2r

MmGF

L’enunciazione della Legge di Gravitazione Universale

È dovuta a Sir Isaac Newton (1687) essa afferma che due corpi posti a una distanza r esercitano l’uno sull’altro una forza a distanza attrattiva, direttamente proporzionale a ciascuna delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza reciproca.

r

F -FM m

0.241 yr

0.615 yr

1 yr

1.88 yr

Newton arrivò alla formulazione della sua legge studiando da una parte le osservazioni di Keplero sui moti planetari

Ovvero studiando la forma delle orbite e le relazioni fra i periodi di rivoluzione e le distanze dal sole

Dall’altra, confrontando l’accelerazione di gravità di un corpo sulla Terra con l’accelerazione centripeta della Luna nel suo moto intorno alla Terra.

2r

MmGF

Come risultato, Newton dimostrò che doveva esistere una relazione di proporzionalità di questo tipo:

Ma non misurò e non poteva ricavare direttamente il valore della costante di proporzionalità G !

r

F -FM m

Per fare questo infatti avrebbe dovuto misurare indipendentemente M, m, r e F, e ricavare G dalla formula:

GMm

Fr

2

Purtroppo la forza gravitazionale fra oggetti terrestri di massa ragionevole (diciamo fra 1 e 100 kg) posti a una distanza ragionevole (diciamo 10cm) è molto piccola, dell’ordine di 1 milionesimo di Newton, pari al peso di circa un decimo di milligrammo.

r

F -FM m

Come costruire una bilancia abbastanza sensibile da misurare una forza così piccola? Il problema fu risolto solo più di un secolo dopo da Lord Cavendish.

x

rmM

2r

MmGF G

Mm

Fr

2

Apparecchio usato da Lord Cavendish nel 1798 per misurare la costante di gravitazione universale

Sferette d’oro

Sfere di piombo

Uno spaccato dell’apparato originale di Cavendish.

x

rmM

2r

MmGF G

Mm

Fr

2

Ci sono due difficoltà fondamentali.

La prima è di misurare x.

0 10 20 30

(-2*2+0.6+0.8)/4 = - 0.65

Quindi la misura di x si ottiene col procedimento di media appena descritto

-2

+0.8

+0.6

Fatto questo, bisogna trovare il modo di ricavare la forza F dallo spostamento x.

Ci vuole in poche parole la costante elastica del pendolo di torsione:

xkF

Questa si ricava in modo piuttosto semplice misurando il periodo di oscillazione del pendolo T e conoscendo le masse m oscillanti, il braccio del pendolo l e il braccio della leva ottica L

R

r

T

mk

2

22

L

l

m

T

Ricapitolando, bisogna misurare

Le masse m oscillanti

Le masse M fisse

La distanza r fra masse oscillanti e masse fisse

Il braccio l del pendolo di torsione

Il braccio L della leva ottica

Il periodo di oscillazione T del sistema

Lo spostamento x del fascio dalla sua posizione di equilibrio

(col metodo della media con i tre punti)

L

l

T

mk

2

22 xkF

mM

FrG

2