FORMULAZIONE DIFFERENZIALE

Descrizione delle proprietà locali dei campi introducendo gli operatori differenziali

GRADIENTE DI UNO SCALARE

(x,y,z) campo scalare continua e derivabile

ds = dx i + dy j + dz kspostamento infinitesimo a partire da un punto P(x,y,z)

La variazione corrispondente della funzione dipende dal modulo e dalla direzione di ds

*dzz

dyy

dxx

zyxdzzdyydxxd ,,,,

Introducendo il vettore

kjizyx

grad

la (*) si può riscrivere

dsgraddgradd Sus

Derivata direzionale di (x,y,z)

nella direzione individuata dal versore uS:

cosu gradgrad

dsd

S

angolo tra uS e la direzione di grad

componente di grad nella direzione di uS

se Sgrad //umassimoèdsd

Sgrad use0dsd

Modulo di grad = valore assoluto massimo di

dsd

Direzione e verso di grad direzione e verso per la quale

massimoèdsd

costante 0

dsd

superficiealla grad costantezyx ,,

Formalmente il gradiente è un operatore differenziale che applicato ad uno scalare definisce un campo vettoriale

kjizyx

grad

Si definisce divergenza del vettore v la grandezza scalare

zv

y

v

xv

div zyx

v

Teorema della divergenza: trasformazione di un integrale di superficie in un integrale di volume

S superficie chiusa che racchiude il volume V

S V

dVdivdΣ vnv

kjiv ZYX vvv vettore

Divergenza di un vettore

dy

dxP’

P

i

x

y

z

Consideriamo un parallelepipedo elementare di spigoli dx,dy,dz

dx, flusso totale attraverso tali facce, dipende solo da vX (P) e vX (P’):

i, i versori delle normali alle facce perpendicolari all’asse x

-iP(x,y,z)

P’(x + dx,y ,z)1dz

2

dydzzyxvzydxxv xx ,,,,

Quindi x2x1x ddd

dzyd z)y,(x,vd xx1

dydz d S

dzyd z)y,dx,(xvd xx2

dxdydzx

vd X

X

In maniera analoga

il flusso totale attraverso le facce all’asse y è

il flusso totale attraverso le facce all’asse z è

Il flusso totale attraverso la superficie del parallelepipedo elementare è

dxdydzy

vd Y

Y

dxdydzz

vd Z

Z

dVdivdxdydzz

vy

v

xv

d zyx v

dVd

divv

Divergenza = operatore differenziale che, applicato ad un campo vettoriale, dà come risultato la densità di flusso uscente da dV

Si suddivide il volume V in tanti parallelepipedi elementari e si sommano tutti i flussi, ottenendo il flusso attraverso la sola superficie esterna, poiché i contributi d relativi alle facce interne si elidono

Flusso totale attraverso una superficie finita

dVdivdV S

Svnv

nP

v campo vettoriale

Rotazionale di un campo vettoriale: TEOREMA DI STOKES

P punto del campo

linea chiusa nell’intorno di P

sv d

circuitazione del campo v

S superficie che ha come contorno, passante per P

n versore della normale positiva ad S, orientato in modo che il verso di percorrenza su sia antiorario

Si definisce rotazionale di un vettore v il vettore

zyx vvvzyx

rot

kji

v

Teorema di Stokes

dSrotd S nvsv

x

y

z

Consideriamo un rettangolo infinitesimo all’asse z di lati dx, dy nell’intorno di P

P(x,y,z) punto del campo

n k

dxdy

P

Circuitazione di v lungo il rettangolino

Contributo lungo i due lati // all’asse y

dyzydx

xvzydx

xv yy

),,(),,(

22dxdy

x

vy

Contributo lungo i due lati // all’asse x

x

y

z

n k

dxdy

P

dxzdy

yxvzdy

yxv xx

),,(),,(

22dydx

yvx

Si ha quindi la circuitazione di v lungo il rettangolino

dxdyx

vy

dydx

yvx

dxdy

yv

x

v xy

zzdrot S v

Per un rettangolino all’asse x di lati dy, dz di superficie

dxdyddove z S

dydzd x S

xxdSrot v

la circuitazione di v lungo il rettangolino vale

Analogamente

Per un rettangolino all’asse y di lati dx, dz di superficie

dxdzd y Sla circuitazione di v lungo il rettangolino vale

yydrot Sv

Per un elemento di superficie dS comunque orientato rispetto agli assi x,y,z, si può dimostrare che

la circuitazione di v lungo il suo contorno è pari alla somma dei tre termini precedenti

Circuitazione di v lungo una linea finita Suddividiamo S appoggiata a in due parti, aventi 1 e 2 come contorno

21

S zzdrot v xx drot Sv yydrot S v

S drot nv

21

21 somma delle circuitazioni

I tratti interni non danno contributo alla somma, in quanto percorsi due volte in senso inverso,quindi

Suddividendo S in infinite areole infinitesime e applicando ad ogni coppia di areole contigue le considerazioni precedenti, si ha

S S

drotdN

1ii

Nnvsvlim

SS

i

N

1i i

i

N

N

1ii

Nlimlim

S S S SS

Sdrotd

i

i

0i

nvlim

nvlim S

Srot

i

i

0i

Quindi

Utilizzando l’operatore come un vettore

kjizyx

vv divz

vy

v

xv zyx

gradzyx

kji

v v

kji

rot

vvvzyx

zyx

0 A

2

2

2

2

2

2

2

zyx

Laplaciano2

0 0gradrot

0Arotdiv

graddiv

operatore scalare

zzyyxx

Applicato ad un vettore A

kjiA zyx AAA 2222

Ricordando la proprietà del triplo prodotto vettoriale

CBABCACBA

Per il prodotto triplo misto vale

CBACBA Per l’operatore si ha

BAABBA

AA 2divgrad

AAAA 2rotrot

FORMULAZIONE DIFFERENZIALE DELL’ELETTROSTATICA

V potenziale elettrostatico

E campo elettrostatico

VgradV E

kji

zV

yV

xV

0

INTQd

S

SnE

Teorema di Gauss in forma integrale

Teorema di Gauss in forma differenziale0

divE

SS V 0V

dVdVdivd EnE

La divergenza è proporzionale alle sorgenti di flusso (coulombiane)

E campo elettrostatico conservativo

0d sE

Teorema di Stokes

0drotd S S

nEsE

0rot E

S superficie chiusa arbitraria, che delimita una regione

Per il principio di conservazione della carica elettrica:a una fuoriuscita complessiva di carica attraverso la superficie chiusa S deve corrispondere una diminuzione della quantità di carica contenuta nella regione V delimitata da S

Conservazione della carica elettricaEquazione di continuità

n

S

J

dtdq I INT

USC

S

S VVUSC dV

tρ

dVdtd

dI nJ

VVdV

tρ

dVdiv J

Per il teorema della divergenza

Consideriamo le variazioni per unità di tempo

conservazione della carica in termini differenziali: equazione di continuità per la carica elettrica

Nel caso di cariche in moto stazionario la densità di carica non può variare nel tempo Quindi in regime stazionario

0 J

Poiché il volume V è arbitrario

J campo solenoidaleLe linee di campo di J, dette linee di corrente, devono essere chiuse, senza sorgenti o pozzi

t J