Modelli di decoerenza indotta dall’ambiente

in Meccanica Quantistica

Dopo la Meccanica Quantistica non relativistica sono state prodotte teorie con le quali non è possibile costruire un modello non banale; Mancano risultati e sono state elaborate poche idee (tutte qualitative) sui rapporti tra teorie a diverse scale

Ad ogni scala si vorrebbe avere: una teoria - un modello - un sistema fisico ben rappresentato dal modello

Termodinamica classica - motore ideale - le macchine termiche

Meccanica classica - punti materiali in interazione gravitazionale - il sistema solare

Meccanica quantistica - punti materiali in interazione coulombiana con un centro fisso - l’atomo

Teoria dei Campi Quantici Relativistici - ……………….?

• STATI

Lo stato di un sistema quantistico, di cui si abbia conoscenza massimale (stato puro), è ad ogni istante rappresentato da un vettore unitario in uno spazio di Hilbert H

Ψt =U(t)Ψ0 =e−i t

hHΨ0

ovvero

ih

dΨt

dt=HΨt Ψt=0 =Ψ0

LA MECCANICA QUANTISTICA

• OSSERVABILI

Ad ogni quantità osservabile  è associato un operatore autoaggiunto A. in H

• EVOLUZIONE

L’evoluzione dello stato, a partire da uno stato iniziale , è l’evoluzione unitaria generata dall’operatore autoaggiunto associato all’osservabile energia

• PREDIZIONISe t è lo stato del sistema al tempo t e Eè la decomposizione dell’unità relativa

all’operatore autoaggiunto A, allora la probabilità che al tempo t una misura di  dia valori

compresi nell’intervallo I è pari a

|PI(A)Ψt |2= d ||Eλ

I∫ Ψt ||2

I

a i

I

L’ ESEMPIO DI UN PUNTO MATERIALE

P(x∈Ω |Ψ) ≡ |Ψ |2Ω∫ dx

Per il sistema costituito da un punto materiale, in un campo di forze definito dal potenziale V(x), L2(R3) è la rappresentazione dello spazio di Hilbert H in cui l’osservabile , posizione del punto materiale, è associato all’operatore di moltiplicazione per x

(xΨ)(x) =xΨ(x)Il corrispondente proiettore:

PΩ

ˆ x

Ψ( ) x( ) =χΩ x( )Ψ x( ) χΩ x( ) =1 x∈Ω

=0 x ∉Ω

La probabilità di trovare il punto materiale in se lo stato è

ˆ x

P(p ∈hΣ |Ψ) ≡ | ˆ Ψ |2

Σ∫ dx

ˆ H ⇒ −

h2

2mΔx +V(x)

ih

∂Ψ(t)∂t

=HΨ(t) Ψ(0) =Ψ

In questa rappresentazione

p ⇒ −ih∇

e quindi

STATI DI SOVRAPPOSIZIONE

Ψ x( ) =c1Ψ1 x( ) +c2Ψ2 x( ) |c1 |2 +|c2 |2=1

Ψt(x) =c1Ψ1,t(x) +c2Ψ2,t (x) Ψi,t =U(t)Ψi i =1,2

P(x∈Ω |Ψt) = |Ω∫ c1Ψ1,t(x)+c2Ψ2,t (x) |2 dx

|c1 |2 |Ω∫Ψ1,t(x) |2 dx +|c2 |2 |

Ω∫Ψ2,t(x) |2 dx

( per esempio con suppΨ1( )∩ suppΨ2( ) =∅ )

invece di:

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DESCRIZIONE DEI SISTEMI COMPOSTI E DEI SISTEMI APERTI

<Ψ,FΨ >=Tr(PΨF)

con PΨ (qualche volta | Ψ ><Ψ | )

proiettore sul vettore Ψ

€

ci

i

∑ < Ψi ,FΨi >=Tr (ρF) ρ = ci

i

∑ | Ψi >< Ψi |

ci

i

∑ =1 ci ≥ 0, ∀ i

ρ(t) =e−i

t

hHρ(0)e

it

hH

ρS(A) =Tr(A⊗ IE ) A∈B(ΗS)

INTERAZIONE CON UN MACROSISTEMA

E LA TEORIA INGENUA DELLA DECOERENZA

I processi di misura ideale secondo Von Neuman:

Se uno strumento di misura M è adatto a misurare l’osservabile A (che può assumere i valori ai relativi agli autovettori i) ed è inizialmente nello stato 0 (“ in attesa” ), l’effetto del processo di misura dovrà essere

Φi ⊗ Ψ0 ⇒ Φi ⊗ Ψi

Ψicon stato del misuratore in cui l’indice punta su ai

Se la dinamica è lineare e lo stato iniziale del sistema è una sovrapposizione, si dovrà avere

cii∑ Φi

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ⊗ Ψ0 ⇒ ci

i∑ Φi ⊗ Ψi

Stati macroscopicamente distinguibili risulterebbero sovrapposti nello stato finale. Anche la posizione di parti macroscopiche dell’apparato di misura non sarebbe una quantità fisica dotata di significato oggettivo.

E’ a questo punto che ha inizio la storia del problema dell’oggettivazione dei macrosistemi e la saga dei gatti morti e dei gatti vivi.

(Si ha comunque

TrS(|Ψ ><Ψ |)= |cii

∑ |2|Ψi ><Ψi |)

L’effetto granello di sabbia e il meccanismo della decoerenza

Una perturbazione comunque piccola dell’ambiente sul sistema

particella+misuratore rende lo stato di ogni sottosistema una miscela statistica

cii∑ Φi

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ⊗ Ψ0 ⊗ Γ0 ⇒ ci

i∑ Φi ⊗ Ψi ⊗Γi ≡Ψ

Trg |Ψ ><Ψ |( ) = cii∑

2|Φi ⊗ Ψi ><Φi ⊗ Ψi |

IL MECCANISMO DELLA DECOERENZA

Decoherence can be defined as the phenomenon by which quantum mechanical systems behave as though they are described by classical probability theory (C. Anastopoulos)

..e si tiene conto che i sistemi coinvolti in un processo di misura risultano inevitabilmente in interazione con l’ambiente circostante, ci si convince immediatamente che il problema che stiamo analizzando è un problema squisitamente concettuale che ha scarsa rilevanza pratica (G. C. Ghirardi)

MODELLI DI DECOERENZA

INDOTTA DINAMICAMENTE

DALL’INTERAZIONE CON L’AMBIENTE

- La formula di Joos e Zeh

- Il meccanismo di Mott

d + s) 0⊗

LA FORMULA DI JOOS E ZEH

R = posizione di una particella pesante (rossa)R= posizione di una particella leggera (verde-blu)

t d,t s,t + s,t d,t

⊗≈ ⊗

Con M=1, h=2π, m = M

Allora

con

Il problema di Mott e le probabilità condizionate in Meccanica quantistica

Nel 1929 N.F. Mott pubblica The Wave Mechanics of - Ray Tracks dove prova a derivare proprietà “di tipo particella” osservate nelle camere a nebbia dalla appena nata Meccanica Quantistica

…. the particle is represented by a spherical wave which slowly leacks out of the nucleous. ……… It is a little difficult to picture how it is that an outgoing spherical wave can produce a straight track

Mott affronta perturbativamente il problema studiando l’equazione di Schroedinger indipendentemente dal tempo e deduce un risultato estremamente plausibile: se la particella ionizza ad un qualche istante un atomo della camera la probabilità di ionizzare un secondo atomo è più elevata se quest’ultimo si trova sulla congiungente la sorgente con il primo atomo

Per produrre modelli trattabili di “ambiente” o di “camera a nebbia” è necessario avere a disposizione “atomi semplici” e “interazioni risolubili” (interazioni puntuali)

Esempi: catene lineari di misuratori:

Camera a ionizzazione

CONCLUSIONI

- Per indagare la transizione tra comportamento quantistico e comportamento classico indotta dall’ambiente sono necessarie conoscenze dettagliate sulla dinamica di una particella in interazione con sistemi complessi almeno in alcuni limiti asintotici

- Per dare una stima dei tempi caratteristici della decoerenza e compararli con i tempi caratteristici degli scambi energetici sono necessari modelli risolubili, almeno nell’ambito di approssimazioni quantificabili