sono variabili stocastiche.

MODELLIZZAZIONE DEL PROBLEMA

FUNZIONE OBIETTIVO DEL PROBLEMA

CRITERIO DI TRADE-OFF

RISCHIO RENDIMENTO

minimizzazione massimizzazione

Cxr jj

j ρ≥∑

∑ =j

j Cx

jj ux ≤≤0

Le variabili decisionali del problema sono le frazioni di capitale xj , investite nel titolo j.

Soluzione concentrata

ijiP NN

Nσσσ

11 22 −+=

I vincoli possono essere di varia natura: Rendimento minimo atteso ex-ante

Capitale massimo da investire

Massima frazione di capitale investibile nell’azione j.

La soluzione del problema è il vettore x di N componenti:

Soluzione diversificata

→Poche componenti a valore ≠ da 0

Molte componenti a valore ≠ da 0

1. Panorama completo del problema di asset allocation.

2. Riformulare i modelli esistenti introducendo pesi in dipendenza del tipo

di azione e del tempo.

3. Ricerca di soluzioni alternative del problema più aderenti alla realtà.

4. Testare l’efficacia ed efficienza dei modelli formulati attraverso uno

studio computazionale su dati reali.

OBIETTIVI DELLA TESI

AD

(1993)

CLASSIFICAZIONE DELLA LETTERATURA ESISTENTE (1956-2001)Ricerca

bibliografica

Classificazione di un centinaio di pubblicazioni

Recenti sviluppi e tendenze delle future ricerche

N°

MINIMAX

(1998)

REGRET

(1993)MAD(1991) m-MAD

(2000)VARIANZA

(1952)SPREAD

(2001)

Classificazione misure di rischio secondo la teoria dell’utilità

FORMULAZIONE MATEMATICA DEL PROBLEMA

t ∀≥∑ Pjj

jt Mxr

Cxr jj

j ρ≥∑

Cxj

j =∑jj ux ≤≤0

t E min1 1

∀

−∑ ∑

= =

n

j

n

jjjjj xRExR

t min ∀∑T

yt

t

0)( ≥−+∑ jjj

jtt xrry

)()( max1 1

1

− ∑=

m

ii

i xx δλλ

λµ

∑ ∑= <

−

T

tt

yytttt ppyy

tt1''

:'''''''

'''

)( min

∑∑= =

n

j

n

iijji xx

1 1

min σ

modello Minimax

modello MAD

modello AD

modello m-MAD

modello di Gini

Modello Media-Varianza

max PM

UTILIZZO DI SMORZAMENTO

CV(σ/m) azioni

Nel caso di distribuzione stazionaria, dato un orizzonte temporale T, si assegna ai dati storici osservati lo stesso peso (pari ad 1/T).

Formulazione di nuovi pesi che permettono di considerare maggiormente i dati più recenti

Pesi in funzione delle azioni

Pesi in funzione del tempo

1 Tt

INCONVENIENTE: se l’orizzonte temporale T è molto lungo, l’influenza dei dati più recenti è la stessa di quelli passati.

MISURE DI RISCHIODATI

STORICI

INTRODUZIONE DI PESI

∑=

= T

tjt

jtjt

w

wp

1

∑=

=T

tjtp

1

1

−= ∑

22 )(

tjtjtjtj RpRRσ

∑=t

jtjtj pRRE )(

)()(),cov( iiji RRRR σσ ⋅⋅= P

tCV

CVwjt1

+=

)(1 tTCVawjt

−⋅

=

PROPRIETA’ DEI PESI

I pesi utilizzati rispettano la teoria dell’utilità e sono normalizzati(?):

tutti i pesi sono compresi tra 0 ed 1possono essere introdotti nelle definizioni di media varianza e covarianza:

1

1

T

Tt

t

Smorzamentoper i dati storici

Smorzamentoper le misure di rischio

N

pp

N

jjt

t

∑== 1

Mean Absolute deviationm-Mean Absolute deviationMinimaxGini mean differenceMedia geometrica

Effetto desiderato: ↑ CV ⇒ considero molti dati; ↓ CV ⇒ considero molto i dati più recenti.

FORMULAZIONE MATEMATICA dei MODELLI PESATI

Cxjj

ρ ≥∑ wj

r

Cxj

j =∑jj ux ≤≤0

t)(max

1

∀

− ∑∑=

m

1=ii

iN

jxPr it

wj

δ1λ

λ1

λ

∑ ∑= <

−

T

t yyttt

tt

yy1' :''

''''''

)(min t''t' pp

)(min1 1

j

n

j

n

iiji xx σσ p∑∑

= =

modello MinimaxP

modello MADP

modello ADP

modello mMADP

modello di Gini

Modello Media-Varianza

jt∀≥∑ Pjjt Mxr jtp

PM max

∑j

t)(min ∀− jjt xr wjr

tmin ∀∑ tPt

ty

0)( ≥−+ ∑ jj

jtt xry wrj

∑

∑

=

== T

tjt

T

tjtjt

wj

w

wrr

1

1

Smorzamento

LINEARE

ESPONENZIALE

Smorzamento

SISTEMA INFORMATICO

•Reperimento dati•Lettura risultati

Excel

•Archiviazione dati•Archiviazione risultati

•Grafici ed altri parametri•Creazione istanze da

inviare al solverExcel/VBA

•Risolve le istanze LP e QP

•Generazione delle soluzione

CPLEX

Scrive i risultati in file Excel Trasferisce al

solver istanze MPS

• Hardware:processore Intel® Pentium III, 800 MHZ, 256 M

Sistema Operativo: Windows® 2000.

Risultati ex-ante ed ex-postSoluzione dei modelli di programmazione deterministica sulla base delle quotazioni di 200 azioni della Borsa Valori di Milano per il periodo gen.1994-dic.1999.

Selezione dei dati che presentano continuità di quotazione sull’ orizzonte temporale T.

Calcolo degli input necessari alla formulazione del problema.

Dati ex-ante Dati ex-postT1

?T+1 T+n

•composizione portafoglio ottimo, percentuali e azioni scelte

•Delineazione frontiera efficiente mediante i valori di F.O., rendimento atteso dei problemi di MRP, MSP a ρ

variabile

•Verifica della bontà delle scelte effettuate ex-ante tramite il calcolo delle performance sui dati ex-post:

- rendimento medio - rendimenti cumulati - parametri statistici

Input dei problemi Verifica dei risultati

CREAZIONE ISTANZE

D2

D1

MINIMAXP-exp

MINIMAXP-lin

MINIMAX

Frontiera efficiente Minimax

0.20%0.30%0.40%0.50%0.60%0.70%0.80%

0.01500 0.01700 0.01900 0.02100 0.02300 0.02500

RischioRe

ndim

ento

ρ=50%

ρ=40%

ρ=30%

ρ=20%

ρ=10%

ρ=0

α=1α=0

D1=260 periodiD2=80 periodi

In totale 72 istanze ⇒ 72 portafogli efficenti

Per ogni modello 12 istanze

PESI LINEARI Confronto realizzato per ρ=40%

VALUTAZIONE EX-ANTE

VALUTAZIONE EX-POST

Azioni portenti 21A/20P

95

100

105

110

115

30/6/99 19/8/99 8/10/99 27/11/99Settimana

CAPI

TALE

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8/7/99 27/8/99 16/10/99 5/12/99Settimana

Rend

imen

to

0.021490.007490.00950.0110.0173874.8%-1.47%0.41%PESATO

-0.024540.007500.008880.01000.0143854.03%-2.19%0.26%NORMALE

DDEVs Stds-MadMadDev. Std.MaxMinMediaRENDIMENTO

0%

2%4%

6%8%

10%12%

14%16%

18%

Zucch

iPre

mudar

Gaiana

Falkr

isRisa

namr

Finpa

r

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%18%

Bpcrem

ona

Zucch

iPre

mudar

Gaiana

Risana

mr

Falkr

is

… …Percentuali scelte

Confronto realizzato per ρ=40%PESI ESPONENZIALI

-0.038520.01023-0.014710.018100.028206.52%-3.15%0.70%PESATO

-0.024540.00756-0.008880.01000.014384.03%-2.19%0.26%NORMALE

DDEVs Stds-MadMadDev. Std.MaxMinMediaRENDIMENTO

VALUTAZIONE EX-ANTE

Azioni portanti 21A/18P

Percentuali scelte

VALUTAZIONE EX-POST

80

90

100

110

120

30/6/99 19/8/99 8/10/99 27/11/99Settimana

CAPI

TALE

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

6/7/99 25/8/99 14/10/99 3/12/99Settimana

Rend

imen

to

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Jolly

ris

Gaiana

Garbo

li

Bcarig

e

Zucch

i

Finpa

rr

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Zucch

iPre

mudar

Gaiana

Falkr

isRisa

namr

Finpa

r

Distribuzione normale

LOGICA FUZZYProblematiche associate alle

ipotesi poco realistiche

Problema quadratico Problema lineare

Possibilità di introdurre stime Natura stazionaria dei dati

Portafoglio concentrato Portafoglio diversificato

Qualsiasi investitore Investitore avverso al rischio

Qualsiasi distribuzione possibilistica

Programmazione Matematica Fuzzy

Problema di ottimizzazione•Ambiguità sui parametri•Vaghezza di preferenza

Soluzioni del mondo reale

Modelli di programmazione matematica

Modelli di programmazione matematica fuzzy

Soluzione al modello matematico

Fase 1

Fase 2

Fase 3

Verifica

Modelli Fuzzy

∑=

N

jjj xs

1 min

∑=

=N

jjj xc

1ρ

∑=

=N

jjx

1

1

0≥jx

∑ ∑= =

⋅−−−n

j

n

jjjojj xshxc

1 1)1ln( max

∑=

=N

jjx

1

1

0≥jx

Trasformazione dei dati di input in numeri Fuzzy Normali

Minimum Spread Maximum Safety

1

0

jc js

ohUn numero fuzzy è un insieme di valori che presentano caratteristiche di continuità e normalità.

Soggetto a:Soggetto a:

Grado di possibilità

AmpiezzaMedia

Risultati sui modelli Fuzzy

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 3 0

1 4 0

1 5 0

1 6 0

30/ 6/ 99 20/ 7/ 99 9/ 8/ 99 29/ 8/ 99 1 8/ 9/ 99 8/ 1 0/ 99 28/ 1 0/ 99 1 7/ 1 1 / 99 7/ 1 2/ 99 27/ 1 2/ 99

S e tt im a na

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

7/7/99 27/7/99 16/8/99 5/9/99 25/9/99 15/10/99 4/11/99 24/11/99 14/12/99

Settimana

Rend

imen

to

80

100

120

140

160

180

30 /6 /99 20 /7 /99 9/8 /99 29 /8 /99 18 /9 /99 8/10 /99 28 /10/99 17 /11/99 7/12 /99 27 /12/99

Settimana

Capi

tale

Minimum Spread Fuzzy Maximum Safety Fuzzy

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

7/7 /9 9 27 /7 /99 16 /8 /99 5 /9 /9 9 25 /9 /99 15 /1 0 /99 4 /11 /99 24 /1 1 /99 14 /1 2 /99

Settimana

Rend

imen

to

Portafoglio concentratoPercentuali varibili a seconda di ρ

Portafoglio concentratoPercentuali varibili a seconda di ho

CONCLUSIONI

Aggiornato punto della situazione sulla conoscenza tecnico-scientifica del problema di asset allocation.

Formulazione matematica di nuovi pesi per le azioni, adattabili ad un vasto numero di modelli, che penalizzano i dati storici e le misure di rischio in funzione dell’istante diosservazione.

Gestione efficace dei dati in ingresso ai modelli di programmazione attraverso l’uso di moderni sistemi software (cplex, excel).

Il confronto quantitativo delle prestazioni ex-ante ed ex-post di modelli con uso dei pesi, ha portato conferme sulla validità delle ipotesi avanzate.

Formulazione matematica di modelli fuzzy per la selezione del portafoglio, che presentano riduzione di complessità computazionale e maggiore aderenza alle esigenze.

Effettuate prove computazionali sui modelli fuzzy