Post on 21-Feb-2019
Le leggi di Keplero
Fino al 1600 si credeva che:
• la Terra fosse al centro dell'Universo, con il Sole e i
pianeti orbitanti attorno (modello geocentrico)
(Esempio: modello aristotetelico-tolemaico);
• i corpi celesti, sferici e perfetti, orbitassero su traiettorie
circolari.
Copernico introdusse il modello eliocentrico (Sole al
centro e pianeti su orbite circolari), che fu poi appoggiato
da Galileo.
Questo modello però non concordava con le osservazioni
astronomiche.
Le leggi di Keplero
Giovanni Keplero (1571-1630) perfezionò il modello
eliocentrico con tre leggi:
Prima legge di Keplero
Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei
due fuochi.
Si definiscono:
- perielio: il punto dell'orbita
più vicino al Sole.
- afelio: il punto dell'orbita
più lontano dal Sole.
Soleperielio afelio
Le leggi di Keplero
Seconda legge di Keplero
Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta
spazza aree uguali in tempi uguali.
Le leggi di Keplero
T aumenta al crescere di a: i pianeti
lontani impiegano più tempo a
compiere un giro attorno al Sole.
Terza legge di Keplero
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a
ed il quadrato del periodo di rivoluzione T è lo stesso per
tutti i pianeti.
La gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause.
Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra.
Questa forza è universale e vale per qualsiasi coppia di oggetti.
La gravitazione universale
La legge di gravitazione universale afferma che la forza che si
esercita tra due corpi puntiformi di masse m1 e m2 è:
direttamente proporzionale alle masse dei corpi;
inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r.
La gravitazione universale
L'espressione matematica della legge di gravitazione universale è:
G è la costante di gravitazione universale:
[2]
La gravitazione universale
Vediamo le dipendenze di F da r e da m.
1) Tenendo fissa la distanza r tra i due corpi:
La gravitazione universale
2) Tenendo fisse le masse dei due corpi m1 e m2:
se r raddoppia, la forza diventa 1/4;
se r triplica, la forza diventa 1/9;
se r si dimezza, la forza quadruplica.
La gravitazione universale
• F diminuisce molto
rapidamente al crescere
di r;
• F aumenta molto
velocemente al tendere
di r a zero.
Il valore della forza F è inversamente proporzionale a r2.
Questo significa che:
Il valore della costante G
La forza-peso FP di un corpo di massa m è la forza di gravità con cui la Terra attrae m quando è posta vicino alla superficie terrestre.
MT , RT: massa e raggio della Terra.
Ricaviamo G:
Con i valori di MT , RT noti a Newton si ottiene
L'esperimento di Cavendish
Le masse m1
e m1
del
manubrio sono attratte
dalle masse più grandi M1
e M2.
Dall'angolo di torsione del
filo si misura il valore di F.
Si ottiene
Henry Cavendish nel 1798 misurò per primo in laboratorio ilvalore di G con la bilancia a torsione.
L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Dalla legge di gravitazione universale, noti MT e RT, si puòricavare il valore di g che abbiamo già incontrato.
La quantità in parentesi è una costante e vale:
L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Il valore dell'espressione
corrisponde proprio al valore sperimentale di g.
Questo permette di ottenere la formula
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimitàdella superficie terrestre.
LA FORZA GRAVITAZIONALE TRA CORPI DI GRANDI DIMENSIONI
IL CAMPO GRAVITAZIONALE
Una massa crea nello spazio circostante un CAMPOGRAVITAZIONALE (CAMPO DI FORZE), ossia crea unamodifica dello spazio intorno e lo spazio modificatoesercita una forza gravitazionale su un’altra massa(piccola) posta nelle vicinanze della massa che crea talecampo.
IL CAMPO GRAVITAZIONALE
Figura 14
IL CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA PUNTIFORME
Dalla definizione di 𝑔 =𝐹
𝑚, anche il vettore g è diretto
verso la massa M. Sostituendo abbiamo che:
CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE
Il campo gravitazionale terrestre i n qualunque punto P situato a una distanza r dal centro della terra ha modulo:
𝑔 = 𝐺𝑀𝑇
𝑟2
Per 𝑟 = 𝑅𝑇 , il vettore g esprime l’accelerazione di gravità in prossimità della superficie
della Terra, che vale 9,8𝑚
𝑠2
Massa inerziale e massa gravitazionale
Abbiamo incontrato la grandezza fisica massa di un corpo in due casidistinti:
massa inerziale, mi: indica la resistenza del corpo ad essereaccelerato;
massa gravitazionale, mg: indica la capacità di attrarre oggetti edessere attratto da essi.
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamenteproporzionali.
Massa inerziale e massa gravitazionale
Se scegliamo il kg come unità di misura per entrambepossiamo considerare: mi = mg, anche se concettualmentesono diverse.
Il moto dei satelliti
Supponiamo di sparare orizzontalmente un proiettile dallacima di una montagna (in assenza di aria e a velocitàarbitraria).
Diversi tipi di orbite
L'orbita di un proiettile con v0=7,9x103 m/s è unacirconferenza.
All'aumentare ancora di v0 la traiettoria diventa un'ellisse;superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: ilproiettile si allontana dalla Terra.
La velocità dei satelliti in orbita circolare
Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intornoalla Terra.
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta:
R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento.
Satelliti geostazionari
Sono satelliti che si muovono alla velocità di rotazione terrestre,quindi appaiono fermi rispetto alla Terra.
La deduzione delle leggi di Keplero
Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei princìpi della dinamica edella legge di gravitazione universale.
Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza dellaproporzionalità della F gravitazionale a 1/r2:
le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli;
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze).
La deduzione delle leggi di Keplero
poiché L è costante,
r e v sono
inversamente
proporzionali.
Seconda legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza dellaconservazione del momento angolare.
Al perielio rP è minimo, quindi vP è massima;
All'afelio rA è massimo, quindi vA è minima.
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero: dimostriamola per orbite circolari.
Moto circolare uniforme: Essendo
, si ha ovvero
Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza leggedi Keplero è verificata.
L'energia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto l'azionedi una massa maggiore M.
Si dimostra che
Quindi l'energia potenziale U è:
Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Nella formula di U è conveniente porre k=0.
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cuim e M sono a distanza infinita.
Si scrive dunque
Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Rappresentiamo il grafico della funzione U(r).
• U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo).
La dipendenza da 1/r
determina:
l'annullarsi di U(r)
per r che tende ad
infinito;
il tendere all’infinito
di U per r che tende a
zero.
La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare haconfermato la validità della legge di gravitazione universale edei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spazialenon esiste attrito.
La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida edà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero.
LA VELOCITA’ DI FUGA DA UN PIANETA O DA UNA STELLA
La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0quando la distanza è infinita.
Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, v<vfuga e l'energia totaleE=K+U è negativa.
Se il proiettile ha v=vfuga, riesce a liberarsi e l'energia totale E=K+Uè zero.
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica, v>vfuga el'energia totale E=K+U è positiva.