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8/17/2019 Le Onde Di Massa
1/11
Le onde di massa:1. Le equazioni di equilibrio
x
y
z
Z,w
Y,v
X,u
xy
yx xz
zx yz
zy
dz z
zx zx ∂
∂+ τ
τ
dy y
yx yx ∂
∂+ ττ
ji ij
yz xz z
zy xy y
zx yx x
τ τ
y x z t
w
z x yt
v
z y x t
u
=
∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∂∂
⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂⋅
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∂∂
⋅
CauchydiTeorema
equilibriodiEquazioni
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
2
2
2
2
2
2
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2.1 Le relazioni di elasticità in un corpo omogeneo ed isotropo
( ) ( ) ( ) ( )
ν
ν
ν
ν
τ
τ
τ
γ
γ
γ
σ
σ
σ
ν
ν
ν
γ
211121
2221!21
1
1
1
1""
"1"
""11
1
1
11
222
!22!
−+=+⋅−+=
=−−−++=−−=−−
−−−−
⋅
=
⋅
−−−−−−
=
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
:teDeterminan
yz
xz
xy
yz
xz
xy
z
y
x
z
y
x
yz xz xy
z y x
G ;
E
y
w
z
v;
x
w
z
u;
x
v
y
u
z
w;
y
v;
x
u
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2.2 Le matrici di elasticità in un corpo omogeneo ed isotropo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
⋅
=
⋅
++
⋅
−+⋅
=
⋅
−+−+
−+
−+=
⋅
−−−
−+=
⋅
−+++−+ ++−
−+=
yz
xz
xy
yz
xz
xy
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
G
E E
E
E E
γ
γ
γ
τ
τ
τ
ν
ν
ν
σ
σ
σ
ν
ν
ν
ν
σ
σ
σ
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
σ
σ
σ
1""
"1"
""1
1""
"1"
""1
12
2
111
111
111
211
21
21
21
211
1
11
211111
111111
211 2
2
2
2
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( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
⋅=
+⋅=
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=++=
=
+
=
−+
⋅=
⋅
+
+
⋅
−+
⋅=
yz
xz
xy
yz
xz
xy
z
y
x
z
y
x
z y x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
;
)aidrostatic( volumedi nedeformazio z
w
y
v
x
u: Posto
G E
; E
: Posto
E E
γ
γ
γ
µ
τ
τ
τ
µ
σ
σ
σ
ν
µ
ν
ν
λ
ν
ν
ν
σ
σ
σ
2
12211
1""
"1"
""1
12
2
111
111
111
211
LAME'DICOSTANTI
2.! Le relazioni di elasticità in un corpo omogeneo ed isotropo
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Le equazioni di equilibrio
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) w z t
w
v yt
v
Grad Divlaplacianooperatoreindical oveu
xt
u
z
u
y
u
x
u
xt
u
z u
x z u
z xw
z z u
xw
y
u
x y
u
y x
v
y y
u
x
v
x
u
x x x x
z y xt
u
z y x
z zx zx
y yx
yx
z y x x x z y x x x
zx yx x
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
;
:teAnalogamen
))('
;
;;
;2
:equilibrio di equazione prima la moConsideria
∆+
∂
∂+=
∂
∂⋅
∆+
∂∂
+=∂∂
⋅
∆∆+
∂
∂+=
∂
∂⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂
++∂+=
∂∂
⋅
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂=
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
∂=
∂∂
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅+=∂∂
⋅+++⋅+=⋅+⋅=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
⋅
µ ϑ
µ λ ρ
µ ϑ
µ λ ρ
µ ϑ
µ λ ρ
µ ε ε ε
µ λ ρ
µ ε µ µ τ µ τ
µ ε
µ µ τ
µ τ
µ ε ε
λ ε
µ λ σ
ε µ ε ε λ ε µ λ ε µ ϑ λ σ
τ τ σ ρ
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Le onde irrotazionali
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ρ
µ
µ
µ
µ
µ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
"2
1
"2
1
"2
1
∆+=∂∂
⋅
∆+=∂∂
⋅∆+=∂∂
⋅∆+=∂∂
⋅
∆+=∆+
∂
∂∂∂+∂
∂∂∂+∂
∂∂∂+=∆+
∂
∂∂∂+∂
∂∂∂+∂
∂∂∂+=
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂+=
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂
++∂+=∂
∂⋅
∂∂
=∂∂
=
∂∂
−∂∂
=
∂∂
=∂∂
=
∂∂
−∂∂
=
∂∂
=∂∂
=
∂∂
−∂∂
=
t
wt
w;v
t
v;u
t
u
uu z
z u
y
yu
x
x u
u z
x w
y
x v
x
x u
z
u
y
u
x
u
x
z
w
y
v
x
u
z
u
y
u
x
u
x t
u
y
u
x
v;
y
u
x
v
x
w
z
u;
x
w
z
u
z
v
y
w;
z
v
y
w
z y x
z
y
x
:membro a membro equazioni tre le Sommando
:teAnaloamen
:e!te!a eormulazion in equilibrio di equazione "rima la ora# #$icordiamo
!$ot
!$ot
!$ot
:com"orta alit%irrotazion di
condizionela continuo# del "unto un di o!"o!tament di &ettore il ' ()*u#! Se
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( )
( )( )
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
t V x
t V
V : posto;t
t
c
c
c
∂∂
⋅=∂∂
∂
∂
⋅=∆
=+
∂∂
⋅+
=∆
∆+=∂∂⋅
ρ
µ
µ
ρ
ρ
:!euente +orma la a!!ume equazionel' Allora
,)- direzione la luno *"-e!- naleunidirezio ne"ro"aazio la e "iano
econ!iderar "o!!a!i +ronte il "erch!orente dalla lontano abba!tanza
ondad' ne"ro"aazio la !tudiare di #!em"licit% "er mo#Con!ideria
ondad' ne"ro"aazio di Equazione
Le onde irrotazionali
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Le onde irrotazionali
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
11
1
c
cc
c
V t t t
;V V dt
d
dt
d
t
x x x
;dx
d
dx
d
x
t V x
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
⋅∂
∂−⋅
∂
∂=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
∂
∂
∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
⋅∂∂
+⋅∂∂
=⋅∂∂
+⋅∂∂
=∂∂
=⋅−=⋅+∂
∂⋅=
∂
∂
η
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
t.,/t., :"one Si cc
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ordine- !econdo al almeno +ino
tem"o nel e !"azionello deri&abili ntecontinuame e
continue "urch qual!ia!i +unzioni
e!!ere "o!!ono )0*)+* +unzioniLe )-0*)+*
:!ia che im"licaCi1
!e !olo e !e !u!!i!te auualianzL'
:ondad'equazionenell'oSo!tituend
η
η
η
η
ξ
η
η
ξ
++=
≡∂∂
∂
∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
"
22
2
2
22
2
2
2
22
2
2
Le onde irrotazionali
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Le onde irrotazionali
-rere!!i&aondaun'in&eceara""re!entt)&0*,+unzioneLa
o-"rore!!i&ondad'+ronteIl "o!iti&a-.ondad'+rontedel&elocit%la
onda-d'+ronteilconte!olidalmenmuo&e!ieo!!er&ator L' +-anche co!tantere!ta
"erci1-eco!tanterimane + di aromentol'.&elocit% con moto in eo!!er&ator l'2er
,t.., :&ale t#tem"oilTra!cor!o3-t i!tanteall', &ale&a + +unzionedella aromentoL'
t.,,, "o!izione nella tro&a !ittem"o il Do"o
, "o!izione dalla "artendo , luno.&elocit%con muo&e !i eo!!er&ator 4n
tem"o-dale!"azio dallodi"ende t).5+*,
t).5+*,)+*
3)0* !ia che Su""oniamo
c
c
c
3cc3
3
c
3C
c
c
+
+=
=−+=
+=∆+
==
=
,
t
ρ
µ
ξ
η
2
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Le onde distorsive
( )
( )
( )
ρ
µ
µ
µ
µ
µµ
µµ
µµ
=
∆=∂∂
⋅
∆=
∂
∂⋅
∆=∂∂
⋅
∆+
∂∂
+=∂∂
⋅
∆+
∂∂+=
∂∂⋅
∆+
∂∂
+=∂∂
⋅
! . ondad' +ronte del
ne"ro"aazio di &elocit% la ma #"recedente alla analoa +orma ha !oluzionela
,# direzione !ola nella equazionel' #"recedente ca!o nel come do#Con!ideran
:alloraottiene#Si
deri&ate- !ue le e nulli "erci1 Sono
&olume- di in&arianza da zatecaratteriz !ono di!tor!i&e onde Le
equilibrio di enerali equazioni le o$ichiamiam
wt
w
;v
t
v
ut
u
w z t
w
;v yt
v
u x t
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2