Post on 24-Jan-2016
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Lezione 13
• Equazione di Klein-Gordon
• Equazione di Dirac (prima parte)
equazione di continuità
hamiltoniana di Dirac
matrici alpha, beta
2
Equazioni d’onda relativisticheL’equazione di Schrödinger, come abbiamo già visto, descrive il comportamento
di una particella non dotata di spin e non relativistica, descritta in termini di una funzione d’onda, dipendente dalle coordinate spazio-temporali, e il cui modulo a quadrato ci fornisce la densità di probabilità di posizione della particella. Tale densità integrata su tutto lo spazio deve essere normalizzata a 1. La particella può essere libera o soggetta a un potenziale. L’equazione di Schrödinger però non parte da relazioni relativistiche, bensi da relazioni classiche ed è ottenuta, come abbiamo visto, sostituendo nell’equazione classica per una particella libera:
E = p2 / (2m) nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori:
tE
i
ip
Con un procedimento analogo dovrebbe essere possibile costruire un’equazione relativistica per una particella libera di spin zero.
3
Equazione di Klein-Gordon
tE
i
ip
0Φmt
222
2
Klein e Gordon nel 1926 costruirono un’equazione a partire dalla relazione relativistica tra energia e impulso:
E2 = p2 + m2
nella quale, come nel caso dell’equazione di Schrödinger, si sostituiscono a E e p gli operatori corrispondenti:
EQUAZIONE DI
KLEIN GORDON
PARTICELLA
RELATIVISTICA
LIBERA
0)Φm( 2μ
μ
L’equazione di Klein-Gordon si applica a particelle relativistiche a spin=0 (bosoni)
ħ=c=1
D’ALAMBERTIANO
(1)0)Φm( 2
4
Osservazioni sull' equazione di Klein-Gordon1) La relazione relativistica tra energia e impulso:
222 m p E
prevede la possibilità di due soluzioni per l'energia in corrispondenza di un certo valore dell'impulso:
2222 m p Em p E
2) Se tentiamo di derivare dall’equazione di K.-G. una equazione di continuità, come abbiamo fatto per l’equazione di Schrödinger che dava luogo all’equazione:
0jt
ρ
ci troviamo di fronte al problema di non poter interpretare come una densità di probabilità. Vediamo perchè...
Ci troviamo dunque a dover trattare soluzioni a energia negativa che sembrano non avere significato fisico.
5
Equazione di continuità dall’eq. di K.-G.
0Φmt
222
2
Prendiamo l’equazione di Klein-Gordon e la sua complessa coniugata:
Moltiplichiamo la prima per * e la seconda per :
Quindi sottraiamole membro a membro:
0ΦΦΦΦt
ΦΦ
t
ΦΦ 22
2
2
2
2
0|Φ|mΦΦt
ΦΦ 222
2
2
0|Φ|mΦΦ
t
ΦΦ 222
2
2
0Φmt
222
2
*
(2)
6
Definiamo le seguenti grandezze:
ΦΦΦΦj
t
ΦΦ
t
ΦΦρ
i
i
ΦΦΦΦΦΦΦΦj
t
ΦΦ
t
ΦΦ
t
ρ
22
2
2
2
2
ii
i
cioè assume la tipica forma di un’equazione di continuità, tuttavia la quantità non è definita positiva, come invece dovrebbe essere una densità di probabilità. Pertanto NON possiamo interpretare come una densità di probabilità.
DENSITA’ DI PROBABILITÀ ??
DENSITA’ DI CORRENTE DI
PROBABILITÀ ??
Con queste definizioni l'equazione (2) diventa:
0jt
ρ
7
Osservazioni sull’ eq. K.-G. 1) Gli autovalori dell’energia possono anche essere negativi: questa è una conseguenza naturale della relazione relativistica energia-impulso. Gli stati a energia negativa non sembrano interpretabili come stati fisici.
2) La densità di probabilità non è definita positiva, come lo era invece nell'equazione di Schrödinger, perchè, mentre l'eq. di S. conteneva una derivata prima rispetto al tempo, quella di K.-G. contiene una derivata seconda rispetto al tempo. Ciò deriva dal fatto che l'eq. di S. scaturisce dalla relazione classica energia-impulso nella quale l'energia è elevata al primo grado (E i /t) e l'impulso al secondo (p2 - 2/2m), mentre l'equazione di K.-G. deriva dalla relazione relativistica, nella quale entrambe sono elevate al quadrato (E - 2/t2 e p2 - 2/2m) .
Questo impedisce di usare l’equazione di K.-G. come equazione della meccanica quantistica ordinaria. Tuttavia essa è stata nuovamente riutilizzata con la nascita della teoria dei campi quantizzati (seconda quantizzazione), nella quale l’equazione di K.-G. è l’equazione che descrive non la funzione d’onda di una particella, ma un operatore associato a un campo bosonico che può creare o distruggere particelle a spin zero, che sono i quanti del campo stesso.
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Equazione di Dirac Allo scopo di descrivere particelle relativistiche di spin ½ e senza struttura, Dirac propose nel 1927 un altro tipo di equazione, tentando di risolvere i problemi posti dall’ eq. di K.-G.. L’equazione deve avere le seguenti caratteristiche:
• Da essa deve conseguire un’equazione di continuità ∂j =0
• La densità di probabilità deve essere definita positiva, in modo che sia interpretabile come una densità di probabilità: l’equazione deve pertanto contenere solo derivate prime rispetto al tempo
• L’equazione deve essere lineare e omogenea (principio di sovrapposizione)
• L’equazione di Schrödinger considera solo particelle a spin zero. Per poter descrivere particelle a s=1/2, la funzione d’onda deve essere a N componenti, cioè deve essere uno spinore (due particelle con la stessa massa, una a spin up e una a spin down devono essere due stati della stessa particella e quindi soddisfare alla stessa equazione di Dirac)
• Deve valere la relazione relativistica energia-impulso: E2 = p2 + m2. Pertanto le singole componenti dello spinore devono soddisfare a un’equazione di K.-G.
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L’ EQUAZIONE DI DIRAC (per fermioni relativistici) deve contenere: • Uno spinore a N componenti
• Derivata prima rispetto al tempo con un coefficiente matriciale
• Derivate prime rispetto alle coordinate con tre coefficienti matriciali (uno per ogni derivata)
• Termine senza derivata
dove le 1, 2, 3 e la sono delle matrici di dimensione NN. Indicando con un "vettore" di tre componenti che ha come componenti le tre matrici i:
(1) 0ψmβz
ψα
y
ψα
x
ψα
t
ψ1N
321
iiii
0ψmβψαt
ψ
ii
321 α ,α ,α α
possiamo riscrivere la (1) in forma più compatta:
(2)EQUAZIONE DI DIRAC
10
N...,1,i0ψβmψαψt
N
1nnin
N
1nnj
jin
3
1ji
i
In forma matriciale:
NNN1
1N11
3NN
3N1
31N
311
3
2NN
2N1
21N
211
2
1NN
1N1
11N
111
1
N
1
ββ
ββ
β
αα
αα
α
αα
αα
α
αα
αα
α
ψ
ψ
ψ
In componenti, ciò significa che l' equazione di Dirac equivale in realtà a N equazioni, una per ogni componente dello spinore :
11
14321 0ψmψαψαψαψ
t
β zy
x
i
0
0
0
0
ψ
ψ
ψ
ψ
ββββ
ββββ
ββββ
ββββ
m
ψ
ψ
ψ
ψ
αααα
αααα
αααα
αααα
ψ
ψ
ψ
ψ
αααα
αααα
αααα
αααα
ψ
ψ
ψ
ψ
αααα
αααα
αααα
αααα
t
ψt
ψt
ψt
ψ
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
344
343
342
341
334
333
332
331
324
323
322
321
314
313
312
311
4
3
2
1
244
243
242
241
234
233
232
231
224
223
222
221
214
213
212
211
4
3
2
1
144
143
142
141
134
133
132
131
124
123
122
121
114
113
112
111
4
3
2
1
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
i
Vediamo che cosa significa l’equazione di Dirac in componenti. Poichè tra poco vedremo tra poco che la dimensione di è 4, in componenti scriveremo:
4
3
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
12
0m zzzz
yyyyxxxx
41431321211143
1433
1323
1213
11
4214
3213
2212
1211
4114
3113
2112
1111
1
ψβψβψβψβψ
αψ
αψ
αψ
α
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
t
ψ
i
L'equazione di Dirac corrisponde quindi a quattro equazioni (perchè quattro è la dimensione dello spinore ):
0 m zzzz
yyyyxxxx
42432322212143
2433
2323
2213
21
4224
3223
2222
1221
4124
3123
2122
1121
2
ψβψβψβψβψ
αψ
αψ
αψ
α
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
ψα
t
ψ
i
0...
t
ψ3
0...
t
ψ4
13
Prendiamo l’equazione di Dirac e la sua hermitiana coniugata:
i ∂0 + i k∂k – m = 0 – i∂0† –i ∂k† (k)†–m † † = 0
Moltiplichiamo la prima a sinistra per † e la seconda a destra per
i †∂0 + i † k∂k –m† = 0 –i(∂0 †) –i (∂k †)(k)† –m†† = 0
Quindi sottraiamole membro a membro:
Equazione di continuità dall’eq. di Dirac
i†∂0 + (∂0 †) + i ( † k ∂k + (∂k †)(k)† – m († – † † = 0
derivata del prodotto † potrebbe essere la derivata del prodotto † k se fosse (k)†=k
potrebbe annullarsi se fosse ()†=
Per ottenere un'equazione di continuità dobbiamo quindi necessariamente imporre che le matrici 1, 2, 3 e siano hermitiane:
(k)† = k e † =
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0 j
t
ρ
Dando le seguenti definizioni di densità di probabilità e di densità di corrente di probabilità, perveniamo a una equazione di continuità:
i
N
1ii ψ ψ ψ ψ ρ *
†
ψ α ψ j kk †
In tal modo infatti l' equazione diventa:
i∂0 († + i († k ∂k + (∂k †) k – (m† - m† = 0 (3)
i ∂0 († ) + ∂k(† k) = 0
DEFINITA POSITIVA
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Per trovare l'hamiltoniana dell'equazione di Dirac, possiamo esprimere l'equazione nella forma seguente:
Hamiltoniana di Dirac
0ψmβψα t
ψ
ii
Pertanto l'hamiltoniana per una particella libera fermionica che soddisfa l'equazione di Dirac è:
ψ Hψ β mψα t
ψ
ii
β mα H
i
N.B. La condizione che le matrici i e debbano essere hermitiane si poteva anche ottenere imponendo che l'hamiltoniana fosse hermitiana.
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RELAZIONE RELATIVISTICA ENERGIA-IMPULSO
Richiederemo ora che le singole componenti di soddisfino all' equazione di Klein-Gordon, o, il che è equivalente, richiediamo che valga la relazione relativistica energia-impulso:
0ψmβα t
i
ii EQ. DI DIRAC
0ψmψt
ψ
i2
i2
2i
2 EQ. DI KLEIN-GORDON
Applichiamo all'equazione di Dirac un operatore appropriato, che permetta di ottenere l'equazione di K.-G. a partire da quella di Dirac:
mβα t
ii
0ψ mβα t
mβα t
i
iiii
0ψ β mα β m t
mβ β α m α α t
α βt
m αtt
i22
2
2 iiii
17
0ψ β mα β m t
mβ β α m α α t
α βt
m αtt
i22
2
2 iiii
0ψ β mα β m t
mβ β mα α α t
α t
β m t
αt
i22
ii
ii
jj
ii
2
2
iiii
Dato che le matrici i e sono i coefficienti dell' equazione di Dirac, essi devono essere parametri non dinamici, cioè non dipendono nè dal tempo nè dalle coordinate, pertanto esse filtrano attraverso le derivate temporali e spaziali:
2323
1313
3232
1212
3131
2121
3333
2222
1111
33
22
11
33
22
11
3
jj
j3
ii
ij
ji
i
α α α α α α α α α α α α α α α α α α
α α α α α α α α α α N.B.
2323
3232
1313
3131
1212
2121
3333
2222
1111
3333
3232
3131
2323
2222
2121
1313
1212
1111
3333
2323
1313
3232
2222
1212
3131
2121
1111
3
j3j
3j2j
2j1j
1jj3
j3j2
j2j1
j1
j
3
ji,i
ijjiji
ijjij
ji
i
αα 2 αα 2 αα 2αα 2 αα 2αα 2 αα 2 αα 2αα 22
1
) αα αααα αα αααα αα αα αα
αα αα αα αα αα αααααααα(2
1
αααααααααααα2
1
αααα2
1 αααα
2
1 α α
:riscrivere così può si Questo
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jiijji
jj
ii αααα
2
1 α α
(3) 0ψ β m α ββ α m α αα α2
1
t
i22
iii
jiijji
2
2
i
Ma l'equazione di K.-G. è:
0ψmψt
ψ
i
2i
22
i2
o anche:
0ψ m t
i2
ii2
2 (4)
Perchè la (3) e la (4) coincidano occorre che valgano per le matrici i e le seguenti regole:
NNijji
NNijijji
NNijijji 111 δ 2 α , α δ 2α αα α δα αα α
2
1
β ,α α β- β α cioè α ββ α NNiii
NNii 00
NN2 1 β
cioè le matrici i e anticommutano e il loro quadrato è uguale all'identità.
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pariN11)(
β)det(α1)()det(α ) β det( )1det() α β det()β αdet(
N
kN
β)det(α
kNN
k
α β
k
kk
ALTRE PROPRIETÀ DELLE MATRICI i E
2) Le matrici i e hanno traccia nulla. Infatti:
Ma poichè le matrici e le anticommutano, si avrà:
0)α ββ (α kk
kk βαβ α kk2k αα ββα β
0)Tr(α)αTr()Tr(α kkk
3) La loro dimensione è necessariamente pari. Infatti:
β)α βTr()αβ Tr()Tr(α 2 kk
1
k
44
1) Dal momento che le matrici i e anticommutano, non è possibile trovare una base nella quale esse siano tutte e quattro contemporaneamente diagonalizzabili. In ogni base solo una delle quattro sarà diagonalizzata.
(proprietà delle tracce)
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4) Qual è il valore minimo per N? Non è ammessa la dimensione N=2, in quanto in tal caso il numero massimo di matrici che anticommutano è 3 (vedi matrici di Pauli). La dimensione minima è N=4.
Una possibile scelta è quella della rappresentazione detta di Dirac-Pauli, nella quale la matrice è diagonale:
1000
0100
0010
0001
10
01β
0σ
σ0α
v
v
u
u
ψ2222
2222
22k
k22k
(2)
(1)
(2)
(1)
dove le k sono le matrici di Pauli e pertanto:
0010
0001
1000
0100
0σ
σ0α
000i
00i0
0i00
i000
0σ
σ0α
0001
0010
0100
1000
0σ
σ0α
223
3223
222
2222
221
1221
21
PARTICELLE A MASSA NULLA
Notiamo che l'equazione di Dirac:
0ψβmψαt
ψ
ii
per particelle a massa nulla (m=0), come il neutrino, si riduce a:
0ψαt
ψ
ii
Per descrivere il sistema, sono dunque sufficienti tre matrici linearmente indipendenti i (i=1, 2, 3). Pertanto le dimensioni dello spinore diminuiscono a 2 in quanto la dimensionalità più bassa per tre matrici anticommutanti è N=2 e le matrici in questione sono le tre matrici di Pauli. Possiamo dunque assumere:
33
22
11 σα σα σα
Indicando con il vettore composto dalle tre matrici: = (, , ), l'equazione di Dirac si riduce a un'equazione a due componenti sole nello spinore L (detta equazione di Weyl, vedremo meglio dopo il suo significato):
0ψt
ψL
L
σ
ii