Liceo Scientifico Statale "G. Peano" – Cuneo GfO

Classe 5ª Matematica

Limiti notevoli ed ordini di infinitesimo-infinito

Trigonometrici

1sin

lim0

x

x

x

0

cos1lim

0

x

x

x

2

1cos1lim

20

x

x

x

1tan

lim0

x

x

x 1

arcsinlim

0

x

x

x 1

arctanlim

0

x

x

x

Esponenziali e logaritmici

0lim

x

xa

se a>1

x

xalim

se 0<a<1

x

xalim

se a>1 0lim

x

xa

se 0<a<1

xax

loglim0 se a>1

xax

loglim0 se 0<a<1

xax

loglim se a>1

xax

loglim se 0<a<1

ex

x

x

11lim

exx

x

1

01lim

1

1lnlim

0

x

x

x

e

ax

xa

a

xlog

ln

11loglim

0

11

lim0

x

ex

x a

x

a x

xln

1lim

0

1

11lim

0

nx

xn

x

Ordini di infinitesimo

Quando x→0 gli infinitesimi sono ordinabili nel modo seguente:

infinitesimi di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→ infinitesimi di ordine maggiore

xn con 0<n<1 « … « x

1/3 « x

1/2 « x « x² « x³ « … « x

n con n>1

In presenza di una somma algebrica di più infinitesimi possono essere trascurati tutti quelli di ordine superiore

all’ordine minimo fra quelli presenti.

Sotto l’ipotesi x→0 è possibile sostituire un infinitesimo con un altro equivalente:

sin x ≈ tan x ≈ arcsin x ≈ arctan x ≈ ex – 1 ≈ ln (1 + x) ≈ x

1 – cos x ≈ ½ x²

Ordini di infinito

Quando x→+∞ gli infiniti sono ordinabili nel modo seguente:

infiniti di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ infiniti di ordine maggiore

loga x con a>1 « xn con 0<n<1 « … « x

1/2 « x « x² « … « x

n con n>1 « a

x con a>1 « b

x con b>a>1

In presenza di una somma algebrica di più infiniti possono essere trascurati tutti quelli di ordine inferiore

all’ordine massimo fra quelli presenti.