Numere reale

Numere scrise în baza 10

3 210 10 10 , , , , cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 , 0abcd a b c d a b c d a ;1 2 3 4, 10 10 10 , , , , , cifrea bcde a b c d e a b c d e ;

Fracții- Fracții zecimale finite: , ; , .

10 100ab abca b a bc

- Fracții zecimale periodice

- simple , ; ,9 99

ab a abc aa b a bc

- mixte , ; ,90 990

abc ab abcd aba b c a b cd .

Puteri naturale ale numerelor reale1. (+a)n = +an

2. (-a)2n = +a2n

3. (-a)2n+1 = -a2n+1

4. aman = am+n

5. am:an = am-n, a 06. ambm=(ab)m

7. am:bm =ma

b

, b 0;

8. 1 1 mm

m aa a

, a 0;

9. (am)n = amn = (an)m;

10. a0 = 1, a 0;

11. 0n = 0, n 0, nN.

Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi saunegativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor deputeri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere naturale.

Identitãţi fundamentaleOricare ar fi x,y,z,t,a,b,cR şi nN, avem:

1. a2 – b2 = (a – b)(a + b);2. 2 2 22a b a ab b ;

3. 2 2 22a b a ab b ;4. 4ab = (a + b)2 – (a – b)2;5. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2;6. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);7. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);8. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz);9. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x);10.a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);11.a4 + b4 = (a2 + b2)2 – a2b2;12.a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4);13.a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4);

14.(1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5;15.a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson);16.an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1);17.a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2);18.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n);19.(1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.

Radicali. Proprietãţi

1.1

, 0m ma a a ;

2.11 1 , 0mm

ma a

a a

;

3. , 0m

m a a a ;

4. , , 0m m ma b ab a b ;

5. 1 1 , 0m

m aa a

;

6. , , , , 0m m m ma b c abc a b c ;

7. : , 0, 0m m maa b a bb

;

8. , 0m nm nm na a a a ;

9. : , 0n mm nm na a a a ;

10. , 0nm mn a a a ;

11. , 0nnnm m ma a a a ;

12. , 0mp pmn na a a ;

13. , , 0p q pn qmm n mna b a b a b ;

14. , 0m nn mn ma a a a ;

15. : : , 0, 0p q pn qmm n mna b a b a b ;

16. 2 ,a a a R ;

17.1

2 1 2 12 1 , 0n nna a a a ;

18. 2 12 1 , 0

nn a a a

;

19. 2 , , 0a b a b ab a b ;

20.2 2

A C A CA B , dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui a b este a b iar pentru 3 3a b este2 23 33a ab b .

Modului unui numãr real Definiție:, 0

0, 0 ,, 0

x daca xx daca x x

x daca x

R

Proprietãţi: x,yR, avem:

1. 0x 0x ;2. xx ;3. yx yx sau yx ;4. ax aaxa , R;5. xxx ;6. yxyx ;

7. yxyx

8. yxyx ;

9. yxyxyx ;10. yxxy ;

11. 0, yyx

yx